Theorem dvdslelemd 12588

Description: Lemma for dvdsle 12589. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Nov-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvdslelemd.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
dvdslelemd.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
dvdslelemd.3	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
dvdslelemd.lt	⊢ (𝜑 → 𝑁 < 𝑀)

Assertion

Ref	Expression
dvdslelemd	⊢ (𝜑 → (𝐾 · 𝑀) ≠ 𝑁)

Proof of Theorem dvdslelemd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvdslelemd.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
2		0z 9634	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℤ
3		zlelttric 9668	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → (𝐾 ≤ 0 ∨ 0 < 𝐾))
4	1, 2, 3	sylancl 417	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ≤ 0 ∨ 0 < 𝐾))
5		zgt0ge1 9682	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (0 < 𝐾 ↔ 1 ≤ 𝐾))
6	1, 5	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0 < 𝐾 ↔ 1 ≤ 𝐾))
7	6	orbi2d 802	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 ≤ 0 ∨ 0 < 𝐾) ↔ (𝐾 ≤ 0 ∨ 1 ≤ 𝐾)))
8	4, 7	mpbid 147	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ≤ 0 ∨ 1 ≤ 𝐾))
9	1	zred 9747	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℝ)
10	9	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ≤ 0) → 𝐾 ∈ ℝ)
11		dvdslelemd.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
12	11	zred 9747	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
13	12	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ≤ 0) → 𝑀 ∈ ℝ)
14	10, 13	remulcld 8346	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ≤ 0) → (𝐾 · 𝑀) ∈ ℝ)
15		0red 8317	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ≤ 0) → 0 ∈ ℝ)
16		dvdslelemd.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
17	16	nnred 9296	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
18	17	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ≤ 0) → 𝑁 ∈ ℝ)
19	10	renegcld 8697	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ≤ 0) → -𝐾 ∈ ℝ)
20	9	le0neg1d 8835	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ≤ 0 ↔ 0 ≤ -𝐾))
21	20	biimpa 296	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ≤ 0) → 0 ≤ -𝐾)
22		0red 8317	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
23	16	nngt0d 9327	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑁)
24		dvdslelemd.lt	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑁 < 𝑀)
25	22, 17, 12, 23, 24	lttrd 8442	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑀)
26	22, 12, 25	ltled 8435	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑀)
27	26	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ≤ 0) → 0 ≤ 𝑀)
28	19, 13, 21, 27	mulge0d 8939	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ≤ 0) → 0 ≤ (-𝐾 · 𝑀))
29	14	le0neg1d 8835	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ≤ 0) → ((𝐾 · 𝑀) ≤ 0 ↔ 0 ≤ -(𝐾 · 𝑀)))
30	10	recnd 8344	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ≤ 0) → 𝐾 ∈ ℂ)
31	13	recnd 8344	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ≤ 0) → 𝑀 ∈ ℂ)
32	30, 31	mulneg1d 8728	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ≤ 0) → (-𝐾 · 𝑀) = -(𝐾 · 𝑀))
33	32	breq2d 4137	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ≤ 0) → (0 ≤ (-𝐾 · 𝑀) ↔ 0 ≤ -(𝐾 · 𝑀)))
34	29, 33	bitr4d 191	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ≤ 0) → ((𝐾 · 𝑀) ≤ 0 ↔ 0 ≤ (-𝐾 · 𝑀)))
35	28, 34	mpbird 167	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ≤ 0) → (𝐾 · 𝑀) ≤ 0)
36	23	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ≤ 0) → 0 < 𝑁)
37	14, 15, 18, 35, 36	lelttrd 8441	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ≤ 0) → (𝐾 · 𝑀) < 𝑁)
38	37	ex 115	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ≤ 0 → (𝐾 · 𝑀) < 𝑁))
39	17	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝐾) → 𝑁 ∈ ℝ)
40	12	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝐾) → 𝑀 ∈ ℝ)
41	9	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝐾) → 𝐾 ∈ ℝ)
42	41, 40	remulcld 8346	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝐾) → (𝐾 · 𝑀) ∈ ℝ)
43	24	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝐾) → 𝑁 < 𝑀)
44	26	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝐾) → 0 ≤ 𝑀)
45		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝐾) → 1 ≤ 𝐾)
46	40, 41, 44, 45	lemulge12d 9258	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝐾) → 𝑀 ≤ (𝐾 · 𝑀))
47	39, 40, 42, 43, 46	ltletrd 8741	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝐾) → 𝑁 < (𝐾 · 𝑀))
48	47	ex 115	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1 ≤ 𝐾 → 𝑁 < (𝐾 · 𝑀)))
49	38, 48	orim12d 798	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 ≤ 0 ∨ 1 ≤ 𝐾) → ((𝐾 · 𝑀) < 𝑁 ∨ 𝑁 < (𝐾 · 𝑀))))
50	8, 49	mpd 13	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 · 𝑀) < 𝑁 ∨ 𝑁 < (𝐾 · 𝑀)))
51		zq 10005	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℚ)
52	1, 51	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℚ)
53		zq 10005	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℚ)
54	11, 53	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℚ)
55		qmulcl 10016	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℚ ∧ 𝑀 ∈ ℚ) → (𝐾 · 𝑀) ∈ ℚ)
56	52, 54, 55	syl2anc 415	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 · 𝑀) ∈ ℚ)
57		nnq 10012	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℚ)
58	16, 57	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℚ)
59		qlttri2 10020	. . 3 ⊢ (((𝐾 · 𝑀) ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ) → ((𝐾 · 𝑀) ≠ 𝑁 ↔ ((𝐾 · 𝑀) < 𝑁 ∨ 𝑁 < (𝐾 · 𝑀))))
60	56, 58, 59	syl2anc 415	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 · 𝑀) ≠ 𝑁 ↔ ((𝐾 · 𝑀) < 𝑁 ∨ 𝑁 < (𝐾 · 𝑀))))
61	50, 60	mpbird 167	1 ⊢ (𝜑 → (𝐾 · 𝑀) ≠ 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 720   ∈ wcel 2209   ≠ wne 2420   class class class wbr 4125  (class class class)co 6075  ℝcr 8168  0cc0 8169  1c1 8170   · cmul 8174   < clt 8350   ≤ cle 8351  -cneg 8488  ℕcn 9283  ℤcz 9623  ℚcq 9998

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-mulrcl 8268  ax-addcom 8269  ax-mulcom 8270  ax-addass 8271  ax-mulass 8272  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-1rid 8276  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-precex 8279  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-apti 8284  ax-pre-ltadd 8285  ax-pre-mulgt0 8286  ax-pre-mulext 8287

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-id 4433  df-po 4436  df-iso 4437  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-reap 8893  df-ap 8900  df-div 8993  df-inn 9284  df-n0 9543  df-z 9624  df-q 9999

This theorem is referenced by:  dvdsle  12589