Theorem isum 11341

Description: Series sum with an upper integer index set (i.e. an infinite series). (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jul-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
zsum.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
zsum.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
isum.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = 𝐵)
isum.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
isum	⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝑍 𝐵 = ( ⇝ ‘seq𝑀( + , 𝐹)))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑘   𝑘,𝑍   𝑘,𝑀   𝑘,𝐹

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem isum

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zsum.1	. 2 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2		zsum.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
3		ssidd 3168	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ⊆ 𝑍)
4		isum.3	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = 𝐵)
5		simpr 109	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝑘 ∈ 𝑍)
6	5	iftrued 3532	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → if(𝑘 ∈ 𝑍, 𝐵, 0) = 𝐵)
7	4, 6	eqtr4d 2206	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = if(𝑘 ∈ 𝑍, 𝐵, 0))
8		orc 707	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑍 → (𝑥 ∈ 𝑍 ∨ ¬ 𝑥 ∈ 𝑍))
9		df-dc 830	. . . . 5 ⊢ (DECID 𝑥 ∈ 𝑍 ↔ (𝑥 ∈ 𝑍 ∨ ¬ 𝑥 ∈ 𝑍))
10	8, 9	sylibr 133	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑍 → DECID 𝑥 ∈ 𝑍)
11	10	adantl 275	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑍) → DECID 𝑥 ∈ 𝑍)
12	11	ralrimiva 2543	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑍 DECID 𝑥 ∈ 𝑍)
13		isum.4	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐵 ∈ ℂ)
14	1, 2, 3, 7, 12, 13	zsumdc 11340	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝑍 𝐵 = ( ⇝ ‘seq𝑀( + , 𝐹)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ∨ wo 703  DECID wdc 829   = wceq 1348   ∈ wcel 2141  ifcif 3525  ‘cfv 5196  ℂcc 7765  0cc0 7767   + caddc 7770  ℤcz 9205  ℤ_≥cuz 9480  seqcseq 10394   ⇝ cli 11234  Σcsu 11309

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4102  ax-sep 4105  ax-nul 4113  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519  ax-iinf 4570  ax-cnex 7858  ax-resscn 7859  ax-1cn 7860  ax-1re 7861  ax-icn 7862  ax-addcl 7863  ax-addrcl 7864  ax-mulcl 7865  ax-mulrcl 7866  ax-addcom 7867  ax-mulcom 7868  ax-addass 7869  ax-mulass 7870  ax-distr 7871  ax-i2m1 7872  ax-0lt1 7873  ax-1rid 7874  ax-0id 7875  ax-rnegex 7876  ax-precex 7877  ax-cnre 7878  ax-pre-ltirr 7879  ax-pre-ltwlin 7880  ax-pre-lttrn 7881  ax-pre-apti 7882  ax-pre-ltadd 7883  ax-pre-mulgt0 7884  ax-pre-mulext 7885

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3526  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-int 3830  df-iun 3873  df-br 3988  df-opab 4049  df-mpt 4050  df-tr 4086  df-id 4276  df-po 4279  df-iso 4280  df-iord 4349  df-on 4351  df-ilim 4352  df-suc 4354  df-iom 4573  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-res 4621  df-ima 4622  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-f1 5201  df-fo 5202  df-f1o 5203  df-fv 5204  df-isom 5205  df-riota 5807  df-ov 5854  df-oprab 5855  df-mpo 5856  df-1st 6117  df-2nd 6118  df-recs 6282  df-irdg 6347  df-frec 6368  df-1o 6393  df-oadd 6397  df-er 6511  df-en 6717  df-dom 6718  df-fin 6719  df-pnf 7949  df-mnf 7950  df-xr 7951  df-ltxr 7952  df-le 7953  df-sub 8085  df-neg 8086  df-reap 8487  df-ap 8494  df-div 8583  df-inn 8872  df-2 8930  df-n0 9129  df-z 9206  df-uz 9481  df-q 9572  df-rp 9604  df-fz 9959  df-fzo 10092  df-seqfrec 10395  df-exp 10469  df-ihash 10703  df-cj 10799  df-rsqrt 10955  df-abs 10956  df-clim 11235  df-sumdc 11310

This theorem is referenced by:  isumclim  11377  isumclim2  11378  isumclim3  11379  sumnul  11380  isumcl  11381  isumshft  11446  isumle  11451