Theorem lgseisen 15315

Description: Eisenstein's lemma, an expression for ( P /L Q ) when P , Q are distinct odd primes. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lgseisen.1	|- ( ph -> P e. ( Prime \ { 2 } ) )
lgseisen.2	|- ( ph -> Q e. ( Prime \ { 2 } ) )
lgseisen.3	|- ( ph -> P =/= Q )

Assertion

Ref	Expression
lgseisen	|- ( ph -> ( Q /L P ) = ( -u 1 ^ sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   x, P   ph, x   x, Q

Proof of Theorem lgseisen

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lgseisen.2	. . . . 5 |- ( ph -> Q e. ( Prime \ { 2 } ) )
2	1	eldifad 3168	. . . 4 |- ( ph -> Q e. Prime )
3		prmz 12279	. . . 4 |- ( Q e. Prime -> Q e. ZZ )
4	2, 3	syl 14	. . 3 |- ( ph -> Q e. ZZ )
5		lgseisen.1	. . 3 |- ( ph -> P e. ( Prime \ { 2 } ) )
6		lgsval3 15259	. . 3 |- ( ( Q e. ZZ /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) ) -> ( Q /L P ) = ( ( ( ( Q ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod P ) - 1 ) )
7	4, 5, 6	syl2anc 411	. 2 |- ( ph -> ( Q /L P ) = ( ( ( ( Q ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod P ) - 1 ) )
8	1	gausslemma2dlem0a 15290	. . . . . . 7 |- ( ph -> Q e. NN )
9		oddprm 12428	. . . . . . . . 9 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( ( P - 1 ) / 2 ) e. NN )
10	5, 9	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( P - 1 ) / 2 ) e. NN )
11	10	nnnn0d 9302	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( P - 1 ) / 2 ) e. NN0 )
12	8, 11	nnexpcld 10787	. . . . . 6 |- ( ph -> ( Q ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) e. NN )
13		nnq 9707	. . . . . 6 |- ( ( Q ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) e. NN -> ( Q ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) e. QQ )
14	12, 13	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> ( Q ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) e. QQ )
15		1zzd 9353	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 1 e. ZZ )
16	15	znegcld 9450	. . . . . . 7 |- ( ph -> -u 1 e. ZZ )
17		zq 9700	. . . . . . 7 |- ( -u 1 e. ZZ -> -u 1 e. QQ )
18	16, 17	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> -u 1 e. QQ )
19		neg1ne0 9097	. . . . . . 7 |- -u 1 =/= 0
20	19	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ph -> -u 1 =/= 0 )
21	10	nnzd 9447	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( P - 1 ) / 2 ) e. ZZ )
22	15, 21	fzfigd 10523	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) e. Fin )
23	5	gausslemma2dlem0a 15290	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> P e. NN )
24		znq 9698	. . . . . . . . . 10 |- ( ( Q e. ZZ /\ P e. NN ) -> ( Q / P ) e. QQ )
25	4, 23, 24	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( Q / P ) e. QQ )
26		2z 9354	. . . . . . . . . . . 12 |- 2 e. ZZ
27	26	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> 2 e. ZZ )
28		elfznn 10129	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -> x e. NN )
29	28	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> x e. NN )
30	29	nnzd 9447	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> x e. ZZ )
31	27, 30	zmulcld 9454	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( 2 x. x ) e. ZZ )
32		zq 9700	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 2 x. x ) e. ZZ -> ( 2 x. x ) e. QQ )
33	31, 32	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( 2 x. x ) e. QQ )
34		qmulcl 9711	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( Q / P ) e. QQ /\ ( 2 x. x ) e. QQ ) -> ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) e. QQ )
35	25, 33, 34	syl2an2r 595	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) e. QQ )
36	35	flqcld 10367	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) e. ZZ )
37	22, 36	fsumzcl 11567	. . . . . 6 |- ( ph -> sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) e. ZZ )
38		qexpclz 10652	. . . . . 6 |- ( ( -u 1 e. QQ /\ -u 1 =/= 0 /\ sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) e. ZZ ) -> ( -u 1 ^ sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) e. QQ )
39	18, 20, 37, 38	syl3anc 1249	. . . . 5 |- ( ph -> ( -u 1 ^ sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) e. QQ )
40		1z 9352	. . . . . 6 |- 1 e. ZZ
41		zq 9700	. . . . . 6 |- ( 1 e. ZZ -> 1 e. QQ )
42	40, 41	mp1i 10	. . . . 5 |- ( ph -> 1 e. QQ )
43		nnq 9707	. . . . . 6 |- ( P e. NN -> P e. QQ )
44	23, 43	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> P e. QQ )
45	23	nngt0d 9034	. . . . 5 |- ( ph -> 0 < P )
46		lgseisen.3	. . . . . 6 |- ( ph -> P =/= Q )
47		eqid 2196	. . . . . 6 |- ( ( Q x. ( 2 x. x ) ) mod P ) = ( ( Q x. ( 2 x. x ) ) mod P )
48		eqid 2196	. . . . . 6 |- ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( ( ( ( -u 1 ^ ( ( Q x. ( 2 x. x ) ) mod P ) ) x. ( ( Q x. ( 2 x. x ) ) mod P ) ) mod P ) / 2 ) ) = ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( ( ( ( -u 1 ^ ( ( Q x. ( 2 x. x ) ) mod P ) ) x. ( ( Q x. ( 2 x. x ) ) mod P ) ) mod P ) / 2 ) )
49		eqid 2196	. . . . . 6 |- ( ( Q x. ( 2 x. y ) ) mod P ) = ( ( Q x. ( 2 x. y ) ) mod P )
50		eqid 2196	. . . . . 6 |- (ℤ/nℤ ` P ) = (ℤ/nℤ ` P )
51		eqid 2196	. . . . . 6 |- (mulGrp ` (ℤ/nℤ ` P ) ) = (mulGrp ` (ℤ/nℤ ` P ) )
52		eqid 2196	. . . . . 6 |- ( ZRHom ` (ℤ/nℤ ` P ) ) = ( ZRHom ` (ℤ/nℤ ` P ) )
53	5, 1, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52	lgseisenlem4 15314	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( Q ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) mod P ) = ( ( -u 1 ^ sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) mod P ) )
54	14, 39, 42, 44, 45, 53	modqadd1 10453	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( Q ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod P ) = ( ( ( -u 1 ^ sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) + 1 ) mod P ) )
55		qaddcl 9709	. . . . . 6 |- ( ( ( -u 1 ^ sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) e. QQ /\ 1 e. QQ ) -> ( ( -u 1 ^ sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) + 1 ) e. QQ )
56	39, 42, 55	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( -u 1 ^ sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) + 1 ) e. QQ )
57		df-neg 8200	. . . . . . 7 |- -u 1 = ( 0 - 1 )
58		neg1cn 9095	. . . . . . . . . . . 12 |- -u 1 e. CC
59		neg1ap0 9099	. . . . . . . . . . . 12 |- -u 1 # 0
60		absexpzap 11245	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( -u 1 e. CC /\ -u 1 # 0 /\ sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) e. ZZ ) -> ( abs ` ( -u 1 ^ sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) ) = ( ( abs ` -u 1 ) ^ sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) )
61	58, 59, 37, 60	mp3an12i 1352	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( abs ` ( -u 1 ^ sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) ) = ( ( abs ` -u 1 ) ^ sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) )
62		ax-1cn 7972	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 1 e. CC
63	62	absnegi 11312	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( abs ` -u 1 ) = ( abs ` 1 )
64		abs1 11237	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( abs ` 1 ) = 1
65	63, 64	eqtri 2217	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( abs ` -u 1 ) = 1
66	65	oveq1i 5932	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( abs ` -u 1 ) ^ sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) = ( 1 ^ sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) )
67		1exp 10660	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) e. ZZ -> ( 1 ^ sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) = 1 )
68	37, 67	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( 1 ^ sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) = 1 )
69	66, 68	eqtrid 2241	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( abs ` -u 1 ) ^ sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) = 1 )
70	61, 69	eqtrd 2229	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( abs ` ( -u 1 ^ sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) ) = 1 )
71		1le1 8599	. . . . . . . . . 10 |- 1 <_ 1
72	70, 71	eqbrtrdi 4072	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( abs ` ( -u 1 ^ sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) ) <_ 1 )
73		neg1rr 9096	. . . . . . . . . . . 12 |- -u 1 e. RR
74	73	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> -u 1 e. RR )
75	59	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> -u 1 # 0 )
76	74, 75, 37	reexpclzapd 10790	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( -u 1 ^ sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) e. RR )
77		1re 8025	. . . . . . . . . 10 |- 1 e. RR
78		absle 11254	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( -u 1 ^ sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) e. RR /\ 1 e. RR ) -> ( ( abs ` ( -u 1 ^ sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) ) <_ 1 <-> ( -u 1 <_ ( -u 1 ^ sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) /\ ( -u 1 ^ sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) <_ 1 ) ) )
79	76, 77, 78	sylancl 413	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( abs ` ( -u 1 ^ sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) ) <_ 1 <-> ( -u 1 <_ ( -u 1 ^ sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) /\ ( -u 1 ^ sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) <_ 1 ) ) )
80	72, 79	mpbid 147	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( -u 1 <_ ( -u 1 ^ sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) /\ ( -u 1 ^ sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) <_ 1 ) )
81	80	simpld 112	. . . . . . 7 |- ( ph -> -u 1 <_ ( -u 1 ^ sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) )
82	57, 81	eqbrtrrid 4069	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 0 - 1 ) <_ ( -u 1 ^ sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) )
83		0red 8027	. . . . . . 7 |- ( ph -> 0 e. RR )
84		1red 8041	. . . . . . 7 |- ( ph -> 1 e. RR )
85	83, 84, 76	lesubaddd 8569	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( 0 - 1 ) <_ ( -u 1 ^ sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) <-> 0 <_ ( ( -u 1 ^ sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) + 1 ) ) )
86	82, 85	mpbid 147	. . . . 5 |- ( ph -> 0 <_ ( ( -u 1 ^ sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) + 1 ) )
87	23	nnred 9003	. . . . . . . 8 |- ( ph -> P e. RR )
88		peano2rem 8293	. . . . . . . 8 |- ( P e. RR -> ( P - 1 ) e. RR )
89	87, 88	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( P - 1 ) e. RR )
90	80	simprd 114	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( -u 1 ^ sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) <_ 1 )
91		df-2 9049	. . . . . . . . 9 |- 2 = ( 1 + 1 )
92		eldifsni 3751	. . . . . . . . . . . 12 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> P =/= 2 )
93	5, 92	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> P =/= 2 )
94	23	nnzd 9447	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> P e. ZZ )
95		zapne 9400	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( P e. ZZ /\ 2 e. ZZ ) -> ( P # 2 <-> P =/= 2 ) )
96	94, 26, 95	sylancl 413	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( P # 2 <-> P =/= 2 ) )
97	93, 96	mpbird 167	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> P # 2 )
98		2re 9060	. . . . . . . . . . . 12 |- 2 e. RR
99	98	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> 2 e. RR )
100	5	eldifad 3168	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> P e. Prime )
101		prmuz2 12299	. . . . . . . . . . . 12 |- ( P e. Prime -> P e. ( ZZ>= ` 2 ) )
102		eluzle 9613	. . . . . . . . . . . 12 |- ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) -> 2 <_ P )
103	100, 101, 102	3syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> 2 <_ P )
104	99, 87, 103	leltapd 8666	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 2 < P <-> P # 2 ) )
105	97, 104	mpbird 167	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> 2 < P )
106	91, 105	eqbrtrrid 4069	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( 1 + 1 ) < P )
107	84, 84, 87	ltaddsubd 8572	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( 1 + 1 ) < P <-> 1 < ( P - 1 ) ) )
108	106, 107	mpbid 147	. . . . . . 7 |- ( ph -> 1 < ( P - 1 ) )
109	76, 84, 89, 90, 108	lelttrd 8151	. . . . . 6 |- ( ph -> ( -u 1 ^ sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) < ( P - 1 ) )
110	76, 84, 87	ltaddsubd 8572	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( -u 1 ^ sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) + 1 ) < P <-> ( -u 1 ^ sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) < ( P - 1 ) ) )
111	109, 110	mpbird 167	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( -u 1 ^ sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) + 1 ) < P )
112		modqid 10441	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( -u 1 ^ sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) + 1 ) e. QQ /\ P e. QQ ) /\ ( 0 <_ ( ( -u 1 ^ sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) + 1 ) /\ ( ( -u 1 ^ sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) + 1 ) < P ) ) -> ( ( ( -u 1 ^ sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) + 1 ) mod P ) = ( ( -u 1 ^ sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) + 1 ) )
113	56, 44, 86, 111, 112	syl22anc 1250	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( -u 1 ^ sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) + 1 ) mod P ) = ( ( -u 1 ^ sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) + 1 ) )
114	54, 113	eqtrd 2229	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( Q ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod P ) = ( ( -u 1 ^ sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) + 1 ) )
115	114	oveq1d 5937	. 2 |- ( ph -> ( ( ( ( Q ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod P ) - 1 ) = ( ( ( -u 1 ^ sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) + 1 ) - 1 ) )
116	76	recnd 8055	. . 3 |- ( ph -> ( -u 1 ^ sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) e. CC )
117		pncan 8232	. . 3 |- ( ( ( -u 1 ^ sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( ( -u 1 ^ sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) + 1 ) - 1 ) = ( -u 1 ^ sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) )
118	116, 62, 117	sylancl 413	. 2 |- ( ph -> ( ( ( -u 1 ^ sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) + 1 ) - 1 ) = ( -u 1 ^ sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) )
119	7, 115, 118	3eqtrd 2233	1 |- ( ph -> ( Q /L P ) = ( -u 1 ^ sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2167   =/= wne 2367   \ cdif 3154   {csn 3622   class class class wbr 4033   |-> cmpt 4094   ` cfv 5258  (class class class)co 5922   CCcc 7877   RRcr 7878   0cc0 7879   1c1 7880   + caddc 7882   x. cmul 7884   < clt 8061   <_ cle 8062   - cmin 8197   -ucneg 8198   # cap 8608   / cdiv 8699   NNcn 8990   2c2 9041   ZZcz 9326   ZZ>=cuz 9601   QQcq 9693   ...cfz 10083   |_cfl 10358   mod cmo 10414   ^cexp 10630   abscabs 11162   sum_csu 11518   Primecprime 12275  mulGrpcmgp 13476   ZRHomczrh 14167  ℤ/nℤczn 14169   /Lclgs 15238

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-mulrcl 7978  ax-addcom 7979  ax-mulcom 7980  ax-addass 7981  ax-mulass 7982  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-1rid 7986  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-precex 7989  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-apti 7994  ax-pre-ltadd 7995  ax-pre-mulgt0 7996  ax-pre-mulext 7997  ax-arch 7998  ax-caucvg 7999  ax-addf 8001  ax-mulf 8002

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-xor 1387  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-if 3562  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-tp 3630  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-id 4328  df-po 4331  df-iso 4332  df-iord 4401  df-on 4403  df-ilim 4404  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-isom 5267  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-of 6135  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-tpos 6303  df-recs 6363  df-irdg 6428  df-frec 6449  df-1o 6474  df-2o 6475  df-oadd 6478  df-er 6592  df-ec 6594  df-qs 6598  df-map 6709  df-en 6800  df-dom 6801  df-fin 6802  df-sup 7050  df-inf 7051  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-sub 8199  df-neg 8200  df-reap 8602  df-ap 8609  df-div 8700  df-inn 8991  df-2 9049  df-3 9050  df-4 9051  df-5 9052  df-6 9053  df-7 9054  df-8 9055  df-9 9056  df-n0 9250  df-z 9327  df-dec 9458  df-uz 9602  df-q 9694  df-rp 9729  df-fz 10084  df-fzo 10218  df-fl 10360  df-mod 10415  df-seqfrec 10540  df-exp 10631  df-ihash 10868  df-cj 11007  df-re 11008  df-im 11009  df-rsqrt 11163  df-abs 11164  df-clim 11444  df-sumdc 11519  df-proddc 11716  df-dvds 11953  df-gcd 12121  df-prm 12276  df-phi 12379  df-pc 12454  df-struct 12680  df-ndx 12681  df-slot 12682  df-base 12684  df-sets 12685  df-iress 12686  df-plusg 12768  df-mulr 12769  df-starv 12770  df-sca 12771  df-vsca 12772  df-ip 12773  df-tset 12774  df-ple 12775  df-ds 12777  df-unif 12778  df-0g 12929  df-igsum 12930  df-topgen 12931  df-iimas 12945  df-qus 12946  df-mgm 12999  df-sgrp 13045  df-mnd 13058  df-mhm 13091  df-submnd 13092  df-grp 13135  df-minusg 13136  df-sbg 13137  df-mulg 13250  df-subg 13300  df-nsg 13301  df-eqg 13302  df-ghm 13371  df-cmn 13416  df-abl 13417  df-mgp 13477  df-rng 13489  df-ur 13516  df-srg 13520  df-ring 13554  df-cring 13555  df-oppr 13624  df-dvdsr 13645  df-unit 13646  df-invr 13677  df-dvr 13688  df-rhm 13708  df-nzr 13736  df-subrg 13775  df-domn 13815  df-idom 13816  df-lmod 13845  df-lssm 13909  df-lsp 13943  df-sra 13991  df-rgmod 13992  df-lidl 14025  df-rsp 14026  df-2idl 14056  df-bl 14102  df-mopn 14103  df-fg 14105  df-metu 14106  df-cnfld 14113  df-zring 14147  df-zrh 14170  df-zn 14172  df-lgs 15239

This theorem is referenced by:  lgsquadlem2  15319