Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  efgt1p Unicode version

Theorem efgt1p 11409
 Description: The exponential of a positive real number is greater than 1 plus that number. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Mar-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
efgt1p

Proof of Theorem efgt1p
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rpcn 9457 . . 3
2 1e0p1 9230 . . . . 5
32fveq2i 5424 . . . 4
4 0nn0 8999 . . . . . . . 8
5 nn0uz 9367 . . . . . . . 8
64, 5eleqtri 2214 . . . . . . 7
76a1i 9 . . . . . 6
8 elnn0uz 9370 . . . . . . 7
9 eqid 2139 . . . . . . . . 9
109eftvalcn 11370 . . . . . . . 8
11 eftcl 11367 . . . . . . . 8
1210, 11eqeltrd 2216 . . . . . . 7
138, 12sylan2br 286 . . . . . 6
14 addcl 7752 . . . . . . 7
1514adantl 275 . . . . . 6
167, 13, 15seq3p1 10242 . . . . 5
17 0zd 9073 . . . . . . . 8
1817, 13, 15seq3-1 10240 . . . . . . 7
199eftvalcn 11370 . . . . . . . . 9
204, 19mpan2 421 . . . . . . . 8
21 eft0val 11406 . . . . . . . 8
2220, 21eqtrd 2172 . . . . . . 7
2318, 22eqtrd 2172 . . . . . 6
242fveq2i 5424 . . . . . . 7
25 1nn0 9000 . . . . . . . . 9
269eftvalcn 11370 . . . . . . . . 9
2725, 26mpan2 421 . . . . . . . 8
28 fac1 10482 . . . . . . . . . 10
2928oveq2i 5785 . . . . . . . . 9
30 exp1 10306 . . . . . . . . . . 11
3130oveq1d 5789 . . . . . . . . . 10
32 div1 8470 . . . . . . . . . 10
3331, 32eqtrd 2172 . . . . . . . . 9
3429, 33syl5eq 2184 . . . . . . . 8
3527, 34eqtrd 2172 . . . . . . 7
3624, 35syl5eqr 2186 . . . . . 6
3723, 36oveq12d 5792 . . . . 5
3816, 37eqtrd 2172 . . . 4
393, 38syl5eq 2184 . . 3
401, 39syl 14 . 2
41 id 19 . . 3
4225a1i 9 . . 3
439, 41, 42effsumlt 11405 . 2
4440, 43eqbrtrrd 3952 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 103   wceq 1331   wcel 1480   class class class wbr 3929   cmpt 3989  cfv 5123  (class class class)co 5774  cc 7625  cc0 7627  c1 7628   caddc 7630   clt 7807   cdiv 8439  cn0 8984  cuz 9333  crp 9448   cseq 10225  cexp 10299  cfa 10478  ce 11355 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7718  ax-resscn 7719  ax-1cn 7720  ax-1re 7721  ax-icn 7722  ax-addcl 7723  ax-addrcl 7724  ax-mulcl 7725  ax-mulrcl 7726  ax-addcom 7727  ax-mulcom 7728  ax-addass 7729  ax-mulass 7730  ax-distr 7731  ax-i2m1 7732  ax-0lt1 7733  ax-1rid 7734  ax-0id 7735  ax-rnegex 7736  ax-precex 7737  ax-cnre 7738  ax-pre-ltirr 7739  ax-pre-ltwlin 7740  ax-pre-lttrn 7741  ax-pre-apti 7742  ax-pre-ltadd 7743  ax-pre-mulgt0 7744  ax-pre-mulext 7745  ax-arch 7746  ax-caucvg 7747 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-isom 5132  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-irdg 6267  df-frec 6288  df-1o 6313  df-oadd 6317  df-er 6429  df-en 6635  df-dom 6636  df-fin 6637  df-pnf 7809  df-mnf 7810  df-xr 7811  df-ltxr 7812  df-le 7813  df-sub 7942  df-neg 7943  df-reap 8344  df-ap 8351  df-div 8440  df-inn 8728  df-2 8786  df-3 8787  df-4 8788  df-n0 8985  df-z 9062  df-uz 9334  df-q 9419  df-rp 9449  df-ico 9684  df-fz 9798  df-fzo 9927  df-seqfrec 10226  df-exp 10300  df-fac 10479  df-ihash 10529  df-cj 10621  df-re 10622  df-im 10623  df-rsqrt 10777  df-abs 10778  df-clim 11055  df-sumdc 11130  df-ef 11361 This theorem is referenced by:  efgt1  11410  reeff1olem  12870
 Copyright terms: Public domain W3C validator