Theorem lgsquadlemofi 15763

Description: Lemma for lgsquad 15767. There are finitely many members of S with odd first part. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Sep-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
lgseisen.1	|- ( ph -> P e. ( Prime \ { 2 } ) )
lgseisen.2	|- ( ph -> Q e. ( Prime \ { 2 } ) )
lgseisen.3	|- ( ph -> P =/= Q )
lgsquad.4	|- M = ( ( P - 1 ) / 2 )
lgsquad.5	|- N = ( ( Q - 1 ) / 2 )
lgsquad.6	|- S = { <. x , y >. | ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( y x. P ) < ( x x. Q ) ) }

Assertion

Ref	Expression
lgsquadlemofi	|- ( ph -> { z e. S | -. 2 || ( 1st ` z ) } e. Fin )

Distinct variable groups:   x, y, z, P   ph, x, y, z   y, M, z   x, N, y, z   x, Q, y, z   x, S, z   x, M   y, S

Proof of Theorem lgsquadlemofi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lgseisen.1	. . 3 |- ( ph -> P e. ( Prime \ { 2 } ) )
2		lgseisen.2	. . 3 |- ( ph -> Q e. ( Prime \ { 2 } ) )
3		lgseisen.3	. . 3 |- ( ph -> P =/= Q )
4		lgsquad.4	. . 3 |- M = ( ( P - 1 ) / 2 )
5		lgsquad.5	. . 3 |- N = ( ( Q - 1 ) / 2 )
6		lgsquad.6	. . 3 |- S = { <. x , y >. | ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( y x. P ) < ( x x. Q ) ) }
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	lgsquadlemsfi 15762	. 2 |- ( ph -> S e. Fin )
8		2nn 9280	. . . . 5 |- 2 e. NN
9		opabssxp 4793	. . . . . . . . . 10 |- { <. x , y >. | ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( y x. P ) < ( x x. Q ) ) } C_ ( ( 1 ... M ) X. ( 1 ... N ) )
10	6, 9	eqsstri 3256	. . . . . . . . 9 |- S C_ ( ( 1 ... M ) X. ( 1 ... N ) )
11	10	sseli 3220	. . . . . . . 8 |- ( z e. S -> z e. ( ( 1 ... M ) X. ( 1 ... N ) ) )
12		xp1st 6317	. . . . . . . 8 |- ( z e. ( ( 1 ... M ) X. ( 1 ... N ) ) -> ( 1st ` z ) e. ( 1 ... M ) )
13	11, 12	syl 14	. . . . . . 7 |- ( z e. S -> ( 1st ` z ) e. ( 1 ... M ) )
14	13	elfzelzd 10230	. . . . . 6 |- ( z e. S -> ( 1st ` z ) e. ZZ )
15	14	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( ph /\ z e. S ) -> ( 1st ` z ) e. ZZ )
16		dvdsdc 12317	. . . . 5 |- ( ( 2 e. NN /\ ( 1st ` z ) e. ZZ ) -> DECID 2 || ( 1st ` z ) )
17	8, 15, 16	sylancr 414	. . . 4 |- ( ( ph /\ z e. S ) -> DECID 2 || ( 1st ` z ) )
18		dcn 847	. . . 4 |- (DECID 2 || ( 1st ` z ) -> DECID -. 2 || ( 1st ` z ) )
19	17, 18	syl 14	. . 3 |- ( ( ph /\ z e. S ) -> DECID -. 2 || ( 1st ` z ) )
20	19	ralrimiva 2603	. 2 |- ( ph -> A. z e. S DECID -. 2 || ( 1st ` z ) )
21	7, 20	ssfirab 7106	1 |- ( ph -> { z e. S | -. 2 || ( 1st ` z ) } e. Fin )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104  DECID wdc 839   = wceq 1395   e. wcel 2200   =/= wne 2400   {crab 2512   \ cdif 3194   {csn 3666   class class class wbr 4083   {copab 4144   X. cxp 4717   ` cfv 5318  (class class class)co 6007   1stc1st 6290   Fincfn 6895   1c1 8008   x. cmul 8012   < clt 8189   - cmin 8325   / cdiv 8827   NNcn 9118   2c2 9169   ZZcz 9454   ...cfz 10212   || cdvds 12306   Primecprime 12637

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680  ax-cnex 8098  ax-resscn 8099  ax-1cn 8100  ax-1re 8101  ax-icn 8102  ax-addcl 8103  ax-addrcl 8104  ax-mulcl 8105  ax-mulrcl 8106  ax-addcom 8107  ax-mulcom 8108  ax-addass 8109  ax-mulass 8110  ax-distr 8111  ax-i2m1 8112  ax-0lt1 8113  ax-1rid 8114  ax-0id 8115  ax-rnegex 8116  ax-precex 8117  ax-cnre 8118  ax-pre-ltirr 8119  ax-pre-ltwlin 8120  ax-pre-lttrn 8121  ax-pre-apti 8122  ax-pre-ltadd 8123  ax-pre-mulgt0 8124  ax-pre-mulext 8125  ax-arch 8126  ax-caucvg 8127

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-xor 1418  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-po 4387  df-iso 4388  df-iord 4457  df-on 4459  df-ilim 4460  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-1st 6292  df-2nd 6293  df-recs 6457  df-frec 6543  df-1o 6568  df-2o 6569  df-er 6688  df-en 6896  df-fin 6898  df-pnf 8191  df-mnf 8192  df-xr 8193  df-ltxr 8194  df-le 8195  df-sub 8327  df-neg 8328  df-reap 8730  df-ap 8737  df-div 8828  df-inn 9119  df-2 9177  df-3 9178  df-4 9179  df-n0 9378  df-z 9455  df-uz 9731  df-q 9823  df-rp 9858  df-fz 10213  df-fl 10498  df-mod 10553  df-seqfrec 10678  df-exp 10769  df-cj 11361  df-re 11362  df-im 11363  df-rsqrt 11517  df-abs 11518  df-dvds 12307  df-prm 12638

This theorem is referenced by:  lgsquadlem1  15764  lgsquadlem2  15765