Theorem lgseisen 15876

Description: Eisenstein's lemma, an expression for ( P /L Q ) when P , Q are distinct odd primes. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lgseisen.1	|- ( ph -> P e. ( Prime \ { 2 } ) )
lgseisen.2	|- ( ph -> Q e. ( Prime \ { 2 } ) )
lgseisen.3	|- ( ph -> P =/= Q )

Assertion

Ref	Expression
lgseisen	|- ( ph -> ( Q /L P ) = ( -u 1 ^ sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   x, P   ph, x   x, Q

Proof of Theorem lgseisen

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lgseisen.2	. . . . 5 |- ( ph -> Q e. ( Prime \ { 2 } ) )
2	1	eldifad 3212	. . . 4 |- ( ph -> Q e. Prime )
3		prmz 12746	. . . 4 |- ( Q e. Prime -> Q e. ZZ )
4	2, 3	syl 14	. . 3 |- ( ph -> Q e. ZZ )
5		lgseisen.1	. . 3 |- ( ph -> P e. ( Prime \ { 2 } ) )
6		lgsval3 15820	. . 3 |- ( ( Q e. ZZ /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) ) -> ( Q /L P ) = ( ( ( ( Q ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod P ) - 1 ) )
7	4, 5, 6	syl2anc 411	. 2 |- ( ph -> ( Q /L P ) = ( ( ( ( Q ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod P ) - 1 ) )
8	1	gausslemma2dlem0a 15851	. . . . . . 7 |- ( ph -> Q e. NN )
9		oddprm 12895	. . . . . . . . 9 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( ( P - 1 ) / 2 ) e. NN )
10	5, 9	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( P - 1 ) / 2 ) e. NN )
11	10	nnnn0d 9499	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( P - 1 ) / 2 ) e. NN0 )
12	8, 11	nnexpcld 11003	. . . . . 6 |- ( ph -> ( Q ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) e. NN )
13		nnq 9911	. . . . . 6 |- ( ( Q ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) e. NN -> ( Q ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) e. QQ )
14	12, 13	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> ( Q ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) e. QQ )
15		1zzd 9550	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 1 e. ZZ )
16	15	znegcld 9648	. . . . . . 7 |- ( ph -> -u 1 e. ZZ )
17		zq 9904	. . . . . . 7 |- ( -u 1 e. ZZ -> -u 1 e. QQ )
18	16, 17	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> -u 1 e. QQ )
19		neg1ne0 9292	. . . . . . 7 |- -u 1 =/= 0
20	19	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ph -> -u 1 =/= 0 )
21	10	nnzd 9645	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( P - 1 ) / 2 ) e. ZZ )
22	15, 21	fzfigd 10739	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) e. Fin )
23	5	gausslemma2dlem0a 15851	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> P e. NN )
24		znq 9902	. . . . . . . . . 10 |- ( ( Q e. ZZ /\ P e. NN ) -> ( Q / P ) e. QQ )
25	4, 23, 24	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( Q / P ) e. QQ )
26		2z 9551	. . . . . . . . . . . 12 |- 2 e. ZZ
27	26	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> 2 e. ZZ )
28		elfznn 10334	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -> x e. NN )
29	28	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> x e. NN )
30	29	nnzd 9645	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> x e. ZZ )
31	27, 30	zmulcld 9652	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( 2 x. x ) e. ZZ )
32		zq 9904	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 2 x. x ) e. ZZ -> ( 2 x. x ) e. QQ )
33	31, 32	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( 2 x. x ) e. QQ )
34		qmulcl 9915	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( Q / P ) e. QQ /\ ( 2 x. x ) e. QQ ) -> ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) e. QQ )
35	25, 33, 34	syl2an2r 599	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) e. QQ )
36	35	flqcld 10583	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) e. ZZ )
37	22, 36	fsumzcl 12026	. . . . . 6 |- ( ph -> sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) e. ZZ )
38		qexpclz 10868	. . . . . 6 |- ( ( -u 1 e. QQ /\ -u 1 =/= 0 /\ sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) e. ZZ ) -> ( -u 1 ^ sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) e. QQ )
39	18, 20, 37, 38	syl3anc 1274	. . . . 5 |- ( ph -> ( -u 1 ^ sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) e. QQ )
40		1z 9549	. . . . . 6 |- 1 e. ZZ
41		zq 9904	. . . . . 6 |- ( 1 e. ZZ -> 1 e. QQ )
42	40, 41	mp1i 10	. . . . 5 |- ( ph -> 1 e. QQ )
43		nnq 9911	. . . . . 6 |- ( P e. NN -> P e. QQ )
44	23, 43	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> P e. QQ )
45	23	nngt0d 9229	. . . . 5 |- ( ph -> 0 < P )
46		lgseisen.3	. . . . . 6 |- ( ph -> P =/= Q )
47		eqid 2231	. . . . . 6 |- ( ( Q x. ( 2 x. x ) ) mod P ) = ( ( Q x. ( 2 x. x ) ) mod P )
48		eqid 2231	. . . . . 6 |- ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( ( ( ( -u 1 ^ ( ( Q x. ( 2 x. x ) ) mod P ) ) x. ( ( Q x. ( 2 x. x ) ) mod P ) ) mod P ) / 2 ) ) = ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( ( ( ( -u 1 ^ ( ( Q x. ( 2 x. x ) ) mod P ) ) x. ( ( Q x. ( 2 x. x ) ) mod P ) ) mod P ) / 2 ) )
49		eqid 2231	. . . . . 6 |- ( ( Q x. ( 2 x. y ) ) mod P ) = ( ( Q x. ( 2 x. y ) ) mod P )
50		eqid 2231	. . . . . 6 |- (ℤ/nℤ ` P ) = (ℤ/nℤ ` P )
51		eqid 2231	. . . . . 6 |- (mulGrp ` (ℤ/nℤ ` P ) ) = (mulGrp ` (ℤ/nℤ ` P ) )
52		eqid 2231	. . . . . 6 |- ( ZRHom ` (ℤ/nℤ ` P ) ) = ( ZRHom ` (ℤ/nℤ ` P ) )
53	5, 1, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52	lgseisenlem4 15875	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( Q ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) mod P ) = ( ( -u 1 ^ sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) mod P ) )
54	14, 39, 42, 44, 45, 53	modqadd1 10669	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( Q ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod P ) = ( ( ( -u 1 ^ sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) + 1 ) mod P ) )
55		qaddcl 9913	. . . . . 6 |- ( ( ( -u 1 ^ sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) e. QQ /\ 1 e. QQ ) -> ( ( -u 1 ^ sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) + 1 ) e. QQ )
56	39, 42, 55	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( -u 1 ^ sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) + 1 ) e. QQ )
57		df-neg 8395	. . . . . . 7 |- -u 1 = ( 0 - 1 )
58		neg1cn 9290	. . . . . . . . . . . 12 |- -u 1 e. CC
59		neg1ap0 9294	. . . . . . . . . . . 12 |- -u 1 # 0
60		absexpzap 11703	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( -u 1 e. CC /\ -u 1 # 0 /\ sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) e. ZZ ) -> ( abs ` ( -u 1 ^ sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) ) = ( ( abs ` -u 1 ) ^ sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) )
61	58, 59, 37, 60	mp3an12i 1378	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( abs ` ( -u 1 ^ sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) ) = ( ( abs ` -u 1 ) ^ sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) )
62		ax-1cn 8168	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 1 e. CC
63	62	absnegi 11770	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( abs ` -u 1 ) = ( abs ` 1 )
64		abs1 11695	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( abs ` 1 ) = 1
65	63, 64	eqtri 2252	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( abs ` -u 1 ) = 1
66	65	oveq1i 6038	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( abs ` -u 1 ) ^ sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) = ( 1 ^ sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) )
67		1exp 10876	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) e. ZZ -> ( 1 ^ sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) = 1 )
68	37, 67	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( 1 ^ sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) = 1 )
69	66, 68	eqtrid 2276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( abs ` -u 1 ) ^ sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) = 1 )
70	61, 69	eqtrd 2264	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( abs ` ( -u 1 ^ sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) ) = 1 )
71		1le1 8794	. . . . . . . . . 10 |- 1 <_ 1
72	70, 71	eqbrtrdi 4132	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( abs ` ( -u 1 ^ sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) ) <_ 1 )
73		neg1rr 9291	. . . . . . . . . . . 12 |- -u 1 e. RR
74	73	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> -u 1 e. RR )
75	59	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> -u 1 # 0 )
76	74, 75, 37	reexpclzapd 11006	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( -u 1 ^ sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) e. RR )
77		1re 8221	. . . . . . . . . 10 |- 1 e. RR
78		absle 11712	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( -u 1 ^ sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) e. RR /\ 1 e. RR ) -> ( ( abs ` ( -u 1 ^ sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) ) <_ 1 <-> ( -u 1 <_ ( -u 1 ^ sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) /\ ( -u 1 ^ sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) <_ 1 ) ) )
79	76, 77, 78	sylancl 413	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( abs ` ( -u 1 ^ sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) ) <_ 1 <-> ( -u 1 <_ ( -u 1 ^ sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) /\ ( -u 1 ^ sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) <_ 1 ) ) )
80	72, 79	mpbid 147	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( -u 1 <_ ( -u 1 ^ sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) /\ ( -u 1 ^ sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) <_ 1 ) )
81	80	simpld 112	. . . . . . 7 |- ( ph -> -u 1 <_ ( -u 1 ^ sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) )
82	57, 81	eqbrtrrid 4129	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 0 - 1 ) <_ ( -u 1 ^ sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) )
83		0red 8223	. . . . . . 7 |- ( ph -> 0 e. RR )
84		1red 8237	. . . . . . 7 |- ( ph -> 1 e. RR )
85	83, 84, 76	lesubaddd 8764	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( 0 - 1 ) <_ ( -u 1 ^ sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) <-> 0 <_ ( ( -u 1 ^ sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) + 1 ) ) )
86	82, 85	mpbid 147	. . . . 5 |- ( ph -> 0 <_ ( ( -u 1 ^ sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) + 1 ) )
87	23	nnred 9198	. . . . . . . 8 |- ( ph -> P e. RR )
88		peano2rem 8488	. . . . . . . 8 |- ( P e. RR -> ( P - 1 ) e. RR )
89	87, 88	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( P - 1 ) e. RR )
90	80	simprd 114	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( -u 1 ^ sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) <_ 1 )
91		df-2 9244	. . . . . . . . 9 |- 2 = ( 1 + 1 )
92		eldifsni 3806	. . . . . . . . . . . 12 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> P =/= 2 )
93	5, 92	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> P =/= 2 )
94	23	nnzd 9645	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> P e. ZZ )
95		zapne 9598	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( P e. ZZ /\ 2 e. ZZ ) -> ( P # 2 <-> P =/= 2 ) )
96	94, 26, 95	sylancl 413	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( P # 2 <-> P =/= 2 ) )
97	93, 96	mpbird 167	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> P # 2 )
98		2re 9255	. . . . . . . . . . . 12 |- 2 e. RR
99	98	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> 2 e. RR )
100	5	eldifad 3212	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> P e. Prime )
101		prmuz2 12766	. . . . . . . . . . . 12 |- ( P e. Prime -> P e. ( ZZ>= ` 2 ) )
102		eluzle 9812	. . . . . . . . . . . 12 |- ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) -> 2 <_ P )
103	100, 101, 102	3syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> 2 <_ P )
104	99, 87, 103	leltapd 8861	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 2 < P <-> P # 2 ) )
105	97, 104	mpbird 167	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> 2 < P )
106	91, 105	eqbrtrrid 4129	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( 1 + 1 ) < P )
107	84, 84, 87	ltaddsubd 8767	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( 1 + 1 ) < P <-> 1 < ( P - 1 ) ) )
108	106, 107	mpbid 147	. . . . . . 7 |- ( ph -> 1 < ( P - 1 ) )
109	76, 84, 89, 90, 108	lelttrd 8346	. . . . . 6 |- ( ph -> ( -u 1 ^ sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) < ( P - 1 ) )
110	76, 84, 87	ltaddsubd 8767	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( -u 1 ^ sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) + 1 ) < P <-> ( -u 1 ^ sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) < ( P - 1 ) ) )
111	109, 110	mpbird 167	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( -u 1 ^ sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) + 1 ) < P )
112		modqid 10657	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( -u 1 ^ sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) + 1 ) e. QQ /\ P e. QQ ) /\ ( 0 <_ ( ( -u 1 ^ sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) + 1 ) /\ ( ( -u 1 ^ sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) + 1 ) < P ) ) -> ( ( ( -u 1 ^ sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) + 1 ) mod P ) = ( ( -u 1 ^ sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) + 1 ) )
113	56, 44, 86, 111, 112	syl22anc 1275	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( -u 1 ^ sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) + 1 ) mod P ) = ( ( -u 1 ^ sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) + 1 ) )
114	54, 113	eqtrd 2264	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( Q ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod P ) = ( ( -u 1 ^ sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) + 1 ) )
115	114	oveq1d 6043	. 2 |- ( ph -> ( ( ( ( Q ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod P ) - 1 ) = ( ( ( -u 1 ^ sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) + 1 ) - 1 ) )
116	76	recnd 8250	. . 3 |- ( ph -> ( -u 1 ^ sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) e. CC )
117		pncan 8427	. . 3 |- ( ( ( -u 1 ^ sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( ( -u 1 ^ sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) + 1 ) - 1 ) = ( -u 1 ^ sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) )
118	116, 62, 117	sylancl 413	. 2 |- ( ph -> ( ( ( -u 1 ^ sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) + 1 ) - 1 ) = ( -u 1 ^ sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) )
119	7, 115, 118	3eqtrd 2268	1 |- ( ph -> ( Q /L P ) = ( -u 1 ^ sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1398   e. wcel 2202   =/= wne 2403   \ cdif 3198   {csn 3673   class class class wbr 4093   |-> cmpt 4155   ` cfv 5333  (class class class)co 6028   CCcc 8073   RRcr 8074   0cc0 8075   1c1 8076   + caddc 8078   x. cmul 8080   < clt 8256   <_ cle 8257   - cmin 8392   -ucneg 8393   # cap 8803   / cdiv 8894   NNcn 9185   2c2 9236   ZZcz 9523   ZZ>=cuz 9799   QQcq 9897   ...cfz 10288   |_cfl 10574   mod cmo 10630   ^cexp 10846   abscabs 11620   sum_csu 11976   Primecprime 12742  mulGrpcmgp 13997   ZRHomczrh 14690  ℤ/nℤczn 14692   /Lclgs 15799

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-mulrcl 8174  ax-addcom 8175  ax-mulcom 8176  ax-addass 8177  ax-mulass 8178  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-1rid 8182  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-precex 8185  ax-cnre 8186  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltwlin 8188  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-apti 8190  ax-pre-ltadd 8191  ax-pre-mulgt0 8192  ax-pre-mulext 8193  ax-arch 8194  ax-caucvg 8195  ax-addf 8197  ax-mulf 8198

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 839  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-xor 1421  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-tp 3681  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-po 4399  df-iso 4400  df-iord 4469  df-on 4471  df-ilim 4472  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-isom 5342  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-of 6244  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-tpos 6454  df-recs 6514  df-irdg 6579  df-frec 6600  df-1o 6625  df-2o 6626  df-oadd 6629  df-er 6745  df-ec 6747  df-qs 6751  df-map 6862  df-en 6953  df-dom 6954  df-fin 6955  df-sup 7226  df-inf 7227  df-pnf 8258  df-mnf 8259  df-xr 8260  df-ltxr 8261  df-le 8262  df-sub 8394  df-neg 8395  df-reap 8797  df-ap 8804  df-div 8895  df-inn 9186  df-2 9244  df-3 9245  df-4 9246  df-5 9247  df-6 9248  df-7 9249  df-8 9250  df-9 9251  df-n0 9445  df-z 9524  df-dec 9656  df-uz 9800  df-q 9898  df-rp 9933  df-fz 10289  df-fzo 10423  df-fl 10576  df-mod 10631  df-seqfrec 10756  df-exp 10847  df-ihash 11084  df-cj 11465  df-re 11466  df-im 11467  df-rsqrt 11621  df-abs 11622  df-clim 11902  df-sumdc 11977  df-proddc 12175  df-dvds 12412  df-gcd 12588  df-prm 12743  df-phi 12846  df-pc 12921  df-struct 13147  df-ndx 13148  df-slot 13149  df-base 13151  df-sets 13152  df-iress 13153  df-plusg 13236  df-mulr 13237  df-starv 13238  df-sca 13239  df-vsca 13240  df-ip 13241  df-tset 13242  df-ple 13243  df-ds 13245  df-unif 13246  df-0g 13404  df-igsum 13405  df-topgen 13406  df-iimas 13448  df-qus 13449  df-mgm 13502  df-sgrp 13548  df-mnd 13563  df-mhm 13605  df-submnd 13606  df-grp 13649  df-minusg 13650  df-sbg 13651  df-mulg 13770  df-subg 13820  df-nsg 13821  df-eqg 13822  df-ghm 13891  df-cmn 13936  df-abl 13937  df-mgp 13998  df-rng 14010  df-ur 14037  df-srg 14041  df-ring 14075  df-cring 14076  df-oppr 14145  df-dvdsr 14166  df-unit 14167  df-invr 14199  df-dvr 14210  df-rhm 14230  df-nzr 14258  df-subrg 14297  df-domn 14337  df-idom 14338  df-lmod 14368  df-lssm 14432  df-lsp 14466  df-sra 14514  df-rgmod 14515  df-lidl 14548  df-rsp 14549  df-2idl 14579  df-bl 14625  df-mopn 14626  df-fg 14628  df-metu 14629  df-cnfld 14636  df-zring 14670  df-zrh 14693  df-zn 14695  df-lgs 15800

This theorem is referenced by:  lgsquadlem2  15880