Theorem nngt0d 9026

Description: A positive integer is positive. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnge1d.1	|- ( ph -> A e. NN )

Assertion

Ref	Expression
nngt0d	|- ( ph -> 0 < A )

Proof of Theorem nngt0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnge1d.1	. 2 |- ( ph -> A e. NN )
2		nngt0 9007	. 2 |- ( A e. NN -> 0 < A )
3	1, 2	syl 14	1 |- ( ph -> 0 < A )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2164   class class class wbr 4029   0cc0 7872   < clt 8054   NNcn 8982

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1re 7966  ax-addrcl 7969  ax-0lt1 7978  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-ltadd 7988

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-br 4030  df-opab 4091  df-xp 4665  df-cnv 4667  df-iota 5215  df-fv 5262  df-ov 5921  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-inn 8983

This theorem is referenced by:  flqdiv  10392  modqmulnn  10413  modifeq2int  10457  modaddmodup  10458  modaddmodlo  10459  modsumfzodifsn  10467  addmodlteq  10469  facubnd  10816  resqrexlemdecn  11156  modfsummodlemstep  11600  divcnv  11640  cvgratnnlemabsle  11670  fprodmodd  11784  efcllemp  11801  ege2le3  11814  eftlub  11833  eflegeo  11844  eirraplem  11920  dvdslelemd  11985  dvdsmod  12004  mulmoddvds  12005  divalgmod  12068  bezoutlemnewy  12133  bezoutlemstep  12134  sqgcd  12166  eucalglt  12195  qredeu  12235  prmind2  12258  nprm  12261  sqrt2irraplemnn  12317  divdenle  12335  qnumgt0  12336  hashdvds  12359  crth  12362  phimullem  12363  eulerthlema  12368  fermltl  12372  prmdiv  12373  prmdiveq  12374  odzdvds  12383  powm2modprm  12390  modprm0  12392  nnnn0modprm0  12393  pythagtriplem11  12412  pythagtriplem13  12414  pythagtriplem19  12420  pcadd  12478  pcfaclem  12487  qexpz  12490  pockthlem  12494  pockthg  12495  4sqlem5  12520  4sqlem6  12521  4sqlem10  12525  4sqlem12  12540  4sqlem14  12542  4sqlem16  12544  wilthlem1  15112  lgsvalmod  15135  lgsmod  15142  lgsdirprm  15150  gausslemma2dlem0i  15173  gausslemma2dlem5a  15181  gausslemma2dlem6  15183  gausslemma2d  15185  lgseisenlem1  15186  lgseisenlem2  15187  lgseisenlem3  15188  lgseisenlem4  15189  lgseisen  15190  lgsquadlem1  15191  2sqlem8  15210