Theorem hashfz 11131

Description: Value of the numeric cardinality of a nonempty integer range. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 15-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
hashfz	⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (♯‘(𝐴...𝐵)) = ((𝐵 − 𝐴) + 1))

Proof of Theorem hashfz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzel2 9804	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ)
2		eluzelz 9809	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → 𝐵 ∈ ℤ)
3		1z 9549	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℤ
4		zsubcl 9564	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (1 − 𝐴) ∈ ℤ)
5	3, 1, 4	sylancr 414	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (1 − 𝐴) ∈ ℤ)
6		fzen 10323	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ (1 − 𝐴) ∈ ℤ) → (𝐴...𝐵) ≈ ((𝐴 + (1 − 𝐴))...(𝐵 + (1 − 𝐴))))
7	1, 2, 5, 6	syl3anc 1274	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (𝐴...𝐵) ≈ ((𝐴 + (1 − 𝐴))...(𝐵 + (1 − 𝐴))))
8	1	zcnd 9647	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → 𝐴 ∈ ℂ)
9		ax-1cn 8168	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℂ
10		pncan3 8429	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝐴 + (1 − 𝐴)) = 1)
11	8, 9, 10	sylancl 413	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (𝐴 + (1 − 𝐴)) = 1)
12		1cnd 8238	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → 1 ∈ ℂ)
13	2	zcnd 9647	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
14	13, 8	subcld 8532	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℂ)
15	13, 12, 8	addsub12d 8555	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (𝐵 + (1 − 𝐴)) = (1 + (𝐵 − 𝐴)))
16	12, 14, 15	comraddd 8378	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (𝐵 + (1 − 𝐴)) = ((𝐵 − 𝐴) + 1))
17	11, 16	oveq12d 6046	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → ((𝐴 + (1 − 𝐴))...(𝐵 + (1 − 𝐴))) = (1...((𝐵 − 𝐴) + 1)))
18	7, 17	breqtrd 4119	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (𝐴...𝐵) ≈ (1...((𝐵 − 𝐴) + 1)))
19	1, 2	fzfigd 10739	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (𝐴...𝐵) ∈ Fin)
20		1zzd 9550	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → 1 ∈ ℤ)
21	2, 1	zsubcld 9651	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℤ)
22	21	peano2zd 9649	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → ((𝐵 − 𝐴) + 1) ∈ ℤ)
23	20, 22	fzfigd 10739	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (1...((𝐵 − 𝐴) + 1)) ∈ Fin)
24		hashen 11092	. . . 4 ⊢ (((𝐴...𝐵) ∈ Fin ∧ (1...((𝐵 − 𝐴) + 1)) ∈ Fin) → ((♯‘(𝐴...𝐵)) = (♯‘(1...((𝐵 − 𝐴) + 1))) ↔ (𝐴...𝐵) ≈ (1...((𝐵 − 𝐴) + 1))))
25	19, 23, 24	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → ((♯‘(𝐴...𝐵)) = (♯‘(1...((𝐵 − 𝐴) + 1))) ↔ (𝐴...𝐵) ≈ (1...((𝐵 − 𝐴) + 1))))
26	18, 25	mpbird 167	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (♯‘(𝐴...𝐵)) = (♯‘(1...((𝐵 − 𝐴) + 1))))
27		uznn0sub 9832	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℕ0)
28		peano2nn0 9484	. . 3 ⊢ ((𝐵 − 𝐴) ∈ ℕ0 → ((𝐵 − 𝐴) + 1) ∈ ℕ0)
29		hashfz1 11091	. . 3 ⊢ (((𝐵 − 𝐴) + 1) ∈ ℕ0 → (♯‘(1...((𝐵 − 𝐴) + 1))) = ((𝐵 − 𝐴) + 1))
30	27, 28, 29	3syl 17	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (♯‘(1...((𝐵 − 𝐴) + 1))) = ((𝐵 − 𝐴) + 1))
31	26, 30	eqtrd 2264	1 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (♯‘(𝐴...𝐵)) = ((𝐵 − 𝐴) + 1))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1398   ∈ wcel 2202   class class class wbr 4093  ‘cfv 5333  (class class class)co 6028   ≈ cen 6950  Fincfn 6952  ℂcc 8073  1c1 8076   + caddc 8078   − cmin 8392  ℕ₀cn0 9444  ℤcz 9523  ℤ_≥cuz 9799  ...cfz 10288  ♯chash 11083

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-addcom 8175  ax-addass 8177  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-cnre 8186  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltwlin 8188  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-apti 8190  ax-pre-ltadd 8191

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-iord 4469  df-on 4471  df-ilim 4472  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6514  df-frec 6600  df-1o 6625  df-er 6745  df-en 6953  df-dom 6954  df-fin 6955  df-pnf 8258  df-mnf 8259  df-xr 8260  df-ltxr 8261  df-le 8262  df-sub 8394  df-neg 8395  df-inn 9186  df-n0 9445  df-z 9524  df-uz 9800  df-fz 10289  df-ihash 11084

This theorem is referenced by:  hashfzo  11132  hashfzp1  11134  hashfz0  11135  0sgmppw  15790  gausslemma2dlem5  15868  gsumgfsum  16796