Theorem lgsquadlemofi 16207

Description: Lemma for lgsquad 16211. There are finitely many members of S with odd first part. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Sep-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
lgseisen.1	|- ( ph -> P e. ( Prime \ { 2 } ) )
lgseisen.2	|- ( ph -> Q e. ( Prime \ { 2 } ) )
lgseisen.3	|- ( ph -> P =/= Q )
lgsquad.4	|- M = ( ( P - 1 ) / 2 )
lgsquad.5	|- N = ( ( Q - 1 ) / 2 )
lgsquad.6	|- S = { <. x , y >. | ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( y x. P ) < ( x x. Q ) ) }

Assertion

Ref	Expression
lgsquadlemofi	|- ( ph -> { z e. S | -. 2 || ( 1st ` z ) } e. Fin )

Distinct variable groups:   x, y, z, P   ph, x, y, z   y, M, z   x, N, y, z   x, Q, y, z   x, S, z   x, M   y, S

Proof of Theorem lgsquadlemofi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lgseisen.1	. . 3 |- ( ph -> P e. ( Prime \ { 2 } ) )
2		lgseisen.2	. . 3 |- ( ph -> Q e. ( Prime \ { 2 } ) )
3		lgseisen.3	. . 3 |- ( ph -> P =/= Q )
4		lgsquad.4	. . 3 |- M = ( ( P - 1 ) / 2 )
5		lgsquad.5	. . 3 |- N = ( ( Q - 1 ) / 2 )
6		lgsquad.6	. . 3 |- S = { <. x , y >. | ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( y x. P ) < ( x x. Q ) ) }
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	lgsquadlemsfi 16206	. 2 |- ( ph -> S e. Fin )
8		2nn 9468	. . . . 5 |- 2 e. NN
9		opabssxp 4849	. . . . . . . . . 10 |- { <. x , y >. | ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( y x. P ) < ( x x. Q ) ) } C_ ( ( 1 ... M ) X. ( 1 ... N ) )
10	6, 9	eqsstri 3280	. . . . . . . . 9 |- S C_ ( ( 1 ... M ) X. ( 1 ... N ) )
11	10	sseli 3244	. . . . . . . 8 |- ( z e. S -> z e. ( ( 1 ... M ) X. ( 1 ... N ) ) )
12		xp1st 6399	. . . . . . . 8 |- ( z e. ( ( 1 ... M ) X. ( 1 ... N ) ) -> ( 1st ` z ) e. ( 1 ... M ) )
13	11, 12	syl 14	. . . . . . 7 |- ( z e. S -> ( 1st ` z ) e. ( 1 ... M ) )
14	13	elfzelzd 10431	. . . . . 6 |- ( z e. S -> ( 1st ` z ) e. ZZ )
15	14	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( ph /\ z e. S ) -> ( 1st ` z ) e. ZZ )
16		dvdsdc 12567	. . . . 5 |- ( ( 2 e. NN /\ ( 1st ` z ) e. ZZ ) -> DECID 2 || ( 1st ` z ) )
17	8, 15, 16	sylancr 418	. . . 4 |- ( ( ph /\ z e. S ) -> DECID 2 || ( 1st ` z ) )
18		dcn 854	. . . 4 |- (DECID 2 || ( 1st ` z ) -> DECID -. 2 || ( 1st ` z ) )
19	17, 18	syl 14	. . 3 |- ( ( ph /\ z e. S ) -> DECID -. 2 || ( 1st ` z ) )
20	19	ralrimiva 2623	. 2 |- ( ph -> A. z e. S DECID -. 2 || ( 1st ` z ) )
21	7, 20	ssfirab 7244	1 |- ( ph -> { z e. S | -. 2 || ( 1st ` z ) } e. Fin )

This proof depends on syntax axioms:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104  DECID wdc 846   = wceq 1402   e. wcel 2209   =/= wne 2420   {crab 2532   \ cdif 3217   {csn 3709   class class class wbr 4130   {copab 4191   X. cxp 4772   ` cfv 5377  (class class class)co 6085   1stc1st 6372   Fincfn 7022   1c1 8180   x. cmul 8184   < clt 8360   - cmin 8497   / cdiv 9003   NNcn 9305   2c2 9356   ZZcz 9646   ...cfz 10413   || cdvds 12556   Primecprime 12887

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-mulrcl 8278  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-precex 8289  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295  ax-pre-mulgt0 8296  ax-pre-mulext 8297  ax-arch 8298  ax-caucvg 8299

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-xor 1425  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-frec 6662  df-1o 6687  df-2o 6688  df-er 6807  df-en 7023  df-fin 7025  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-reap 8904  df-ap 8911  df-div 9004  df-inn 9306  df-2 9364  df-3 9365  df-4 9366  df-n0 9566  df-z 9647  df-uz 9924  df-q 10022  df-rp 10057  df-fz 10414  df-fl 10707  df-mod 10762  df-seqfrec 10887  df-exp 10978  df-cj 11609  df-re 11610  df-im 11611  df-rsqrt 11766  df-abs 11767  df-dvds 12557  df-prm 12888

This theorem is used by:  lgsquadlem1  16208  lgsquadlem2  16209