Theorem eulerpathum 16939

Description: A multigraph with an Eulerian path has either zero or two vertices of odd degree. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Apr-2015.) (Revised by AV, 26-Feb-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
eulerpathpr.v	|- V = (Vtx ` G )

Assertion

Ref	Expression
eulerpathum	|- ( ( G e. UMGraph /\ E. j j e. (EulerPaths ` G ) /\ V e. Fin ) -> (♯ ` { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } ) e. { 0 , 2 } )

Distinct variable groups:   x, G   x, V   j, G

Allowed substitution hint:   V( j)

Proof of Theorem eulerpathum

Dummy variables f p are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp2 1029	. . 3 |- ( ( G e. UMGraph /\ E. j j e. (EulerPaths ` G ) /\ V e. Fin ) -> E. j j e. (EulerPaths ` G ) )
2		releupth 16902	. . . 4 |- Rel (EulerPaths ` G )
3		reldmm 5002	. . . 4 |- ( Rel (EulerPaths ` G ) -> ( E. j j e. (EulerPaths ` G ) <-> E. f f e. dom (EulerPaths ` G ) ) )
4	2, 3	ax-mp 5	. . 3 |- ( E. j j e. (EulerPaths ` G ) <-> E. f f e. dom (EulerPaths ` G ) )
5	1, 4	sylib 122	. 2 |- ( ( G e. UMGraph /\ E. j j e. (EulerPaths ` G ) /\ V e. Fin ) -> E. f f e. dom (EulerPaths ` G ) )
6		simpr 110	. . . 4 |- ( ( ( G e. UMGraph /\ E. j j e. (EulerPaths ` G ) /\ V e. Fin ) /\ f e. dom (EulerPaths ` G ) ) -> f e. dom (EulerPaths ` G ) )
7		vex 2824	. . . . 5 |- f e. _V
8	7	eldm 4980	. . . 4 |- ( f e. dom (EulerPaths ` G ) <-> E. p f (EulerPaths ` G ) p )
9	6, 8	sylib 122	. . 3 |- ( ( ( G e. UMGraph /\ E. j j e. (EulerPaths ` G ) /\ V e. Fin ) /\ f e. dom (EulerPaths ` G ) ) -> E. p f (EulerPaths ` G ) p )
10		simpll1 1067	. . . 4 |- ( ( ( ( G e. UMGraph /\ E. j j e. (EulerPaths ` G ) /\ V e. Fin ) /\ f e. dom (EulerPaths ` G ) ) /\ f (EulerPaths ` G ) p ) -> G e. UMGraph )
11		simpr 110	. . . 4 |- ( ( ( ( G e. UMGraph /\ E. j j e. (EulerPaths ` G ) /\ V e. Fin ) /\ f e. dom (EulerPaths ` G ) ) /\ f (EulerPaths ` G ) p ) -> f (EulerPaths ` G ) p )
12		simpll3 1069	. . . 4 |- ( ( ( ( G e. UMGraph /\ E. j j e. (EulerPaths ` G ) /\ V e. Fin ) /\ f e. dom (EulerPaths ` G ) ) /\ f (EulerPaths ` G ) p ) -> V e. Fin )
13		eulerpathpr.v	. . . . 5 |- V = (Vtx ` G )
14	13	eulerpathprum 16938	. . . 4 |- ( ( G e. UMGraph /\ f (EulerPaths ` G ) p /\ V e. Fin ) -> (♯ ` { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } ) e. { 0 , 2 } )
15	10, 11, 12, 14	syl3anc 1278	. . 3 |- ( ( ( ( G e. UMGraph /\ E. j j e. (EulerPaths ` G ) /\ V e. Fin ) /\ f e. dom (EulerPaths ` G ) ) /\ f (EulerPaths ` G ) p ) -> (♯ ` { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } ) e. { 0 , 2 } )
16	9, 15	exlimddv 1954	. 2 |- ( ( ( G e. UMGraph /\ E. j j e. (EulerPaths ` G ) /\ V e. Fin ) /\ f e. dom (EulerPaths ` G ) ) -> (♯ ` { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } ) e. { 0 , 2 } )
17	5, 16	exlimddv 1954	1 |- ( ( G e. UMGraph /\ E. j j e. (EulerPaths ` G ) /\ V e. Fin ) -> (♯ ` { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } ) e. { 0 , 2 } )

This proof depends on syntax axioms:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1009   = wceq 1402   E.wex 1545   e. wcel 2209   {crab 2532   {cpr 3710   class class class wbr 4131   dom cdm 4776   Rel wrel 4781   ` cfv 5380   Fincfn 7027   0cc0 8186   2c2 9365  ♯chash 11237   || cdvds 12580  Vtxcvtx 16470  UMGraphcumgr 16550  VtxDegcvtxdg 16744  EulerPathsceupth 16900

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8277  ax-resscn 8278  ax-1cn 8279  ax-1re 8280  ax-icn 8281  ax-addcl 8282  ax-addrcl 8283  ax-mulcl 8284  ax-mulrcl 8285  ax-addcom 8286  ax-mulcom 8287  ax-addass 8288  ax-mulass 8289  ax-distr 8290  ax-i2m1 8291  ax-0lt1 8292  ax-1rid 8293  ax-0id 8294  ax-rnegex 8295  ax-precex 8296  ax-cnre 8297  ax-pre-ltirr 8298  ax-pre-ltwlin 8299  ax-pre-lttrn 8300  ax-pre-apti 8301  ax-pre-ltadd 8302  ax-pre-mulgt0 8303  ax-pre-mulext 8304  ax-arch 8305

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 843  df-dc 847  df-ifp 991  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-xor 1425  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-po 4443  df-iso 4444  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6580  df-irdg 6645  df-frec 6666  df-1o 6691  df-2o 6692  df-oadd 6695  df-er 6811  df-map 6928  df-en 7028  df-dom 7029  df-fin 7030  df-pnf 8369  df-mnf 8370  df-xr 8371  df-ltxr 8372  df-le 8373  df-sub 8507  df-neg 8508  df-reap 8912  df-ap 8919  df-div 9012  df-inn 9315  df-2 9373  df-3 9374  df-4 9375  df-5 9376  df-6 9377  df-7 9378  df-8 9379  df-9 9380  df-n0 9576  df-z 9657  df-dec 9790  df-uz 9939  df-q 10037  df-rp 10073  df-xadd 10193  df-fz 10430  df-fzo 10568  df-fl 10723  df-mod 10782  df-seqfrec 10907  df-exp 10998  df-ihash 11238  df-word 11328  df-cj 11630  df-re 11631  df-im 11632  df-rsqrt 11787  df-abs 11788  df-dvds 12581  df-ndx 13414  df-slot 13415  df-base 13417  df-edgf 16463  df-vtx 16472  df-iedg 16473  df-edg 16516  df-uhgrm 16527  df-ushgrm 16528  df-upgren 16551  df-umgren 16552  df-uspgren 16613  df-subgr 16712  df-vtxdg 16745  df-wlks 16776  df-trls 16839  df-eupth 16901

This theorem is used by:  konigsberg  16951