Theorem nngt0d 9051

Description: A positive integer is positive. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnge1d.1	|- ( ph -> A e. NN )

Assertion

Ref	Expression
nngt0d	|- ( ph -> 0 < A )

Proof of Theorem nngt0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnge1d.1	. 2 |- ( ph -> A e. NN )
2		nngt0 9032	. 2 |- ( A e. NN -> 0 < A )
3	1, 2	syl 14	1 |- ( ph -> 0 < A )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2167   class class class wbr 4034   0cc0 7896   < clt 8078   NNcn 9007

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1re 7990  ax-addrcl 7993  ax-0lt1 8002  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-ltwlin 8009  ax-pre-lttrn 8010  ax-pre-ltadd 8012

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-br 4035  df-opab 4096  df-xp 4670  df-cnv 4672  df-iota 5220  df-fv 5267  df-ov 5928  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-xr 8082  df-ltxr 8083  df-le 8084  df-inn 9008

This theorem is referenced by:  flqdiv  10430  modqmulnn  10451  modifeq2int  10495  modaddmodup  10496  modaddmodlo  10497  modsumfzodifsn  10505  addmodlteq  10507  facubnd  10854  resqrexlemdecn  11194  modfsummodlemstep  11639  divcnv  11679  cvgratnnlemabsle  11709  fprodmodd  11823  efcllemp  11840  ege2le3  11853  eftlub  11872  eflegeo  11883  eirraplem  11959  dvdslelemd  12025  dvdsmod  12044  mulmoddvds  12045  divalgmod  12109  bitsfzo  12137  bitsmod  12138  bitsinv1lem  12143  bezoutlemnewy  12188  bezoutlemstep  12189  sqgcd  12221  eucalglt  12250  qredeu  12290  prmind2  12313  nprm  12316  sqrt2irraplemnn  12372  divdenle  12390  qnumgt0  12391  hashdvds  12414  crth  12417  phimullem  12418  eulerthlema  12423  fermltl  12427  prmdiv  12428  prmdiveq  12429  odzdvds  12439  powm2modprm  12446  modprm0  12448  nnnn0modprm0  12449  pythagtriplem11  12468  pythagtriplem13  12470  pythagtriplem19  12476  pcadd  12534  pcfaclem  12543  qexpz  12546  pockthlem  12550  pockthg  12551  4sqlem5  12576  4sqlem6  12577  4sqlem10  12581  4sqlem12  12596  4sqlem14  12598  4sqlem16  12600  wilthlem1  15300  perfectlem2  15320  lgsvalmod  15344  lgsmod  15351  lgsdirprm  15359  gausslemma2dlem0i  15382  gausslemma2dlem5a  15390  gausslemma2dlem6  15392  gausslemma2d  15394  lgseisenlem1  15395  lgseisenlem2  15396  lgseisenlem3  15397  lgseisenlem4  15398  lgseisen  15399  lgsquadlem1  15402  lgsquadlem2  15403  2sqlem8  15448