ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  dvdslelemd GIF version

Theorem dvdslelemd 11862
Description: Lemma for dvdsle 11863. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Nov-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
dvdslelemd.1 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
dvdslelemd.2 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
dvdslelemd.3 (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆˆ โ„ค)
dvdslelemd.lt (๐œ‘ โ†’ ๐‘ < ๐‘€)
Assertion
Ref Expression
dvdslelemd (๐œ‘ โ†’ (๐พ ยท ๐‘€) โ‰  ๐‘)

Proof of Theorem dvdslelemd
StepHypRef Expression
1 dvdslelemd.3 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆˆ โ„ค)
2 0z 9277 . . . . 5 0 โˆˆ โ„ค
3 zlelttric 9311 . . . . 5 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง 0 โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐พ โ‰ค 0 โˆจ 0 < ๐พ))
41, 2, 3sylancl 413 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐พ โ‰ค 0 โˆจ 0 < ๐พ))
5 zgt0ge1 9324 . . . . . 6 (๐พ โˆˆ โ„ค โ†’ (0 < ๐พ โ†” 1 โ‰ค ๐พ))
61, 5syl 14 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (0 < ๐พ โ†” 1 โ‰ค ๐พ))
76orbi2d 791 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐พ โ‰ค 0 โˆจ 0 < ๐พ) โ†” (๐พ โ‰ค 0 โˆจ 1 โ‰ค ๐พ)))
84, 7mpbid 147 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐พ โ‰ค 0 โˆจ 1 โ‰ค ๐พ))
91zred 9388 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆˆ โ„)
109adantr 276 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐พ โ‰ค 0) โ†’ ๐พ โˆˆ โ„)
11 dvdslelemd.1 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
1211zred 9388 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„)
1312adantr 276 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐พ โ‰ค 0) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„)
1410, 13remulcld 8001 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐พ โ‰ค 0) โ†’ (๐พ ยท ๐‘€) โˆˆ โ„)
15 0red 7971 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐พ โ‰ค 0) โ†’ 0 โˆˆ โ„)
16 dvdslelemd.2 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
1716nnred 8945 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
1817adantr 276 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐พ โ‰ค 0) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
1910renegcld 8350 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐พ โ‰ค 0) โ†’ -๐พ โˆˆ โ„)
209le0neg1d 8487 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐พ โ‰ค 0 โ†” 0 โ‰ค -๐พ))
2120biimpa 296 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐พ โ‰ค 0) โ†’ 0 โ‰ค -๐พ)
22 0red 7971 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ 0 โˆˆ โ„)
2316nngt0d 8976 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ 0 < ๐‘)
24 dvdslelemd.lt . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ < ๐‘€)
2522, 17, 12, 23, 24lttrd 8096 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ 0 < ๐‘€)
2622, 12, 25ltled 8089 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค ๐‘€)
2726adantr 276 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐พ โ‰ค 0) โ†’ 0 โ‰ค ๐‘€)
2819, 13, 21, 27mulge0d 8591 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐พ โ‰ค 0) โ†’ 0 โ‰ค (-๐พ ยท ๐‘€))
2914le0neg1d 8487 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐พ โ‰ค 0) โ†’ ((๐พ ยท ๐‘€) โ‰ค 0 โ†” 0 โ‰ค -(๐พ ยท ๐‘€)))
3010recnd 7999 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐พ โ‰ค 0) โ†’ ๐พ โˆˆ โ„‚)
3113recnd 7999 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐พ โ‰ค 0) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„‚)
3230, 31mulneg1d 8381 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐พ โ‰ค 0) โ†’ (-๐พ ยท ๐‘€) = -(๐พ ยท ๐‘€))
3332breq2d 4027 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐พ โ‰ค 0) โ†’ (0 โ‰ค (-๐พ ยท ๐‘€) โ†” 0 โ‰ค -(๐พ ยท ๐‘€)))
3429, 33bitr4d 191 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐พ โ‰ค 0) โ†’ ((๐พ ยท ๐‘€) โ‰ค 0 โ†” 0 โ‰ค (-๐พ ยท ๐‘€)))
3528, 34mpbird 167 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐พ โ‰ค 0) โ†’ (๐พ ยท ๐‘€) โ‰ค 0)
3623adantr 276 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐พ โ‰ค 0) โ†’ 0 < ๐‘)
3714, 15, 18, 35, 36lelttrd 8095 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐พ โ‰ค 0) โ†’ (๐พ ยท ๐‘€) < ๐‘)
3837ex 115 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐พ โ‰ค 0 โ†’ (๐พ ยท ๐‘€) < ๐‘))
3917adantr 276 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง 1 โ‰ค ๐พ) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
4012adantr 276 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง 1 โ‰ค ๐พ) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„)
419adantr 276 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง 1 โ‰ค ๐พ) โ†’ ๐พ โˆˆ โ„)
4241, 40remulcld 8001 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง 1 โ‰ค ๐พ) โ†’ (๐พ ยท ๐‘€) โˆˆ โ„)
4324adantr 276 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง 1 โ‰ค ๐พ) โ†’ ๐‘ < ๐‘€)
4426adantr 276 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง 1 โ‰ค ๐พ) โ†’ 0 โ‰ค ๐‘€)
45 simpr 110 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง 1 โ‰ค ๐พ) โ†’ 1 โ‰ค ๐พ)
4640, 41, 44, 45lemulge12d 8908 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง 1 โ‰ค ๐พ) โ†’ ๐‘€ โ‰ค (๐พ ยท ๐‘€))
4739, 40, 42, 43, 46ltletrd 8393 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง 1 โ‰ค ๐พ) โ†’ ๐‘ < (๐พ ยท ๐‘€))
4847ex 115 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (1 โ‰ค ๐พ โ†’ ๐‘ < (๐พ ยท ๐‘€)))
4938, 48orim12d 787 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐พ โ‰ค 0 โˆจ 1 โ‰ค ๐พ) โ†’ ((๐พ ยท ๐‘€) < ๐‘ โˆจ ๐‘ < (๐พ ยท ๐‘€))))
508, 49mpd 13 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐พ ยท ๐‘€) < ๐‘ โˆจ ๐‘ < (๐พ ยท ๐‘€)))
51 zq 9639 . . . . 5 (๐พ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐พ โˆˆ โ„š)
521, 51syl 14 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆˆ โ„š)
53 zq 9639 . . . . 5 (๐‘€ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„š)
5411, 53syl 14 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„š)
55 qmulcl 9650 . . . 4 ((๐พ โˆˆ โ„š โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„š) โ†’ (๐พ ยท ๐‘€) โˆˆ โ„š)
5652, 54, 55syl2anc 411 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐พ ยท ๐‘€) โˆˆ โ„š)
57 nnq 9646 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„š)
5816, 57syl 14 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„š)
59 qlttri2 9654 . . 3 (((๐พ ยท ๐‘€) โˆˆ โ„š โˆง ๐‘ โˆˆ โ„š) โ†’ ((๐พ ยท ๐‘€) โ‰  ๐‘ โ†” ((๐พ ยท ๐‘€) < ๐‘ โˆจ ๐‘ < (๐พ ยท ๐‘€))))
6056, 58, 59syl2anc 411 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐พ ยท ๐‘€) โ‰  ๐‘ โ†” ((๐พ ยท ๐‘€) < ๐‘ โˆจ ๐‘ < (๐พ ยท ๐‘€))))
6150, 60mpbird 167 1 (๐œ‘ โ†’ (๐พ ยท ๐‘€) โ‰  ๐‘)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   โ†” wb 105   โˆจ wo 709   โˆˆ wcel 2158   โ‰  wne 2357   class class class wbr 4015  (class class class)co 5888  โ„cr 7823  0cc0 7824  1c1 7825   ยท cmul 7829   < clt 8005   โ‰ค cle 8006  -cneg 8142  โ„•cn 8932  โ„คcz 9266  โ„šcq 9632
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-cnex 7915  ax-resscn 7916  ax-1cn 7917  ax-1re 7918  ax-icn 7919  ax-addcl 7920  ax-addrcl 7921  ax-mulcl 7922  ax-mulrcl 7923  ax-addcom 7924  ax-mulcom 7925  ax-addass 7926  ax-mulass 7927  ax-distr 7928  ax-i2m1 7929  ax-0lt1 7930  ax-1rid 7931  ax-0id 7932  ax-rnegex 7933  ax-precex 7934  ax-cnre 7935  ax-pre-ltirr 7936  ax-pre-ltwlin 7937  ax-pre-lttrn 7938  ax-pre-apti 7939  ax-pre-ltadd 7940  ax-pre-mulgt0 7941  ax-pre-mulext 7942
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rmo 2473  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-id 4305  df-po 4308  df-iso 4309  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-fv 5236  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1st 6154  df-2nd 6155  df-pnf 8007  df-mnf 8008  df-xr 8009  df-ltxr 8010  df-le 8011  df-sub 8143  df-neg 8144  df-reap 8545  df-ap 8552  df-div 8643  df-inn 8933  df-n0 9190  df-z 9267  df-q 9633
This theorem is referenced by:  dvdsle  11863
  Copyright terms: Public domain W3C validator