Theorem fac1 10951

Description: The factorial of 1. (Contributed by NM, 2-Dec-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jul-2013.)

Assertion

Ref	Expression
fac1	|- ( ! ` 1 ) = 1

Proof of Theorem fac1

Dummy variables f g are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn 9121	. . 3 |- 1 e. NN
2		facnn 10949	. . 3 |- ( 1 e. NN -> ( ! ` 1 ) = ( seq 1 ( x. , _I ) ` 1 ) )
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 |- ( ! ` 1 ) = ( seq 1 ( x. , _I ) ` 1 )
4		1zzd 9473	. . . 4 |- ( T. -> 1 e. ZZ )
5		fvi 5691	. . . . . . . 8 |- ( f e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( _I ` f ) = f )
6	5	eleq1d 2298	. . . . . . 7 |- ( f e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( ( _I ` f ) e. ( ZZ>= ` 1 ) <-> f e. ( ZZ>= ` 1 ) ) )
7	6	ibir 177	. . . . . 6 |- ( f e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( _I ` f ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
8		eluzelcn 9733	. . . . . 6 |- ( ( _I ` f ) e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( _I ` f ) e. CC )
9	7, 8	syl 14	. . . . 5 |- ( f e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( _I ` f ) e. CC )
10	9	adantl 277	. . . 4 |- ( ( T. /\ f e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( _I ` f ) e. CC )
11		mulcl 8126	. . . . 5 |- ( ( f e. CC /\ g e. CC ) -> ( f x. g ) e. CC )
12	11	adantl 277	. . . 4 |- ( ( T. /\ ( f e. CC /\ g e. CC ) ) -> ( f x. g ) e. CC )
13	4, 10, 12	seq3-1 10684	. . 3 |- ( T. -> ( seq 1 ( x. , _I ) ` 1 ) = ( _I ` 1 ) )
14	13	mptru 1404	. 2 |- ( seq 1 ( x. , _I ) ` 1 ) = ( _I ` 1 )
15		fvi 5691	. . 3 |- ( 1 e. NN -> ( _I ` 1 ) = 1 )
16	1, 15	ax-mp 5	. 2 |- ( _I ` 1 ) = 1
17	3, 14, 16	3eqtri 2254	1 |- ( ! ` 1 ) = 1

Syntax hints:   /\ wa 104   = wceq 1395   T. wtru 1396   e. wcel 2200   _I cid 4379   ` cfv 5318  (class class class)co 6001   CCcc 7997   1c1 8000   x. cmul 8004   NNcn 9110   ZZ>=cuz 9722   seqcseq 10669   !cfa 10947

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680  ax-cnex 8090  ax-resscn 8091  ax-1cn 8092  ax-1re 8093  ax-icn 8094  ax-addcl 8095  ax-addrcl 8096  ax-mulcl 8097  ax-addcom 8099  ax-addass 8101  ax-distr 8103  ax-i2m1 8104  ax-0lt1 8105  ax-0id 8107  ax-rnegex 8108  ax-cnre 8110  ax-pre-ltirr 8111  ax-pre-ltwlin 8112  ax-pre-lttrn 8113  ax-pre-ltadd 8115

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-iord 4457  df-on 4459  df-ilim 4460  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-riota 5954  df-ov 6004  df-oprab 6005  df-mpo 6006  df-1st 6286  df-2nd 6287  df-recs 6451  df-frec 6537  df-pnf 8183  df-mnf 8184  df-xr 8185  df-ltxr 8186  df-le 8187  df-sub 8319  df-neg 8320  df-inn 9111  df-n0 9370  df-z 9447  df-uz 9723  df-seqfrec 10670  df-fac 10948

This theorem is referenced by:  facp1  10952  fac2  10953  bcn1  10980  fprodfac  12126  ege2le3  12182  ef4p  12205  efgt1p2  12206  efgt1p  12207  dveflem  15400