Theorem eupthsg 16295

Description: The Eulerian paths on the graph 𝐺. (Contributed by AV, 18-Feb-2021.) (Revised by AV, 29-Oct-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
eupths.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
eupthsg	⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (EulerPaths‘𝐺) = {⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ (𝑓(Trails‘𝐺)𝑝 ∧ 𝑓:(0..^(♯‘𝑓))–onto→dom 𝐼)})

Distinct variable group:   𝑓,𝐺,𝑝

Allowed substitution hints:   𝐼(𝑓,𝑝)   𝑉(𝑓,𝑝)

Proof of Theorem eupthsg

Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-eupth 16293	. 2 ⊢ EulerPaths = (𝑔 ∈ V ↦ {⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ (𝑓(Trails‘𝑔)𝑝 ∧ 𝑓:(0..^(♯‘𝑓))–onto→dom (iEdg‘𝑔))})
2		fveq2 5639	. . . . 5 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (Trails‘𝑔) = (Trails‘𝐺))
3	2	breqd 4099	. . . 4 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (𝑓(Trails‘𝑔)𝑝 ↔ 𝑓(Trails‘𝐺)𝑝))
4		fveq2 5639	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (iEdg‘𝑔) = (iEdg‘𝐺))
5		eupths.i	. . . . . . 7 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
6	4, 5	eqtr4di 2282	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (iEdg‘𝑔) = 𝐼)
7	6	dmeqd 4933	. . . . 5 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → dom (iEdg‘𝑔) = dom 𝐼)
8		foeq3 5557	. . . . 5 ⊢ (dom (iEdg‘𝑔) = dom 𝐼 → (𝑓:(0..^(♯‘𝑓))–onto→dom (iEdg‘𝑔) ↔ 𝑓:(0..^(♯‘𝑓))–onto→dom 𝐼))
9	7, 8	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (𝑓:(0..^(♯‘𝑓))–onto→dom (iEdg‘𝑔) ↔ 𝑓:(0..^(♯‘𝑓))–onto→dom 𝐼))
10	3, 9	anbi12d 473	. . 3 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → ((𝑓(Trails‘𝑔)𝑝 ∧ 𝑓:(0..^(♯‘𝑓))–onto→dom (iEdg‘𝑔)) ↔ (𝑓(Trails‘𝐺)𝑝 ∧ 𝑓:(0..^(♯‘𝑓))–onto→dom 𝐼)))
11	10	opabbidv 4155	. 2 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → {⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ (𝑓(Trails‘𝑔)𝑝 ∧ 𝑓:(0..^(♯‘𝑓))–onto→dom (iEdg‘𝑔))} = {⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ (𝑓(Trails‘𝐺)𝑝 ∧ 𝑓:(0..^(♯‘𝑓))–onto→dom 𝐼)})
12		elex 2814	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → 𝐺 ∈ V)
13		trlsex 16237	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (Trails‘𝐺) ∈ V)
14		simpl 109	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓(Trails‘𝐺)𝑝 ∧ 𝑓:(0..^(♯‘𝑓))–onto→dom 𝐼) → 𝑓(Trails‘𝐺)𝑝)
15	14	ssopab2i 4372	. . . . 5 ⊢ {⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ (𝑓(Trails‘𝐺)𝑝 ∧ 𝑓:(0..^(♯‘𝑓))–onto→dom 𝐼)} ⊆ {⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ 𝑓(Trails‘𝐺)𝑝}
16		opabss 4153	. . . . 5 ⊢ {⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ 𝑓(Trails‘𝐺)𝑝} ⊆ (Trails‘𝐺)
17	15, 16	sstri 3236	. . . 4 ⊢ {⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ (𝑓(Trails‘𝐺)𝑝 ∧ 𝑓:(0..^(♯‘𝑓))–onto→dom 𝐼)} ⊆ (Trails‘𝐺)
18	17	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → {⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ (𝑓(Trails‘𝐺)𝑝 ∧ 𝑓:(0..^(♯‘𝑓))–onto→dom 𝐼)} ⊆ (Trails‘𝐺))
19	13, 18	ssexd 4229	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → {⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ (𝑓(Trails‘𝐺)𝑝 ∧ 𝑓:(0..^(♯‘𝑓))–onto→dom 𝐼)} ∈ V)
20	1, 11, 12, 19	fvmptd3 5740	1 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (EulerPaths‘𝐺) = {⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ (𝑓(Trails‘𝐺)𝑝 ∧ 𝑓:(0..^(♯‘𝑓))–onto→dom 𝐼)})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1397   ∈ wcel 2202  Vcvv 2802   ⊆ wss 3200   class class class wbr 4088  {copab 4149  dom cdm 4725  –onto→wfo 5324  ‘cfv 5326  (class class class)co 6017  0cc0 8031  ..^cfzo 10376  ♯chash 11036  iEdgciedg 15863  Trailsctrls 16230  EulerPathsceupth 16292

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-addcom 8131  ax-mulcom 8132  ax-addass 8133  ax-mulass 8134  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-1rid 8138  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-cnre 8142  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-ltwlin 8144  ax-pre-lttrn 8145  ax-pre-apti 8146  ax-pre-ltadd 8147

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-ifp 986  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-1st 6302  df-2nd 6303  df-recs 6470  df-frec 6556  df-1o 6581  df-er 6701  df-map 6818  df-en 6909  df-dom 6910  df-fin 6911  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-xr 8217  df-ltxr 8218  df-le 8219  df-sub 8351  df-neg 8352  df-inn 9143  df-2 9201  df-3 9202  df-4 9203  df-5 9204  df-6 9205  df-7 9206  df-8 9207  df-9 9208  df-n0 9402  df-z 9479  df-dec 9611  df-uz 9755  df-fz 10243  df-fzo 10377  df-ihash 11037  df-word 11113  df-ndx 13084  df-slot 13085  df-base 13087  df-edgf 15855  df-vtx 15864  df-iedg 15865  df-wlks 16168  df-trls 16231  df-eupth 16293

This theorem is referenced by:  eupthv  16296  iseupth  16297