Theorem eupthsg 16603

Description: The Eulerian paths on the graph G. (Contributed by AV, 18-Feb-2021.) (Revised by AV, 29-Oct-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
eupths.i	|- I = (iEdg ` G )

Assertion

Ref	Expression
eupthsg	|- ( G e. V -> (EulerPaths ` G ) = { <. f , p >. | ( f (Trails ` G ) p /\ f : ( 0..^ (♯ ` f ) ) -onto-> dom I ) } )

Distinct variable group:   f, G, p

Allowed substitution hints:   I( f, p)   V( f, p)

Proof of Theorem eupthsg

Dummy variable g is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-eupth 16601	. 2 |- EulerPaths = ( g e. _V |-> { <. f , p >. | ( f (Trails ` g ) p /\ f : ( 0..^ (♯ ` f ) ) -onto-> dom (iEdg ` g ) ) } )
2		fveq2 5693	. . . . 5 |- ( g = G -> (Trails ` g ) = (Trails ` G ) )
3	2	breqd 4139	. . . 4 |- ( g = G -> ( f (Trails ` g ) p <-> f (Trails ` G ) p ) )
4		fveq2 5693	. . . . . . 7 |- ( g = G -> (iEdg ` g ) = (iEdg ` G ) )
5		eupths.i	. . . . . . 7 |- I = (iEdg ` G )
6	4, 5	eqtr4di 2289	. . . . . 6 |- ( g = G -> (iEdg ` g ) = I )
7	6	dmeqd 4981	. . . . 5 |- ( g = G -> dom (iEdg ` g ) = dom I )
8		foeq3 5611	. . . . 5 |- ( dom (iEdg ` g ) = dom I -> ( f : ( 0..^ (♯ ` f ) ) -onto-> dom (iEdg ` g ) <-> f : ( 0..^ (♯ ` f ) ) -onto-> dom I ) )
9	7, 8	syl 14	. . . 4 |- ( g = G -> ( f : ( 0..^ (♯ ` f ) ) -onto-> dom (iEdg ` g ) <-> f : ( 0..^ (♯ ` f ) ) -onto-> dom I ) )
10	3, 9	anbi12d 477	. . 3 |- ( g = G -> ( ( f (Trails ` g ) p /\ f : ( 0..^ (♯ ` f ) ) -onto-> dom (iEdg ` g ) ) <-> ( f (Trails ` G ) p /\ f : ( 0..^ (♯ ` f ) ) -onto-> dom I ) ) )
11	10	opabbidv 4195	. 2 |- ( g = G -> { <. f , p >. | ( f (Trails ` g ) p /\ f : ( 0..^ (♯ ` f ) ) -onto-> dom (iEdg ` g ) ) } = { <. f , p >. | ( f (Trails ` G ) p /\ f : ( 0..^ (♯ ` f ) ) -onto-> dom I ) } )
12		elex 2833	. 2 |- ( G e. V -> G e. _V )
13		trlsex 16545	. . 3 |- ( G e. V -> (Trails ` G ) e. _V )
14		simpl 109	. . . . . 6 |- ( ( f (Trails ` G ) p /\ f : ( 0..^ (♯ ` f ) ) -onto-> dom I ) -> f (Trails ` G ) p )
15	14	ssopab2i 4418	. . . . 5 |- { <. f , p >. | ( f (Trails ` G ) p /\ f : ( 0..^ (♯ ` f ) ) -onto-> dom I ) } C_ { <. f , p >. | f (Trails ` G ) p }
16		opabss 4193	. . . . 5 |- { <. f , p >. | f (Trails ` G ) p } C_ (Trails ` G )
17	15, 16	sstri 3257	. . . 4 |- { <. f , p >. | ( f (Trails ` G ) p /\ f : ( 0..^ (♯ ` f ) ) -onto-> dom I ) } C_ (Trails ` G )
18	17	a1i 9	. . 3 |- ( G e. V -> { <. f , p >. | ( f (Trails ` G ) p /\ f : ( 0..^ (♯ ` f ) ) -onto-> dom I ) } C_ (Trails ` G ) )
19	13, 18	ssexd 4271	. 2 |- ( G e. V -> { <. f , p >. | ( f (Trails ` G ) p /\ f : ( 0..^ (♯ ` f ) ) -onto-> dom I ) } e. _V )
20	1, 11, 12, 19	fvmptd3 5796	1 |- ( G e. V -> (EulerPaths ` G ) = { <. f , p >. | ( f (Trails ` G ) p /\ f : ( 0..^ (♯ ` f ) ) -onto-> dom I ) } )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1402   e. wcel 2209   _Vcvv 2821   C_ wss 3220   class class class wbr 4128   {copab 4189   dom cdm 4772   -onto->wfo 5373   ` cfv 5375  (class class class)co 6078   0cc0 8172  ..^cfzo 10530  ♯chash 11195  iEdgciedg 16171  Trailsctrls 16538  EulerPathsceupth 16600

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4244  ax-sep 4247  ax-nul 4257  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-iinf 4733  ax-cnex 8263  ax-resscn 8264  ax-1cn 8265  ax-1re 8266  ax-icn 8267  ax-addcl 8268  ax-addrcl 8269  ax-mulcl 8270  ax-addcom 8272  ax-mulcom 8273  ax-addass 8274  ax-mulass 8275  ax-distr 8276  ax-i2m1 8277  ax-0lt1 8278  ax-1rid 8279  ax-0id 8280  ax-rnegex 8281  ax-cnre 8283  ax-pre-ltirr 8284  ax-pre-ltwlin 8285  ax-pre-lttrn 8286  ax-pre-apti 8287  ax-pre-ltadd 8288

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-ifp 991  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-iun 4012  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-tr 4228  df-id 4436  df-iord 4509  df-on 4511  df-ilim 4512  df-suc 4514  df-iom 4736  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-fv 5383  df-riota 6031  df-ov 6081  df-oprab 6082  df-mpo 6083  df-1st 6367  df-2nd 6368  df-recs 6569  df-frec 6655  df-1o 6680  df-er 6800  df-map 6917  df-en 7016  df-dom 7017  df-fin 7018  df-pnf 8355  df-mnf 8356  df-xr 8357  df-ltxr 8358  df-le 8359  df-sub 8492  df-neg 8493  df-inn 9287  df-2 9345  df-3 9346  df-4 9347  df-5 9348  df-6 9349  df-7 9350  df-8 9351  df-9 9352  df-n0 9546  df-z 9627  df-dec 9760  df-uz 9904  df-fz 10394  df-fzo 10531  df-ihash 11196  df-word 11286  df-ndx 13336  df-slot 13337  df-base 13339  df-edgf 16163  df-vtx 16172  df-iedg 16173  df-wlks 16476  df-trls 16539  df-eupth 16601

This theorem is referenced by:  eupthv  16604  iseupth  16605