ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  eftcl Unicode version

Theorem eftcl 11158
Description: Closure of a term in the series expansion of the exponential function. (Contributed by Paul Chapman, 11-Sep-2007.)
Assertion
Ref Expression
eftcl  |-  ( ( A  e.  CC  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( ( A ^ K )  /  ( ! `  K )
)  e.  CC )

Proof of Theorem eftcl
StepHypRef Expression
1 expcl 10152 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( A ^ K
)  e.  CC )
2 faccl 10322 . . . 4  |-  ( K  e.  NN0  ->  ( ! `
 K )  e.  NN )
32nncnd 8592 . . 3  |-  ( K  e.  NN0  ->  ( ! `
 K )  e.  CC )
43adantl 273 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( ! `  K
)  e.  CC )
5 facne0 10324 . . . 4  |-  ( K  e.  NN0  ->  ( ! `
 K )  =/=  0 )
65adantl 273 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( ! `  K
)  =/=  0 )
72nnzd 9024 . . . 4  |-  ( K  e.  NN0  ->  ( ! `
 K )  e.  ZZ )
8 0zd 8918 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  K  e.  NN0 )  -> 
0  e.  ZZ )
9 zapne 8977 . . . 4  |-  ( ( ( ! `  K
)  e.  ZZ  /\  0  e.  ZZ )  ->  ( ( ! `  K ) #  0  <->  ( ! `  K )  =/=  0
) )
107, 8, 9syl2an2 564 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( ( ! `  K ) #  0  <->  ( ! `  K )  =/=  0
) )
116, 10mpbird 166 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( ! `  K
) #  0 )
121, 4, 11divclapd 8411 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( ( A ^ K )  /  ( ! `  K )
)  e.  CC )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    e. wcel 1448    =/= wne 2267   class class class wbr 3875   ` cfv 5059  (class class class)co 5706   CCcc 7498   0cc0 7500   # cap 8209    / cdiv 8293   NN0cn0 8829   ZZcz 8906   ^cexp 10133   !cfa 10312
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 584  ax-in2 585  ax-io 671  ax-5 1391  ax-7 1392  ax-gen 1393  ax-ie1 1437  ax-ie2 1438  ax-8 1450  ax-10 1451  ax-11 1452  ax-i12 1453  ax-bndl 1454  ax-4 1455  ax-13 1459  ax-14 1460  ax-17 1474  ax-i9 1478  ax-ial 1482  ax-i5r 1483  ax-ext 2082  ax-coll 3983  ax-sep 3986  ax-nul 3994  ax-pow 4038  ax-pr 4069  ax-un 4293  ax-setind 4390  ax-iinf 4440  ax-cnex 7586  ax-resscn 7587  ax-1cn 7588  ax-1re 7589  ax-icn 7590  ax-addcl 7591  ax-addrcl 7592  ax-mulcl 7593  ax-mulrcl 7594  ax-addcom 7595  ax-mulcom 7596  ax-addass 7597  ax-mulass 7598  ax-distr 7599  ax-i2m1 7600  ax-0lt1 7601  ax-1rid 7602  ax-0id 7603  ax-rnegex 7604  ax-precex 7605  ax-cnre 7606  ax-pre-ltirr 7607  ax-pre-ltwlin 7608  ax-pre-lttrn 7609  ax-pre-apti 7610  ax-pre-ltadd 7611  ax-pre-mulgt0 7612  ax-pre-mulext 7613
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 787  df-3or 931  df-3an 932  df-tru 1302  df-fal 1305  df-nf 1405  df-sb 1704  df-eu 1963  df-mo 1964  df-clab 2087  df-cleq 2093  df-clel 2096  df-nfc 2229  df-ne 2268  df-nel 2363  df-ral 2380  df-rex 2381  df-reu 2382  df-rmo 2383  df-rab 2384  df-v 2643  df-sbc 2863  df-csb 2956  df-dif 3023  df-un 3025  df-in 3027  df-ss 3034  df-nul 3311  df-if 3422  df-pw 3459  df-sn 3480  df-pr 3481  df-op 3483  df-uni 3684  df-int 3719  df-iun 3762  df-br 3876  df-opab 3930  df-mpt 3931  df-tr 3967  df-id 4153  df-po 4156  df-iso 4157  df-iord 4226  df-on 4228  df-ilim 4229  df-suc 4231  df-iom 4443  df-xp 4483  df-rel 4484  df-cnv 4485  df-co 4486  df-dm 4487  df-rn 4488  df-res 4489  df-ima 4490  df-iota 5024  df-fun 5061  df-fn 5062  df-f 5063  df-f1 5064  df-fo 5065  df-f1o 5066  df-fv 5067  df-riota 5662  df-ov 5709  df-oprab 5710  df-mpo 5711  df-1st 5969  df-2nd 5970  df-recs 6132  df-frec 6218  df-pnf 7674  df-mnf 7675  df-xr 7676  df-ltxr 7677  df-le 7678  df-sub 7806  df-neg 7807  df-reap 8203  df-ap 8210  df-div 8294  df-inn 8579  df-n0 8830  df-z 8907  df-uz 9177  df-seqfrec 10060  df-exp 10134  df-fac 10313
This theorem is referenced by:  eftvalcn  11161  efcllemp  11162  ef0lem  11164  efval  11165  eff  11167  efcvg  11170  efcvgfsum  11171  efcj  11177  efaddlem  11178  eftlcvg  11191  eftlcl  11192  eftlub  11194  efsep  11195  efgt1p  11200  eirraplem  11278
  Copyright terms: Public domain W3C validator