Theorem eulerpathum 16402

Description: A multigraph with an Eulerian path has either zero or two vertices of odd degree. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Apr-2015.) (Revised by AV, 26-Feb-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
eulerpathpr.v	|- V = (Vtx ` G )

Assertion

Ref	Expression
eulerpathum	|- ( ( G e. UMGraph /\ E. j j e. (EulerPaths ` G ) /\ V e. Fin ) -> (♯ ` { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } ) e. { 0 , 2 } )

Distinct variable groups:   x, G   x, V   j, G

Allowed substitution hint:   V( j)

Proof of Theorem eulerpathum

Dummy variables f p are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp2 1025	. . 3 |- ( ( G e. UMGraph /\ E. j j e. (EulerPaths ` G ) /\ V e. Fin ) -> E. j j e. (EulerPaths ` G ) )
2		releupth 16365	. . . 4 |- Rel (EulerPaths ` G )
3		reldmm 4956	. . . 4 |- ( Rel (EulerPaths ` G ) -> ( E. j j e. (EulerPaths ` G ) <-> E. f f e. dom (EulerPaths ` G ) ) )
4	2, 3	ax-mp 5	. . 3 |- ( E. j j e. (EulerPaths ` G ) <-> E. f f e. dom (EulerPaths ` G ) )
5	1, 4	sylib 122	. 2 |- ( ( G e. UMGraph /\ E. j j e. (EulerPaths ` G ) /\ V e. Fin ) -> E. f f e. dom (EulerPaths ` G ) )
6		simpr 110	. . . 4 |- ( ( ( G e. UMGraph /\ E. j j e. (EulerPaths ` G ) /\ V e. Fin ) /\ f e. dom (EulerPaths ` G ) ) -> f e. dom (EulerPaths ` G ) )
7		vex 2806	. . . . 5 |- f e. _V
8	7	eldm 4934	. . . 4 |- ( f e. dom (EulerPaths ` G ) <-> E. p f (EulerPaths ` G ) p )
9	6, 8	sylib 122	. . 3 |- ( ( ( G e. UMGraph /\ E. j j e. (EulerPaths ` G ) /\ V e. Fin ) /\ f e. dom (EulerPaths ` G ) ) -> E. p f (EulerPaths ` G ) p )
10		simpll1 1063	. . . 4 |- ( ( ( ( G e. UMGraph /\ E. j j e. (EulerPaths ` G ) /\ V e. Fin ) /\ f e. dom (EulerPaths ` G ) ) /\ f (EulerPaths ` G ) p ) -> G e. UMGraph )
11		simpr 110	. . . 4 |- ( ( ( ( G e. UMGraph /\ E. j j e. (EulerPaths ` G ) /\ V e. Fin ) /\ f e. dom (EulerPaths ` G ) ) /\ f (EulerPaths ` G ) p ) -> f (EulerPaths ` G ) p )
12		simpll3 1065	. . . 4 |- ( ( ( ( G e. UMGraph /\ E. j j e. (EulerPaths ` G ) /\ V e. Fin ) /\ f e. dom (EulerPaths ` G ) ) /\ f (EulerPaths ` G ) p ) -> V e. Fin )
13		eulerpathpr.v	. . . . 5 |- V = (Vtx ` G )
14	13	eulerpathprum 16401	. . . 4 |- ( ( G e. UMGraph /\ f (EulerPaths ` G ) p /\ V e. Fin ) -> (♯ ` { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } ) e. { 0 , 2 } )
15	10, 11, 12, 14	syl3anc 1274	. . 3 |- ( ( ( ( G e. UMGraph /\ E. j j e. (EulerPaths ` G ) /\ V e. Fin ) /\ f e. dom (EulerPaths ` G ) ) /\ f (EulerPaths ` G ) p ) -> (♯ ` { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } ) e. { 0 , 2 } )
16	9, 15	exlimddv 1947	. 2 |- ( ( ( G e. UMGraph /\ E. j j e. (EulerPaths ` G ) /\ V e. Fin ) /\ f e. dom (EulerPaths ` G ) ) -> (♯ ` { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } ) e. { 0 , 2 } )
17	5, 16	exlimddv 1947	1 |- ( ( G e. UMGraph /\ E. j j e. (EulerPaths ` G ) /\ V e. Fin ) -> (♯ ` { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } ) e. { 0 , 2 } )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1005   = wceq 1398   E.wex 1541   e. wcel 2202   {crab 2515   {cpr 3674   class class class wbr 4093   dom cdm 4731   Rel wrel 4736   ` cfv 5333   Fincfn 6952   0cc0 8075   2c2 9237  ♯chash 11081   || cdvds 12409  Vtxcvtx 15933  UMGraphcumgr 16013  VtxDegcvtxdg 16207  EulerPathsceupth 16363

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-mulrcl 8174  ax-addcom 8175  ax-mulcom 8176  ax-addass 8177  ax-mulass 8178  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-1rid 8182  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-precex 8185  ax-cnre 8186  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltwlin 8188  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-apti 8190  ax-pre-ltadd 8191  ax-pre-mulgt0 8192  ax-pre-mulext 8193  ax-arch 8194

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 839  df-dc 843  df-ifp 987  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-xor 1421  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-po 4399  df-iso 4400  df-iord 4469  df-on 4471  df-ilim 4472  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6514  df-irdg 6579  df-frec 6600  df-1o 6625  df-2o 6626  df-oadd 6629  df-er 6745  df-map 6862  df-en 6953  df-dom 6954  df-fin 6955  df-pnf 8259  df-mnf 8260  df-xr 8261  df-ltxr 8262  df-le 8263  df-sub 8395  df-neg 8396  df-reap 8798  df-ap 8805  df-div 8896  df-inn 9187  df-2 9245  df-3 9246  df-4 9247  df-5 9248  df-6 9249  df-7 9250  df-8 9251  df-9 9252  df-n0 9446  df-z 9523  df-dec 9655  df-uz 9799  df-q 9897  df-rp 9932  df-xadd 10051  df-fz 10287  df-fzo 10421  df-fl 10574  df-mod 10629  df-seqfrec 10754  df-exp 10845  df-ihash 11082  df-word 11161  df-cj 11463  df-re 11464  df-im 11465  df-rsqrt 11619  df-abs 11620  df-dvds 12410  df-ndx 13146  df-slot 13147  df-base 13149  df-edgf 15926  df-vtx 15935  df-iedg 15936  df-edg 15979  df-uhgrm 15990  df-ushgrm 15991  df-upgren 16014  df-umgren 16015  df-uspgren 16076  df-subgr 16175  df-vtxdg 16208  df-wlks 16239  df-trls 16302  df-eupth 16364

This theorem is referenced by:  konigsberg  16414