Theorem lgsquadlemsfi 16060

Description: Lemma for lgsquad 16065. S is finite. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Sep-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
lgseisen.1	|- ( ph -> P e. ( Prime \ { 2 } ) )
lgseisen.2	|- ( ph -> Q e. ( Prime \ { 2 } ) )
lgseisen.3	|- ( ph -> P =/= Q )
lgsquad.4	|- M = ( ( P - 1 ) / 2 )
lgsquad.5	|- N = ( ( Q - 1 ) / 2 )
lgsquad.6	|- S = { <. x , y >. | ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( y x. P ) < ( x x. Q ) ) }

Assertion

Ref	Expression
lgsquadlemsfi	|- ( ph -> S e. Fin )

Distinct variable groups:   x, y, P   ph, x, y   y, M   x, N, y   x, Q, y   x, S   x, M   y, S

Proof of Theorem lgsquadlemsfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lgsquad.6	. 2 |- S = { <. x , y >. | ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( y x. P ) < ( x x. Q ) ) }
2		1zzd 9621	. . 3 |- ( ph -> 1 e. ZZ )
3		lgseisen.1	. . . . 5 |- ( ph -> P e. ( Prime \ { 2 } ) )
4		lgsquad.4	. . . . 5 |- M = ( ( P - 1 ) / 2 )
5	3, 4	gausslemma2dlem0b 16035	. . . 4 |- ( ph -> M e. NN )
6	5	nnzd 9717	. . 3 |- ( ph -> M e. ZZ )
7	2, 6	fzfigd 10817	. 2 |- ( ph -> ( 1 ... M ) e. Fin )
8		lgseisen.2	. . . . 5 |- ( ph -> Q e. ( Prime \ { 2 } ) )
9		lgsquad.5	. . . . 5 |- N = ( ( Q - 1 ) / 2 )
10	8, 9	gausslemma2dlem0b 16035	. . . 4 |- ( ph -> N e. NN )
11	10	nnzd 9717	. . 3 |- ( ph -> N e. ZZ )
12	2, 11	fzfigd 10817	. 2 |- ( ph -> ( 1 ... N ) e. Fin )
13		elfznn 10409	. . . . . . 7 |- ( y e. ( 1 ... N ) -> y e. NN )
14	13	ad2antll 491	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) ) -> y e. NN )
15	3	gausslemma2dlem0a 16034	. . . . . . 7 |- ( ph -> P e. NN )
16	15	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) ) -> P e. NN )
17	14, 16	nnmulcld 9303	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) ) -> ( y x. P ) e. NN )
18	17	nnzd 9717	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) ) -> ( y x. P ) e. ZZ )
19		elfznn 10409	. . . . . . 7 |- ( x e. ( 1 ... M ) -> x e. NN )
20	19	ad2antrl 490	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) ) -> x e. NN )
21	8	gausslemma2dlem0a 16034	. . . . . . 7 |- ( ph -> Q e. NN )
22	21	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) ) -> Q e. NN )
23	20, 22	nnmulcld 9303	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) ) -> ( x x. Q ) e. NN )
24	23	nnzd 9717	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) ) -> ( x x. Q ) e. ZZ )
25		zdclt 9672	. . . 4 |- ( ( ( y x. P ) e. ZZ /\ ( x x. Q ) e. ZZ ) -> DECID ( y x. P ) < ( x x. Q ) )
26	18, 24, 25	syl2anc 411	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) ) -> DECID ( y x. P ) < ( x x. Q ) )
27	26	ralrimivva 2626	. 2 |- ( ph -> A. x e. ( 1 ... M ) A. y e. ( 1 ... N )DECID ( y x. P ) < ( x x. Q ) )
28	1, 7, 12, 27	opabfi 7213	1 |- ( ph -> S e. Fin )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104  DECID wdc 842   = wceq 1398   e. wcel 2205   =/= wne 2414   \ cdif 3211   {csn 3694   class class class wbr 4114   {copab 4175  (class class class)co 6058   Fincfn 6988   1c1 8144   x. cmul 8148   < clt 8324   - cmin 8460   / cdiv 8963   NNcn 9254   2c2 9305   ZZcz 9594   ...cfz 10361   Primecprime 12829

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-mulrcl 8242  ax-addcom 8243  ax-mulcom 8244  ax-addass 8245  ax-mulass 8246  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-1rid 8250  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-precex 8253  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-apti 8258  ax-pre-ltadd 8259  ax-pre-mulgt0 8260  ax-pre-mulext 8261  ax-arch 8262  ax-caucvg 8263

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-xor 1421  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3625  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-po 4422  df-iso 4423  df-iord 4492  df-on 4494  df-ilim 4495  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-recs 6549  df-frec 6635  df-1o 6660  df-2o 6661  df-er 6780  df-en 6989  df-fin 6991  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-reap 8866  df-ap 8873  df-div 8964  df-inn 9255  df-2 9313  df-3 9314  df-4 9315  df-n0 9514  df-z 9595  df-uz 9872  df-q 9970  df-rp 10005  df-fz 10362  df-seqfrec 10834  df-exp 10925  df-cj 11552  df-re 11553  df-im 11554  df-rsqrt 11708  df-abs 11709  df-dvds 12499  df-prm 12830

This theorem is referenced by:  lgsquadlemofi  16061  lgsquadlem1  16062  lgsquadlem2  16063  lgsquadlem3  16064