ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  dvdslelemd GIF version

Theorem dvdslelemd 11985
Description: Lemma for dvdsle 11986. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Nov-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
dvdslelemd.1 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
dvdslelemd.2 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
dvdslelemd.3 (𝜑𝐾 ∈ ℤ)
dvdslelemd.lt (𝜑𝑁 < 𝑀)
Assertion
Ref Expression
dvdslelemd (𝜑 → (𝐾 · 𝑀) ≠ 𝑁)

Proof of Theorem dvdslelemd
StepHypRef Expression
1 dvdslelemd.3 . . . . 5 (𝜑𝐾 ∈ ℤ)
2 0z 9328 . . . . 5 0 ∈ ℤ
3 zlelttric 9362 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → (𝐾 ≤ 0 ∨ 0 < 𝐾))
41, 2, 3sylancl 413 . . . 4 (𝜑 → (𝐾 ≤ 0 ∨ 0 < 𝐾))
5 zgt0ge1 9375 . . . . . 6 (𝐾 ∈ ℤ → (0 < 𝐾 ↔ 1 ≤ 𝐾))
61, 5syl 14 . . . . 5 (𝜑 → (0 < 𝐾 ↔ 1 ≤ 𝐾))
76orbi2d 791 . . . 4 (𝜑 → ((𝐾 ≤ 0 ∨ 0 < 𝐾) ↔ (𝐾 ≤ 0 ∨ 1 ≤ 𝐾)))
84, 7mpbid 147 . . 3 (𝜑 → (𝐾 ≤ 0 ∨ 1 ≤ 𝐾))
91zred 9439 . . . . . . . 8 (𝜑𝐾 ∈ ℝ)
109adantr 276 . . . . . . 7 ((𝜑𝐾 ≤ 0) → 𝐾 ∈ ℝ)
11 dvdslelemd.1 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
1211zred 9439 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
1312adantr 276 . . . . . . 7 ((𝜑𝐾 ≤ 0) → 𝑀 ∈ ℝ)
1410, 13remulcld 8050 . . . . . 6 ((𝜑𝐾 ≤ 0) → (𝐾 · 𝑀) ∈ ℝ)
15 0red 8020 . . . . . 6 ((𝜑𝐾 ≤ 0) → 0 ∈ ℝ)
16 dvdslelemd.2 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
1716nnred 8995 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
1817adantr 276 . . . . . 6 ((𝜑𝐾 ≤ 0) → 𝑁 ∈ ℝ)
1910renegcld 8399 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐾 ≤ 0) → -𝐾 ∈ ℝ)
209le0neg1d 8536 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐾 ≤ 0 ↔ 0 ≤ -𝐾))
2120biimpa 296 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐾 ≤ 0) → 0 ≤ -𝐾)
22 0red 8020 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
2316nngt0d 9026 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 < 𝑁)
24 dvdslelemd.lt . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑁 < 𝑀)
2522, 17, 12, 23, 24lttrd 8145 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 < 𝑀)
2622, 12, 25ltled 8138 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 ≤ 𝑀)
2726adantr 276 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐾 ≤ 0) → 0 ≤ 𝑀)
2819, 13, 21, 27mulge0d 8640 . . . . . . 7 ((𝜑𝐾 ≤ 0) → 0 ≤ (-𝐾 · 𝑀))
2914le0neg1d 8536 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐾 ≤ 0) → ((𝐾 · 𝑀) ≤ 0 ↔ 0 ≤ -(𝐾 · 𝑀)))
3010recnd 8048 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐾 ≤ 0) → 𝐾 ∈ ℂ)
3113recnd 8048 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐾 ≤ 0) → 𝑀 ∈ ℂ)
3230, 31mulneg1d 8430 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐾 ≤ 0) → (-𝐾 · 𝑀) = -(𝐾 · 𝑀))
3332breq2d 4041 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐾 ≤ 0) → (0 ≤ (-𝐾 · 𝑀) ↔ 0 ≤ -(𝐾 · 𝑀)))
3429, 33bitr4d 191 . . . . . . 7 ((𝜑𝐾 ≤ 0) → ((𝐾 · 𝑀) ≤ 0 ↔ 0 ≤ (-𝐾 · 𝑀)))
3528, 34mpbird 167 . . . . . 6 ((𝜑𝐾 ≤ 0) → (𝐾 · 𝑀) ≤ 0)
3623adantr 276 . . . . . 6 ((𝜑𝐾 ≤ 0) → 0 < 𝑁)
3714, 15, 18, 35, 36lelttrd 8144 . . . . 5 ((𝜑𝐾 ≤ 0) → (𝐾 · 𝑀) < 𝑁)
3837ex 115 . . . 4 (𝜑 → (𝐾 ≤ 0 → (𝐾 · 𝑀) < 𝑁))
3917adantr 276 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝐾) → 𝑁 ∈ ℝ)
4012adantr 276 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝐾) → 𝑀 ∈ ℝ)
419adantr 276 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝐾) → 𝐾 ∈ ℝ)
4241, 40remulcld 8050 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝐾) → (𝐾 · 𝑀) ∈ ℝ)
4324adantr 276 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝐾) → 𝑁 < 𝑀)
4426adantr 276 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝐾) → 0 ≤ 𝑀)
45 simpr 110 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝐾) → 1 ≤ 𝐾)
4640, 41, 44, 45lemulge12d 8957 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝐾) → 𝑀 ≤ (𝐾 · 𝑀))
4739, 40, 42, 43, 46ltletrd 8442 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝐾) → 𝑁 < (𝐾 · 𝑀))
4847ex 115 . . . 4 (𝜑 → (1 ≤ 𝐾𝑁 < (𝐾 · 𝑀)))
4938, 48orim12d 787 . . 3 (𝜑 → ((𝐾 ≤ 0 ∨ 1 ≤ 𝐾) → ((𝐾 · 𝑀) < 𝑁𝑁 < (𝐾 · 𝑀))))
508, 49mpd 13 . 2 (𝜑 → ((𝐾 · 𝑀) < 𝑁𝑁 < (𝐾 · 𝑀)))
51 zq 9691 . . . . 5 (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℚ)
521, 51syl 14 . . . 4 (𝜑𝐾 ∈ ℚ)
53 zq 9691 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℚ)
5411, 53syl 14 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℚ)
55 qmulcl 9702 . . . 4 ((𝐾 ∈ ℚ ∧ 𝑀 ∈ ℚ) → (𝐾 · 𝑀) ∈ ℚ)
5652, 54, 55syl2anc 411 . . 3 (𝜑 → (𝐾 · 𝑀) ∈ ℚ)
57 nnq 9698 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℚ)
5816, 57syl 14 . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℚ)
59 qlttri2 9706 . . 3 (((𝐾 · 𝑀) ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ) → ((𝐾 · 𝑀) ≠ 𝑁 ↔ ((𝐾 · 𝑀) < 𝑁𝑁 < (𝐾 · 𝑀))))
6056, 58, 59syl2anc 411 . 2 (𝜑 → ((𝐾 · 𝑀) ≠ 𝑁 ↔ ((𝐾 · 𝑀) < 𝑁𝑁 < (𝐾 · 𝑀))))
6150, 60mpbird 167 1 (𝜑 → (𝐾 · 𝑀) ≠ 𝑁)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105  wo 709  wcel 2164  wne 2364   class class class wbr 4029  (class class class)co 5918  cr 7871  0cc0 7872  1c1 7873   · cmul 7877   < clt 8054  cle 8055  -cneg 8191  cn 8982  cz 9317  cq 9684
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-mulrcl 7971  ax-addcom 7972  ax-mulcom 7973  ax-addass 7974  ax-mulass 7975  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-1rid 7979  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-precex 7982  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-apti 7987  ax-pre-ltadd 7988  ax-pre-mulgt0 7989  ax-pre-mulext 7990
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-po 4327  df-iso 4328  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-reap 8594  df-ap 8601  df-div 8692  df-inn 8983  df-n0 9241  df-z 9318  df-q 9685
This theorem is referenced by:  dvdsle  11986
  Copyright terms: Public domain W3C validator