Theorem eupthsg 16566

Description: The Eulerian paths on the graph G. (Contributed by AV, 18-Feb-2021.) (Revised by AV, 29-Oct-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
eupths.i	|- I = (iEdg ` G )

Assertion

Ref	Expression
eupthsg	|- ( G e. V -> (EulerPaths ` G ) = { <. f , p >. | ( f (Trails ` G ) p /\ f : ( 0..^ (♯ ` f ) ) -onto-> dom I ) } )

Distinct variable group:   f, G, p

Allowed substitution hints:   I( f, p)   V( f, p)

Proof of Theorem eupthsg

Dummy variable g is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-eupth 16564	. 2 |- EulerPaths = ( g e. _V |-> { <. f , p >. | ( f (Trails ` g ) p /\ f : ( 0..^ (♯ ` f ) ) -onto-> dom (iEdg ` g ) ) } )
2		fveq2 5675	. . . . 5 |- ( g = G -> (Trails ` g ) = (Trails ` G ) )
3	2	breqd 4125	. . . 4 |- ( g = G -> ( f (Trails ` g ) p <-> f (Trails ` G ) p ) )
4		fveq2 5675	. . . . . . 7 |- ( g = G -> (iEdg ` g ) = (iEdg ` G ) )
5		eupths.i	. . . . . . 7 |- I = (iEdg ` G )
6	4, 5	eqtr4di 2285	. . . . . 6 |- ( g = G -> (iEdg ` g ) = I )
7	6	dmeqd 4963	. . . . 5 |- ( g = G -> dom (iEdg ` g ) = dom I )
8		foeq3 5593	. . . . 5 |- ( dom (iEdg ` g ) = dom I -> ( f : ( 0..^ (♯ ` f ) ) -onto-> dom (iEdg ` g ) <-> f : ( 0..^ (♯ ` f ) ) -onto-> dom I ) )
9	7, 8	syl 14	. . . 4 |- ( g = G -> ( f : ( 0..^ (♯ ` f ) ) -onto-> dom (iEdg ` g ) <-> f : ( 0..^ (♯ ` f ) ) -onto-> dom I ) )
10	3, 9	anbi12d 473	. . 3 |- ( g = G -> ( ( f (Trails ` g ) p /\ f : ( 0..^ (♯ ` f ) ) -onto-> dom (iEdg ` g ) ) <-> ( f (Trails ` G ) p /\ f : ( 0..^ (♯ ` f ) ) -onto-> dom I ) ) )
11	10	opabbidv 4181	. 2 |- ( g = G -> { <. f , p >. | ( f (Trails ` g ) p /\ f : ( 0..^ (♯ ` f ) ) -onto-> dom (iEdg ` g ) ) } = { <. f , p >. | ( f (Trails ` G ) p /\ f : ( 0..^ (♯ ` f ) ) -onto-> dom I ) } )
12		elex 2827	. 2 |- ( G e. V -> G e. _V )
13		trlsex 16508	. . 3 |- ( G e. V -> (Trails ` G ) e. _V )
14		simpl 109	. . . . . 6 |- ( ( f (Trails ` G ) p /\ f : ( 0..^ (♯ ` f ) ) -onto-> dom I ) -> f (Trails ` G ) p )
15	14	ssopab2i 4401	. . . . 5 |- { <. f , p >. | ( f (Trails ` G ) p /\ f : ( 0..^ (♯ ` f ) ) -onto-> dom I ) } C_ { <. f , p >. | f (Trails ` G ) p }
16		opabss 4179	. . . . 5 |- { <. f , p >. | f (Trails ` G ) p } C_ (Trails ` G )
17	15, 16	sstri 3251	. . . 4 |- { <. f , p >. | ( f (Trails ` G ) p /\ f : ( 0..^ (♯ ` f ) ) -onto-> dom I ) } C_ (Trails ` G )
18	17	a1i 9	. . 3 |- ( G e. V -> { <. f , p >. | ( f (Trails ` G ) p /\ f : ( 0..^ (♯ ` f ) ) -onto-> dom I ) } C_ (Trails ` G ) )
19	13, 18	ssexd 4255	. 2 |- ( G e. V -> { <. f , p >. | ( f (Trails ` G ) p /\ f : ( 0..^ (♯ ` f ) ) -onto-> dom I ) } e. _V )
20	1, 11, 12, 19	fvmptd3 5776	1 |- ( G e. V -> (EulerPaths ` G ) = { <. f , p >. | ( f (Trails ` G ) p /\ f : ( 0..^ (♯ ` f ) ) -onto-> dom I ) } )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1398   e. wcel 2205   _Vcvv 2815   C_ wss 3214   class class class wbr 4114   {copab 4175   dom cdm 4754   -onto->wfo 5355   ` cfv 5357  (class class class)co 6058   0cc0 8143  ..^cfzo 10498  ♯chash 11163  iEdgciedg 16134  Trailsctrls 16501  EulerPathsceupth 16563

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-addcom 8243  ax-mulcom 8244  ax-addass 8245  ax-mulass 8246  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-1rid 8250  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-apti 8258  ax-pre-ltadd 8259

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-ifp 987  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3625  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-iord 4492  df-on 4494  df-ilim 4495  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-recs 6549  df-frec 6635  df-1o 6660  df-er 6780  df-map 6897  df-en 6989  df-dom 6990  df-fin 6991  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-inn 9255  df-2 9313  df-3 9314  df-4 9315  df-5 9316  df-6 9317  df-7 9318  df-8 9319  df-9 9320  df-n0 9514  df-z 9595  df-dec 9728  df-uz 9872  df-fz 10362  df-fzo 10499  df-ihash 11164  df-word 11250  df-ndx 13299  df-slot 13300  df-base 13302  df-edgf 16126  df-vtx 16135  df-iedg 16136  df-wlks 16439  df-trls 16502  df-eupth 16564

This theorem is referenced by:  eupthv  16567  iseupth  16568