Theorem iswlkg 16199

Description: Generalization of iswlk 16193: Conditions for two classes to represent a walk. (Contributed by Alexander van der Vekens, 23-Jun-2018.) (Revised by AV, 1-Jan-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
iswlkg.v	|- V = (Vtx ` G )
iswlkg.i	|- I = (iEdg ` G )

Assertion

Ref	Expression
iswlkg	|- ( G e. W -> ( F (Walks ` G ) P <-> ( F e. Word dom I /\ P : ( 0 ... (♯ ` F ) ) --> V /\ A. k e. ( 0..^ (♯ ` F ) )if- ( ( P ` k ) = ( P ` ( k + 1 ) ) , ( I ` ( F ` k ) ) = { ( P ` k ) } , { ( P ` k ) , ( P ` ( k + 1 ) ) } C_ ( I ` ( F ` k ) ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   k, G   k, F   P, k

Allowed substitution hints:   I( k)   V( k)   W( k)

Proof of Theorem iswlkg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wlkvg 16198	. . 3 |- ( ( G e. W /\ F (Walks ` G ) P ) -> ( F e. _V /\ P e. _V ) )
2	1	ex 115	. 2 |- ( G e. W -> ( F (Walks ` G ) P -> ( F e. _V /\ P e. _V ) ) )
3		elex 2814	. . . . . 6 |- ( F e. Word dom I -> F e. _V )
4	3	ad2antrl 490	. . . . 5 |- ( ( G e. W /\ ( F e. Word dom I /\ P : ( 0 ... (♯ ` F ) ) --> V ) ) -> F e. _V )
5		simprr 533	. . . . . 6 |- ( ( G e. W /\ ( F e. Word dom I /\ P : ( 0 ... (♯ ` F ) ) --> V ) ) -> P : ( 0 ... (♯ ` F ) ) --> V )
6		0zd 9491	. . . . . . . 8 |- ( F e. Word dom I -> 0 e. ZZ )
7		lencl 11121	. . . . . . . . 9 |- ( F e. Word dom I -> (♯ ` F ) e. NN0 )
8	7	nn0zd 9600	. . . . . . . 8 |- ( F e. Word dom I -> (♯ ` F ) e. ZZ )
9	6, 8	fzfigd 10694	. . . . . . 7 |- ( F e. Word dom I -> ( 0 ... (♯ ` F ) ) e. Fin )
10	9	ad2antrl 490	. . . . . 6 |- ( ( G e. W /\ ( F e. Word dom I /\ P : ( 0 ... (♯ ` F ) ) --> V ) ) -> ( 0 ... (♯ ` F ) ) e. Fin )
11	5, 10	fexd 5884	. . . . 5 |- ( ( G e. W /\ ( F e. Word dom I /\ P : ( 0 ... (♯ ` F ) ) --> V ) ) -> P e. _V )
12	4, 11	jca 306	. . . 4 |- ( ( G e. W /\ ( F e. Word dom I /\ P : ( 0 ... (♯ ` F ) ) --> V ) ) -> ( F e. _V /\ P e. _V ) )
13	12	3adantr3 1184	. . 3 |- ( ( G e. W /\ ( F e. Word dom I /\ P : ( 0 ... (♯ ` F ) ) --> V /\ A. k e. ( 0..^ (♯ ` F ) )if- ( ( P ` k ) = ( P ` ( k + 1 ) ) , ( I ` ( F ` k ) ) = { ( P ` k ) } , { ( P ` k ) , ( P ` ( k + 1 ) ) } C_ ( I ` ( F ` k ) ) ) ) ) -> ( F e. _V /\ P e. _V ) )
14	13	ex 115	. 2 |- ( G e. W -> ( ( F e. Word dom I /\ P : ( 0 ... (♯ ` F ) ) --> V /\ A. k e. ( 0..^ (♯ ` F ) )if- ( ( P ` k ) = ( P ` ( k + 1 ) ) , ( I ` ( F ` k ) ) = { ( P ` k ) } , { ( P ` k ) , ( P ` ( k + 1 ) ) } C_ ( I ` ( F ` k ) ) ) ) -> ( F e. _V /\ P e. _V ) ) )
15		iswlkg.v	. . . 4 |- V = (Vtx ` G )
16		iswlkg.i	. . . 4 |- I = (iEdg ` G )
17	15, 16	iswlk 16193	. . 3 |- ( ( G e. W /\ F e. _V /\ P e. _V ) -> ( F (Walks ` G ) P <-> ( F e. Word dom I /\ P : ( 0 ... (♯ ` F ) ) --> V /\ A. k e. ( 0..^ (♯ ` F ) )if- ( ( P ` k ) = ( P ` ( k + 1 ) ) , ( I ` ( F ` k ) ) = { ( P ` k ) } , { ( P ` k ) , ( P ` ( k + 1 ) ) } C_ ( I ` ( F ` k ) ) ) ) ) )
18	17	3expib 1232	. 2 |- ( G e. W -> ( ( F e. _V /\ P e. _V ) -> ( F (Walks ` G ) P <-> ( F e. Word dom I /\ P : ( 0 ... (♯ ` F ) ) --> V /\ A. k e. ( 0..^ (♯ ` F ) )if- ( ( P ` k ) = ( P ` ( k + 1 ) ) , ( I ` ( F ` k ) ) = { ( P ` k ) } , { ( P ` k ) , ( P ` ( k + 1 ) ) } C_ ( I ` ( F ` k ) ) ) ) ) ) )
19	2, 14, 18	pm5.21ndd 712	1 |- ( G e. W -> ( F (Walks ` G ) P <-> ( F e. Word dom I /\ P : ( 0 ... (♯ ` F ) ) --> V /\ A. k e. ( 0..^ (♯ ` F ) )if- ( ( P ` k ) = ( P ` ( k + 1 ) ) , ( I ` ( F ` k ) ) = { ( P ` k ) } , { ( P ` k ) , ( P ` ( k + 1 ) ) } C_ ( I ` ( F ` k ) ) ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105  if-wif 985   /\ w3a 1004   = wceq 1397   e. wcel 2202   A.wral 2510   _Vcvv 2802   C_ wss 3200   {csn 3669   {cpr 3670   class class class wbr 4088   dom cdm 4725   -->wf 5322   ` cfv 5326  (class class class)co 6018   Fincfn 6909   0cc0 8032   1c1 8033   + caddc 8035   ...cfz 10243  ..^cfzo 10377  ♯chash 11038  Word cword 11117  Vtxcvtx 15882  iEdgciedg 15883  Walkscwlks 16187

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-addcom 8132  ax-mulcom 8133  ax-addass 8134  ax-mulass 8135  ax-distr 8136  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-1rid 8139  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-cnre 8143  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-ltwlin 8145  ax-pre-lttrn 8146  ax-pre-apti 8147  ax-pre-ltadd 8148

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-ifp 986  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-1st 6303  df-2nd 6304  df-recs 6471  df-frec 6557  df-1o 6582  df-er 6702  df-map 6819  df-en 6910  df-dom 6911  df-fin 6912  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-xr 8218  df-ltxr 8219  df-le 8220  df-sub 8352  df-neg 8353  df-inn 9144  df-2 9202  df-3 9203  df-4 9204  df-5 9205  df-6 9206  df-7 9207  df-8 9208  df-9 9209  df-n0 9403  df-z 9480  df-dec 9612  df-uz 9756  df-fz 10244  df-fzo 10378  df-ihash 11039  df-word 11118  df-ndx 13103  df-slot 13104  df-base 13106  df-edgf 15875  df-vtx 15884  df-iedg 15885  df-wlks 16188

This theorem is referenced by:  wlkcompim  16222  wlkl1loop  16228  upgriswlkdc  16230  wlkres  16249