Theorem nngt0d 8788

Description: A positive integer is positive. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnge1d.1	|- ( ph -> A e. NN )

Assertion

Ref	Expression
nngt0d	|- ( ph -> 0 < A )

Proof of Theorem nngt0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnge1d.1	. 2 |- ( ph -> A e. NN )
2		nngt0 8769	. 2 |- ( A e. NN -> 0 < A )
3	1, 2	syl 14	1 |- ( ph -> 0 < A )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 1481   class class class wbr 3937   0cc0 7644   < clt 7824   NNcn 8744

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736  ax-1re 7738  ax-addrcl 7741  ax-0lt1 7750  ax-0id 7752  ax-rnegex 7753  ax-pre-ltirr 7756  ax-pre-ltwlin 7757  ax-pre-lttrn 7758  ax-pre-ltadd 7760

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-rab 2426  df-v 2691  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-br 3938  df-opab 3998  df-xp 4553  df-cnv 4555  df-iota 5096  df-fv 5139  df-ov 5785  df-pnf 7826  df-mnf 7827  df-xr 7828  df-ltxr 7829  df-le 7830  df-inn 8745

This theorem is referenced by:  flqdiv  10125  modqmulnn  10146  modifeq2int  10190  modaddmodup  10191  modaddmodlo  10192  modsumfzodifsn  10200  addmodlteq  10202  facubnd  10523  resqrexlemdecn  10816  modfsummodlemstep  11258  divcnv  11298  cvgratnnlemabsle  11328  efcllemp  11401  ege2le3  11414  eftlub  11433  eflegeo  11444  eirraplem  11519  dvdslelemd  11577  dvdsmod  11596  mulmoddvds  11597  divalgmod  11660  bezoutlemnewy  11720  bezoutlemstep  11721  sqgcd  11753  eucalglt  11774  qredeu  11814  prmind2  11837  nprm  11840  sqrt2irraplemnn  11893  divdenle  11911  qnumgt0  11912  hashdvds  11933  crth  11936  phimullem  11937