Theorem nngt0d 8872

Description: A positive integer is positive. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnge1d.1	|- ( ph -> A e. NN )

Assertion

Ref	Expression
nngt0d	|- ( ph -> 0 < A )

Proof of Theorem nngt0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnge1d.1	. 2 |- ( ph -> A e. NN )
2		nngt0 8853	. 2 |- ( A e. NN -> 0 < A )
3	1, 2	syl 14	1 |- ( ph -> 0 < A )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2128   class class class wbr 3965   0cc0 7727   < clt 7907   NNcn 8828

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4082  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-setind 4495  ax-cnex 7818  ax-resscn 7819  ax-1re 7821  ax-addrcl 7824  ax-0lt1 7833  ax-0id 7835  ax-rnegex 7836  ax-pre-ltirr 7839  ax-pre-ltwlin 7840  ax-pre-lttrn 7841  ax-pre-ltadd 7843

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-rab 2444  df-v 2714  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-br 3966  df-opab 4026  df-xp 4591  df-cnv 4593  df-iota 5134  df-fv 5177  df-ov 5824  df-pnf 7909  df-mnf 7910  df-xr 7911  df-ltxr 7912  df-le 7913  df-inn 8829

This theorem is referenced by:  flqdiv  10215  modqmulnn  10236  modifeq2int  10280  modaddmodup  10281  modaddmodlo  10282  modsumfzodifsn  10290  addmodlteq  10292  facubnd  10614  resqrexlemdecn  10907  modfsummodlemstep  11349  divcnv  11389  cvgratnnlemabsle  11419  fprodmodd  11533  efcllemp  11550  ege2le3  11563  eftlub  11582  eflegeo  11593  eirraplem  11668  dvdslelemd  11729  dvdsmod  11748  mulmoddvds  11749  divalgmod  11812  bezoutlemnewy  11874  bezoutlemstep  11875  sqgcd  11907  eucalglt  11928  qredeu  11968  prmind2  11991  nprm  11994  sqrt2irraplemnn  12048  divdenle  12066  qnumgt0  12067  hashdvds  12088  crth  12091  phimullem  12092  eulerthlema  12097  fermltl  12101  prmdiv  12102  prmdiveq  12103