Theorem lgsquad 15879

Description: The Law of Quadratic Reciprocity, see also theorem 9.8 in [ApostolNT] p. 185. If P and Q are distinct odd primes, then the product of the Legendre symbols ( P /L Q ) and ( Q /L P ) is the parity of ( ( P - 1 ) / 2 ) x. ( ( Q - 1 ) / 2 ). This uses Eisenstein's proof, which also has a nice geometric interpretation - see https://en.wikipedia.org/wiki/Proofs_of_quadratic_reciprocity. This is Metamath 100 proof #7. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lgsquad	|- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ Q e. ( Prime \ { 2 } ) /\ P =/= Q ) -> ( ( P /L Q ) x. ( Q /L P ) ) = ( -u 1 ^ ( ( ( P - 1 ) / 2 ) x. ( ( Q - 1 ) / 2 ) ) ) )

Proof of Theorem lgsquad

Dummy variables x w y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1024	. 2 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ Q e. ( Prime \ { 2 } ) /\ P =/= Q ) -> P e. ( Prime \ { 2 } ) )
2		simp2 1025	. 2 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ Q e. ( Prime \ { 2 } ) /\ P =/= Q ) -> Q e. ( Prime \ { 2 } ) )
3		simp3 1026	. 2 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ Q e. ( Prime \ { 2 } ) /\ P =/= Q ) -> P =/= Q )
4		eqid 2231	. 2 |- ( ( P - 1 ) / 2 ) = ( ( P - 1 ) / 2 )
5		eqid 2231	. 2 |- ( ( Q - 1 ) / 2 ) = ( ( Q - 1 ) / 2 )
6		eleq1w 2292	. . . . 5 |- ( x = z -> ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) <-> z e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) )
7		eleq1w 2292	. . . . 5 |- ( y = w -> ( y e. ( 1 ... ( ( Q - 1 ) / 2 ) ) <-> w e. ( 1 ... ( ( Q - 1 ) / 2 ) ) ) )
8	6, 7	bi2anan9 610	. . . 4 |- ( ( x = z /\ y = w ) -> ( ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( ( Q - 1 ) / 2 ) ) ) <-> ( z e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ w e. ( 1 ... ( ( Q - 1 ) / 2 ) ) ) ) )
9		oveq1 6035	. . . . 5 |- ( y = w -> ( y x. P ) = ( w x. P ) )
10		oveq1 6035	. . . . 5 |- ( x = z -> ( x x. Q ) = ( z x. Q ) )
11	9, 10	breqan12rd 4110	. . . 4 |- ( ( x = z /\ y = w ) -> ( ( y x. P ) < ( x x. Q ) <-> ( w x. P ) < ( z x. Q ) ) )
12	8, 11	anbi12d 473	. . 3 |- ( ( x = z /\ y = w ) -> ( ( ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( ( Q - 1 ) / 2 ) ) ) /\ ( y x. P ) < ( x x. Q ) ) <-> ( ( z e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ w e. ( 1 ... ( ( Q - 1 ) / 2 ) ) ) /\ ( w x. P ) < ( z x. Q ) ) ) )
13	12	cbvopabv 4166	. 2 |- { <. x , y >. | ( ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( ( Q - 1 ) / 2 ) ) ) /\ ( y x. P ) < ( x x. Q ) ) } = { <. z , w >. | ( ( z e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ w e. ( 1 ... ( ( Q - 1 ) / 2 ) ) ) /\ ( w x. P ) < ( z x. Q ) ) }
14	1, 2, 3, 4, 5, 13	lgsquadlem3 15878	1 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ Q e. ( Prime \ { 2 } ) /\ P =/= Q ) -> ( ( P /L Q ) x. ( Q /L P ) ) = ( -u 1 ^ ( ( ( P - 1 ) / 2 ) x. ( ( Q - 1 ) / 2 ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1005   = wceq 1398   e. wcel 2202   =/= wne 2403   \ cdif 3198   {csn 3673   class class class wbr 4093   {copab 4154  (class class class)co 6028   1c1 8076   x. cmul 8080   < clt 8257   - cmin 8393   -ucneg 8394   / cdiv 8895   2c2 9237   ...cfz 10286   ^cexp 10844   Primecprime 12740   /Lclgs 15796

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-mulrcl 8174  ax-addcom 8175  ax-mulcom 8176  ax-addass 8177  ax-mulass 8178  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-1rid 8182  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-precex 8185  ax-cnre 8186  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltwlin 8188  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-apti 8190  ax-pre-ltadd 8191  ax-pre-mulgt0 8192  ax-pre-mulext 8193  ax-arch 8194  ax-caucvg 8195  ax-addf 8197  ax-mulf 8198

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 839  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-xor 1421  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-tp 3681  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-disj 4070  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-po 4399  df-iso 4400  df-iord 4469  df-on 4471  df-ilim 4472  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-isom 5342  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-of 6244  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-tpos 6454  df-recs 6514  df-irdg 6579  df-frec 6600  df-1o 6625  df-2o 6626  df-oadd 6629  df-er 6745  df-ec 6747  df-qs 6751  df-map 6862  df-en 6953  df-dom 6954  df-fin 6955  df-sup 7226  df-inf 7227  df-pnf 8259  df-mnf 8260  df-xr 8261  df-ltxr 8262  df-le 8263  df-sub 8395  df-neg 8396  df-reap 8798  df-ap 8805  df-div 8896  df-inn 9187  df-2 9245  df-3 9246  df-4 9247  df-5 9248  df-6 9249  df-7 9250  df-8 9251  df-9 9252  df-n0 9446  df-z 9523  df-dec 9655  df-uz 9799  df-q 9897  df-rp 9932  df-fz 10287  df-fzo 10421  df-fl 10574  df-mod 10629  df-seqfrec 10754  df-exp 10845  df-ihash 11082  df-cj 11463  df-re 11464  df-im 11465  df-rsqrt 11619  df-abs 11620  df-clim 11900  df-sumdc 11975  df-proddc 12173  df-dvds 12410  df-gcd 12586  df-prm 12741  df-phi 12844  df-pc 12919  df-struct 13145  df-ndx 13146  df-slot 13147  df-base 13149  df-sets 13150  df-iress 13151  df-plusg 13234  df-mulr 13235  df-starv 13236  df-sca 13237  df-vsca 13238  df-ip 13239  df-tset 13240  df-ple 13241  df-ds 13243  df-unif 13244  df-0g 13402  df-igsum 13403  df-topgen 13404  df-iimas 13446  df-qus 13447  df-mgm 13500  df-sgrp 13546  df-mnd 13561  df-mhm 13603  df-submnd 13604  df-grp 13647  df-minusg 13648  df-sbg 13649  df-mulg 13768  df-subg 13818  df-nsg 13819  df-eqg 13820  df-ghm 13889  df-cmn 13934  df-abl 13935  df-mgp 13996  df-rng 14008  df-ur 14035  df-srg 14039  df-ring 14073  df-cring 14074  df-oppr 14143  df-dvdsr 14164  df-unit 14165  df-invr 14197  df-dvr 14208  df-rhm 14228  df-nzr 14256  df-subrg 14295  df-domn 14335  df-idom 14336  df-lmod 14365  df-lssm 14429  df-lsp 14463  df-sra 14511  df-rgmod 14512  df-lidl 14545  df-rsp 14546  df-2idl 14576  df-bl 14622  df-mopn 14623  df-fg 14625  df-metu 14626  df-cnfld 14633  df-zring 14667  df-zrh 14690  df-zn 14692  df-lgs 15797

This theorem is referenced by:  lgsquad2  15882