Theorem konigsbergvtx 16608

Description: The set of vertices of the Königsberg graph G. (Contributed by AV, 28-Feb-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
konigsberg.v	|- V = ( 0 ... 3 )
konigsberg.e	|- E = <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } ">
konigsberg.g	|- G = <. V , E >.

Assertion

Ref	Expression
konigsbergvtx	|- (Vtx ` G ) = ( 0 ... 3 )

Proof of Theorem konigsbergvtx

Step	Hyp	Ref	Expression
1		konigsberg.g	. . . 4 |- G = <. V , E >.
2		konigsberg.v	. . . . 5 |- V = ( 0 ... 3 )
3		konigsberg.e	. . . . 5 |- E = <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } ">
4	2, 3	opeq12i 3894	. . . 4 |- <. V , E >. = <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> >.
5	1, 4	eqtri 2255	. . 3 |- G = <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> >.
6	5	fveq2i 5679	. 2 |- (Vtx ` G ) = (Vtx ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> >. )
7		0z 9609	. . . . 5 |- 0 e. ZZ
8		3z 9627	. . . . 5 |- 3 e. ZZ
9		fzfig 10820	. . . . 5 |- ( ( 0 e. ZZ /\ 3 e. ZZ ) -> ( 0 ... 3 ) e. Fin )
10	7, 8, 9	mp2an 426	. . . 4 |- ( 0 ... 3 ) e. Fin
11	10	elexi 2828	. . 3 |- ( 0 ... 3 ) e. _V
12		1z 9624	. . . . . . 7 |- 1 e. ZZ
13		prexg 4331	. . . . . . 7 |- ( ( 0 e. ZZ /\ 1 e. ZZ ) -> { 0 , 1 } e. _V )
14	7, 12, 13	mp2an 426	. . . . . 6 |- { 0 , 1 } e. _V
15	14	a1i 9	. . . . 5 |- ( T. -> { 0 , 1 } e. _V )
16		2z 9626	. . . . . . 7 |- 2 e. ZZ
17		prexg 4331	. . . . . . 7 |- ( ( 0 e. ZZ /\ 2 e. ZZ ) -> { 0 , 2 } e. _V )
18	7, 16, 17	mp2an 426	. . . . . 6 |- { 0 , 2 } e. _V
19	18	a1i 9	. . . . 5 |- ( T. -> { 0 , 2 } e. _V )
20		prexg 4331	. . . . . . 7 |- ( ( 0 e. ZZ /\ 3 e. ZZ ) -> { 0 , 3 } e. _V )
21	7, 8, 20	mp2an 426	. . . . . 6 |- { 0 , 3 } e. _V
22	21	a1i 9	. . . . 5 |- ( T. -> { 0 , 3 } e. _V )
23		prexg 4331	. . . . . . 7 |- ( ( 1 e. ZZ /\ 2 e. ZZ ) -> { 1 , 2 } e. _V )
24	12, 16, 23	mp2an 426	. . . . . 6 |- { 1 , 2 } e. _V
25	24	a1i 9	. . . . 5 |- ( T. -> { 1 , 2 } e. _V )
26		prexg 4331	. . . . . . 7 |- ( ( 2 e. ZZ /\ 3 e. ZZ ) -> { 2 , 3 } e. _V )
27	16, 8, 26	mp2an 426	. . . . . 6 |- { 2 , 3 } e. _V
28	27	a1i 9	. . . . 5 |- ( T. -> { 2 , 3 } e. _V )
29	15, 19, 22, 25, 25, 28, 28	s7cld 11504	. . . 4 |- ( T. -> <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> e. Word _V )
30	29	mptru 1407	. . 3 |- <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> e. Word _V
31		opvtxfv 16148	. . 3 |- ( ( ( 0 ... 3 ) e. _V /\ <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> e. Word _V ) -> (Vtx ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> >. ) = ( 0 ... 3 ) )
32	11, 30, 31	mp2an 426	. 2 |- (Vtx ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> >. ) = ( 0 ... 3 )
33	6, 32	eqtri 2255	1 |- (Vtx ` G ) = ( 0 ... 3 )

Syntax hints:   = wceq 1398   T. wtru 1399   e. wcel 2205   _Vcvv 2815   {cpr 3696   <.cop 3698   ` cfv 5358  (class class class)co 6059   Fincfn 6989   0cc0 8144   1c1 8145   2c2 9309   3c3 9310   ZZcz 9598   ...cfz 10365  Word cword 11253   <"cs7 11475  Vtxcvtx 16138

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4231  ax-sep 4234  ax-nul 4242  ax-pow 4293  ax-pr 4328  ax-un 4560  ax-setind 4665  ax-iinf 4716  ax-cnex 8235  ax-resscn 8236  ax-1cn 8237  ax-1re 8238  ax-icn 8239  ax-addcl 8240  ax-addrcl 8241  ax-mulcl 8242  ax-addcom 8244  ax-addass 8246  ax-distr 8248  ax-i2m1 8249  ax-0lt1 8250  ax-0id 8252  ax-rnegex 8253  ax-cnre 8255  ax-pre-ltirr 8256  ax-pre-ltwlin 8257  ax-pre-lttrn 8258  ax-pre-apti 8259  ax-pre-ltadd 8260

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3626  df-pw 3677  df-sn 3701  df-pr 3702  df-op 3704  df-uni 3921  df-int 3956  df-iun 3999  df-br 4116  df-opab 4178  df-mpt 4179  df-tr 4215  df-id 4420  df-iord 4493  df-on 4495  df-ilim 4496  df-suc 4498  df-iom 4719  df-xp 4761  df-rel 4762  df-cnv 4763  df-co 4764  df-dm 4765  df-rn 4766  df-res 4767  df-ima 4768  df-iota 5318  df-fun 5360  df-fn 5361  df-f 5362  df-f1 5363  df-fo 5364  df-f1o 5365  df-fv 5366  df-riota 6012  df-ov 6062  df-oprab 6063  df-mpo 6064  df-1st 6348  df-2nd 6349  df-recs 6550  df-frec 6636  df-1o 6661  df-er 6781  df-en 6990  df-dom 6991  df-fin 6992  df-pnf 8327  df-mnf 8328  df-xr 8329  df-ltxr 8330  df-le 8331  df-sub 8464  df-neg 8465  df-inn 9259  df-2 9317  df-3 9318  df-n0 9518  df-z 9599  df-uz 9876  df-fz 10366  df-fzo 10503  df-ihash 11168  df-word 11254  df-concat 11308  df-s1 11333  df-s2 11477  df-s3 11478  df-s4 11479  df-s5 11480  df-s6 11481  df-s7 11482  df-ndx 13304  df-slot 13305  df-base 13307  df-vtx 16140

This theorem is referenced by:  konigsbergumgr  16613  konigsberglem1  16614  konigsberglem2  16615  konigsberglem3  16616  konigsberglem5  16618