Theorem dvdslelemd 12467

Description: Lemma for dvdsle 12468. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Nov-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvdslelemd.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
dvdslelemd.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
dvdslelemd.3	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
dvdslelemd.lt	⊢ (𝜑 → 𝑁 < 𝑀)

Assertion

Ref	Expression
dvdslelemd	⊢ (𝜑 → (𝐾 · 𝑀) ≠ 𝑁)

Proof of Theorem dvdslelemd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvdslelemd.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
2		0z 9534	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℤ
3		zlelttric 9568	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → (𝐾 ≤ 0 ∨ 0 < 𝐾))
4	1, 2, 3	sylancl 413	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ≤ 0 ∨ 0 < 𝐾))
5		zgt0ge1 9582	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (0 < 𝐾 ↔ 1 ≤ 𝐾))
6	1, 5	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0 < 𝐾 ↔ 1 ≤ 𝐾))
7	6	orbi2d 798	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 ≤ 0 ∨ 0 < 𝐾) ↔ (𝐾 ≤ 0 ∨ 1 ≤ 𝐾)))
8	4, 7	mpbid 147	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ≤ 0 ∨ 1 ≤ 𝐾))
9	1	zred 9646	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℝ)
10	9	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ≤ 0) → 𝐾 ∈ ℝ)
11		dvdslelemd.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
12	11	zred 9646	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
13	12	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ≤ 0) → 𝑀 ∈ ℝ)
14	10, 13	remulcld 8252	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ≤ 0) → (𝐾 · 𝑀) ∈ ℝ)
15		0red 8223	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ≤ 0) → 0 ∈ ℝ)
16		dvdslelemd.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
17	16	nnred 9198	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
18	17	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ≤ 0) → 𝑁 ∈ ℝ)
19	10	renegcld 8601	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ≤ 0) → -𝐾 ∈ ℝ)
20	9	le0neg1d 8739	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ≤ 0 ↔ 0 ≤ -𝐾))
21	20	biimpa 296	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ≤ 0) → 0 ≤ -𝐾)
22		0red 8223	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
23	16	nngt0d 9229	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑁)
24		dvdslelemd.lt	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑁 < 𝑀)
25	22, 17, 12, 23, 24	lttrd 8347	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑀)
26	22, 12, 25	ltled 8340	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑀)
27	26	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ≤ 0) → 0 ≤ 𝑀)
28	19, 13, 21, 27	mulge0d 8843	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ≤ 0) → 0 ≤ (-𝐾 · 𝑀))
29	14	le0neg1d 8739	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ≤ 0) → ((𝐾 · 𝑀) ≤ 0 ↔ 0 ≤ -(𝐾 · 𝑀)))
30	10	recnd 8250	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ≤ 0) → 𝐾 ∈ ℂ)
31	13	recnd 8250	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ≤ 0) → 𝑀 ∈ ℂ)
32	30, 31	mulneg1d 8632	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ≤ 0) → (-𝐾 · 𝑀) = -(𝐾 · 𝑀))
33	32	breq2d 4105	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ≤ 0) → (0 ≤ (-𝐾 · 𝑀) ↔ 0 ≤ -(𝐾 · 𝑀)))
34	29, 33	bitr4d 191	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ≤ 0) → ((𝐾 · 𝑀) ≤ 0 ↔ 0 ≤ (-𝐾 · 𝑀)))
35	28, 34	mpbird 167	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ≤ 0) → (𝐾 · 𝑀) ≤ 0)
36	23	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ≤ 0) → 0 < 𝑁)
37	14, 15, 18, 35, 36	lelttrd 8346	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ≤ 0) → (𝐾 · 𝑀) < 𝑁)
38	37	ex 115	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ≤ 0 → (𝐾 · 𝑀) < 𝑁))
39	17	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝐾) → 𝑁 ∈ ℝ)
40	12	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝐾) → 𝑀 ∈ ℝ)
41	9	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝐾) → 𝐾 ∈ ℝ)
42	41, 40	remulcld 8252	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝐾) → (𝐾 · 𝑀) ∈ ℝ)
43	24	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝐾) → 𝑁 < 𝑀)
44	26	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝐾) → 0 ≤ 𝑀)
45		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝐾) → 1 ≤ 𝐾)
46	40, 41, 44, 45	lemulge12d 9160	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝐾) → 𝑀 ≤ (𝐾 · 𝑀))
47	39, 40, 42, 43, 46	ltletrd 8645	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝐾) → 𝑁 < (𝐾 · 𝑀))
48	47	ex 115	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1 ≤ 𝐾 → 𝑁 < (𝐾 · 𝑀)))
49	38, 48	orim12d 794	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 ≤ 0 ∨ 1 ≤ 𝐾) → ((𝐾 · 𝑀) < 𝑁 ∨ 𝑁 < (𝐾 · 𝑀))))
50	8, 49	mpd 13	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 · 𝑀) < 𝑁 ∨ 𝑁 < (𝐾 · 𝑀)))
51		zq 9904	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℚ)
52	1, 51	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℚ)
53		zq 9904	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℚ)
54	11, 53	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℚ)
55		qmulcl 9915	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℚ ∧ 𝑀 ∈ ℚ) → (𝐾 · 𝑀) ∈ ℚ)
56	52, 54, 55	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 · 𝑀) ∈ ℚ)
57		nnq 9911	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℚ)
58	16, 57	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℚ)
59		qlttri2 9919	. . 3 ⊢ (((𝐾 · 𝑀) ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ) → ((𝐾 · 𝑀) ≠ 𝑁 ↔ ((𝐾 · 𝑀) < 𝑁 ∨ 𝑁 < (𝐾 · 𝑀))))
60	56, 58, 59	syl2anc 411	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 · 𝑀) ≠ 𝑁 ↔ ((𝐾 · 𝑀) < 𝑁 ∨ 𝑁 < (𝐾 · 𝑀))))
61	50, 60	mpbird 167	1 ⊢ (𝜑 → (𝐾 · 𝑀) ≠ 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 716   ∈ wcel 2202   ≠ wne 2403   class class class wbr 4093  (class class class)co 6028  ℝcr 8074  0cc0 8075  1c1 8076   · cmul 8080   < clt 8256   ≤ cle 8257  -cneg 8393  ℕcn 9185  ℤcz 9523  ℚcq 9897

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-mulrcl 8174  ax-addcom 8175  ax-mulcom 8176  ax-addass 8177  ax-mulass 8178  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-1rid 8182  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-precex 8185  ax-cnre 8186  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltwlin 8188  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-apti 8190  ax-pre-ltadd 8191  ax-pre-mulgt0 8192  ax-pre-mulext 8193

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-po 4399  df-iso 4400  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-pnf 8258  df-mnf 8259  df-xr 8260  df-ltxr 8261  df-le 8262  df-sub 8394  df-neg 8395  df-reap 8797  df-ap 8804  df-div 8895  df-inn 9186  df-n0 9445  df-z 9524  df-q 9898

This theorem is referenced by:  dvdsle  12468