Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  dvdslelemd GIF version

Theorem dvdslelemd 11287
 Description: Lemma for dvdsle 11288. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Nov-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
dvdslelemd.1 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
dvdslelemd.2 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
dvdslelemd.3 (𝜑𝐾 ∈ ℤ)
dvdslelemd.lt (𝜑𝑁 < 𝑀)
Assertion
Ref Expression
dvdslelemd (𝜑 → (𝐾 · 𝑀) ≠ 𝑁)

Proof of Theorem dvdslelemd
StepHypRef Expression
1 dvdslelemd.3 . . . . 5 (𝜑𝐾 ∈ ℤ)
2 0z 8859 . . . . 5 0 ∈ ℤ
3 zlelttric 8893 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → (𝐾 ≤ 0 ∨ 0 < 𝐾))
41, 2, 3sylancl 405 . . . 4 (𝜑 → (𝐾 ≤ 0 ∨ 0 < 𝐾))
5 zgt0ge1 8906 . . . . . 6 (𝐾 ∈ ℤ → (0 < 𝐾 ↔ 1 ≤ 𝐾))
61, 5syl 14 . . . . 5 (𝜑 → (0 < 𝐾 ↔ 1 ≤ 𝐾))
76orbi2d 742 . . . 4 (𝜑 → ((𝐾 ≤ 0 ∨ 0 < 𝐾) ↔ (𝐾 ≤ 0 ∨ 1 ≤ 𝐾)))
84, 7mpbid 146 . . 3 (𝜑 → (𝐾 ≤ 0 ∨ 1 ≤ 𝐾))
91zred 8967 . . . . . . . 8 (𝜑𝐾 ∈ ℝ)
109adantr 271 . . . . . . 7 ((𝜑𝐾 ≤ 0) → 𝐾 ∈ ℝ)
11 dvdslelemd.1 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
1211zred 8967 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
1312adantr 271 . . . . . . 7 ((𝜑𝐾 ≤ 0) → 𝑀 ∈ ℝ)
1410, 13remulcld 7615 . . . . . 6 ((𝜑𝐾 ≤ 0) → (𝐾 · 𝑀) ∈ ℝ)
15 0red 7586 . . . . . 6 ((𝜑𝐾 ≤ 0) → 0 ∈ ℝ)
16 dvdslelemd.2 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
1716nnred 8533 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
1817adantr 271 . . . . . 6 ((𝜑𝐾 ≤ 0) → 𝑁 ∈ ℝ)
1910renegcld 7955 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐾 ≤ 0) → -𝐾 ∈ ℝ)
209le0neg1d 8092 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐾 ≤ 0 ↔ 0 ≤ -𝐾))
2120biimpa 291 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐾 ≤ 0) → 0 ≤ -𝐾)
22 0red 7586 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
2316nngt0d 8564 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 < 𝑁)
24 dvdslelemd.lt . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑁 < 𝑀)
2522, 17, 12, 23, 24lttrd 7706 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 < 𝑀)
2622, 12, 25ltled 7699 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 ≤ 𝑀)
2726adantr 271 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐾 ≤ 0) → 0 ≤ 𝑀)
2819, 13, 21, 27mulge0d 8195 . . . . . . 7 ((𝜑𝐾 ≤ 0) → 0 ≤ (-𝐾 · 𝑀))
2914le0neg1d 8092 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐾 ≤ 0) → ((𝐾 · 𝑀) ≤ 0 ↔ 0 ≤ -(𝐾 · 𝑀)))
3010recnd 7613 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐾 ≤ 0) → 𝐾 ∈ ℂ)
3113recnd 7613 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐾 ≤ 0) → 𝑀 ∈ ℂ)
3230, 31mulneg1d 7986 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐾 ≤ 0) → (-𝐾 · 𝑀) = -(𝐾 · 𝑀))
3332breq2d 3879 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐾 ≤ 0) → (0 ≤ (-𝐾 · 𝑀) ↔ 0 ≤ -(𝐾 · 𝑀)))
3429, 33bitr4d 190 . . . . . . 7 ((𝜑𝐾 ≤ 0) → ((𝐾 · 𝑀) ≤ 0 ↔ 0 ≤ (-𝐾 · 𝑀)))
3528, 34mpbird 166 . . . . . 6 ((𝜑𝐾 ≤ 0) → (𝐾 · 𝑀) ≤ 0)
3623adantr 271 . . . . . 6 ((𝜑𝐾 ≤ 0) → 0 < 𝑁)
3714, 15, 18, 35, 36lelttrd 7705 . . . . 5 ((𝜑𝐾 ≤ 0) → (𝐾 · 𝑀) < 𝑁)
3837ex 114 . . . 4 (𝜑 → (𝐾 ≤ 0 → (𝐾 · 𝑀) < 𝑁))
3917adantr 271 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝐾) → 𝑁 ∈ ℝ)
4012adantr 271 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝐾) → 𝑀 ∈ ℝ)
419adantr 271 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝐾) → 𝐾 ∈ ℝ)
4241, 40remulcld 7615 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝐾) → (𝐾 · 𝑀) ∈ ℝ)
4324adantr 271 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝐾) → 𝑁 < 𝑀)
4426adantr 271 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝐾) → 0 ≤ 𝑀)
45 simpr 109 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝐾) → 1 ≤ 𝐾)
4640, 41, 44, 45lemulge12d 8496 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝐾) → 𝑀 ≤ (𝐾 · 𝑀))
4739, 40, 42, 43, 46ltletrd 7998 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝐾) → 𝑁 < (𝐾 · 𝑀))
4847ex 114 . . . 4 (𝜑 → (1 ≤ 𝐾𝑁 < (𝐾 · 𝑀)))
4938, 48orim12d 738 . . 3 (𝜑 → ((𝐾 ≤ 0 ∨ 1 ≤ 𝐾) → ((𝐾 · 𝑀) < 𝑁𝑁 < (𝐾 · 𝑀))))
508, 49mpd 13 . 2 (𝜑 → ((𝐾 · 𝑀) < 𝑁𝑁 < (𝐾 · 𝑀)))
51 zq 9210 . . . . 5 (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℚ)
521, 51syl 14 . . . 4 (𝜑𝐾 ∈ ℚ)
53 zq 9210 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℚ)
5411, 53syl 14 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℚ)
55 qmulcl 9221 . . . 4 ((𝐾 ∈ ℚ ∧ 𝑀 ∈ ℚ) → (𝐾 · 𝑀) ∈ ℚ)
5652, 54, 55syl2anc 404 . . 3 (𝜑 → (𝐾 · 𝑀) ∈ ℚ)
57 nnq 9217 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℚ)
5816, 57syl 14 . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℚ)
59 qlttri2 9225 . . 3 (((𝐾 · 𝑀) ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ) → ((𝐾 · 𝑀) ≠ 𝑁 ↔ ((𝐾 · 𝑀) < 𝑁𝑁 < (𝐾 · 𝑀))))
6056, 58, 59syl2anc 404 . 2 (𝜑 → ((𝐾 · 𝑀) ≠ 𝑁 ↔ ((𝐾 · 𝑀) < 𝑁𝑁 < (𝐾 · 𝑀))))
6150, 60mpbird 166 1 (𝜑 → (𝐾 · 𝑀) ≠ 𝑁)
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∨ wo 667   ∈ wcel 1445   ≠ wne 2262   class class class wbr 3867  (class class class)co 5690  ℝcr 7446  0cc0 7447  1c1 7448   · cmul 7452   < clt 7619   ≤ cle 7620  -cneg 7751  ℕcn 8520  ℤcz 8848  ℚcq 9203 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 582  ax-in2 583  ax-io 668  ax-5 1388  ax-7 1389  ax-gen 1390  ax-ie1 1434  ax-ie2 1435  ax-8 1447  ax-10 1448  ax-11 1449  ax-i12 1450  ax-bndl 1451  ax-4 1452  ax-13 1456  ax-14 1457  ax-17 1471  ax-i9 1475  ax-ial 1479  ax-i5r 1480  ax-ext 2077  ax-sep 3978  ax-pow 4030  ax-pr 4060  ax-un 4284  ax-setind 4381  ax-cnex 7533  ax-resscn 7534  ax-1cn 7535  ax-1re 7536  ax-icn 7537  ax-addcl 7538  ax-addrcl 7539  ax-mulcl 7540  ax-mulrcl 7541  ax-addcom 7542  ax-mulcom 7543  ax-addass 7544  ax-mulass 7545  ax-distr 7546  ax-i2m1 7547  ax-0lt1 7548  ax-1rid 7549  ax-0id 7550  ax-rnegex 7551  ax-precex 7552  ax-cnre 7553  ax-pre-ltirr 7554  ax-pre-ltwlin 7555  ax-pre-lttrn 7556  ax-pre-apti 7557  ax-pre-ltadd 7558  ax-pre-mulgt0 7559  ax-pre-mulext 7560 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 928  df-3an 929  df-tru 1299  df-fal 1302  df-nf 1402  df-sb 1700  df-eu 1958  df-mo 1959  df-clab 2082  df-cleq 2088  df-clel 2091  df-nfc 2224  df-ne 2263  df-nel 2358  df-ral 2375  df-rex 2376  df-reu 2377  df-rmo 2378  df-rab 2379  df-v 2635  df-sbc 2855  df-csb 2948  df-dif 3015  df-un 3017  df-in 3019  df-ss 3026  df-pw 3451  df-sn 3472  df-pr 3473  df-op 3475  df-uni 3676  df-int 3711  df-iun 3754  df-br 3868  df-opab 3922  df-mpt 3923  df-id 4144  df-po 4147  df-iso 4148  df-xp 4473  df-rel 4474  df-cnv 4475  df-co 4476  df-dm 4477  df-rn 4478  df-res 4479  df-ima 4480  df-iota 5014  df-fun 5051  df-fn 5052  df-f 5053  df-fv 5057  df-riota 5646  df-ov 5693  df-oprab 5694  df-mpt2 5695  df-1st 5949  df-2nd 5950  df-pnf 7621  df-mnf 7622  df-xr 7623  df-ltxr 7624  df-le 7625  df-sub 7752  df-neg 7753  df-reap 8149  df-ap 8156  df-div 8237  df-inn 8521  df-n0 8772  df-z 8849  df-q 9204 This theorem is referenced by:  dvdsle  11288
 Copyright terms: Public domain W3C validator