Theorem expm1t 10497

Description: Exponentiation in terms of predecessor exponent. (Contributed by NM, 19-Dec-2005.)

Assertion

Ref	Expression
expm1t	|- ( ( A e. CC /\ N e. NN ) -> ( A ^ N ) = ( ( A ^ ( N - 1 ) ) x. A ) )

Proof of Theorem expm1t

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nncn 8879	. . . . 5 |- ( N e. NN -> N e. CC )
2		ax-1cn 7860	. . . . 5 |- 1 e. CC
3		npcan 8121	. . . . 5 |- ( ( N e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( N - 1 ) + 1 ) = N )
4	1, 2, 3	sylancl 411	. . . 4 |- ( N e. NN -> ( ( N - 1 ) + 1 ) = N )
5	4	oveq2d 5867	. . 3 |- ( N e. NN -> ( A ^ ( ( N - 1 ) + 1 ) ) = ( A ^ N ) )
6	5	adantl 275	. 2 |- ( ( A e. CC /\ N e. NN ) -> ( A ^ ( ( N - 1 ) + 1 ) ) = ( A ^ N ) )
7		nnm1nn0 9169	. . 3 |- ( N e. NN -> ( N - 1 ) e. NN0 )
8		expp1 10476	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ ( N - 1 ) e. NN0 ) -> ( A ^ ( ( N - 1 ) + 1 ) ) = ( ( A ^ ( N - 1 ) ) x. A ) )
9	7, 8	sylan2 284	. 2 |- ( ( A e. CC /\ N e. NN ) -> ( A ^ ( ( N - 1 ) + 1 ) ) = ( ( A ^ ( N - 1 ) ) x. A ) )
10	6, 9	eqtr3d 2205	1 |- ( ( A e. CC /\ N e. NN ) -> ( A ^ N ) = ( ( A ^ ( N - 1 ) ) x. A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1348   e. wcel 2141  (class class class)co 5851   CCcc 7765   1c1 7768   + caddc 7770   x. cmul 7772   - cmin 8083   NNcn 8871   NN0cn0 9128   ^cexp 10468

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4102  ax-sep 4105  ax-nul 4113  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519  ax-iinf 4570  ax-cnex 7858  ax-resscn 7859  ax-1cn 7860  ax-1re 7861  ax-icn 7862  ax-addcl 7863  ax-addrcl 7864  ax-mulcl 7865  ax-mulrcl 7866  ax-addcom 7867  ax-mulcom 7868  ax-addass 7869  ax-mulass 7870  ax-distr 7871  ax-i2m1 7872  ax-0lt1 7873  ax-1rid 7874  ax-0id 7875  ax-rnegex 7876  ax-precex 7877  ax-cnre 7878  ax-pre-ltirr 7879  ax-pre-ltwlin 7880  ax-pre-lttrn 7881  ax-pre-apti 7882  ax-pre-ltadd 7883  ax-pre-mulgt0 7884  ax-pre-mulext 7885

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3526  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-int 3830  df-iun 3873  df-br 3988  df-opab 4049  df-mpt 4050  df-tr 4086  df-id 4276  df-po 4279  df-iso 4280  df-iord 4349  df-on 4351  df-ilim 4352  df-suc 4354  df-iom 4573  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-res 4621  df-ima 4622  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-f1 5201  df-fo 5202  df-f1o 5203  df-fv 5204  df-riota 5807  df-ov 5854  df-oprab 5855  df-mpo 5856  df-1st 6117  df-2nd 6118  df-recs 6282  df-frec 6368  df-pnf 7949  df-mnf 7950  df-xr 7951  df-ltxr 7952  df-le 7953  df-sub 8085  df-neg 8086  df-reap 8487  df-ap 8494  df-div 8583  df-inn 8872  df-n0 9129  df-z 9206  df-uz 9481  df-seqfrec 10395  df-exp 10469

This theorem is referenced by:  expgt1  10507  nn0ltexp2  10637  resqrexlemcalc3  10973  resqrexlemnm  10975  resqrexlemcvg  10976  binomlem  11439  iddvdsexp  11770  phiprmpw  12169  fermltl  12181  prmpwdvds  12300  dvexp  13434