Theorem nngt0d 8963

Description: A positive integer is positive. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnge1d.1	|- ( ph -> A e. NN )

Assertion

Ref	Expression
nngt0d	|- ( ph -> 0 < A )

Proof of Theorem nngt0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnge1d.1	. 2 |- ( ph -> A e. NN )
2		nngt0 8944	. 2 |- ( A e. NN -> 0 < A )
3	1, 2	syl 14	1 |- ( ph -> 0 < A )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2148   class class class wbr 4004   0cc0 7811   < clt 7992   NNcn 8919

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4122  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1re 7905  ax-addrcl 7908  ax-0lt1 7917  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-pre-ltirr 7923  ax-pre-ltwlin 7924  ax-pre-lttrn 7925  ax-pre-ltadd 7927

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2740  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-br 4005  df-opab 4066  df-xp 4633  df-cnv 4635  df-iota 5179  df-fv 5225  df-ov 5878  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-xr 7996  df-ltxr 7997  df-le 7998  df-inn 8920

This theorem is referenced by:  flqdiv  10321  modqmulnn  10342  modifeq2int  10386  modaddmodup  10387  modaddmodlo  10388  modsumfzodifsn  10396  addmodlteq  10398  facubnd  10725  resqrexlemdecn  11021  modfsummodlemstep  11465  divcnv  11505  cvgratnnlemabsle  11535  fprodmodd  11649  efcllemp  11666  ege2le3  11679  eftlub  11698  eflegeo  11709  eirraplem  11784  dvdslelemd  11849  dvdsmod  11868  mulmoddvds  11869  divalgmod  11932  bezoutlemnewy  11997  bezoutlemstep  11998  sqgcd  12030  eucalglt  12057  qredeu  12097  prmind2  12120  nprm  12123  sqrt2irraplemnn  12179  divdenle  12197  qnumgt0  12198  hashdvds  12221  crth  12224  phimullem  12225  eulerthlema  12230  fermltl  12234  prmdiv  12235  prmdiveq  12236  odzdvds  12245  powm2modprm  12252  modprm0  12254  nnnn0modprm0  12255  pythagtriplem11  12274  pythagtriplem13  12276  pythagtriplem19  12282  pcadd  12339  pcfaclem  12347  qexpz  12350  pockthlem  12354  pockthg  12355  4sqlem5  12380  4sqlem6  12381  4sqlem10  12385  lgsvalmod  14423  lgsmod  14430  lgsdirprm  14438  lgseisenlem1  14453  lgseisenlem2  14454  2sqlem8  14473