Theorem eupthsg 16440

Description: The Eulerian paths on the graph 𝐺. (Contributed by AV, 18-Feb-2021.) (Revised by AV, 29-Oct-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
eupths.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
eupthsg	⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (EulerPaths‘𝐺) = {⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ (𝑓(Trails‘𝐺)𝑝 ∧ 𝑓:(0..^(♯‘𝑓))–onto→dom 𝐼)})

Distinct variable group:   𝑓,𝐺,𝑝

Allowed substitution hints:   𝐼(𝑓,𝑝)   𝑉(𝑓,𝑝)

Proof of Theorem eupthsg

Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-eupth 16438	. 2 ⊢ EulerPaths = (𝑔 ∈ V ↦ {⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ (𝑓(Trails‘𝑔)𝑝 ∧ 𝑓:(0..^(♯‘𝑓))–onto→dom (iEdg‘𝑔))})
2		fveq2 5670	. . . . 5 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (Trails‘𝑔) = (Trails‘𝐺))
3	2	breqd 4120	. . . 4 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (𝑓(Trails‘𝑔)𝑝 ↔ 𝑓(Trails‘𝐺)𝑝))
4		fveq2 5670	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (iEdg‘𝑔) = (iEdg‘𝐺))
5		eupths.i	. . . . . . 7 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
6	4, 5	eqtr4di 2283	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (iEdg‘𝑔) = 𝐼)
7	6	dmeqd 4958	. . . . 5 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → dom (iEdg‘𝑔) = dom 𝐼)
8		foeq3 5588	. . . . 5 ⊢ (dom (iEdg‘𝑔) = dom 𝐼 → (𝑓:(0..^(♯‘𝑓))–onto→dom (iEdg‘𝑔) ↔ 𝑓:(0..^(♯‘𝑓))–onto→dom 𝐼))
9	7, 8	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (𝑓:(0..^(♯‘𝑓))–onto→dom (iEdg‘𝑔) ↔ 𝑓:(0..^(♯‘𝑓))–onto→dom 𝐼))
10	3, 9	anbi12d 473	. . 3 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → ((𝑓(Trails‘𝑔)𝑝 ∧ 𝑓:(0..^(♯‘𝑓))–onto→dom (iEdg‘𝑔)) ↔ (𝑓(Trails‘𝐺)𝑝 ∧ 𝑓:(0..^(♯‘𝑓))–onto→dom 𝐼)))
11	10	opabbidv 4176	. 2 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → {⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ (𝑓(Trails‘𝑔)𝑝 ∧ 𝑓:(0..^(♯‘𝑓))–onto→dom (iEdg‘𝑔))} = {⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ (𝑓(Trails‘𝐺)𝑝 ∧ 𝑓:(0..^(♯‘𝑓))–onto→dom 𝐼)})
12		elex 2825	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → 𝐺 ∈ V)
13		trlsex 16382	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (Trails‘𝐺) ∈ V)
14		simpl 109	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓(Trails‘𝐺)𝑝 ∧ 𝑓:(0..^(♯‘𝑓))–onto→dom 𝐼) → 𝑓(Trails‘𝐺)𝑝)
15	14	ssopab2i 4396	. . . . 5 ⊢ {⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ (𝑓(Trails‘𝐺)𝑝 ∧ 𝑓:(0..^(♯‘𝑓))–onto→dom 𝐼)} ⊆ {⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ 𝑓(Trails‘𝐺)𝑝}
16		opabss 4174	. . . . 5 ⊢ {⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ 𝑓(Trails‘𝐺)𝑝} ⊆ (Trails‘𝐺)
17	15, 16	sstri 3247	. . . 4 ⊢ {⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ (𝑓(Trails‘𝐺)𝑝 ∧ 𝑓:(0..^(♯‘𝑓))–onto→dom 𝐼)} ⊆ (Trails‘𝐺)
18	17	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → {⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ (𝑓(Trails‘𝐺)𝑝 ∧ 𝑓:(0..^(♯‘𝑓))–onto→dom 𝐼)} ⊆ (Trails‘𝐺))
19	13, 18	ssexd 4250	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → {⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ (𝑓(Trails‘𝐺)𝑝 ∧ 𝑓:(0..^(♯‘𝑓))–onto→dom 𝐼)} ∈ V)
20	1, 11, 12, 19	fvmptd3 5771	1 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (EulerPaths‘𝐺) = {⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ (𝑓(Trails‘𝐺)𝑝 ∧ 𝑓:(0..^(♯‘𝑓))–onto→dom 𝐼)})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1398   ∈ wcel 2203  Vcvv 2813   ⊆ wss 3211   class class class wbr 4109  {copab 4170  dom cdm 4749  –onto→wfo 5350  ‘cfv 5352  (class class class)co 6050  0cc0 8127  ..^cfzo 10476  ♯chash 11138  iEdgciedg 16008  Trailsctrls 16375  EulerPathsceupth 16437

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4225  ax-sep 4228  ax-nul 4236  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-iinf 4710  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-addcom 8227  ax-mulcom 8228  ax-addass 8229  ax-mulass 8230  ax-distr 8231  ax-i2m1 8232  ax-0lt1 8233  ax-1rid 8234  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-cnre 8238  ax-pre-ltirr 8239  ax-pre-ltwlin 8240  ax-pre-lttrn 8241  ax-pre-apti 8242  ax-pre-ltadd 8243

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-ifp 987  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-if 3621  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-tr 4209  df-id 4414  df-iord 4487  df-on 4489  df-ilim 4490  df-suc 4492  df-iom 4713  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-fv 5360  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-1st 6334  df-2nd 6335  df-recs 6536  df-frec 6622  df-1o 6647  df-er 6767  df-map 6884  df-en 6976  df-dom 6977  df-fin 6978  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-xr 8312  df-ltxr 8313  df-le 8314  df-sub 8446  df-neg 8447  df-inn 9238  df-2 9296  df-3 9297  df-4 9298  df-5 9299  df-6 9300  df-7 9301  df-8 9302  df-9 9303  df-n0 9497  df-z 9578  df-dec 9710  df-uz 9854  df-fz 10343  df-fzo 10477  df-ihash 11139  df-word 11225  df-ndx 13215  df-slot 13216  df-base 13218  df-edgf 16000  df-vtx 16009  df-iedg 16010  df-wlks 16313  df-trls 16376  df-eupth 16438

This theorem is referenced by:  eupthv  16441  iseupth  16442