Theorem hashfz 10930

Description: Value of the numeric cardinality of a nonempty integer range. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 15-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
hashfz	⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (♯‘(𝐴...𝐵)) = ((𝐵 − 𝐴) + 1))

Proof of Theorem hashfz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzel2 9623	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ)
2		eluzelz 9627	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → 𝐵 ∈ ℤ)
3		1z 9369	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℤ
4		zsubcl 9384	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (1 − 𝐴) ∈ ℤ)
5	3, 1, 4	sylancr 414	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (1 − 𝐴) ∈ ℤ)
6		fzen 10135	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ (1 − 𝐴) ∈ ℤ) → (𝐴...𝐵) ≈ ((𝐴 + (1 − 𝐴))...(𝐵 + (1 − 𝐴))))
7	1, 2, 5, 6	syl3anc 1249	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (𝐴...𝐵) ≈ ((𝐴 + (1 − 𝐴))...(𝐵 + (1 − 𝐴))))
8	1	zcnd 9466	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → 𝐴 ∈ ℂ)
9		ax-1cn 7989	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℂ
10		pncan3 8251	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝐴 + (1 − 𝐴)) = 1)
11	8, 9, 10	sylancl 413	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (𝐴 + (1 − 𝐴)) = 1)
12		1cnd 8059	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → 1 ∈ ℂ)
13	2	zcnd 9466	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
14	13, 8	subcld 8354	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℂ)
15	13, 12, 8	addsub12d 8377	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (𝐵 + (1 − 𝐴)) = (1 + (𝐵 − 𝐴)))
16	12, 14, 15	comraddd 8200	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (𝐵 + (1 − 𝐴)) = ((𝐵 − 𝐴) + 1))
17	11, 16	oveq12d 5943	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → ((𝐴 + (1 − 𝐴))...(𝐵 + (1 − 𝐴))) = (1...((𝐵 − 𝐴) + 1)))
18	7, 17	breqtrd 4060	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (𝐴...𝐵) ≈ (1...((𝐵 − 𝐴) + 1)))
19	1, 2	fzfigd 10540	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (𝐴...𝐵) ∈ Fin)
20		1zzd 9370	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → 1 ∈ ℤ)
21	2, 1	zsubcld 9470	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℤ)
22	21	peano2zd 9468	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → ((𝐵 − 𝐴) + 1) ∈ ℤ)
23	20, 22	fzfigd 10540	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (1...((𝐵 − 𝐴) + 1)) ∈ Fin)
24		hashen 10893	. . . 4 ⊢ (((𝐴...𝐵) ∈ Fin ∧ (1...((𝐵 − 𝐴) + 1)) ∈ Fin) → ((♯‘(𝐴...𝐵)) = (♯‘(1...((𝐵 − 𝐴) + 1))) ↔ (𝐴...𝐵) ≈ (1...((𝐵 − 𝐴) + 1))))
25	19, 23, 24	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → ((♯‘(𝐴...𝐵)) = (♯‘(1...((𝐵 − 𝐴) + 1))) ↔ (𝐴...𝐵) ≈ (1...((𝐵 − 𝐴) + 1))))
26	18, 25	mpbird 167	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (♯‘(𝐴...𝐵)) = (♯‘(1...((𝐵 − 𝐴) + 1))))
27		uznn0sub 9650	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℕ0)
28		peano2nn0 9306	. . 3 ⊢ ((𝐵 − 𝐴) ∈ ℕ0 → ((𝐵 − 𝐴) + 1) ∈ ℕ0)
29		hashfz1 10892	. . 3 ⊢ (((𝐵 − 𝐴) + 1) ∈ ℕ0 → (♯‘(1...((𝐵 − 𝐴) + 1))) = ((𝐵 − 𝐴) + 1))
30	27, 28, 29	3syl 17	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (♯‘(1...((𝐵 − 𝐴) + 1))) = ((𝐵 − 𝐴) + 1))
31	26, 30	eqtrd 2229	1 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (♯‘(𝐴...𝐵)) = ((𝐵 − 𝐴) + 1))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1364   ∈ wcel 2167   class class class wbr 4034  ‘cfv 5259  (class class class)co 5925   ≈ cen 6806  Fincfn 6808  ℂcc 7894  1c1 7897   + caddc 7899   − cmin 8214  ℕ₀cn0 9266  ℤcz 9343  ℤ_≥cuz 9618  ...cfz 10100  ♯chash 10884

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-addcom 7996  ax-addass 7998  ax-distr 8000  ax-i2m1 8001  ax-0lt1 8002  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-cnre 8007  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-ltwlin 8009  ax-pre-lttrn 8010  ax-pre-apti 8011  ax-pre-ltadd 8012

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-iord 4402  df-on 4404  df-ilim 4405  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-recs 6372  df-frec 6458  df-1o 6483  df-er 6601  df-en 6809  df-dom 6810  df-fin 6811  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-xr 8082  df-ltxr 8083  df-le 8084  df-sub 8216  df-neg 8217  df-inn 9008  df-n0 9267  df-z 9344  df-uz 9619  df-fz 10101  df-ihash 10885

This theorem is referenced by:  hashfzo  10931  hashfzp1  10933  hashfz0  10934  0sgmppw  15313  gausslemma2dlem5  15391