Theorem fz1f1o 11249

Description: A lemma for working with finite sums. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
fz1f1o	⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 = ∅ ∨ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)))

Distinct variable group:   𝐴,𝑓

Proof of Theorem fz1f1o

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hashcl 10632	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
2		elnn0 9071	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ0 ↔ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∨ (♯‘𝐴) = 0))
3	1, 2	sylib 121	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∨ (♯‘𝐴) = 0))
4	3	orcomd 719	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((♯‘𝐴) = 0 ∨ (♯‘𝐴) ∈ ℕ))
5		fihasheq0 10645	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((♯‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = ∅))
6		isfinite4im 10644	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (1...(♯‘𝐴)) ≈ 𝐴)
7		bren 6681	. . . . 5 ⊢ ((1...(♯‘𝐴)) ≈ 𝐴 ↔ ∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)
8	6, 7	sylib 121	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)
9	8	biantrud 302	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ↔ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)))
10	5, 9	orbi12d 783	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (((♯‘𝐴) = 0 ∨ (♯‘𝐴) ∈ ℕ) ↔ (𝐴 = ∅ ∨ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴))))
11	4, 10	mpbid 146	1 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 = ∅ ∨ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ∨ wo 698   = wceq 1332  ∃wex 1469   ∈ wcel 2125  ∅c0 3390   class class class wbr 3961  –1-1-onto→wf1o 5162  ‘cfv 5163  (class class class)co 5814   ≈ cen 6672  Fincfn 6674  0cc0 7711  1c1 7712  ℕcn 8812  ℕ₀cn0 9069  ...cfz 9890  ♯chash 10626

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1481  ax-10 1482  ax-11 1483  ax-i12 1484  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1503  ax-i9 1507  ax-ial 1511  ax-i5r 1512  ax-13 2127  ax-14 2128  ax-ext 2136  ax-coll 4075  ax-sep 4078  ax-nul 4086  ax-pow 4130  ax-pr 4164  ax-un 4388  ax-setind 4490  ax-iinf 4541  ax-cnex 7802  ax-resscn 7803  ax-1cn 7804  ax-1re 7805  ax-icn 7806  ax-addcl 7807  ax-addrcl 7808  ax-mulcl 7809  ax-addcom 7811  ax-addass 7813  ax-distr 7815  ax-i2m1 7816  ax-0lt1 7817  ax-0id 7819  ax-rnegex 7820  ax-cnre 7822  ax-pre-ltirr 7823  ax-pre-ltwlin 7824  ax-pre-lttrn 7825  ax-pre-apti 7826  ax-pre-ltadd 7827

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1740  df-eu 2006  df-mo 2007  df-clab 2141  df-cleq 2147  df-clel 2150  df-nfc 2285  df-ne 2325  df-nel 2420  df-ral 2437  df-rex 2438  df-reu 2439  df-rab 2441  df-v 2711  df-sbc 2934  df-csb 3028  df-dif 3100  df-un 3102  df-in 3104  df-ss 3111  df-nul 3391  df-pw 3541  df-sn 3562  df-pr 3563  df-op 3565  df-uni 3769  df-int 3804  df-iun 3847  df-br 3962  df-opab 4022  df-mpt 4023  df-tr 4059  df-id 4248  df-iord 4321  df-on 4323  df-ilim 4324  df-suc 4326  df-iom 4544  df-xp 4585  df-rel 4586  df-cnv 4587  df-co 4588  df-dm 4589  df-rn 4590  df-res 4591  df-ima 4592  df-iota 5128  df-fun 5165  df-fn 5166  df-f 5167  df-f1 5168  df-fo 5169  df-f1o 5170  df-fv 5171  df-riota 5770  df-ov 5817  df-oprab 5818  df-mpo 5819  df-1st 6078  df-2nd 6079  df-recs 6242  df-frec 6328  df-1o 6353  df-er 6469  df-en 6675  df-dom 6676  df-fin 6677  df-pnf 7893  df-mnf 7894  df-xr 7895  df-ltxr 7896  df-le 7897  df-sub 8027  df-neg 8028  df-inn 8813  df-n0 9070  df-z 9147  df-uz 9419  df-fz 9891  df-ihash 10627

This theorem is referenced by:  isumz  11263  fsumf1o  11264  fisumss  11266  fsumcl2lem  11272  fsumadd  11280  fsummulc2  11322  prod1dc  11460  fprodf1o  11462  fprodssdc  11464  fprodmul  11465