Theorem lgsquadlemsfi 16396

Description: Lemma for lgsquad 16401. S is finite. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Sep-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
lgseisen.1	|- ( ph -> P e. ( Prime \ { 2 } ) )
lgseisen.2	|- ( ph -> Q e. ( Prime \ { 2 } ) )
lgseisen.3	|- ( ph -> P =/= Q )
lgsquad.4	|- M = ( ( P - 1 ) / 2 )
lgsquad.5	|- N = ( ( Q - 1 ) / 2 )
lgsquad.6	|- S = { <. x , y >. | ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( y x. P ) < ( x x. Q ) ) }

Assertion

Ref	Expression
lgsquadlemsfi	|- ( ph -> S e. Fin )

Distinct variable groups:   x, y, P   ph, x, y   y, M   x, N, y   x, Q, y   x, S   x, M   y, S

Proof of Theorem lgsquadlemsfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lgsquad.6	. 2 |- S = { <. x , y >. | ( ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) /\ ( y x. P ) < ( x x. Q ) ) }
2		1zzd 9682	. . 3 |- ( ph -> 1 e. ZZ )
3		lgseisen.1	. . . . 5 |- ( ph -> P e. ( Prime \ { 2 } ) )
4		lgsquad.4	. . . . 5 |- M = ( ( P - 1 ) / 2 )
5	3, 4	gausslemma2dlem0b 16371	. . . 4 |- ( ph -> M e. NN )
6	5	nnzd 9778	. . 3 |- ( ph -> M e. ZZ )
7	2, 6	fzfigd 10889	. 2 |- ( ph -> ( 1 ... M ) e. Fin )
8		lgseisen.2	. . . . 5 |- ( ph -> Q e. ( Prime \ { 2 } ) )
9		lgsquad.5	. . . . 5 |- N = ( ( Q - 1 ) / 2 )
10	8, 9	gausslemma2dlem0b 16371	. . . 4 |- ( ph -> N e. NN )
11	10	nnzd 9778	. . 3 |- ( ph -> N e. ZZ )
12	2, 11	fzfigd 10889	. 2 |- ( ph -> ( 1 ... N ) e. Fin )
13		elfznn 10477	. . . . . . 7 |- ( y e. ( 1 ... N ) -> y e. NN )
14	13	ad2antll 495	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) ) -> y e. NN )
15	3	gausslemma2dlem0a 16370	. . . . . . 7 |- ( ph -> P e. NN )
16	15	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) ) -> P e. NN )
17	14, 16	nnmulcld 9362	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) ) -> ( y x. P ) e. NN )
18	17	nnzd 9778	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) ) -> ( y x. P ) e. ZZ )
19		elfznn 10477	. . . . . . 7 |- ( x e. ( 1 ... M ) -> x e. NN )
20	19	ad2antrl 494	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) ) -> x e. NN )
21	8	gausslemma2dlem0a 16370	. . . . . . 7 |- ( ph -> Q e. NN )
22	21	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) ) -> Q e. NN )
23	20, 22	nnmulcld 9362	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) ) -> ( x x. Q ) e. NN )
24	23	nnzd 9778	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) ) -> ( x x. Q ) e. ZZ )
25		zdclt 9733	. . . 4 |- ( ( ( y x. P ) e. ZZ /\ ( x x. Q ) e. ZZ ) -> DECID ( y x. P ) < ( x x. Q ) )
26	18, 24, 25	syl2anc 415	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... N ) ) ) -> DECID ( y x. P ) < ( x x. Q ) )
27	26	ralrimivva 2632	. 2 |- ( ph -> A. x e. ( 1 ... M ) A. y e. ( 1 ... N )DECID ( y x. P ) < ( x x. Q ) )
28	1, 7, 12, 27	opabfi 7251	1 |- ( ph -> S e. Fin )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104  DECID wdc 846   = wceq 1402   e. wcel 2209   =/= wne 2420   \ cdif 3217   {csn 3709   class class class wbr 4131   {copab 4192  (class class class)co 6088   Fincfn 7026   1c1 8186   x. cmul 8190   < clt 8366   - cmin 8504   / cdiv 9010   NNcn 9313   2c2 9364   ZZcz 9655   ...cfz 10428   Primecprime 12910

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-mulrcl 8284  ax-addcom 8285  ax-mulcom 8286  ax-addass 8287  ax-mulass 8288  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-1rid 8292  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-precex 8295  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-apti 8300  ax-pre-ltadd 8301  ax-pre-mulgt0 8302  ax-pre-mulext 8303  ax-arch 8304  ax-caucvg 8305

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-xor 1425  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-po 4443  df-iso 4444  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6580  df-frec 6666  df-1o 6691  df-2o 6692  df-er 6811  df-en 7027  df-fin 7029  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-reap 8911  df-ap 8918  df-div 9011  df-inn 9314  df-2 9372  df-3 9373  df-4 9374  df-n0 9575  df-z 9656  df-uz 9938  df-q 10036  df-rp 10072  df-fz 10429  df-seqfrec 10906  df-exp 10997  df-cj 11629  df-re 11630  df-im 11631  df-rsqrt 11786  df-abs 11787  df-dvds 12580  df-prm 12911

This theorem is used by:  lgsquadlemofi  16397  lgsquadlem1  16398  lgsquadlem2  16399  lgsquadlem3  16400