Theorem isumclim2 10870

Description: A converging series converges to its infinite sum. (Contributed by NM, 2-Jan-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
isumclim.1	|- Z = ( ZZ>= ` M )
isumclim.2	|- ( ph -> M e. ZZ )
isumclim.3	|- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) = A )
isumclim.4	|- ( ( ph /\ k e. Z ) -> A e. CC )
isumclim2.5	|- ( ph -> seq M ( + , F ) e. dom ~~> )

Assertion

Ref	Expression
isumclim2	|- ( ph -> seq M ( + , F ) ~~> sum_ k e. Z A )

Distinct variable groups:   k, F   k, M   ph, k   k, Z

Allowed substitution hint:   A( k)

Proof of Theorem isumclim2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isumclim2.5	. . 3 |- ( ph -> seq M ( + , F ) e. dom ~~> )
2		climdm 10737	. . 3 |- ( seq M ( + , F ) e. dom ~~> <-> seq M ( + , F ) ~~> ( ~~> ` seq M ( + , F ) ) )
3	1, 2	sylib 121	. 2 |- ( ph -> seq M ( + , F ) ~~> ( ~~> ` seq M ( + , F ) ) )
4		isumclim.1	. . 3 |- Z = ( ZZ>= ` M )
5		isumclim.2	. . 3 |- ( ph -> M e. ZZ )
6		isumclim.3	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) = A )
7		isumclim.4	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> A e. CC )
8	4, 5, 6, 7	isum 10830	. 2 |- ( ph -> sum_ k e. Z A = ( ~~> ` seq M ( + , F ) ) )
9	3, 8	breqtrrd 3877	1 |- ( ph -> seq M ( + , F ) ~~> sum_ k e. Z A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1290   e. wcel 1439   class class class wbr 3851   dom cdm 4451   ` cfv 5028   CCcc 7402   + caddc 7407   ZZcz 8804   ZZ>=cuz 9073   seqcseq 9906   ~~> cli 10720   sum_csu 10796

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-coll 3960  ax-sep 3963  ax-nul 3971  ax-pow 4015  ax-pr 4045  ax-un 4269  ax-setind 4366  ax-iinf 4416  ax-cnex 7490  ax-resscn 7491  ax-1cn 7492  ax-1re 7493  ax-icn 7494  ax-addcl 7495  ax-addrcl 7496  ax-mulcl 7497  ax-mulrcl 7498  ax-addcom 7499  ax-mulcom 7500  ax-addass 7501  ax-mulass 7502  ax-distr 7503  ax-i2m1 7504  ax-0lt1 7505  ax-1rid 7506  ax-0id 7507  ax-rnegex 7508  ax-precex 7509  ax-cnre 7510  ax-pre-ltirr 7511  ax-pre-ltwlin 7512  ax-pre-lttrn 7513  ax-pre-apti 7514  ax-pre-ltadd 7515  ax-pre-mulgt0 7516  ax-pre-mulext 7517  ax-arch 7518  ax-caucvg 7519

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 782  df-3or 926  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-nel 2352  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rmo 2368  df-rab 2369  df-v 2622  df-sbc 2842  df-csb 2935  df-dif 3002  df-un 3004  df-in 3006  df-ss 3013  df-nul 3288  df-if 3398  df-pw 3435  df-sn 3456  df-pr 3457  df-op 3459  df-uni 3660  df-int 3695  df-iun 3738  df-br 3852  df-opab 3906  df-mpt 3907  df-tr 3943  df-id 4129  df-po 4132  df-iso 4133  df-iord 4202  df-on 4204  df-ilim 4205  df-suc 4207  df-iom 4419  df-xp 4457  df-rel 4458  df-cnv 4459  df-co 4460  df-dm 4461  df-rn 4462  df-res 4463  df-ima 4464  df-iota 4993  df-fun 5030  df-fn 5031  df-f 5032  df-f1 5033  df-fo 5034  df-f1o 5035  df-fv 5036  df-isom 5037  df-riota 5622  df-ov 5669  df-oprab 5670  df-mpt2 5671  df-1st 5925  df-2nd 5926  df-recs 6084  df-irdg 6149  df-frec 6170  df-1o 6195  df-oadd 6199  df-er 6306  df-en 6512  df-dom 6513  df-fin 6514  df-pnf 7578  df-mnf 7579  df-xr 7580  df-ltxr 7581  df-le 7582  df-sub 7709  df-neg 7710  df-reap 8106  df-ap 8113  df-div 8194  df-inn 8477  df-2 8535  df-3 8536  df-4 8537  df-n0 8728  df-z 8805  df-uz 9074  df-q 9159  df-rp 9189  df-fz 9479  df-fzo 9608  df-iseq 9907  df-seq3 9908  df-exp 10009  df-ihash 10238  df-cj 10330  df-re 10331  df-im 10332  df-rsqrt 10485  df-abs 10486  df-clim 10721  df-isum 10797

This theorem is referenced by:  isummulc2  10874  isumrecl  10877  isumge0  10878  isumadd  10879  isumsplit  10939  isumrpcl  10942  geolim2  10960  mertenslem2  10984  mertensabs  10985  efcvg  11010  eftlub  11034