Theorem isum 11393

Description: Series sum with an upper integer index set (i.e. an infinite series). (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jul-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
zsum.1	|- Z = ( ZZ>= ` M )
zsum.2	|- ( ph -> M e. ZZ )
isum.3	|- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) = B )
isum.4	|- ( ( ph /\ k e. Z ) -> B e. CC )

Assertion

Ref	Expression
isum	|- ( ph -> sum_ k e. Z B = ( ~~> ` seq M ( + , F ) ) )

Distinct variable groups:   ph, k   k, Z   k, M   k, F

Allowed substitution hint:   B( k)

Proof of Theorem isum

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zsum.1	. 2 |- Z = ( ZZ>= ` M )
2		zsum.2	. 2 |- ( ph -> M e. ZZ )
3		ssidd 3177	. 2 |- ( ph -> Z C_ Z )
4		isum.3	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) = B )
5		simpr 110	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> k e. Z )
6	5	iftrued 3542	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> if ( k e. Z , B , 0 ) = B )
7	4, 6	eqtr4d 2213	. 2 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) = if ( k e. Z , B , 0 ) )
8		orc 712	. . . . 5 |- ( x e. Z -> ( x e. Z \/ -. x e. Z ) )
9		df-dc 835	. . . . 5 |- (DECID x e. Z <-> ( x e. Z \/ -. x e. Z ) )
10	8, 9	sylibr 134	. . . 4 |- ( x e. Z -> DECID x e. Z )
11	10	adantl 277	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. Z ) -> DECID x e. Z )
12	11	ralrimiva 2550	. 2 |- ( ph -> A. x e. Z DECID x e. Z )
13		isum.4	. 2 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> B e. CC )
14	1, 2, 3, 7, 12, 13	zsumdc 11392	1 |- ( ph -> sum_ k e. Z B = ( ~~> ` seq M ( + , F ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 708  DECID wdc 834   = wceq 1353   e. wcel 2148   ifcif 3535   ` cfv 5217   CCcc 7809   0cc0 7811   + caddc 7814   ZZcz 9253   ZZ>=cuz 9528   seqcseq 10445   ~~> cli 11286   sum_csu 11361

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4119  ax-sep 4122  ax-nul 4130  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-iinf 4588  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-mulrcl 7910  ax-addcom 7911  ax-mulcom 7912  ax-addass 7913  ax-mulass 7914  ax-distr 7915  ax-i2m1 7916  ax-0lt1 7917  ax-1rid 7918  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-precex 7921  ax-cnre 7922  ax-pre-ltirr 7923  ax-pre-ltwlin 7924  ax-pre-lttrn 7925  ax-pre-apti 7926  ax-pre-ltadd 7927  ax-pre-mulgt0 7928  ax-pre-mulext 7929

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-if 3536  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-tr 4103  df-id 4294  df-po 4297  df-iso 4298  df-iord 4367  df-on 4369  df-ilim 4370  df-suc 4372  df-iom 4591  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-isom 5226  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-1st 6141  df-2nd 6142  df-recs 6306  df-irdg 6371  df-frec 6392  df-1o 6417  df-oadd 6421  df-er 6535  df-en 6741  df-dom 6742  df-fin 6743  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-xr 7996  df-ltxr 7997  df-le 7998  df-sub 8130  df-neg 8131  df-reap 8532  df-ap 8539  df-div 8630  df-inn 8920  df-2 8978  df-n0 9177  df-z 9254  df-uz 9529  df-q 9620  df-rp 9654  df-fz 10009  df-fzo 10143  df-seqfrec 10446  df-exp 10520  df-ihash 10756  df-cj 10851  df-rsqrt 11007  df-abs 11008  df-clim 11287  df-sumdc 11362

This theorem is referenced by:  isumclim  11429  isumclim2  11430  isumclim3  11431  sumnul  11432  isumcl  11433  isumshft  11498  isumle  11503