Theorem eftcl 11158

Description: Closure of a term in the series expansion of the exponential function. (Contributed by Paul Chapman, 11-Sep-2007.)

Assertion

Ref	Expression
eftcl	|- ( ( A e. CC /\ K e. NN0 ) -> ( ( A ^ K ) / ( ! ` K ) ) e. CC )

Proof of Theorem eftcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		expcl 10152	. 2 |- ( ( A e. CC /\ K e. NN0 ) -> ( A ^ K ) e. CC )
2		faccl 10322	. . . 4 |- ( K e. NN0 -> ( ! ` K ) e. NN )
3	2	nncnd 8592	. . 3 |- ( K e. NN0 -> ( ! ` K ) e. CC )
4	3	adantl 273	. 2 |- ( ( A e. CC /\ K e. NN0 ) -> ( ! ` K ) e. CC )
5		facne0 10324	. . . 4 |- ( K e. NN0 -> ( ! ` K ) =/= 0 )
6	5	adantl 273	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ K e. NN0 ) -> ( ! ` K ) =/= 0 )
7	2	nnzd 9024	. . . 4 |- ( K e. NN0 -> ( ! ` K ) e. ZZ )
8		0zd 8918	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ K e. NN0 ) -> 0 e. ZZ )
9		zapne 8977	. . . 4 |- ( ( ( ! ` K ) e. ZZ /\ 0 e. ZZ ) -> ( ( ! ` K ) # 0 <-> ( ! ` K ) =/= 0 ) )
10	7, 8, 9	syl2an2 564	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ K e. NN0 ) -> ( ( ! ` K ) # 0 <-> ( ! ` K ) =/= 0 ) )
11	6, 10	mpbird 166	. 2 |- ( ( A e. CC /\ K e. NN0 ) -> ( ! ` K ) # 0 )
12	1, 4, 11	divclapd 8411	1 |- ( ( A e. CC /\ K e. NN0 ) -> ( ( A ^ K ) / ( ! ` K ) ) e. CC )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   e. wcel 1448   =/= wne 2267   class class class wbr 3875   ` cfv 5059  (class class class)co 5706   CCcc 7498   0cc0 7500   # cap 8209   / cdiv 8293   NN0cn0 8829   ZZcz 8906   ^cexp 10133   !cfa 10312

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 584  ax-in2 585  ax-io 671  ax-5 1391  ax-7 1392  ax-gen 1393  ax-ie1 1437  ax-ie2 1438  ax-8 1450  ax-10 1451  ax-11 1452  ax-i12 1453  ax-bndl 1454  ax-4 1455  ax-13 1459  ax-14 1460  ax-17 1474  ax-i9 1478  ax-ial 1482  ax-i5r 1483  ax-ext 2082  ax-coll 3983  ax-sep 3986  ax-nul 3994  ax-pow 4038  ax-pr 4069  ax-un 4293  ax-setind 4390  ax-iinf 4440  ax-cnex 7586  ax-resscn 7587  ax-1cn 7588  ax-1re 7589  ax-icn 7590  ax-addcl 7591  ax-addrcl 7592  ax-mulcl 7593  ax-mulrcl 7594  ax-addcom 7595  ax-mulcom 7596  ax-addass 7597  ax-mulass 7598  ax-distr 7599  ax-i2m1 7600  ax-0lt1 7601  ax-1rid 7602  ax-0id 7603  ax-rnegex 7604  ax-precex 7605  ax-cnre 7606  ax-pre-ltirr 7607  ax-pre-ltwlin 7608  ax-pre-lttrn 7609  ax-pre-apti 7610  ax-pre-ltadd 7611  ax-pre-mulgt0 7612  ax-pre-mulext 7613

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 787  df-3or 931  df-3an 932  df-tru 1302  df-fal 1305  df-nf 1405  df-sb 1704  df-eu 1963  df-mo 1964  df-clab 2087  df-cleq 2093  df-clel 2096  df-nfc 2229  df-ne 2268  df-nel 2363  df-ral 2380  df-rex 2381  df-reu 2382  df-rmo 2383  df-rab 2384  df-v 2643  df-sbc 2863  df-csb 2956  df-dif 3023  df-un 3025  df-in 3027  df-ss 3034  df-nul 3311  df-if 3422  df-pw 3459  df-sn 3480  df-pr 3481  df-op 3483  df-uni 3684  df-int 3719  df-iun 3762  df-br 3876  df-opab 3930  df-mpt 3931  df-tr 3967  df-id 4153  df-po 4156  df-iso 4157  df-iord 4226  df-on 4228  df-ilim 4229  df-suc 4231  df-iom 4443  df-xp 4483  df-rel 4484  df-cnv 4485  df-co 4486  df-dm 4487  df-rn 4488  df-res 4489  df-ima 4490  df-iota 5024  df-fun 5061  df-fn 5062  df-f 5063  df-f1 5064  df-fo 5065  df-f1o 5066  df-fv 5067  df-riota 5662  df-ov 5709  df-oprab 5710  df-mpo 5711  df-1st 5969  df-2nd 5970  df-recs 6132  df-frec 6218  df-pnf 7674  df-mnf 7675  df-xr 7676  df-ltxr 7677  df-le 7678  df-sub 7806  df-neg 7807  df-reap 8203  df-ap 8210  df-div 8294  df-inn 8579  df-n0 8830  df-z 8907  df-uz 9177  df-seqfrec 10060  df-exp 10134  df-fac 10313

This theorem is referenced by:  eftvalcn  11161  efcllemp  11162  ef0lem  11164  efval  11165  eff  11167  efcvg  11170  efcvgfsum  11171  efcj  11177  efaddlem  11178  eftlcvg  11191  eftlcl  11192  eftlub  11194  efsep  11195  efgt1p  11200  eirraplem  11278