ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fac1 Unicode version

Theorem fac1 10487
Description: The factorial of 1. (Contributed by NM, 2-Dec-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jul-2013.)
Assertion
Ref Expression
fac1  |-  ( ! `
 1 )  =  1

Proof of Theorem fac1
Dummy variables  f  g are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1nn 8743 . . 3  |-  1  e.  NN
2 facnn 10485 . . 3  |-  ( 1  e.  NN  ->  ( ! `  1 )  =  (  seq 1
(  x.  ,  _I  ) `  1 )
)
31, 2ax-mp 5 . 2  |-  ( ! `
 1 )  =  (  seq 1 (  x.  ,  _I  ) `  1 )
4 1zzd 9093 . . . 4  |-  ( T. 
->  1  e.  ZZ )
5 fvi 5478 . . . . . . . 8  |-  ( f  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  (  _I  `  f )  =  f )
65eleq1d 2208 . . . . . . 7  |-  ( f  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  ( (  _I  `  f )  e.  ( ZZ>= `  1 )  <->  f  e.  ( ZZ>= `  1
) ) )
76ibir 176 . . . . . 6  |-  ( f  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  (  _I  `  f )  e.  (
ZZ>= `  1 ) )
8 eluzelcn 9349 . . . . . 6  |-  ( (  _I  `  f )  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  (  _I  `  f )  e.  CC )
97, 8syl 14 . . . . 5  |-  ( f  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  (  _I  `  f )  e.  CC )
109adantl 275 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  f  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  (  _I  `  f )  e.  CC )
11 mulcl 7759 . . . . 5  |-  ( ( f  e.  CC  /\  g  e.  CC )  ->  ( f  x.  g
)  e.  CC )
1211adantl 275 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  ( f  e.  CC  /\  g  e.  CC ) )  -> 
( f  x.  g
)  e.  CC )
134, 10, 12seq3-1 10245 . . 3  |-  ( T. 
->  (  seq 1
(  x.  ,  _I  ) `  1 )  =  (  _I  `  1
) )
1413mptru 1340 . 2  |-  (  seq 1 (  x.  ,  _I  ) `  1 )  =  (  _I  ` 
1 )
15 fvi 5478 . . 3  |-  ( 1  e.  NN  ->  (  _I  `  1 )  =  1 )
161, 15ax-mp 5 . 2  |-  (  _I 
`  1 )  =  1
173, 14, 163eqtri 2164 1  |-  ( ! `
 1 )  =  1
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 103    = wceq 1331   T. wtru 1332    e. wcel 1480    _I cid 4210   ` cfv 5123  (class class class)co 5774   CCcc 7630   1c1 7633    x. cmul 7637   NNcn 8732   ZZ>=cuz 9338    seqcseq 10230   !cfa 10483
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7723  ax-resscn 7724  ax-1cn 7725  ax-1re 7726  ax-icn 7727  ax-addcl 7728  ax-addrcl 7729  ax-mulcl 7730  ax-addcom 7732  ax-addass 7734  ax-distr 7736  ax-i2m1 7737  ax-0lt1 7738  ax-0id 7740  ax-rnegex 7741  ax-cnre 7743  ax-pre-ltirr 7744  ax-pre-ltwlin 7745  ax-pre-lttrn 7746  ax-pre-ltadd 7748
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-frec 6288  df-pnf 7814  df-mnf 7815  df-xr 7816  df-ltxr 7817  df-le 7818  df-sub 7947  df-neg 7948  df-inn 8733  df-n0 8990  df-z 9067  df-uz 9339  df-seqfrec 10231  df-fac 10484
This theorem is referenced by:  facp1  10488  fac2  10489  bcn1  10516  ege2le3  11389  ef4p  11412  efgt1p2  11413  efgt1p  11414  dveflem  12870
  Copyright terms: Public domain W3C validator