Theorem nngt0d 9165

Description: A positive integer is positive. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnge1d.1	|- ( ph -> A e. NN )

Assertion

Ref	Expression
nngt0d	|- ( ph -> 0 < A )

Proof of Theorem nngt0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnge1d.1	. 2 |- ( ph -> A e. NN )
2		nngt0 9146	. 2 |- ( A e. NN -> 0 < A )
3	1, 2	syl 14	1 |- ( ph -> 0 < A )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2200   class class class wbr 4083   0cc0 8010   < clt 8192   NNcn 9121

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8101  ax-resscn 8102  ax-1re 8104  ax-addrcl 8107  ax-0lt1 8116  ax-0id 8118  ax-rnegex 8119  ax-pre-ltirr 8122  ax-pre-ltwlin 8123  ax-pre-lttrn 8124  ax-pre-ltadd 8126

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-xp 4725  df-cnv 4727  df-iota 5278  df-fv 5326  df-ov 6010  df-pnf 8194  df-mnf 8195  df-xr 8196  df-ltxr 8197  df-le 8198  df-inn 9122

This theorem is referenced by:  flqdiv  10555  modqmulnn  10576  modifeq2int  10620  modaddmodup  10621  modaddmodlo  10622  modsumfzodifsn  10630  addmodlteq  10632  facubnd  10979  fihashgt0  11040  resqrexlemdecn  11539  modfsummodlemstep  11984  divcnv  12024  cvgratnnlemabsle  12054  fprodmodd  12168  efcllemp  12185  ege2le3  12198  eftlub  12217  eflegeo  12228  eirraplem  12304  dvdslelemd  12370  dvdsmod  12389  mulmoddvds  12390  divalgmod  12454  bitsfzo  12482  bitsmod  12483  bitsinv1lem  12488  bezoutlemnewy  12533  bezoutlemstep  12534  sqgcd  12566  eucalglt  12595  qredeu  12635  prmind2  12658  nprm  12661  sqrt2irraplemnn  12717  divdenle  12735  qnumgt0  12736  hashdvds  12759  crth  12762  phimullem  12763  eulerthlema  12768  fermltl  12772  prmdiv  12773  prmdiveq  12774  odzdvds  12784  powm2modprm  12791  modprm0  12793  nnnn0modprm0  12794  pythagtriplem11  12813  pythagtriplem13  12815  pythagtriplem19  12821  pcadd  12879  pcfaclem  12888  qexpz  12891  pockthlem  12895  pockthg  12896  4sqlem5  12921  4sqlem6  12922  4sqlem10  12926  4sqlem12  12941  4sqlem14  12943  4sqlem16  12945  wilthlem1  15670  perfectlem2  15690  lgsvalmod  15714  lgsmod  15721  lgsdirprm  15729  gausslemma2dlem0i  15752  gausslemma2dlem5a  15760  gausslemma2dlem6  15762  gausslemma2d  15764  lgseisenlem1  15765  lgseisenlem2  15766  lgseisenlem3  15767  lgseisenlem4  15768  lgseisen  15769  lgsquadlem1  15772  lgsquadlem2  15773  2sqlem8  15818  clwwlkgt0  16139