Theorem nngt0d 9154

Description: A positive integer is positive. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnge1d.1	|- ( ph -> A e. NN )

Assertion

Ref	Expression
nngt0d	|- ( ph -> 0 < A )

Proof of Theorem nngt0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnge1d.1	. 2 |- ( ph -> A e. NN )
2		nngt0 9135	. 2 |- ( A e. NN -> 0 < A )
3	1, 2	syl 14	1 |- ( ph -> 0 < A )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2200   class class class wbr 4083   0cc0 7999   < clt 8181   NNcn 9110

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8090  ax-resscn 8091  ax-1re 8093  ax-addrcl 8096  ax-0lt1 8105  ax-0id 8107  ax-rnegex 8108  ax-pre-ltirr 8111  ax-pre-ltwlin 8112  ax-pre-lttrn 8113  ax-pre-ltadd 8115

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-xp 4725  df-cnv 4727  df-iota 5278  df-fv 5326  df-ov 6004  df-pnf 8183  df-mnf 8184  df-xr 8185  df-ltxr 8186  df-le 8187  df-inn 9111

This theorem is referenced by:  flqdiv  10543  modqmulnn  10564  modifeq2int  10608  modaddmodup  10609  modaddmodlo  10610  modsumfzodifsn  10618  addmodlteq  10620  facubnd  10967  resqrexlemdecn  11523  modfsummodlemstep  11968  divcnv  12008  cvgratnnlemabsle  12038  fprodmodd  12152  efcllemp  12169  ege2le3  12182  eftlub  12201  eflegeo  12212  eirraplem  12288  dvdslelemd  12354  dvdsmod  12373  mulmoddvds  12374  divalgmod  12438  bitsfzo  12466  bitsmod  12467  bitsinv1lem  12472  bezoutlemnewy  12517  bezoutlemstep  12518  sqgcd  12550  eucalglt  12579  qredeu  12619  prmind2  12642  nprm  12645  sqrt2irraplemnn  12701  divdenle  12719  qnumgt0  12720  hashdvds  12743  crth  12746  phimullem  12747  eulerthlema  12752  fermltl  12756  prmdiv  12757  prmdiveq  12758  odzdvds  12768  powm2modprm  12775  modprm0  12777  nnnn0modprm0  12778  pythagtriplem11  12797  pythagtriplem13  12799  pythagtriplem19  12805  pcadd  12863  pcfaclem  12872  qexpz  12875  pockthlem  12879  pockthg  12880  4sqlem5  12905  4sqlem6  12906  4sqlem10  12910  4sqlem12  12925  4sqlem14  12927  4sqlem16  12929  wilthlem1  15654  perfectlem2  15674  lgsvalmod  15698  lgsmod  15705  lgsdirprm  15713  gausslemma2dlem0i  15736  gausslemma2dlem5a  15744  gausslemma2dlem6  15746  gausslemma2d  15748  lgseisenlem1  15749  lgseisenlem2  15750  lgseisenlem3  15751  lgseisenlem4  15752  lgseisen  15753  lgsquadlem1  15756  lgsquadlem2  15757  2sqlem8  15802