ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  isum Unicode version

Theorem isum 11105
Description: Series sum with an upper integer index set (i.e. an infinite series). (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jul-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
zsum.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
zsum.2  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
isum.3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  =  B )
isum.4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  B  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
isum  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  Z  B  =  (  ~~>  `  seq M (  +  ,  F ) ) )
Distinct variable groups:    ph, k    k, Z    k, M    k, F
Allowed substitution hint:    B( k)

Proof of Theorem isum
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zsum.1 . 2  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
2 zsum.2 . 2  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
3 ssidd 3086 . 2  |-  ( ph  ->  Z  C_  Z )
4 isum.3 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  =  B )
5 simpr 109 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  k  e.  Z )
65iftrued 3449 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  if ( k  e.  Z ,  B ,  0 )  =  B )
74, 6eqtr4d 2151 . 2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  =  if ( k  e.  Z ,  B , 
0 ) )
8 orc 684 . . . . 5  |-  ( x  e.  Z  ->  (
x  e.  Z  \/  -.  x  e.  Z
) )
9 df-dc 803 . . . . 5  |-  (DECID  x  e.  Z  <->  ( x  e.  Z  \/  -.  x  e.  Z ) )
108, 9sylibr 133 . . . 4  |-  ( x  e.  Z  -> DECID  x  e.  Z
)
1110adantl 273 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Z )  -> DECID  x  e.  Z
)
1211ralrimiva 2480 . 2  |-  ( ph  ->  A. x  e.  Z DECID  x  e.  Z )
13 isum.4 . 2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  B  e.  CC )
141, 2, 3, 7, 12, 13zsumdc 11104 1  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  Z  B  =  (  ~~>  `  seq M (  +  ,  F ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    \/ wo 680  DECID wdc 802    = wceq 1314    e. wcel 1463   ifcif 3442   ` cfv 5091   CCcc 7582   0cc0 7584    + caddc 7587   ZZcz 9008   ZZ>=cuz 9278    seqcseq 10169    ~~> cli 10998   sum_csu 11073
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-coll 4011  ax-sep 4014  ax-nul 4022  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-setind 4420  ax-iinf 4470  ax-cnex 7675  ax-resscn 7676  ax-1cn 7677  ax-1re 7678  ax-icn 7679  ax-addcl 7680  ax-addrcl 7681  ax-mulcl 7682  ax-mulrcl 7683  ax-addcom 7684  ax-mulcom 7685  ax-addass 7686  ax-mulass 7687  ax-distr 7688  ax-i2m1 7689  ax-0lt1 7690  ax-1rid 7691  ax-0id 7692  ax-rnegex 7693  ax-precex 7694  ax-cnre 7695  ax-pre-ltirr 7696  ax-pre-ltwlin 7697  ax-pre-lttrn 7698  ax-pre-apti 7699  ax-pre-ltadd 7700  ax-pre-mulgt0 7701  ax-pre-mulext 7702
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 803  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-nel 2379  df-ral 2396  df-rex 2397  df-reu 2398  df-rmo 2399  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-csb 2974  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-nul 3332  df-if 3443  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-int 3740  df-iun 3783  df-br 3898  df-opab 3958  df-mpt 3959  df-tr 3995  df-id 4183  df-po 4186  df-iso 4187  df-iord 4256  df-on 4258  df-ilim 4259  df-suc 4261  df-iom 4473  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-rn 4518  df-res 4519  df-ima 4520  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fn 5094  df-f 5095  df-f1 5096  df-fo 5097  df-f1o 5098  df-fv 5099  df-isom 5100  df-riota 5696  df-ov 5743  df-oprab 5744  df-mpo 5745  df-1st 6004  df-2nd 6005  df-recs 6168  df-irdg 6233  df-frec 6254  df-1o 6279  df-oadd 6283  df-er 6395  df-en 6601  df-dom 6602  df-fin 6603  df-pnf 7766  df-mnf 7767  df-xr 7768  df-ltxr 7769  df-le 7770  df-sub 7899  df-neg 7900  df-reap 8300  df-ap 8307  df-div 8396  df-inn 8681  df-2 8739  df-n0 8932  df-z 9009  df-uz 9279  df-q 9364  df-rp 9394  df-fz 9742  df-fzo 9871  df-seqfrec 10170  df-exp 10244  df-ihash 10473  df-cj 10565  df-rsqrt 10721  df-abs 10722  df-clim 10999  df-sumdc 11074
This theorem is referenced by:  isumclim  11141  isumclim2  11142  isumclim3  11143  sumnul  11144  isumcl  11145  isumshft  11210  isumle  11215
  Copyright terms: Public domain W3C validator