Theorem lgsquad 16211

Description: The Law of Quadratic Reciprocity, see also theorem 9.8 in [ApostolNT] p. 185. If P and Q are distinct odd primes, then the product of the Legendre symbols ( P /L Q ) and ( Q /L P ) is the parity of ( ( P - 1 ) / 2 ) x. ( ( Q - 1 ) / 2 ). This uses Eisenstein's proof, which also has a nice geometric interpretation - see https://en.wikipedia.org/wiki/Proofs_of_quadratic_reciprocity. This is Metamath 100 proof #7. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lgsquad	|- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ Q e. ( Prime \ { 2 } ) /\ P =/= Q ) -> ( ( P /L Q ) x. ( Q /L P ) ) = ( -u 1 ^ ( ( ( P - 1 ) / 2 ) x. ( ( Q - 1 ) / 2 ) ) ) )

Proof of Theorem lgsquad

Dummy variables x w y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1028	. 2 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ Q e. ( Prime \ { 2 } ) /\ P =/= Q ) -> P e. ( Prime \ { 2 } ) )
2		simp2 1029	. 2 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ Q e. ( Prime \ { 2 } ) /\ P =/= Q ) -> Q e. ( Prime \ { 2 } ) )
3		simp3 1030	. 2 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ Q e. ( Prime \ { 2 } ) /\ P =/= Q ) -> P =/= Q )
4		eqid 2238	. 2 |- ( ( P - 1 ) / 2 ) = ( ( P - 1 ) / 2 )
5		eqid 2238	. 2 |- ( ( Q - 1 ) / 2 ) = ( ( Q - 1 ) / 2 )
6		eleq1w 2299	. . . . 5 |- ( x = z -> ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) <-> z e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) )
7		eleq1w 2299	. . . . 5 |- ( y = w -> ( y e. ( 1 ... ( ( Q - 1 ) / 2 ) ) <-> w e. ( 1 ... ( ( Q - 1 ) / 2 ) ) ) )
8	6, 7	bi2anan9 614	. . . 4 |- ( ( x = z /\ y = w ) -> ( ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( ( Q - 1 ) / 2 ) ) ) <-> ( z e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ w e. ( 1 ... ( ( Q - 1 ) / 2 ) ) ) ) )
9		oveq1 6092	. . . . 5 |- ( y = w -> ( y x. P ) = ( w x. P ) )
10		oveq1 6092	. . . . 5 |- ( x = z -> ( x x. Q ) = ( z x. Q ) )
11	9, 10	breqan12rd 4147	. . . 4 |- ( ( x = z /\ y = w ) -> ( ( y x. P ) < ( x x. Q ) <-> ( w x. P ) < ( z x. Q ) ) )
12	8, 11	anbi12d 477	. . 3 |- ( ( x = z /\ y = w ) -> ( ( ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( ( Q - 1 ) / 2 ) ) ) /\ ( y x. P ) < ( x x. Q ) ) <-> ( ( z e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ w e. ( 1 ... ( ( Q - 1 ) / 2 ) ) ) /\ ( w x. P ) < ( z x. Q ) ) ) )
13	12	cbvopabv 4203	. 2 |- { <. x , y >. | ( ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( ( Q - 1 ) / 2 ) ) ) /\ ( y x. P ) < ( x x. Q ) ) } = { <. z , w >. | ( ( z e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ w e. ( 1 ... ( ( Q - 1 ) / 2 ) ) ) /\ ( w x. P ) < ( z x. Q ) ) }
14	1, 2, 3, 4, 5, 13	lgsquadlem3 16210	1 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ Q e. ( Prime \ { 2 } ) /\ P =/= Q ) -> ( ( P /L Q ) x. ( Q /L P ) ) = ( -u 1 ^ ( ( ( P - 1 ) / 2 ) x. ( ( Q - 1 ) / 2 ) ) ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209   =/= wne 2420   \ cdif 3217   {csn 3709   class class class wbr 4130   {copab 4191  (class class class)co 6085   1c1 8180   x. cmul 8184   < clt 8360   - cmin 8497   -ucneg 8498   / cdiv 9003   2c2 9356   ...cfz 10413   ^cexp 10977   Primecprime 12887   /Lclgs 16128

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-mulrcl 8278  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-precex 8289  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295  ax-pre-mulgt0 8296  ax-pre-mulext 8297  ax-arch 8298  ax-caucvg 8299  ax-addf 8301  ax-mulf 8302

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 843  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-xor 1425  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-tp 3717  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-disj 4107  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-isom 5386  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-of 6302  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-tpos 6516  df-recs 6576  df-irdg 6641  df-frec 6662  df-1o 6687  df-2o 6688  df-oadd 6691  df-er 6807  df-ec 6809  df-qs 6813  df-map 6924  df-en 7023  df-dom 7024  df-fin 7025  df-sup 7324  df-inf 7325  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-reap 8904  df-ap 8911  df-div 9004  df-inn 9306  df-2 9364  df-3 9365  df-4 9366  df-5 9367  df-6 9368  df-7 9369  df-8 9370  df-9 9371  df-n0 9566  df-z 9647  df-dec 9780  df-uz 9924  df-q 10022  df-rp 10057  df-fz 10414  df-fzo 10552  df-fl 10707  df-mod 10762  df-seqfrec 10887  df-exp 10978  df-ihash 11217  df-cj 11609  df-re 11610  df-im 11611  df-rsqrt 11766  df-abs 11767  df-clim 12047  df-sumdc 12122  df-proddc 12320  df-dvds 12557  df-gcd 12733  df-prm 12888  df-phi 12991  df-pc 13066  df-struct 13356  df-ndx 13357  df-slot 13358  df-base 13360  df-sets 13361  df-iress 13362  df-plusg 13446  df-mulr 13447  df-starv 13448  df-sca 13449  df-vsca 13450  df-ip 13451  df-tset 13452  df-ple 13453  df-ds 13455  df-unif 13456  df-0g 13614  df-gzsum 13615  df-topgen 13616  df-iimas 13626  df-qus 13627  df-mgm 13678  df-sgrp 13719  df-mnd 13732  df-mhm 13768  df-submnd 13769  df-grp 13810  df-minusg 13811  df-sbg 13812  df-mulg 13925  df-subg 13975  df-nsg 13976  df-eqg 13977  df-ghm 14046  df-cmn 14091  df-abl 14092  df-gsumfi 14153  df-mgp 14220  df-rng 14234  df-ur 14265  df-srg 14270  df-ring 14304  df-cring 14305  df-oppr 14375  df-dvdsr 14397  df-unit 14398  df-invr 14430  df-dvr 14441  df-rhm 14461  df-nzr 14489  df-subrg 14529  df-domn 14569  df-idom 14570  df-lmod 14627  df-lssm 14692  df-lsp 14726  df-sra 14774  df-rgmod 14775  df-lidl 14808  df-rsp 14809  df-2idl 14839  df-bl 14885  df-mopn 14886  df-fg 14888  df-metu 14889  df-cnfld 14896  df-zring 14928  df-zrh 14951  df-zn 14953  df-lgs 16129

This theorem is used by:  lgsquad2  16214