ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  hashfz GIF version

Theorem hashfz 10772
Description: Value of the numeric cardinality of a nonempty integer range. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 15-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
hashfz (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → (♯‘(𝐴...𝐵)) = ((𝐵𝐴) + 1))

Proof of Theorem hashfz
StepHypRef Expression
1 eluzel2 9509 . . . . 5 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ)
2 eluzelz 9513 . . . . 5 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → 𝐵 ∈ ℤ)
3 1z 9255 . . . . . 6 1 ∈ ℤ
4 zsubcl 9270 . . . . . 6 ((1 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (1 − 𝐴) ∈ ℤ)
53, 1, 4sylancr 414 . . . . 5 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → (1 − 𝐴) ∈ ℤ)
6 fzen 10016 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ (1 − 𝐴) ∈ ℤ) → (𝐴...𝐵) ≈ ((𝐴 + (1 − 𝐴))...(𝐵 + (1 − 𝐴))))
71, 2, 5, 6syl3anc 1238 . . . 4 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → (𝐴...𝐵) ≈ ((𝐴 + (1 − 𝐴))...(𝐵 + (1 − 𝐴))))
81zcnd 9352 . . . . . 6 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → 𝐴 ∈ ℂ)
9 ax-1cn 7882 . . . . . 6 1 ∈ ℂ
10 pncan3 8142 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝐴 + (1 − 𝐴)) = 1)
118, 9, 10sylancl 413 . . . . 5 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → (𝐴 + (1 − 𝐴)) = 1)
12 1cnd 7951 . . . . . 6 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → 1 ∈ ℂ)
132zcnd 9352 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
1413, 8subcld 8245 . . . . . 6 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → (𝐵𝐴) ∈ ℂ)
1513, 12, 8addsub12d 8268 . . . . . 6 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → (𝐵 + (1 − 𝐴)) = (1 + (𝐵𝐴)))
1612, 14, 15comraddd 8091 . . . . 5 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → (𝐵 + (1 − 𝐴)) = ((𝐵𝐴) + 1))
1711, 16oveq12d 5886 . . . 4 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → ((𝐴 + (1 − 𝐴))...(𝐵 + (1 − 𝐴))) = (1...((𝐵𝐴) + 1)))
187, 17breqtrd 4026 . . 3 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → (𝐴...𝐵) ≈ (1...((𝐵𝐴) + 1)))
191, 2fzfigd 10404 . . . 4 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → (𝐴...𝐵) ∈ Fin)
20 1zzd 9256 . . . . 5 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → 1 ∈ ℤ)
212, 1zsubcld 9356 . . . . . 6 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → (𝐵𝐴) ∈ ℤ)
2221peano2zd 9354 . . . . 5 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → ((𝐵𝐴) + 1) ∈ ℤ)
2320, 22fzfigd 10404 . . . 4 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → (1...((𝐵𝐴) + 1)) ∈ Fin)
24 hashen 10735 . . . 4 (((𝐴...𝐵) ∈ Fin ∧ (1...((𝐵𝐴) + 1)) ∈ Fin) → ((♯‘(𝐴...𝐵)) = (♯‘(1...((𝐵𝐴) + 1))) ↔ (𝐴...𝐵) ≈ (1...((𝐵𝐴) + 1))))
2519, 23, 24syl2anc 411 . . 3 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → ((♯‘(𝐴...𝐵)) = (♯‘(1...((𝐵𝐴) + 1))) ↔ (𝐴...𝐵) ≈ (1...((𝐵𝐴) + 1))))
2618, 25mpbird 167 . 2 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → (♯‘(𝐴...𝐵)) = (♯‘(1...((𝐵𝐴) + 1))))
27 uznn0sub 9535 . . 3 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → (𝐵𝐴) ∈ ℕ0)
28 peano2nn0 9192 . . 3 ((𝐵𝐴) ∈ ℕ0 → ((𝐵𝐴) + 1) ∈ ℕ0)
29 hashfz1 10734 . . 3 (((𝐵𝐴) + 1) ∈ ℕ0 → (♯‘(1...((𝐵𝐴) + 1))) = ((𝐵𝐴) + 1))
3027, 28, 293syl 17 . 2 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → (♯‘(1...((𝐵𝐴) + 1))) = ((𝐵𝐴) + 1))
3126, 30eqtrd 2210 1 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → (♯‘(𝐴...𝐵)) = ((𝐵𝐴) + 1))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wb 105   = wceq 1353  wcel 2148   class class class wbr 4000  cfv 5211  (class class class)co 5868  cen 6731  Fincfn 6733  cc 7787  1c1 7790   + caddc 7792  cmin 8105  0cn0 9152  cz 9229  cuz 9504  ...cfz 9982  chash 10726
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4205  ax-un 4429  ax-setind 4532  ax-iinf 4583  ax-cnex 7880  ax-resscn 7881  ax-1cn 7882  ax-1re 7883  ax-icn 7884  ax-addcl 7885  ax-addrcl 7886  ax-mulcl 7887  ax-addcom 7889  ax-addass 7891  ax-distr 7893  ax-i2m1 7894  ax-0lt1 7895  ax-0id 7897  ax-rnegex 7898  ax-cnre 7900  ax-pre-ltirr 7901  ax-pre-ltwlin 7902  ax-pre-lttrn 7903  ax-pre-apti 7904  ax-pre-ltadd 7905
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4289  df-iord 4362  df-on 4364  df-ilim 4365  df-suc 4367  df-iom 4586  df-xp 4628  df-rel 4629  df-cnv 4630  df-co 4631  df-dm 4632  df-rn 4633  df-res 4634  df-ima 4635  df-iota 5173  df-fun 5213  df-fn 5214  df-f 5215  df-f1 5216  df-fo 5217  df-f1o 5218  df-fv 5219  df-riota 5824  df-ov 5871  df-oprab 5872  df-mpo 5873  df-1st 6134  df-2nd 6135  df-recs 6299  df-frec 6385  df-1o 6410  df-er 6528  df-en 6734  df-dom 6735  df-fin 6736  df-pnf 7971  df-mnf 7972  df-xr 7973  df-ltxr 7974  df-le 7975  df-sub 8107  df-neg 8108  df-inn 8896  df-n0 9153  df-z 9230  df-uz 9505  df-fz 9983  df-ihash 10727
This theorem is referenced by:  hashfzo  10773  hashfzp1  10775  hashfz0  10776
  Copyright terms: Public domain W3C validator