Theorem nngt0d 9034

Description: A positive integer is positive. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnge1d.1	|- ( ph -> A e. NN )

Assertion

Ref	Expression
nngt0d	|- ( ph -> 0 < A )

Proof of Theorem nngt0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnge1d.1	. 2 |- ( ph -> A e. NN )
2		nngt0 9015	. 2 |- ( A e. NN -> 0 < A )
3	1, 2	syl 14	1 |- ( ph -> 0 < A )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2167   class class class wbr 4033   0cc0 7879   < clt 8061   NNcn 8990

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1re 7973  ax-addrcl 7976  ax-0lt1 7985  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-ltadd 7995

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-br 4034  df-opab 4095  df-xp 4669  df-cnv 4671  df-iota 5219  df-fv 5266  df-ov 5925  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-inn 8991

This theorem is referenced by:  flqdiv  10413  modqmulnn  10434  modifeq2int  10478  modaddmodup  10479  modaddmodlo  10480  modsumfzodifsn  10488  addmodlteq  10490  facubnd  10837  resqrexlemdecn  11177  modfsummodlemstep  11622  divcnv  11662  cvgratnnlemabsle  11692  fprodmodd  11806  efcllemp  11823  ege2le3  11836  eftlub  11855  eflegeo  11866  eirraplem  11942  dvdslelemd  12008  dvdsmod  12027  mulmoddvds  12028  divalgmod  12092  bitsfzo  12119  bezoutlemnewy  12163  bezoutlemstep  12164  sqgcd  12196  eucalglt  12225  qredeu  12265  prmind2  12288  nprm  12291  sqrt2irraplemnn  12347  divdenle  12365  qnumgt0  12366  hashdvds  12389  crth  12392  phimullem  12393  eulerthlema  12398  fermltl  12402  prmdiv  12403  prmdiveq  12404  odzdvds  12414  powm2modprm  12421  modprm0  12423  nnnn0modprm0  12424  pythagtriplem11  12443  pythagtriplem13  12445  pythagtriplem19  12451  pcadd  12509  pcfaclem  12518  qexpz  12521  pockthlem  12525  pockthg  12526  4sqlem5  12551  4sqlem6  12552  4sqlem10  12556  4sqlem12  12571  4sqlem14  12573  4sqlem16  12575  wilthlem1  15216  perfectlem2  15236  lgsvalmod  15260  lgsmod  15267  lgsdirprm  15275  gausslemma2dlem0i  15298  gausslemma2dlem5a  15306  gausslemma2dlem6  15308  gausslemma2d  15310  lgseisenlem1  15311  lgseisenlem2  15312  lgseisenlem3  15313  lgseisenlem4  15314  lgseisen  15315  lgsquadlem1  15318  lgsquadlem2  15319  2sqlem8  15364