Theorem fac1 10652

Description: The factorial of 1. (Contributed by NM, 2-Dec-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jul-2013.)

Assertion

Ref	Expression
fac1	|- ( ! ` 1 ) = 1

Proof of Theorem fac1

Dummy variables f g are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn 8878	. . 3 |- 1 e. NN
2		facnn 10650	. . 3 |- ( 1 e. NN -> ( ! ` 1 ) = ( seq 1 ( x. , _I ) ` 1 ) )
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 |- ( ! ` 1 ) = ( seq 1 ( x. , _I ) ` 1 )
4		1zzd 9228	. . . 4 |- ( T. -> 1 e. ZZ )
5		fvi 5551	. . . . . . . 8 |- ( f e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( _I ` f ) = f )
6	5	eleq1d 2239	. . . . . . 7 |- ( f e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( ( _I ` f ) e. ( ZZ>= ` 1 ) <-> f e. ( ZZ>= ` 1 ) ) )
7	6	ibir 176	. . . . . 6 |- ( f e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( _I ` f ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
8		eluzelcn 9487	. . . . . 6 |- ( ( _I ` f ) e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( _I ` f ) e. CC )
9	7, 8	syl 14	. . . . 5 |- ( f e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( _I ` f ) e. CC )
10	9	adantl 275	. . . 4 |- ( ( T. /\ f e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( _I ` f ) e. CC )
11		mulcl 7890	. . . . 5 |- ( ( f e. CC /\ g e. CC ) -> ( f x. g ) e. CC )
12	11	adantl 275	. . . 4 |- ( ( T. /\ ( f e. CC /\ g e. CC ) ) -> ( f x. g ) e. CC )
13	4, 10, 12	seq3-1 10405	. . 3 |- ( T. -> ( seq 1 ( x. , _I ) ` 1 ) = ( _I ` 1 ) )
14	13	mptru 1357	. 2 |- ( seq 1 ( x. , _I ) ` 1 ) = ( _I ` 1 )
15		fvi 5551	. . 3 |- ( 1 e. NN -> ( _I ` 1 ) = 1 )
16	1, 15	ax-mp 5	. 2 |- ( _I ` 1 ) = 1
17	3, 14, 16	3eqtri 2195	1 |- ( ! ` 1 ) = 1

Syntax hints:   /\ wa 103   = wceq 1348   T. wtru 1349   e. wcel 2141   _I cid 4271   ` cfv 5196  (class class class)co 5851   CCcc 7761   1c1 7764   x. cmul 7768   NNcn 8867   ZZ>=cuz 9476   seqcseq 10390   !cfa 10648

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4102  ax-sep 4105  ax-nul 4113  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519  ax-iinf 4570  ax-cnex 7854  ax-resscn 7855  ax-1cn 7856  ax-1re 7857  ax-icn 7858  ax-addcl 7859  ax-addrcl 7860  ax-mulcl 7861  ax-addcom 7863  ax-addass 7865  ax-distr 7867  ax-i2m1 7868  ax-0lt1 7869  ax-0id 7871  ax-rnegex 7872  ax-cnre 7874  ax-pre-ltirr 7875  ax-pre-ltwlin 7876  ax-pre-lttrn 7877  ax-pre-ltadd 7879

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-int 3830  df-iun 3873  df-br 3988  df-opab 4049  df-mpt 4050  df-tr 4086  df-id 4276  df-iord 4349  df-on 4351  df-ilim 4352  df-suc 4354  df-iom 4573  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-res 4621  df-ima 4622  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-f1 5201  df-fo 5202  df-f1o 5203  df-fv 5204  df-riota 5807  df-ov 5854  df-oprab 5855  df-mpo 5856  df-1st 6117  df-2nd 6118  df-recs 6282  df-frec 6368  df-pnf 7945  df-mnf 7946  df-xr 7947  df-ltxr 7948  df-le 7949  df-sub 8081  df-neg 8082  df-inn 8868  df-n0 9125  df-z 9202  df-uz 9477  df-seqfrec 10391  df-fac 10649

This theorem is referenced by:  facp1  10653  fac2  10654  bcn1  10681  fprodfac  11567  ege2le3  11623  ef4p  11646  efgt1p2  11647  efgt1p  11648  dveflem  13442