Theorem dvdslelemd 11781

Description: Lemma for dvdsle 11782. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Nov-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvdslelemd.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
dvdslelemd.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
dvdslelemd.3	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
dvdslelemd.lt	⊢ (𝜑 → 𝑁 < 𝑀)

Assertion

Ref	Expression
dvdslelemd	⊢ (𝜑 → (𝐾 · 𝑀) ≠ 𝑁)

Proof of Theorem dvdslelemd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvdslelemd.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
2		0z 9202	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℤ
3		zlelttric 9236	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → (𝐾 ≤ 0 ∨ 0 < 𝐾))
4	1, 2, 3	sylancl 410	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ≤ 0 ∨ 0 < 𝐾))
5		zgt0ge1 9249	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (0 < 𝐾 ↔ 1 ≤ 𝐾))
6	1, 5	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0 < 𝐾 ↔ 1 ≤ 𝐾))
7	6	orbi2d 780	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 ≤ 0 ∨ 0 < 𝐾) ↔ (𝐾 ≤ 0 ∨ 1 ≤ 𝐾)))
8	4, 7	mpbid 146	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ≤ 0 ∨ 1 ≤ 𝐾))
9	1	zred 9313	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℝ)
10	9	adantr 274	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ≤ 0) → 𝐾 ∈ ℝ)
11		dvdslelemd.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
12	11	zred 9313	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
13	12	adantr 274	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ≤ 0) → 𝑀 ∈ ℝ)
14	10, 13	remulcld 7929	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ≤ 0) → (𝐾 · 𝑀) ∈ ℝ)
15		0red 7900	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ≤ 0) → 0 ∈ ℝ)
16		dvdslelemd.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
17	16	nnred 8870	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
18	17	adantr 274	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ≤ 0) → 𝑁 ∈ ℝ)
19	10	renegcld 8278	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ≤ 0) → -𝐾 ∈ ℝ)
20	9	le0neg1d 8415	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ≤ 0 ↔ 0 ≤ -𝐾))
21	20	biimpa 294	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ≤ 0) → 0 ≤ -𝐾)
22		0red 7900	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
23	16	nngt0d 8901	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑁)
24		dvdslelemd.lt	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑁 < 𝑀)
25	22, 17, 12, 23, 24	lttrd 8024	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑀)
26	22, 12, 25	ltled 8017	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑀)
27	26	adantr 274	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ≤ 0) → 0 ≤ 𝑀)
28	19, 13, 21, 27	mulge0d 8519	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ≤ 0) → 0 ≤ (-𝐾 · 𝑀))
29	14	le0neg1d 8415	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ≤ 0) → ((𝐾 · 𝑀) ≤ 0 ↔ 0 ≤ -(𝐾 · 𝑀)))
30	10	recnd 7927	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ≤ 0) → 𝐾 ∈ ℂ)
31	13	recnd 7927	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ≤ 0) → 𝑀 ∈ ℂ)
32	30, 31	mulneg1d 8309	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ≤ 0) → (-𝐾 · 𝑀) = -(𝐾 · 𝑀))
33	32	breq2d 3994	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ≤ 0) → (0 ≤ (-𝐾 · 𝑀) ↔ 0 ≤ -(𝐾 · 𝑀)))
34	29, 33	bitr4d 190	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ≤ 0) → ((𝐾 · 𝑀) ≤ 0 ↔ 0 ≤ (-𝐾 · 𝑀)))
35	28, 34	mpbird 166	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ≤ 0) → (𝐾 · 𝑀) ≤ 0)
36	23	adantr 274	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ≤ 0) → 0 < 𝑁)
37	14, 15, 18, 35, 36	lelttrd 8023	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ≤ 0) → (𝐾 · 𝑀) < 𝑁)
38	37	ex 114	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ≤ 0 → (𝐾 · 𝑀) < 𝑁))
39	17	adantr 274	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝐾) → 𝑁 ∈ ℝ)
40	12	adantr 274	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝐾) → 𝑀 ∈ ℝ)
41	9	adantr 274	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝐾) → 𝐾 ∈ ℝ)
42	41, 40	remulcld 7929	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝐾) → (𝐾 · 𝑀) ∈ ℝ)
43	24	adantr 274	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝐾) → 𝑁 < 𝑀)
44	26	adantr 274	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝐾) → 0 ≤ 𝑀)
45		simpr 109	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝐾) → 1 ≤ 𝐾)
46	40, 41, 44, 45	lemulge12d 8833	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝐾) → 𝑀 ≤ (𝐾 · 𝑀))
47	39, 40, 42, 43, 46	ltletrd 8321	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝐾) → 𝑁 < (𝐾 · 𝑀))
48	47	ex 114	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1 ≤ 𝐾 → 𝑁 < (𝐾 · 𝑀)))
49	38, 48	orim12d 776	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 ≤ 0 ∨ 1 ≤ 𝐾) → ((𝐾 · 𝑀) < 𝑁 ∨ 𝑁 < (𝐾 · 𝑀))))
50	8, 49	mpd 13	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 · 𝑀) < 𝑁 ∨ 𝑁 < (𝐾 · 𝑀)))
51		zq 9564	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℚ)
52	1, 51	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℚ)
53		zq 9564	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℚ)
54	11, 53	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℚ)
55		qmulcl 9575	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℚ ∧ 𝑀 ∈ ℚ) → (𝐾 · 𝑀) ∈ ℚ)
56	52, 54, 55	syl2anc 409	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 · 𝑀) ∈ ℚ)
57		nnq 9571	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℚ)
58	16, 57	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℚ)
59		qlttri2 9579	. . 3 ⊢ (((𝐾 · 𝑀) ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ) → ((𝐾 · 𝑀) ≠ 𝑁 ↔ ((𝐾 · 𝑀) < 𝑁 ∨ 𝑁 < (𝐾 · 𝑀))))
60	56, 58, 59	syl2anc 409	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 · 𝑀) ≠ 𝑁 ↔ ((𝐾 · 𝑀) < 𝑁 ∨ 𝑁 < (𝐾 · 𝑀))))
61	50, 60	mpbird 166	1 ⊢ (𝜑 → (𝐾 · 𝑀) ≠ 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∨ wo 698   ∈ wcel 2136   ≠ wne 2336   class class class wbr 3982  (class class class)co 5842  ℝcr 7752  0cc0 7753  1c1 7754   · cmul 7758   < clt 7933   ≤ cle 7934  -cneg 8070  ℕcn 8857  ℤcz 9191  ℚcq 9557

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-mulrcl 7852  ax-addcom 7853  ax-mulcom 7854  ax-addass 7855  ax-mulass 7856  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-1rid 7860  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-precex 7863  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-apti 7868  ax-pre-ltadd 7869  ax-pre-mulgt0 7870  ax-pre-mulext 7871

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rmo 2452  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-id 4271  df-po 4274  df-iso 4275  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-fv 5196  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-reap 8473  df-ap 8480  df-div 8569  df-inn 8858  df-n0 9115  df-z 9192  df-q 9558

This theorem is referenced by:  dvdsle  11782