Theorem eftcl 11965

Description: Closure of a term in the series expansion of the exponential function. (Contributed by Paul Chapman, 11-Sep-2007.)

Assertion

Ref	Expression
eftcl	|- ( ( A e. CC /\ K e. NN0 ) -> ( ( A ^ K ) / ( ! ` K ) ) e. CC )

Proof of Theorem eftcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		expcl 10702	. 2 |- ( ( A e. CC /\ K e. NN0 ) -> ( A ^ K ) e. CC )
2		faccl 10880	. . . 4 |- ( K e. NN0 -> ( ! ` K ) e. NN )
3	2	nncnd 9050	. . 3 |- ( K e. NN0 -> ( ! ` K ) e. CC )
4	3	adantl 277	. 2 |- ( ( A e. CC /\ K e. NN0 ) -> ( ! ` K ) e. CC )
5		facne0 10882	. . . 4 |- ( K e. NN0 -> ( ! ` K ) =/= 0 )
6	5	adantl 277	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ K e. NN0 ) -> ( ! ` K ) =/= 0 )
7	2	nnzd 9494	. . . 4 |- ( K e. NN0 -> ( ! ` K ) e. ZZ )
8		0zd 9384	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ K e. NN0 ) -> 0 e. ZZ )
9		zapne 9447	. . . 4 |- ( ( ( ! ` K ) e. ZZ /\ 0 e. ZZ ) -> ( ( ! ` K ) # 0 <-> ( ! ` K ) =/= 0 ) )
10	7, 8, 9	syl2an2 594	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ K e. NN0 ) -> ( ( ! ` K ) # 0 <-> ( ! ` K ) =/= 0 ) )
11	6, 10	mpbird 167	. 2 |- ( ( A e. CC /\ K e. NN0 ) -> ( ! ` K ) # 0 )
12	1, 4, 11	divclapd 8863	1 |- ( ( A e. CC /\ K e. NN0 ) -> ( ( A ^ K ) / ( ! ` K ) ) e. CC )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2176   =/= wne 2376   class class class wbr 4044   ` cfv 5271  (class class class)co 5944   CCcc 7923   0cc0 7925   # cap 8654   / cdiv 8745   NN0cn0 9295   ZZcz 9372   ^cexp 10683   !cfa 10870

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-coll 4159  ax-sep 4162  ax-nul 4170  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-iinf 4636  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017  ax-1cn 8018  ax-1re 8019  ax-icn 8020  ax-addcl 8021  ax-addrcl 8022  ax-mulcl 8023  ax-mulrcl 8024  ax-addcom 8025  ax-mulcom 8026  ax-addass 8027  ax-mulass 8028  ax-distr 8029  ax-i2m1 8030  ax-0lt1 8031  ax-1rid 8032  ax-0id 8033  ax-rnegex 8034  ax-precex 8035  ax-cnre 8036  ax-pre-ltirr 8037  ax-pre-ltwlin 8038  ax-pre-lttrn 8039  ax-pre-apti 8040  ax-pre-ltadd 8041  ax-pre-mulgt0 8042  ax-pre-mulext 8043

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rmo 2492  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-if 3572  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-iun 3929  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-tr 4143  df-id 4340  df-po 4343  df-iso 4344  df-iord 4413  df-on 4415  df-ilim 4416  df-suc 4418  df-iom 4639  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-ima 4688  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-riota 5899  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-1st 6226  df-2nd 6227  df-recs 6391  df-frec 6477  df-pnf 8109  df-mnf 8110  df-xr 8111  df-ltxr 8112  df-le 8113  df-sub 8245  df-neg 8246  df-reap 8648  df-ap 8655  df-div 8746  df-inn 9037  df-n0 9296  df-z 9373  df-uz 9649  df-seqfrec 10593  df-exp 10684  df-fac 10871

This theorem is referenced by:  eftvalcn  11968  efcllemp  11969  ef0lem  11971  efval  11972  eff  11974  efcvg  11977  efcvgfsum  11978  efcj  11984  efaddlem  11985  eftlcvg  11998  eftlcl  11999  eftlub  12001  efsep  12002  efgt1p  12007  eirraplem  12088