Theorem nngt0d 9350

Description: A positive integer is positive. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnge1d.1	|- ( ph -> A e. NN )

Assertion

Ref	Expression
nngt0d	|- ( ph -> 0 < A )

Proof of Theorem nngt0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnge1d.1	. 2 |- ( ph -> A e. NN )
2		nngt0 9331	. 2 |- ( A e. NN -> 0 < A )
3	1, 2	syl 14	1 |- ( ph -> 0 < A )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   e. wcel 2209   class class class wbr 4130   0cc0 8179   < clt 8360   NNcn 9306

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1re 8273  ax-addrcl 8276  ax-0lt1 8285  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-ltadd 8295

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-opab 4193  df-xp 4780  df-cnv 4782  df-iota 5337  df-fv 5385  df-ov 6088  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-inn 9307

This theorem is used by:  flqdiv  10771  modqmulnn  10792  modifeq2int  10836  modaddmodup  10837  modaddmodlo  10838  modsumfzodifsn  10846  addmodlteq  10848  facubnd  11197  fihashgt0  11260  resqrexlemdecn  11792  modfsummodlemstep  12240  divcnv  12280  cvgratnnlemabsle  12310  fprodmodd  12424  efcllemp  12441  ege2le3  12454  eftlub  12473  eflegeo  12484  eirraplem  12560  dvdslelemd  12626  dvdsmod  12645  mulmoddvds  12646  divalgmod  12710  bitsfzo  12738  bitsmod  12739  bitsinv1lem  12744  bezoutlemnewy  12789  bezoutlemstep  12790  sqgcd  12822  eucalglt  12851  qredeu  12891  prmind2  12914  nprm  12917  sqrt2irraplemnn  12975  divdenle  12993  qnumgt0  12994  hashdvds  13019  crth  13022  phimullem  13023  eulerthlema  13028  fermltl  13032  prmdiv  13033  prmdiveq  13034  odzdvds  13044  powm2modprm  13051  modprm0  13053  nnnn0modprm0  13054  pythagtriplem11  13073  pythagtriplem13  13075  pythagtriplem19  13081  pcadd  13139  pcfaclem  13148  qexpz  13151  pockthlem  13155  pockthg  13156  4sqlem5  13181  4sqlem6  13182  4sqlem10  13186  4sqlem12  13201  4sqlem14  13203  4sqlem16  13205  log2tlbndlog2  16139  birthdaylem3  16146  pellexlem2  16149  wilthlem1  16151  perfectlem2  16198  bposlem1  16209  bposlem2  16210  lgsvalmod  16236  lgsmod  16243  lgsdirprm  16251  gausslemma2dlem0i  16274  gausslemma2dlem5a  16282  gausslemma2dlem6  16284  gausslemma2d  16286  lgseisenlem1  16287  lgseisenlem2  16288  lgseisenlem3  16289  lgseisenlem4  16290  lgseisen  16291  lgsquadlem1  16294  lgsquadlem2  16295  2sqlem8  16340  clwwlkgt0  16735  clwwlknonex2  16778