Theorem dvdslelemd 12394

Description: Lemma for dvdsle 12395. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Nov-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvdslelemd.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
dvdslelemd.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
dvdslelemd.3	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
dvdslelemd.lt	⊢ (𝜑 → 𝑁 < 𝑀)

Assertion

Ref	Expression
dvdslelemd	⊢ (𝜑 → (𝐾 · 𝑀) ≠ 𝑁)

Proof of Theorem dvdslelemd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvdslelemd.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
2		0z 9480	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℤ
3		zlelttric 9514	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → (𝐾 ≤ 0 ∨ 0 < 𝐾))
4	1, 2, 3	sylancl 413	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ≤ 0 ∨ 0 < 𝐾))
5		zgt0ge1 9528	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (0 < 𝐾 ↔ 1 ≤ 𝐾))
6	1, 5	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0 < 𝐾 ↔ 1 ≤ 𝐾))
7	6	orbi2d 795	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 ≤ 0 ∨ 0 < 𝐾) ↔ (𝐾 ≤ 0 ∨ 1 ≤ 𝐾)))
8	4, 7	mpbid 147	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ≤ 0 ∨ 1 ≤ 𝐾))
9	1	zred 9592	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℝ)
10	9	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ≤ 0) → 𝐾 ∈ ℝ)
11		dvdslelemd.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
12	11	zred 9592	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
13	12	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ≤ 0) → 𝑀 ∈ ℝ)
14	10, 13	remulcld 8200	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ≤ 0) → (𝐾 · 𝑀) ∈ ℝ)
15		0red 8170	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ≤ 0) → 0 ∈ ℝ)
16		dvdslelemd.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
17	16	nnred 9146	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
18	17	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ≤ 0) → 𝑁 ∈ ℝ)
19	10	renegcld 8549	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ≤ 0) → -𝐾 ∈ ℝ)
20	9	le0neg1d 8687	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ≤ 0 ↔ 0 ≤ -𝐾))
21	20	biimpa 296	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ≤ 0) → 0 ≤ -𝐾)
22		0red 8170	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
23	16	nngt0d 9177	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑁)
24		dvdslelemd.lt	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑁 < 𝑀)
25	22, 17, 12, 23, 24	lttrd 8295	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑀)
26	22, 12, 25	ltled 8288	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑀)
27	26	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ≤ 0) → 0 ≤ 𝑀)
28	19, 13, 21, 27	mulge0d 8791	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ≤ 0) → 0 ≤ (-𝐾 · 𝑀))
29	14	le0neg1d 8687	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ≤ 0) → ((𝐾 · 𝑀) ≤ 0 ↔ 0 ≤ -(𝐾 · 𝑀)))
30	10	recnd 8198	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ≤ 0) → 𝐾 ∈ ℂ)
31	13	recnd 8198	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ≤ 0) → 𝑀 ∈ ℂ)
32	30, 31	mulneg1d 8580	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ≤ 0) → (-𝐾 · 𝑀) = -(𝐾 · 𝑀))
33	32	breq2d 4098	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ≤ 0) → (0 ≤ (-𝐾 · 𝑀) ↔ 0 ≤ -(𝐾 · 𝑀)))
34	29, 33	bitr4d 191	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ≤ 0) → ((𝐾 · 𝑀) ≤ 0 ↔ 0 ≤ (-𝐾 · 𝑀)))
35	28, 34	mpbird 167	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ≤ 0) → (𝐾 · 𝑀) ≤ 0)
36	23	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ≤ 0) → 0 < 𝑁)
37	14, 15, 18, 35, 36	lelttrd 8294	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ≤ 0) → (𝐾 · 𝑀) < 𝑁)
38	37	ex 115	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ≤ 0 → (𝐾 · 𝑀) < 𝑁))
39	17	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝐾) → 𝑁 ∈ ℝ)
40	12	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝐾) → 𝑀 ∈ ℝ)
41	9	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝐾) → 𝐾 ∈ ℝ)
42	41, 40	remulcld 8200	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝐾) → (𝐾 · 𝑀) ∈ ℝ)
43	24	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝐾) → 𝑁 < 𝑀)
44	26	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝐾) → 0 ≤ 𝑀)
45		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝐾) → 1 ≤ 𝐾)
46	40, 41, 44, 45	lemulge12d 9108	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝐾) → 𝑀 ≤ (𝐾 · 𝑀))
47	39, 40, 42, 43, 46	ltletrd 8593	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝐾) → 𝑁 < (𝐾 · 𝑀))
48	47	ex 115	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1 ≤ 𝐾 → 𝑁 < (𝐾 · 𝑀)))
49	38, 48	orim12d 791	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 ≤ 0 ∨ 1 ≤ 𝐾) → ((𝐾 · 𝑀) < 𝑁 ∨ 𝑁 < (𝐾 · 𝑀))))
50	8, 49	mpd 13	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 · 𝑀) < 𝑁 ∨ 𝑁 < (𝐾 · 𝑀)))
51		zq 9850	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℚ)
52	1, 51	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℚ)
53		zq 9850	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℚ)
54	11, 53	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℚ)
55		qmulcl 9861	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℚ ∧ 𝑀 ∈ ℚ) → (𝐾 · 𝑀) ∈ ℚ)
56	52, 54, 55	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 · 𝑀) ∈ ℚ)
57		nnq 9857	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℚ)
58	16, 57	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℚ)
59		qlttri2 9865	. . 3 ⊢ (((𝐾 · 𝑀) ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ) → ((𝐾 · 𝑀) ≠ 𝑁 ↔ ((𝐾 · 𝑀) < 𝑁 ∨ 𝑁 < (𝐾 · 𝑀))))
60	56, 58, 59	syl2anc 411	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 · 𝑀) ≠ 𝑁 ↔ ((𝐾 · 𝑀) < 𝑁 ∨ 𝑁 < (𝐾 · 𝑀))))
61	50, 60	mpbird 167	1 ⊢ (𝜑 → (𝐾 · 𝑀) ≠ 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 713   ∈ wcel 2200   ≠ wne 2400   class class class wbr 4086  (class class class)co 6013  ℝcr 8021  0cc0 8022  1c1 8023   · cmul 8027   < clt 8204   ≤ cle 8205  -cneg 8341  ℕcn 9133  ℤcz 9469  ℚcq 9843

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-cnex 8113  ax-resscn 8114  ax-1cn 8115  ax-1re 8116  ax-icn 8117  ax-addcl 8118  ax-addrcl 8119  ax-mulcl 8120  ax-mulrcl 8121  ax-addcom 8122  ax-mulcom 8123  ax-addass 8124  ax-mulass 8125  ax-distr 8126  ax-i2m1 8127  ax-0lt1 8128  ax-1rid 8129  ax-0id 8130  ax-rnegex 8131  ax-precex 8132  ax-cnre 8133  ax-pre-ltirr 8134  ax-pre-ltwlin 8135  ax-pre-lttrn 8136  ax-pre-apti 8137  ax-pre-ltadd 8138  ax-pre-mulgt0 8139  ax-pre-mulext 8140

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-id 4388  df-po 4391  df-iso 4392  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-fv 5332  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-1st 6298  df-2nd 6299  df-pnf 8206  df-mnf 8207  df-xr 8208  df-ltxr 8209  df-le 8210  df-sub 8342  df-neg 8343  df-reap 8745  df-ap 8752  df-div 8843  df-inn 9134  df-n0 9393  df-z 9470  df-q 9844

This theorem is referenced by:  dvdsle  12395