Theorem nngt0d 9357

Description: A positive integer is positive. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnge1d.1	|- ( ph -> A e. NN )

Assertion

Ref	Expression
nngt0d	|- ( ph -> 0 < A )

Proof of Theorem nngt0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnge1d.1	. 2 |- ( ph -> A e. NN )
2		nngt0 9338	. 2 |- ( A e. NN -> 0 < A )
3	1, 2	syl 14	1 |- ( ph -> 0 < A )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   e. wcel 2209   class class class wbr 4131   0cc0 8185   < clt 8366   NNcn 9313

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1re 8279  ax-addrcl 8282  ax-0lt1 8291  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-ltadd 8301

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4132  df-opab 4194  df-xp 4782  df-cnv 4784  df-iota 5340  df-fv 5388  df-ov 6091  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-inn 9314

This theorem is used by:  flqdiv  10778  modqmulnn  10799  modifeq2int  10843  modaddmodup  10844  modaddmodlo  10845  modsumfzodifsn  10853  addmodlteq  10855  facubnd  11204  fihashgt0  11267  resqrexlemdecn  11799  modfsummodlemstep  12248  divcnv  12288  cvgratnnlemabsle  12318  fprodmodd  12432  efcllemp  12449  ege2le3  12462  eftlub  12481  eflegeo  12492  eirraplem  12568  dvdslelemd  12634  dvdsmod  12653  mulmoddvds  12654  divalgmod  12718  bitsfzo  12746  bitsmod  12747  bitsinv1lem  12752  bezoutlemnewy  12797  bezoutlemstep  12798  sqgcd  12830  eucalglt  12859  qredeu  12899  prmind2  12922  nprm  12925  sqrt2irraplemnn  12983  divdenle  13001  qnumgt0  13002  hashdvds  13027  crth  13030  phimullem  13031  eulerthlema  13036  fermltl  13040  prmdiv  13041  prmdiveq  13042  odzdvds  13052  powm2modprm  13059  modprm0  13061  nnnn0modprm0  13062  pythagtriplem11  13081  pythagtriplem13  13083  pythagtriplem19  13089  pcadd  13147  pcfaclem  13156  qexpz  13159  pockthlem  13163  pockthg  13164  4sqlem5  13189  4sqlem6  13190  4sqlem10  13194  4sqlem12  13209  4sqlem14  13211  4sqlem16  13213  log2tlbndlog2  16237  birthdaylem3  16244  pellexlem2  16247  wilthlem1  16249  perfectlem2  16317  bposlem1  16328  bposlem2  16329  bposlem6  16333  lgsvalmod  16360  lgsmod  16367  lgsdirprm  16375  gausslemma2dlem0i  16398  gausslemma2dlem5a  16406  gausslemma2dlem6  16408  gausslemma2d  16410  lgseisenlem1  16411  lgseisenlem2  16412  lgseisenlem3  16413  lgseisenlem4  16414  lgseisen  16415  lgsquadlem1  16418  lgsquadlem2  16419  2sqlem8  16464  clwwlkgt0  16859  clwwlknonex2  16902