Theorem nngt0d 9028

Description: A positive integer is positive. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnge1d.1	|- ( ph -> A e. NN )

Assertion

Ref	Expression
nngt0d	|- ( ph -> 0 < A )

Proof of Theorem nngt0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnge1d.1	. 2 |- ( ph -> A e. NN )
2		nngt0 9009	. 2 |- ( A e. NN -> 0 < A )
3	1, 2	syl 14	1 |- ( ph -> 0 < A )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2164   class class class wbr 4030   0cc0 7874   < clt 8056   NNcn 8984

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1re 7968  ax-addrcl 7971  ax-0lt1 7980  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-pre-ltirr 7986  ax-pre-ltwlin 7987  ax-pre-lttrn 7988  ax-pre-ltadd 7990

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-br 4031  df-opab 4092  df-xp 4666  df-cnv 4668  df-iota 5216  df-fv 5263  df-ov 5922  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-xr 8060  df-ltxr 8061  df-le 8062  df-inn 8985

This theorem is referenced by:  flqdiv  10395  modqmulnn  10416  modifeq2int  10460  modaddmodup  10461  modaddmodlo  10462  modsumfzodifsn  10470  addmodlteq  10472  facubnd  10819  resqrexlemdecn  11159  modfsummodlemstep  11603  divcnv  11643  cvgratnnlemabsle  11673  fprodmodd  11787  efcllemp  11804  ege2le3  11817  eftlub  11836  eflegeo  11847  eirraplem  11923  dvdslelemd  11988  dvdsmod  12007  mulmoddvds  12008  divalgmod  12071  bezoutlemnewy  12136  bezoutlemstep  12137  sqgcd  12169  eucalglt  12198  qredeu  12238  prmind2  12261  nprm  12264  sqrt2irraplemnn  12320  divdenle  12338  qnumgt0  12339  hashdvds  12362  crth  12365  phimullem  12366  eulerthlema  12371  fermltl  12375  prmdiv  12376  prmdiveq  12377  odzdvds  12386  powm2modprm  12393  modprm0  12395  nnnn0modprm0  12396  pythagtriplem11  12415  pythagtriplem13  12417  pythagtriplem19  12423  pcadd  12481  pcfaclem  12490  qexpz  12493  pockthlem  12497  pockthg  12498  4sqlem5  12523  4sqlem6  12524  4sqlem10  12528  4sqlem12  12543  4sqlem14  12545  4sqlem16  12547  wilthlem1  15153  lgsvalmod  15176  lgsmod  15183  lgsdirprm  15191  gausslemma2dlem0i  15214  gausslemma2dlem5a  15222  gausslemma2dlem6  15224  gausslemma2d  15226  lgseisenlem1  15227  lgseisenlem2  15228  lgseisenlem3  15229  lgseisenlem4  15230  lgseisen  15231  lgsquadlem1  15234  lgsquadlem2  15235  2sqlem8  15280