Theorem nngt0d 9357

Description: A positive integer is positive. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnge1d.1	|- ( ph -> A e. NN )

Assertion

Ref	Expression
nngt0d	|- ( ph -> 0 < A )

Proof of Theorem nngt0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnge1d.1	. 2 |- ( ph -> A e. NN )
2		nngt0 9338	. 2 |- ( A e. NN -> 0 < A )
3	1, 2	syl 14	1 |- ( ph -> 0 < A )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   e. wcel 2209   class class class wbr 4131   0cc0 8185   < clt 8366   NNcn 9313

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1re 8279  ax-addrcl 8282  ax-0lt1 8291  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-ltadd 8301

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4132  df-opab 4194  df-xp 4782  df-cnv 4784  df-iota 5340  df-fv 5388  df-ov 6091  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-inn 9314

This theorem is used by:  flqdiv  10779  modqmulnn  10800  modifeq2int  10844  modaddmodup  10845  modaddmodlo  10846  modsumfzodifsn  10854  addmodlteq  10856  facubnd  11205  fihashgt0  11268  resqrexlemdecn  11800  modfsummodlemstep  12249  divcnv  12289  cvgratnnlemabsle  12319  fprodmodd  12433  efcllemp  12450  ege2le3  12463  eftlub  12482  eflegeo  12493  eirraplem  12569  dvdslelemd  12635  dvdsmod  12654  mulmoddvds  12655  divalgmod  12719  bitsfzo  12747  bitsmod  12748  bitsinv1lem  12753  bezoutlemnewy  12798  bezoutlemstep  12799  sqgcd  12831  eucalglt  12860  qredeu  12900  prmind2  12923  nprm  12926  sqrt2irraplemnn  12984  divdenle  13002  qnumgt0  13003  hashdvds  13028  crth  13031  phimullem  13032  eulerthlema  13037  fermltl  13041  prmdiv  13042  prmdiveq  13043  odzdvds  13053  powm2modprm  13060  modprm0  13062  nnnn0modprm0  13063  pythagtriplem11  13082  pythagtriplem13  13084  pythagtriplem19  13090  pcadd  13148  pcfaclem  13157  qexpz  13160  pockthlem  13164  pockthg  13165  4sqlem5  13190  4sqlem6  13191  4sqlem10  13195  4sqlem12  13210  4sqlem14  13212  4sqlem16  13214  log2tlbndlog2  16220  birthdaylem3  16227  pellexlem2  16230  wilthlem1  16232  perfectlem2  16300  bposlem1  16311  bposlem2  16312  bposlem6  16316  lgsvalmod  16343  lgsmod  16350  lgsdirprm  16358  gausslemma2dlem0i  16381  gausslemma2dlem5a  16389  gausslemma2dlem6  16391  gausslemma2d  16393  lgseisenlem1  16394  lgseisenlem2  16395  lgseisenlem3  16396  lgseisenlem4  16397  lgseisen  16398  lgsquadlem1  16401  lgsquadlem2  16402  2sqlem8  16447  clwwlkgt0  16842  clwwlknonex2  16885