Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  hashfz GIF version

Theorem hashfz 10619
 Description: Value of the numeric cardinality of a nonempty integer range. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 15-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
hashfz (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → (♯‘(𝐴...𝐵)) = ((𝐵𝐴) + 1))

Proof of Theorem hashfz
StepHypRef Expression
1 eluzel2 9375 . . . . 5 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ)
2 eluzelz 9379 . . . . 5 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → 𝐵 ∈ ℤ)
3 1z 9124 . . . . . 6 1 ∈ ℤ
4 zsubcl 9139 . . . . . 6 ((1 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (1 − 𝐴) ∈ ℤ)
53, 1, 4sylancr 411 . . . . 5 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → (1 − 𝐴) ∈ ℤ)
6 fzen 9874 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ (1 − 𝐴) ∈ ℤ) → (𝐴...𝐵) ≈ ((𝐴 + (1 − 𝐴))...(𝐵 + (1 − 𝐴))))
71, 2, 5, 6syl3anc 1217 . . . 4 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → (𝐴...𝐵) ≈ ((𝐴 + (1 − 𝐴))...(𝐵 + (1 − 𝐴))))
81zcnd 9218 . . . . . 6 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → 𝐴 ∈ ℂ)
9 ax-1cn 7757 . . . . . 6 1 ∈ ℂ
10 pncan3 8014 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝐴 + (1 − 𝐴)) = 1)
118, 9, 10sylancl 410 . . . . 5 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → (𝐴 + (1 − 𝐴)) = 1)
12 1cnd 7826 . . . . . 6 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → 1 ∈ ℂ)
132zcnd 9218 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
1413, 8subcld 8117 . . . . . 6 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → (𝐵𝐴) ∈ ℂ)
1513, 12, 8addsub12d 8140 . . . . . 6 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → (𝐵 + (1 − 𝐴)) = (1 + (𝐵𝐴)))
1612, 14, 15comraddd 7963 . . . . 5 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → (𝐵 + (1 − 𝐴)) = ((𝐵𝐴) + 1))
1711, 16oveq12d 5801 . . . 4 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → ((𝐴 + (1 − 𝐴))...(𝐵 + (1 − 𝐴))) = (1...((𝐵𝐴) + 1)))
187, 17breqtrd 3963 . . 3 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → (𝐴...𝐵) ≈ (1...((𝐵𝐴) + 1)))
191, 2fzfigd 10255 . . . 4 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → (𝐴...𝐵) ∈ Fin)
20 1zzd 9125 . . . . 5 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → 1 ∈ ℤ)
212, 1zsubcld 9222 . . . . . 6 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → (𝐵𝐴) ∈ ℤ)
2221peano2zd 9220 . . . . 5 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → ((𝐵𝐴) + 1) ∈ ℤ)
2320, 22fzfigd 10255 . . . 4 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → (1...((𝐵𝐴) + 1)) ∈ Fin)
24 hashen 10582 . . . 4 (((𝐴...𝐵) ∈ Fin ∧ (1...((𝐵𝐴) + 1)) ∈ Fin) → ((♯‘(𝐴...𝐵)) = (♯‘(1...((𝐵𝐴) + 1))) ↔ (𝐴...𝐵) ≈ (1...((𝐵𝐴) + 1))))
2519, 23, 24syl2anc 409 . . 3 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → ((♯‘(𝐴...𝐵)) = (♯‘(1...((𝐵𝐴) + 1))) ↔ (𝐴...𝐵) ≈ (1...((𝐵𝐴) + 1))))
2618, 25mpbird 166 . 2 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → (♯‘(𝐴...𝐵)) = (♯‘(1...((𝐵𝐴) + 1))))
27 uznn0sub 9401 . . 3 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → (𝐵𝐴) ∈ ℕ0)
28 peano2nn0 9061 . . 3 ((𝐵𝐴) ∈ ℕ0 → ((𝐵𝐴) + 1) ∈ ℕ0)
29 hashfz1 10581 . . 3 (((𝐵𝐴) + 1) ∈ ℕ0 → (♯‘(1...((𝐵𝐴) + 1))) = ((𝐵𝐴) + 1))
3027, 28, 293syl 17 . 2 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → (♯‘(1...((𝐵𝐴) + 1))) = ((𝐵𝐴) + 1))
3126, 30eqtrd 2173 1 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → (♯‘(𝐴...𝐵)) = ((𝐵𝐴) + 1))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 104   = wceq 1332   ∈ wcel 1481   class class class wbr 3938  ‘cfv 5132  (class class class)co 5783   ≈ cen 6641  Fincfn 6643  ℂcc 7662  1c1 7665   + caddc 7667   − cmin 7977  ℕ0cn0 9021  ℤcz 9098  ℤ≥cuz 9370  ...cfz 9841  ♯chash 10573 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4052  ax-sep 4055  ax-nul 4063  ax-pow 4107  ax-pr 4140  ax-un 4364  ax-setind 4461  ax-iinf 4511  ax-cnex 7755  ax-resscn 7756  ax-1cn 7757  ax-1re 7758  ax-icn 7759  ax-addcl 7760  ax-addrcl 7761  ax-mulcl 7762  ax-addcom 7764  ax-addass 7766  ax-distr 7768  ax-i2m1 7769  ax-0lt1 7770  ax-0id 7772  ax-rnegex 7773  ax-cnre 7775  ax-pre-ltirr 7776  ax-pre-ltwlin 7777  ax-pre-lttrn 7778  ax-pre-apti 7779  ax-pre-ltadd 7780 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2692  df-sbc 2915  df-csb 3009  df-dif 3079  df-un 3081  df-in 3083  df-ss 3090  df-nul 3370  df-pw 3518  df-sn 3539  df-pr 3540  df-op 3542  df-uni 3746  df-int 3781  df-iun 3824  df-br 3939  df-opab 3999  df-mpt 4000  df-tr 4036  df-id 4224  df-iord 4297  df-on 4299  df-ilim 4300  df-suc 4302  df-iom 4514  df-xp 4554  df-rel 4555  df-cnv 4556  df-co 4557  df-dm 4558  df-rn 4559  df-res 4560  df-ima 4561  df-iota 5097  df-fun 5134  df-fn 5135  df-f 5136  df-f1 5137  df-fo 5138  df-f1o 5139  df-fv 5140  df-riota 5739  df-ov 5786  df-oprab 5787  df-mpo 5788  df-1st 6047  df-2nd 6048  df-recs 6211  df-frec 6297  df-1o 6322  df-er 6438  df-en 6644  df-dom 6645  df-fin 6646  df-pnf 7846  df-mnf 7847  df-xr 7848  df-ltxr 7849  df-le 7850  df-sub 7979  df-neg 7980  df-inn 8765  df-n0 9022  df-z 9099  df-uz 9371  df-fz 9842  df-ihash 10574 This theorem is referenced by:  hashfzo  10620  hashfzp1  10622  hashfz0  10623
 Copyright terms: Public domain W3C validator