Theorem lgsquad 15835

Description: The Law of Quadratic Reciprocity, see also theorem 9.8 in [ApostolNT] p. 185. If P and Q are distinct odd primes, then the product of the Legendre symbols ( P /L Q ) and ( Q /L P ) is the parity of ( ( P - 1 ) / 2 ) x. ( ( Q - 1 ) / 2 ). This uses Eisenstein's proof, which also has a nice geometric interpretation - see https://en.wikipedia.org/wiki/Proofs_of_quadratic_reciprocity. This is Metamath 100 proof #7. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lgsquad	|- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ Q e. ( Prime \ { 2 } ) /\ P =/= Q ) -> ( ( P /L Q ) x. ( Q /L P ) ) = ( -u 1 ^ ( ( ( P - 1 ) / 2 ) x. ( ( Q - 1 ) / 2 ) ) ) )

Proof of Theorem lgsquad

Dummy variables x w y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1023	. 2 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ Q e. ( Prime \ { 2 } ) /\ P =/= Q ) -> P e. ( Prime \ { 2 } ) )
2		simp2 1024	. 2 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ Q e. ( Prime \ { 2 } ) /\ P =/= Q ) -> Q e. ( Prime \ { 2 } ) )
3		simp3 1025	. 2 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ Q e. ( Prime \ { 2 } ) /\ P =/= Q ) -> P =/= Q )
4		eqid 2230	. 2 |- ( ( P - 1 ) / 2 ) = ( ( P - 1 ) / 2 )
5		eqid 2230	. 2 |- ( ( Q - 1 ) / 2 ) = ( ( Q - 1 ) / 2 )
6		eleq1w 2291	. . . . 5 |- ( x = z -> ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) <-> z e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) )
7		eleq1w 2291	. . . . 5 |- ( y = w -> ( y e. ( 1 ... ( ( Q - 1 ) / 2 ) ) <-> w e. ( 1 ... ( ( Q - 1 ) / 2 ) ) ) )
8	6, 7	bi2anan9 610	. . . 4 |- ( ( x = z /\ y = w ) -> ( ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( ( Q - 1 ) / 2 ) ) ) <-> ( z e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ w e. ( 1 ... ( ( Q - 1 ) / 2 ) ) ) ) )
9		oveq1 6027	. . . . 5 |- ( y = w -> ( y x. P ) = ( w x. P ) )
10		oveq1 6027	. . . . 5 |- ( x = z -> ( x x. Q ) = ( z x. Q ) )
11	9, 10	breqan12rd 4104	. . . 4 |- ( ( x = z /\ y = w ) -> ( ( y x. P ) < ( x x. Q ) <-> ( w x. P ) < ( z x. Q ) ) )
12	8, 11	anbi12d 473	. . 3 |- ( ( x = z /\ y = w ) -> ( ( ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( ( Q - 1 ) / 2 ) ) ) /\ ( y x. P ) < ( x x. Q ) ) <-> ( ( z e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ w e. ( 1 ... ( ( Q - 1 ) / 2 ) ) ) /\ ( w x. P ) < ( z x. Q ) ) ) )
13	12	cbvopabv 4160	. 2 |- { <. x , y >. | ( ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( ( Q - 1 ) / 2 ) ) ) /\ ( y x. P ) < ( x x. Q ) ) } = { <. z , w >. | ( ( z e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ w e. ( 1 ... ( ( Q - 1 ) / 2 ) ) ) /\ ( w x. P ) < ( z x. Q ) ) }
14	1, 2, 3, 4, 5, 13	lgsquadlem3 15834	1 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ Q e. ( Prime \ { 2 } ) /\ P =/= Q ) -> ( ( P /L Q ) x. ( Q /L P ) ) = ( -u 1 ^ ( ( ( P - 1 ) / 2 ) x. ( ( Q - 1 ) / 2 ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1004   = wceq 1397   e. wcel 2201   =/= wne 2401   \ cdif 3196   {csn 3668   class class class wbr 4087   {copab 4148  (class class class)co 6020   1c1 8035   x. cmul 8039   < clt 8216   - cmin 8352   -ucneg 8353   / cdiv 8854   2c2 9196   ...cfz 10245   ^cexp 10803   Primecprime 12699   /Lclgs 15752

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2203  ax-14 2204  ax-ext 2212  ax-coll 4203  ax-sep 4206  ax-nul 4214  ax-pow 4263  ax-pr 4298  ax-un 4529  ax-setind 4634  ax-iinf 4685  ax-cnex 8125  ax-resscn 8126  ax-1cn 8127  ax-1re 8128  ax-icn 8129  ax-addcl 8130  ax-addrcl 8131  ax-mulcl 8132  ax-mulrcl 8133  ax-addcom 8134  ax-mulcom 8135  ax-addass 8136  ax-mulass 8137  ax-distr 8138  ax-i2m1 8139  ax-0lt1 8140  ax-1rid 8141  ax-0id 8142  ax-rnegex 8143  ax-precex 8144  ax-cnre 8145  ax-pre-ltirr 8146  ax-pre-ltwlin 8147  ax-pre-lttrn 8148  ax-pre-apti 8149  ax-pre-ltadd 8150  ax-pre-mulgt0 8151  ax-pre-mulext 8152  ax-arch 8153  ax-caucvg 8154  ax-addf 8156  ax-mulf 8157

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 838  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-xor 1420  df-nf 1509  df-sb 1810  df-eu 2081  df-mo 2082  df-clab 2217  df-cleq 2223  df-clel 2226  df-nfc 2362  df-ne 2402  df-nel 2497  df-ral 2514  df-rex 2515  df-reu 2516  df-rmo 2517  df-rab 2518  df-v 2803  df-sbc 3031  df-csb 3127  df-dif 3201  df-un 3203  df-in 3205  df-ss 3212  df-nul 3494  df-if 3605  df-pw 3653  df-sn 3674  df-pr 3675  df-tp 3676  df-op 3677  df-uni 3893  df-int 3928  df-iun 3971  df-disj 4064  df-br 4088  df-opab 4150  df-mpt 4151  df-tr 4187  df-id 4389  df-po 4392  df-iso 4393  df-iord 4462  df-on 4464  df-ilim 4465  df-suc 4467  df-iom 4688  df-xp 4730  df-rel 4731  df-cnv 4732  df-co 4733  df-dm 4734  df-rn 4735  df-res 4736  df-ima 4737  df-iota 5285  df-fun 5327  df-fn 5328  df-f 5329  df-f1 5330  df-fo 5331  df-f1o 5332  df-fv 5333  df-isom 5334  df-riota 5973  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpo 6025  df-of 6237  df-1st 6305  df-2nd 6306  df-tpos 6413  df-recs 6473  df-irdg 6538  df-frec 6559  df-1o 6584  df-2o 6585  df-oadd 6588  df-er 6704  df-ec 6706  df-qs 6710  df-map 6821  df-en 6912  df-dom 6913  df-fin 6914  df-sup 7185  df-inf 7186  df-pnf 8218  df-mnf 8219  df-xr 8220  df-ltxr 8221  df-le 8222  df-sub 8354  df-neg 8355  df-reap 8757  df-ap 8764  df-div 8855  df-inn 9146  df-2 9204  df-3 9205  df-4 9206  df-5 9207  df-6 9208  df-7 9209  df-8 9210  df-9 9211  df-n0 9405  df-z 9482  df-dec 9614  df-uz 9758  df-q 9856  df-rp 9891  df-fz 10246  df-fzo 10380  df-fl 10533  df-mod 10588  df-seqfrec 10713  df-exp 10804  df-ihash 11041  df-cj 11422  df-re 11423  df-im 11424  df-rsqrt 11578  df-abs 11579  df-clim 11859  df-sumdc 11934  df-proddc 12132  df-dvds 12369  df-gcd 12545  df-prm 12700  df-phi 12803  df-pc 12878  df-struct 13104  df-ndx 13105  df-slot 13106  df-base 13108  df-sets 13109  df-iress 13110  df-plusg 13193  df-mulr 13194  df-starv 13195  df-sca 13196  df-vsca 13197  df-ip 13198  df-tset 13199  df-ple 13200  df-ds 13202  df-unif 13203  df-0g 13361  df-igsum 13362  df-topgen 13363  df-iimas 13405  df-qus 13406  df-mgm 13459  df-sgrp 13505  df-mnd 13520  df-mhm 13562  df-submnd 13563  df-grp 13606  df-minusg 13607  df-sbg 13608  df-mulg 13727  df-subg 13777  df-nsg 13778  df-eqg 13779  df-ghm 13848  df-cmn 13893  df-abl 13894  df-mgp 13955  df-rng 13967  df-ur 13994  df-srg 13998  df-ring 14032  df-cring 14033  df-oppr 14102  df-dvdsr 14123  df-unit 14124  df-invr 14156  df-dvr 14167  df-rhm 14187  df-nzr 14215  df-subrg 14254  df-domn 14294  df-idom 14295  df-lmod 14324  df-lssm 14388  df-lsp 14422  df-sra 14470  df-rgmod 14471  df-lidl 14504  df-rsp 14505  df-2idl 14535  df-bl 14581  df-mopn 14582  df-fg 14584  df-metu 14585  df-cnfld 14592  df-zring 14626  df-zrh 14649  df-zn 14651  df-lgs 15753

This theorem is referenced by:  lgsquad2  15838