Theorem lgsquadlemofi 15941

Description: Lemma for lgsquad 15945. There are finitely many members of S with odd first part. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Sep-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
lgseisen.1	|- ( ph -> P e. ( Prime \ { 2 } ) )
lgseisen.2	|- ( ph -> Q e. ( Prime \ { 2 } ) )
lgseisen.3	|- ( ph -> P =/= Q )
lgsquad.4	|- M = ( ( P - 1 ) / 2 )
lgsquad.5	|- N = ( ( Q - 1 ) / 2 )
lgsquad.6	|- S = { <. x , y >. | ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( y x. P ) < ( x x. Q ) ) }

Assertion

Ref	Expression
lgsquadlemofi	|- ( ph -> { z e. S | -. 2 || ( 1st ` z ) } e. Fin )

Distinct variable groups:   x, y, z, P   ph, x, y, z   y, M, z   x, N, y, z   x, Q, y, z   x, S, z   x, M   y, S

Proof of Theorem lgsquadlemofi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lgseisen.1	. . 3 |- ( ph -> P e. ( Prime \ { 2 } ) )
2		lgseisen.2	. . 3 |- ( ph -> Q e. ( Prime \ { 2 } ) )
3		lgseisen.3	. . 3 |- ( ph -> P =/= Q )
4		lgsquad.4	. . 3 |- M = ( ( P - 1 ) / 2 )
5		lgsquad.5	. . 3 |- N = ( ( Q - 1 ) / 2 )
6		lgsquad.6	. . 3 |- S = { <. x , y >. | ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( y x. P ) < ( x x. Q ) ) }
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	lgsquadlemsfi 15940	. 2 |- ( ph -> S e. Fin )
8		2nn 9398	. . . . 5 |- 2 e. NN
9		opabssxp 4823	. . . . . . . . . 10 |- { <. x , y >. | ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( y x. P ) < ( x x. Q ) ) } C_ ( ( 1 ... M ) X. ( 1 ... N ) )
10	6, 9	eqsstri 3269	. . . . . . . . 9 |- S C_ ( ( 1 ... M ) X. ( 1 ... N ) )
11	10	sseli 3233	. . . . . . . 8 |- ( z e. S -> z e. ( ( 1 ... M ) X. ( 1 ... N ) ) )
12		xp1st 6358	. . . . . . . 8 |- ( z e. ( ( 1 ... M ) X. ( 1 ... N ) ) -> ( 1st ` z ) e. ( 1 ... M ) )
13	11, 12	syl 14	. . . . . . 7 |- ( z e. S -> ( 1st ` z ) e. ( 1 ... M ) )
14	13	elfzelzd 10359	. . . . . 6 |- ( z e. S -> ( 1st ` z ) e. ZZ )
15	14	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( ph /\ z e. S ) -> ( 1st ` z ) e. ZZ )
16		dvdsdc 12480	. . . . 5 |- ( ( 2 e. NN /\ ( 1st ` z ) e. ZZ ) -> DECID 2 || ( 1st ` z ) )
17	8, 15, 16	sylancr 414	. . . 4 |- ( ( ph /\ z e. S ) -> DECID 2 || ( 1st ` z ) )
18		dcn 850	. . . 4 |- (DECID 2 || ( 1st ` z ) -> DECID -. 2 || ( 1st ` z ) )
19	17, 18	syl 14	. . 3 |- ( ( ph /\ z e. S ) -> DECID -. 2 || ( 1st ` z ) )
20	19	ralrimiva 2615	. 2 |- ( ph -> A. z e. S DECID -. 2 || ( 1st ` z ) )
21	7, 20	ssfirab 7196	1 |- ( ph -> { z e. S | -. 2 || ( 1st ` z ) } e. Fin )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104  DECID wdc 842   = wceq 1398   e. wcel 2203   =/= wne 2412   {crab 2524   \ cdif 3207   {csn 3688   class class class wbr 4108   {copab 4169   X. cxp 4746   ` cfv 5351  (class class class)co 6049   1stc1st 6331   Fincfn 6974   1c1 8127   x. cmul 8131   < clt 8307   - cmin 8443   / cdiv 8945   NNcn 9236   2c2 9287   ZZcz 9576   ...cfz 10341   || cdvds 12469   Primecprime 12800

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4224  ax-sep 4227  ax-nul 4235  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-setind 4658  ax-iinf 4709  ax-cnex 8217  ax-resscn 8218  ax-1cn 8219  ax-1re 8220  ax-icn 8221  ax-addcl 8222  ax-addrcl 8223  ax-mulcl 8224  ax-mulrcl 8225  ax-addcom 8226  ax-mulcom 8227  ax-addass 8228  ax-mulass 8229  ax-distr 8230  ax-i2m1 8231  ax-0lt1 8232  ax-1rid 8233  ax-0id 8234  ax-rnegex 8235  ax-precex 8236  ax-cnre 8237  ax-pre-ltirr 8238  ax-pre-ltwlin 8239  ax-pre-lttrn 8240  ax-pre-apti 8241  ax-pre-ltadd 8242  ax-pre-mulgt0 8243  ax-pre-mulext 8244  ax-arch 8245  ax-caucvg 8246

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-xor 1421  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-csb 3138  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-nul 3508  df-if 3620  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-int 3949  df-iun 3992  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-tr 4208  df-id 4413  df-po 4416  df-iso 4417  df-iord 4486  df-on 4488  df-ilim 4489  df-suc 4491  df-iom 4712  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-ima 4761  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-f 5355  df-f1 5356  df-fo 5357  df-f1o 5358  df-fv 5359  df-riota 6002  df-ov 6052  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-1st 6333  df-2nd 6334  df-recs 6535  df-frec 6621  df-1o 6646  df-2o 6647  df-er 6766  df-en 6975  df-fin 6977  df-pnf 8309  df-mnf 8310  df-xr 8311  df-ltxr 8312  df-le 8313  df-sub 8445  df-neg 8446  df-reap 8848  df-ap 8855  df-div 8946  df-inn 9237  df-2 9295  df-3 9296  df-4 9297  df-n0 9496  df-z 9577  df-uz 9853  df-q 9951  df-rp 9986  df-fz 10342  df-fl 10629  df-mod 10684  df-seqfrec 10809  df-exp 10900  df-cj 11523  df-re 11524  df-im 11525  df-rsqrt 11679  df-abs 11680  df-dvds 12470  df-prm 12801

This theorem is referenced by:  lgsquadlem1  15942  lgsquadlem2  15943