Theorem lgsquadlemofi 15875

Description: Lemma for lgsquad 15879. There are finitely many members of S with odd first part. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Sep-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
lgseisen.1	|- ( ph -> P e. ( Prime \ { 2 } ) )
lgseisen.2	|- ( ph -> Q e. ( Prime \ { 2 } ) )
lgseisen.3	|- ( ph -> P =/= Q )
lgsquad.4	|- M = ( ( P - 1 ) / 2 )
lgsquad.5	|- N = ( ( Q - 1 ) / 2 )
lgsquad.6	|- S = { <. x , y >. | ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( y x. P ) < ( x x. Q ) ) }

Assertion

Ref	Expression
lgsquadlemofi	|- ( ph -> { z e. S | -. 2 || ( 1st ` z ) } e. Fin )

Distinct variable groups:   x, y, z, P   ph, x, y, z   y, M, z   x, N, y, z   x, Q, y, z   x, S, z   x, M   y, S

Proof of Theorem lgsquadlemofi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lgseisen.1	. . 3 |- ( ph -> P e. ( Prime \ { 2 } ) )
2		lgseisen.2	. . 3 |- ( ph -> Q e. ( Prime \ { 2 } ) )
3		lgseisen.3	. . 3 |- ( ph -> P =/= Q )
4		lgsquad.4	. . 3 |- M = ( ( P - 1 ) / 2 )
5		lgsquad.5	. . 3 |- N = ( ( Q - 1 ) / 2 )
6		lgsquad.6	. . 3 |- S = { <. x , y >. | ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( y x. P ) < ( x x. Q ) ) }
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	lgsquadlemsfi 15874	. 2 |- ( ph -> S e. Fin )
8		2nn 9348	. . . . 5 |- 2 e. NN
9		opabssxp 4806	. . . . . . . . . 10 |- { <. x , y >. | ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( y x. P ) < ( x x. Q ) ) } C_ ( ( 1 ... M ) X. ( 1 ... N ) )
10	6, 9	eqsstri 3260	. . . . . . . . 9 |- S C_ ( ( 1 ... M ) X. ( 1 ... N ) )
11	10	sseli 3224	. . . . . . . 8 |- ( z e. S -> z e. ( ( 1 ... M ) X. ( 1 ... N ) ) )
12		xp1st 6337	. . . . . . . 8 |- ( z e. ( ( 1 ... M ) X. ( 1 ... N ) ) -> ( 1st ` z ) e. ( 1 ... M ) )
13	11, 12	syl 14	. . . . . . 7 |- ( z e. S -> ( 1st ` z ) e. ( 1 ... M ) )
14	13	elfzelzd 10304	. . . . . 6 |- ( z e. S -> ( 1st ` z ) e. ZZ )
15	14	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( ph /\ z e. S ) -> ( 1st ` z ) e. ZZ )
16		dvdsdc 12420	. . . . 5 |- ( ( 2 e. NN /\ ( 1st ` z ) e. ZZ ) -> DECID 2 || ( 1st ` z ) )
17	8, 15, 16	sylancr 414	. . . 4 |- ( ( ph /\ z e. S ) -> DECID 2 || ( 1st ` z ) )
18		dcn 850	. . . 4 |- (DECID 2 || ( 1st ` z ) -> DECID -. 2 || ( 1st ` z ) )
19	17, 18	syl 14	. . 3 |- ( ( ph /\ z e. S ) -> DECID -. 2 || ( 1st ` z ) )
20	19	ralrimiva 2606	. 2 |- ( ph -> A. z e. S DECID -. 2 || ( 1st ` z ) )
21	7, 20	ssfirab 7172	1 |- ( ph -> { z e. S | -. 2 || ( 1st ` z ) } e. Fin )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104  DECID wdc 842   = wceq 1398   e. wcel 2202   =/= wne 2403   {crab 2515   \ cdif 3198   {csn 3673   class class class wbr 4093   {copab 4154   X. cxp 4729   ` cfv 5333  (class class class)co 6028   1stc1st 6310   Fincfn 6952   1c1 8076   x. cmul 8080   < clt 8257   - cmin 8393   / cdiv 8895   NNcn 9186   2c2 9237   ZZcz 9522   ...cfz 10286   || cdvds 12409   Primecprime 12740

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-mulrcl 8174  ax-addcom 8175  ax-mulcom 8176  ax-addass 8177  ax-mulass 8178  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-1rid 8182  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-precex 8185  ax-cnre 8186  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltwlin 8188  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-apti 8190  ax-pre-ltadd 8191  ax-pre-mulgt0 8192  ax-pre-mulext 8193  ax-arch 8194  ax-caucvg 8195

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-xor 1421  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-po 4399  df-iso 4400  df-iord 4469  df-on 4471  df-ilim 4472  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6514  df-frec 6600  df-1o 6625  df-2o 6626  df-er 6745  df-en 6953  df-fin 6955  df-pnf 8259  df-mnf 8260  df-xr 8261  df-ltxr 8262  df-le 8263  df-sub 8395  df-neg 8396  df-reap 8798  df-ap 8805  df-div 8896  df-inn 9187  df-2 9245  df-3 9246  df-4 9247  df-n0 9446  df-z 9523  df-uz 9799  df-q 9897  df-rp 9932  df-fz 10287  df-fl 10574  df-mod 10629  df-seqfrec 10754  df-exp 10845  df-cj 11463  df-re 11464  df-im 11465  df-rsqrt 11619  df-abs 11620  df-dvds 12410  df-prm 12741

This theorem is referenced by:  lgsquadlem1  15876  lgsquadlem2  15877