Theorem nngt0d 9348

Description: A positive integer is positive. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnge1d.1	|- ( ph -> A e. NN )

Assertion

Ref	Expression
nngt0d	|- ( ph -> 0 < A )

Proof of Theorem nngt0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnge1d.1	. 2 |- ( ph -> A e. NN )
2		nngt0 9329	. 2 |- ( A e. NN -> 0 < A )
3	1, 2	syl 14	1 |- ( ph -> 0 < A )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   e. wcel 2209   class class class wbr 4130   0cc0 8179   < clt 8360   NNcn 9304

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1re 8273  ax-addrcl 8276  ax-0lt1 8285  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-ltadd 8295

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-opab 4193  df-xp 4780  df-cnv 4782  df-iota 5337  df-fv 5385  df-ov 6088  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-inn 9305

This theorem is used by:  flqdiv  10758  modqmulnn  10779  modifeq2int  10823  modaddmodup  10824  modaddmodlo  10825  modsumfzodifsn  10833  addmodlteq  10835  facubnd  11183  fihashgt0  11246  resqrexlemdecn  11778  modfsummodlemstep  12224  divcnv  12264  cvgratnnlemabsle  12294  fprodmodd  12408  efcllemp  12425  ege2le3  12438  eftlub  12457  eflegeo  12468  eirraplem  12544  dvdslelemd  12610  dvdsmod  12629  mulmoddvds  12630  divalgmod  12694  bitsfzo  12722  bitsmod  12723  bitsinv1lem  12728  bezoutlemnewy  12773  bezoutlemstep  12774  sqgcd  12806  eucalglt  12835  qredeu  12875  prmind2  12898  nprm  12901  sqrt2irraplemnn  12957  divdenle  12975  qnumgt0  12976  hashdvds  12999  crth  13002  phimullem  13003  eulerthlema  13008  fermltl  13012  prmdiv  13013  prmdiveq  13014  odzdvds  13024  powm2modprm  13031  modprm0  13033  nnnn0modprm0  13034  pythagtriplem11  13053  pythagtriplem13  13055  pythagtriplem19  13061  pcadd  13119  pcfaclem  13128  qexpz  13131  pockthlem  13135  pockthg  13136  4sqlem5  13161  4sqlem6  13162  4sqlem10  13166  4sqlem12  13181  4sqlem14  13183  4sqlem16  13185  log2tlbndlog2  16082  birthdaylem3  16089  pellexlem2  16092  wilthlem1  16094  perfectlem2  16114  lgsvalmod  16138  lgsmod  16145  lgsdirprm  16153  gausslemma2dlem0i  16176  gausslemma2dlem5a  16184  gausslemma2dlem6  16186  gausslemma2d  16188  lgseisenlem1  16189  lgseisenlem2  16190  lgseisenlem3  16191  lgseisenlem4  16192  lgseisen  16193  lgsquadlem1  16196  lgsquadlem2  16197  2sqlem8  16242  clwwlkgt0  16637  clwwlknonex2  16680