Theorem iswlkg 16324

Description: Generalization of iswlk 16318: Conditions for two classes to represent a walk. (Contributed by Alexander van der Vekens, 23-Jun-2018.) (Revised by AV, 1-Jan-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
iswlkg.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
iswlkg.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
iswlkg	⊢ (𝐺 ∈ 𝑊 → (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))))))

Distinct variable groups:   𝑘,𝐺   𝑘,𝐹   𝑃,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐼(𝑘)   𝑉(𝑘)   𝑊(𝑘)

Proof of Theorem iswlkg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wlkvg 16323	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃) → (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V))
2	1	ex 115	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑊 → (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)))
3		elex 2825	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 → 𝐹 ∈ V)
4	3	ad2antrl 490	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉)) → 𝐹 ∈ V)
5		simprr 533	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉)) → 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉)
6		0zd 9589	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 → 0 ∈ ℤ)
7		lencl 11228	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
8	7	nn0zd 9698	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 → (♯‘𝐹) ∈ ℤ)
9	6, 8	fzfigd 10793	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 → (0...(♯‘𝐹)) ∈ Fin)
10	9	ad2antrl 490	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉)) → (0...(♯‘𝐹)) ∈ Fin)
11	5, 10	fexd 5916	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉)) → 𝑃 ∈ V)
12	4, 11	jca 306	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉)) → (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V))
13	12	3adantr3 1185	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))))) → (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V))
14	13	ex 115	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑊 → ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))) → (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)))
15		iswlkg.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
16		iswlkg.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
17	15, 16	iswlk 16318	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) → (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))))))
18	17	3expib 1233	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑊 → ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) → (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))))))
19	2, 14, 18	pm5.21ndd 713	1 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑊 → (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105  if-wif 986   ∧ w3a 1005   = wceq 1398   ∈ wcel 2203  ∀wral 2520  Vcvv 2813   ⊆ wss 3211  {csn 3689  {cpr 3690   class class class wbr 4109  dom cdm 4749  ⟶wf 5348  ‘cfv 5352  (class class class)co 6050  Fincfn 6975  0cc0 8127  1c1 8128   + caddc 8130  ...cfz 10342  ..^cfzo 10476  ♯chash 11138  Word cword 11224  Vtxcvtx 16007  iEdgciedg 16008  Walkscwlks 16312

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4225  ax-sep 4228  ax-nul 4236  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-iinf 4710  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-addcom 8227  ax-mulcom 8228  ax-addass 8229  ax-mulass 8230  ax-distr 8231  ax-i2m1 8232  ax-0lt1 8233  ax-1rid 8234  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-cnre 8238  ax-pre-ltirr 8239  ax-pre-ltwlin 8240  ax-pre-lttrn 8241  ax-pre-apti 8242  ax-pre-ltadd 8243

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-ifp 987  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-if 3621  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-tr 4209  df-id 4414  df-iord 4487  df-on 4489  df-ilim 4490  df-suc 4492  df-iom 4713  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-fv 5360  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-1st 6334  df-2nd 6335  df-recs 6536  df-frec 6622  df-1o 6647  df-er 6767  df-map 6884  df-en 6976  df-dom 6977  df-fin 6978  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-xr 8312  df-ltxr 8313  df-le 8314  df-sub 8446  df-neg 8447  df-inn 9238  df-2 9296  df-3 9297  df-4 9298  df-5 9299  df-6 9300  df-7 9301  df-8 9302  df-9 9303  df-n0 9497  df-z 9578  df-dec 9710  df-uz 9854  df-fz 10343  df-fzo 10477  df-ihash 11139  df-word 11225  df-ndx 13215  df-slot 13216  df-base 13218  df-edgf 16000  df-vtx 16009  df-iedg 16010  df-wlks 16313

This theorem is referenced by:  wlkcompim  16347  wlkl1loop  16353  upgriswlkdc  16355  wlkres  16374