Theorem nngt0d 9115

Description: A positive integer is positive. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnge1d.1	|- ( ph -> A e. NN )

Assertion

Ref	Expression
nngt0d	|- ( ph -> 0 < A )

Proof of Theorem nngt0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnge1d.1	. 2 |- ( ph -> A e. NN )
2		nngt0 9096	. 2 |- ( A e. NN -> 0 < A )
3	1, 2	syl 14	1 |- ( ph -> 0 < A )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2178   class class class wbr 4059   0cc0 7960   < clt 8142   NNcn 9071

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1re 8054  ax-addrcl 8057  ax-0lt1 8066  ax-0id 8068  ax-rnegex 8069  ax-pre-ltirr 8072  ax-pre-ltwlin 8073  ax-pre-lttrn 8074  ax-pre-ltadd 8076

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-rab 2495  df-v 2778  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-br 4060  df-opab 4122  df-xp 4699  df-cnv 4701  df-iota 5251  df-fv 5298  df-ov 5970  df-pnf 8144  df-mnf 8145  df-xr 8146  df-ltxr 8147  df-le 8148  df-inn 9072

This theorem is referenced by:  flqdiv  10503  modqmulnn  10524  modifeq2int  10568  modaddmodup  10569  modaddmodlo  10570  modsumfzodifsn  10578  addmodlteq  10580  facubnd  10927  resqrexlemdecn  11438  modfsummodlemstep  11883  divcnv  11923  cvgratnnlemabsle  11953  fprodmodd  12067  efcllemp  12084  ege2le3  12097  eftlub  12116  eflegeo  12127  eirraplem  12203  dvdslelemd  12269  dvdsmod  12288  mulmoddvds  12289  divalgmod  12353  bitsfzo  12381  bitsmod  12382  bitsinv1lem  12387  bezoutlemnewy  12432  bezoutlemstep  12433  sqgcd  12465  eucalglt  12494  qredeu  12534  prmind2  12557  nprm  12560  sqrt2irraplemnn  12616  divdenle  12634  qnumgt0  12635  hashdvds  12658  crth  12661  phimullem  12662  eulerthlema  12667  fermltl  12671  prmdiv  12672  prmdiveq  12673  odzdvds  12683  powm2modprm  12690  modprm0  12692  nnnn0modprm0  12693  pythagtriplem11  12712  pythagtriplem13  12714  pythagtriplem19  12720  pcadd  12778  pcfaclem  12787  qexpz  12790  pockthlem  12794  pockthg  12795  4sqlem5  12820  4sqlem6  12821  4sqlem10  12825  4sqlem12  12840  4sqlem14  12842  4sqlem16  12844  wilthlem1  15567  perfectlem2  15587  lgsvalmod  15611  lgsmod  15618  lgsdirprm  15626  gausslemma2dlem0i  15649  gausslemma2dlem5a  15657  gausslemma2dlem6  15659  gausslemma2d  15661  lgseisenlem1  15662  lgseisenlem2  15663  lgseisenlem3  15664  lgseisenlem4  15665  lgseisen  15666  lgsquadlem1  15669  lgsquadlem2  15670  2sqlem8  15715