Theorem lgsquadlemofi 16178

Description: Lemma for lgsquad 16182. There are finitely many members of S with odd first part. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Sep-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
lgseisen.1	|- ( ph -> P e. ( Prime \ { 2 } ) )
lgseisen.2	|- ( ph -> Q e. ( Prime \ { 2 } ) )
lgseisen.3	|- ( ph -> P =/= Q )
lgsquad.4	|- M = ( ( P - 1 ) / 2 )
lgsquad.5	|- N = ( ( Q - 1 ) / 2 )
lgsquad.6	|- S = { <. x , y >. | ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( y x. P ) < ( x x. Q ) ) }

Assertion

Ref	Expression
lgsquadlemofi	|- ( ph -> { z e. S | -. 2 || ( 1st ` z ) } e. Fin )

Distinct variable groups:   x, y, z, P   ph, x, y, z   y, M, z   x, N, y, z   x, Q, y, z   x, S, z   x, M   y, S

Proof of Theorem lgsquadlemofi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lgseisen.1	. . 3 |- ( ph -> P e. ( Prime \ { 2 } ) )
2		lgseisen.2	. . 3 |- ( ph -> Q e. ( Prime \ { 2 } ) )
3		lgseisen.3	. . 3 |- ( ph -> P =/= Q )
4		lgsquad.4	. . 3 |- M = ( ( P - 1 ) / 2 )
5		lgsquad.5	. . 3 |- N = ( ( Q - 1 ) / 2 )
6		lgsquad.6	. . 3 |- S = { <. x , y >. | ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( y x. P ) < ( x x. Q ) ) }
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	lgsquadlemsfi 16177	. 2 |- ( ph -> S e. Fin )
8		2nn 9449	. . . . 5 |- 2 e. NN
9		opabssxp 4847	. . . . . . . . . 10 |- { <. x , y >. | ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( y x. P ) < ( x x. Q ) ) } C_ ( ( 1 ... M ) X. ( 1 ... N ) )
10	6, 9	eqsstri 3280	. . . . . . . . 9 |- S C_ ( ( 1 ... M ) X. ( 1 ... N ) )
11	10	sseli 3244	. . . . . . . 8 |- ( z e. S -> z e. ( ( 1 ... M ) X. ( 1 ... N ) ) )
12		xp1st 6393	. . . . . . . 8 |- ( z e. ( ( 1 ... M ) X. ( 1 ... N ) ) -> ( 1st ` z ) e. ( 1 ... M ) )
13	11, 12	syl 14	. . . . . . 7 |- ( z e. S -> ( 1st ` z ) e. ( 1 ... M ) )
14	13	elfzelzd 10412	. . . . . 6 |- ( z e. S -> ( 1st ` z ) e. ZZ )
15	14	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( ph /\ z e. S ) -> ( 1st ` z ) e. ZZ )
16		dvdsdc 12548	. . . . 5 |- ( ( 2 e. NN /\ ( 1st ` z ) e. ZZ ) -> DECID 2 || ( 1st ` z ) )
17	8, 15, 16	sylancr 418	. . . 4 |- ( ( ph /\ z e. S ) -> DECID 2 || ( 1st ` z ) )
18		dcn 854	. . . 4 |- (DECID 2 || ( 1st ` z ) -> DECID -. 2 || ( 1st ` z ) )
19	17, 18	syl 14	. . 3 |- ( ( ph /\ z e. S ) -> DECID -. 2 || ( 1st ` z ) )
20	19	ralrimiva 2623	. 2 |- ( ph -> A. z e. S DECID -. 2 || ( 1st ` z ) )
21	7, 20	ssfirab 7238	1 |- ( ph -> { z e. S | -. 2 || ( 1st ` z ) } e. Fin )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104  DECID wdc 846   = wceq 1402   e. wcel 2209   =/= wne 2420   {crab 2532   \ cdif 3217   {csn 3708   class class class wbr 4128   {copab 4189   X. cxp 4770   ` cfv 5375  (class class class)co 6079   1stc1st 6366   Fincfn 7016   1c1 8174   x. cmul 8178   < clt 8354   - cmin 8491   / cdiv 8996   NNcn 9287   2c2 9338   ZZcz 9627   ...cfz 10394   || cdvds 12537   Primecprime 12868

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4244  ax-sep 4247  ax-nul 4257  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-iinf 4733  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265  ax-1cn 8266  ax-1re 8267  ax-icn 8268  ax-addcl 8269  ax-addrcl 8270  ax-mulcl 8271  ax-mulrcl 8272  ax-addcom 8273  ax-mulcom 8274  ax-addass 8275  ax-mulass 8276  ax-distr 8277  ax-i2m1 8278  ax-0lt1 8279  ax-1rid 8280  ax-0id 8281  ax-rnegex 8282  ax-precex 8283  ax-cnre 8284  ax-pre-ltirr 8285  ax-pre-ltwlin 8286  ax-pre-lttrn 8287  ax-pre-apti 8288  ax-pre-ltadd 8289  ax-pre-mulgt0 8290  ax-pre-mulext 8291  ax-arch 8292  ax-caucvg 8293

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-xor 1425  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-iun 4012  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-tr 4228  df-id 4436  df-po 4439  df-iso 4440  df-iord 4509  df-on 4511  df-ilim 4512  df-suc 4514  df-iom 4736  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-fv 5383  df-riota 6032  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-1st 6368  df-2nd 6369  df-recs 6570  df-frec 6656  df-1o 6681  df-2o 6682  df-er 6801  df-en 7017  df-fin 7019  df-pnf 8356  df-mnf 8357  df-xr 8358  df-ltxr 8359  df-le 8360  df-sub 8493  df-neg 8494  df-reap 8897  df-ap 8904  df-div 8997  df-inn 9288  df-2 9346  df-3 9347  df-4 9348  df-n0 9547  df-z 9628  df-uz 9905  df-q 10003  df-rp 10038  df-fz 10395  df-fl 10688  df-mod 10743  df-seqfrec 10868  df-exp 10959  df-cj 11590  df-re 11591  df-im 11592  df-rsqrt 11747  df-abs 11748  df-dvds 12538  df-prm 12869

This theorem is referenced by:  lgsquadlem1  16179  lgsquadlem2  16180