ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  isum GIF version

Theorem isum 11428
Description: Series sum with an upper integer index set (i.e. an infinite series). (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jul-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
zsum.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
zsum.2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
isum.3 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = 𝐵)
isum.4 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐵 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
isum (𝜑 → Σ𝑘𝑍 𝐵 = ( ⇝ ‘seq𝑀( + , 𝐹)))
Distinct variable groups:   𝜑,𝑘   𝑘,𝑍   𝑘,𝑀   𝑘,𝐹
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem isum
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zsum.1 . 2 𝑍 = (ℤ𝑀)
2 zsum.2 . 2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
3 ssidd 3191 . 2 (𝜑𝑍𝑍)
4 isum.3 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = 𝐵)
5 simpr 110 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝑘𝑍)
65iftrued 3556 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → if(𝑘𝑍, 𝐵, 0) = 𝐵)
74, 6eqtr4d 2225 . 2 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = if(𝑘𝑍, 𝐵, 0))
8 orc 713 . . . . 5 (𝑥𝑍 → (𝑥𝑍 ∨ ¬ 𝑥𝑍))
9 df-dc 836 . . . . 5 (DECID 𝑥𝑍 ↔ (𝑥𝑍 ∨ ¬ 𝑥𝑍))
108, 9sylibr 134 . . . 4 (𝑥𝑍DECID 𝑥𝑍)
1110adantl 277 . . 3 ((𝜑𝑥𝑍) → DECID 𝑥𝑍)
1211ralrimiva 2563 . 2 (𝜑 → ∀𝑥𝑍 DECID 𝑥𝑍)
13 isum.4 . 2 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐵 ∈ ℂ)
141, 2, 3, 7, 12, 13zsumdc 11427 1 (𝜑 → Σ𝑘𝑍 𝐵 = ( ⇝ ‘seq𝑀( + , 𝐹)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 104  wo 709  DECID wdc 835   = wceq 1364  wcel 2160  ifcif 3549  cfv 5235  cc 7840  0cc0 7842   + caddc 7845  cz 9284  cuz 9559  seqcseq 10478  cli 11321  Σcsu 11396
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-iinf 4605  ax-cnex 7933  ax-resscn 7934  ax-1cn 7935  ax-1re 7936  ax-icn 7937  ax-addcl 7938  ax-addrcl 7939  ax-mulcl 7940  ax-mulrcl 7941  ax-addcom 7942  ax-mulcom 7943  ax-addass 7944  ax-mulass 7945  ax-distr 7946  ax-i2m1 7947  ax-0lt1 7948  ax-1rid 7949  ax-0id 7950  ax-rnegex 7951  ax-precex 7952  ax-cnre 7953  ax-pre-ltirr 7954  ax-pre-ltwlin 7955  ax-pre-lttrn 7956  ax-pre-apti 7957  ax-pre-ltadd 7958  ax-pre-mulgt0 7959  ax-pre-mulext 7960
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4311  df-po 4314  df-iso 4315  df-iord 4384  df-on 4386  df-ilim 4387  df-suc 4389  df-iom 4608  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-isom 5244  df-riota 5852  df-ov 5900  df-oprab 5901  df-mpo 5902  df-1st 6166  df-2nd 6167  df-recs 6331  df-irdg 6396  df-frec 6417  df-1o 6442  df-oadd 6446  df-er 6560  df-en 6768  df-dom 6769  df-fin 6770  df-pnf 8025  df-mnf 8026  df-xr 8027  df-ltxr 8028  df-le 8029  df-sub 8161  df-neg 8162  df-reap 8563  df-ap 8570  df-div 8661  df-inn 8951  df-2 9009  df-n0 9208  df-z 9285  df-uz 9560  df-q 9652  df-rp 9686  df-fz 10041  df-fzo 10175  df-seqfrec 10479  df-exp 10554  df-ihash 10791  df-cj 10886  df-rsqrt 11042  df-abs 11043  df-clim 11322  df-sumdc 11397
This theorem is referenced by:  isumclim  11464  isumclim2  11465  isumclim3  11466  sumnul  11467  isumcl  11468  isumshft  11533  isumle  11538
  Copyright terms: Public domain W3C validator