Theorem lgseisen 15595

Description: Eisenstein's lemma, an expression for ( P /L Q ) when P , Q are distinct odd primes. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lgseisen.1	|- ( ph -> P e. ( Prime \ { 2 } ) )
lgseisen.2	|- ( ph -> Q e. ( Prime \ { 2 } ) )
lgseisen.3	|- ( ph -> P =/= Q )

Assertion

Ref	Expression
lgseisen	|- ( ph -> ( Q /L P ) = ( -u 1 ^ sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   x, P   ph, x   x, Q

Proof of Theorem lgseisen

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lgseisen.2	. . . . 5 |- ( ph -> Q e. ( Prime \ { 2 } ) )
2	1	eldifad 3178	. . . 4 |- ( ph -> Q e. Prime )
3		prmz 12477	. . . 4 |- ( Q e. Prime -> Q e. ZZ )
4	2, 3	syl 14	. . 3 |- ( ph -> Q e. ZZ )
5		lgseisen.1	. . 3 |- ( ph -> P e. ( Prime \ { 2 } ) )
6		lgsval3 15539	. . 3 |- ( ( Q e. ZZ /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) ) -> ( Q /L P ) = ( ( ( ( Q ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod P ) - 1 ) )
7	4, 5, 6	syl2anc 411	. 2 |- ( ph -> ( Q /L P ) = ( ( ( ( Q ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod P ) - 1 ) )
8	1	gausslemma2dlem0a 15570	. . . . . . 7 |- ( ph -> Q e. NN )
9		oddprm 12626	. . . . . . . . 9 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( ( P - 1 ) / 2 ) e. NN )
10	5, 9	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( P - 1 ) / 2 ) e. NN )
11	10	nnnn0d 9355	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( P - 1 ) / 2 ) e. NN0 )
12	8, 11	nnexpcld 10847	. . . . . 6 |- ( ph -> ( Q ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) e. NN )
13		nnq 9761	. . . . . 6 |- ( ( Q ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) e. NN -> ( Q ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) e. QQ )
14	12, 13	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> ( Q ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) e. QQ )
15		1zzd 9406	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 1 e. ZZ )
16	15	znegcld 9504	. . . . . . 7 |- ( ph -> -u 1 e. ZZ )
17		zq 9754	. . . . . . 7 |- ( -u 1 e. ZZ -> -u 1 e. QQ )
18	16, 17	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> -u 1 e. QQ )
19		neg1ne0 9150	. . . . . . 7 |- -u 1 =/= 0
20	19	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ph -> -u 1 =/= 0 )
21	10	nnzd 9501	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( P - 1 ) / 2 ) e. ZZ )
22	15, 21	fzfigd 10583	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) e. Fin )
23	5	gausslemma2dlem0a 15570	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> P e. NN )
24		znq 9752	. . . . . . . . . 10 |- ( ( Q e. ZZ /\ P e. NN ) -> ( Q / P ) e. QQ )
25	4, 23, 24	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( Q / P ) e. QQ )
26		2z 9407	. . . . . . . . . . . 12 |- 2 e. ZZ
27	26	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> 2 e. ZZ )
28		elfznn 10183	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -> x e. NN )
29	28	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> x e. NN )
30	29	nnzd 9501	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> x e. ZZ )
31	27, 30	zmulcld 9508	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( 2 x. x ) e. ZZ )
32		zq 9754	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 2 x. x ) e. ZZ -> ( 2 x. x ) e. QQ )
33	31, 32	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( 2 x. x ) e. QQ )
34		qmulcl 9765	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( Q / P ) e. QQ /\ ( 2 x. x ) e. QQ ) -> ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) e. QQ )
35	25, 33, 34	syl2an2r 595	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) e. QQ )
36	35	flqcld 10427	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) e. ZZ )
37	22, 36	fsumzcl 11757	. . . . . 6 |- ( ph -> sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) e. ZZ )
38		qexpclz 10712	. . . . . 6 |- ( ( -u 1 e. QQ /\ -u 1 =/= 0 /\ sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) e. ZZ ) -> ( -u 1 ^ sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) e. QQ )
39	18, 20, 37, 38	syl3anc 1250	. . . . 5 |- ( ph -> ( -u 1 ^ sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) e. QQ )
40		1z 9405	. . . . . 6 |- 1 e. ZZ
41		zq 9754	. . . . . 6 |- ( 1 e. ZZ -> 1 e. QQ )
42	40, 41	mp1i 10	. . . . 5 |- ( ph -> 1 e. QQ )
43		nnq 9761	. . . . . 6 |- ( P e. NN -> P e. QQ )
44	23, 43	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> P e. QQ )
45	23	nngt0d 9087	. . . . 5 |- ( ph -> 0 < P )
46		lgseisen.3	. . . . . 6 |- ( ph -> P =/= Q )
47		eqid 2206	. . . . . 6 |- ( ( Q x. ( 2 x. x ) ) mod P ) = ( ( Q x. ( 2 x. x ) ) mod P )
48		eqid 2206	. . . . . 6 |- ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( ( ( ( -u 1 ^ ( ( Q x. ( 2 x. x ) ) mod P ) ) x. ( ( Q x. ( 2 x. x ) ) mod P ) ) mod P ) / 2 ) ) = ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( ( ( ( -u 1 ^ ( ( Q x. ( 2 x. x ) ) mod P ) ) x. ( ( Q x. ( 2 x. x ) ) mod P ) ) mod P ) / 2 ) )
49		eqid 2206	. . . . . 6 |- ( ( Q x. ( 2 x. y ) ) mod P ) = ( ( Q x. ( 2 x. y ) ) mod P )
50		eqid 2206	. . . . . 6 |- (ℤ/nℤ ` P ) = (ℤ/nℤ ` P )
51		eqid 2206	. . . . . 6 |- (mulGrp ` (ℤ/nℤ ` P ) ) = (mulGrp ` (ℤ/nℤ ` P ) )
52		eqid 2206	. . . . . 6 |- ( ZRHom ` (ℤ/nℤ ` P ) ) = ( ZRHom ` (ℤ/nℤ ` P ) )
53	5, 1, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52	lgseisenlem4 15594	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( Q ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) mod P ) = ( ( -u 1 ^ sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) mod P ) )
54	14, 39, 42, 44, 45, 53	modqadd1 10513	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( Q ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod P ) = ( ( ( -u 1 ^ sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) + 1 ) mod P ) )
55		qaddcl 9763	. . . . . 6 |- ( ( ( -u 1 ^ sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) e. QQ /\ 1 e. QQ ) -> ( ( -u 1 ^ sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) + 1 ) e. QQ )
56	39, 42, 55	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( -u 1 ^ sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) + 1 ) e. QQ )
57		df-neg 8253	. . . . . . 7 |- -u 1 = ( 0 - 1 )
58		neg1cn 9148	. . . . . . . . . . . 12 |- -u 1 e. CC
59		neg1ap0 9152	. . . . . . . . . . . 12 |- -u 1 # 0
60		absexpzap 11435	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( -u 1 e. CC /\ -u 1 # 0 /\ sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) e. ZZ ) -> ( abs ` ( -u 1 ^ sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) ) = ( ( abs ` -u 1 ) ^ sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) )
61	58, 59, 37, 60	mp3an12i 1354	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( abs ` ( -u 1 ^ sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) ) = ( ( abs ` -u 1 ) ^ sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) )
62		ax-1cn 8025	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 1 e. CC
63	62	absnegi 11502	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( abs ` -u 1 ) = ( abs ` 1 )
64		abs1 11427	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( abs ` 1 ) = 1
65	63, 64	eqtri 2227	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( abs ` -u 1 ) = 1
66	65	oveq1i 5961	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( abs ` -u 1 ) ^ sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) = ( 1 ^ sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) )
67		1exp 10720	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) e. ZZ -> ( 1 ^ sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) = 1 )
68	37, 67	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( 1 ^ sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) = 1 )
69	66, 68	eqtrid 2251	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( abs ` -u 1 ) ^ sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) = 1 )
70	61, 69	eqtrd 2239	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( abs ` ( -u 1 ^ sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) ) = 1 )
71		1le1 8652	. . . . . . . . . 10 |- 1 <_ 1
72	70, 71	eqbrtrdi 4086	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( abs ` ( -u 1 ^ sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) ) <_ 1 )
73		neg1rr 9149	. . . . . . . . . . . 12 |- -u 1 e. RR
74	73	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> -u 1 e. RR )
75	59	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> -u 1 # 0 )
76	74, 75, 37	reexpclzapd 10850	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( -u 1 ^ sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) e. RR )
77		1re 8078	. . . . . . . . . 10 |- 1 e. RR
78		absle 11444	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( -u 1 ^ sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) e. RR /\ 1 e. RR ) -> ( ( abs ` ( -u 1 ^ sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) ) <_ 1 <-> ( -u 1 <_ ( -u 1 ^ sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) /\ ( -u 1 ^ sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) <_ 1 ) ) )
79	76, 77, 78	sylancl 413	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( abs ` ( -u 1 ^ sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) ) <_ 1 <-> ( -u 1 <_ ( -u 1 ^ sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) /\ ( -u 1 ^ sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) <_ 1 ) ) )
80	72, 79	mpbid 147	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( -u 1 <_ ( -u 1 ^ sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) /\ ( -u 1 ^ sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) <_ 1 ) )
81	80	simpld 112	. . . . . . 7 |- ( ph -> -u 1 <_ ( -u 1 ^ sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) )
82	57, 81	eqbrtrrid 4083	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 0 - 1 ) <_ ( -u 1 ^ sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) )
83		0red 8080	. . . . . . 7 |- ( ph -> 0 e. RR )
84		1red 8094	. . . . . . 7 |- ( ph -> 1 e. RR )
85	83, 84, 76	lesubaddd 8622	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( 0 - 1 ) <_ ( -u 1 ^ sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) <-> 0 <_ ( ( -u 1 ^ sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) + 1 ) ) )
86	82, 85	mpbid 147	. . . . 5 |- ( ph -> 0 <_ ( ( -u 1 ^ sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) + 1 ) )
87	23	nnred 9056	. . . . . . . 8 |- ( ph -> P e. RR )
88		peano2rem 8346	. . . . . . . 8 |- ( P e. RR -> ( P - 1 ) e. RR )
89	87, 88	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( P - 1 ) e. RR )
90	80	simprd 114	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( -u 1 ^ sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) <_ 1 )
91		df-2 9102	. . . . . . . . 9 |- 2 = ( 1 + 1 )
92		eldifsni 3764	. . . . . . . . . . . 12 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> P =/= 2 )
93	5, 92	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> P =/= 2 )
94	23	nnzd 9501	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> P e. ZZ )
95		zapne 9454	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( P e. ZZ /\ 2 e. ZZ ) -> ( P # 2 <-> P =/= 2 ) )
96	94, 26, 95	sylancl 413	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( P # 2 <-> P =/= 2 ) )
97	93, 96	mpbird 167	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> P # 2 )
98		2re 9113	. . . . . . . . . . . 12 |- 2 e. RR
99	98	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> 2 e. RR )
100	5	eldifad 3178	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> P e. Prime )
101		prmuz2 12497	. . . . . . . . . . . 12 |- ( P e. Prime -> P e. ( ZZ>= ` 2 ) )
102		eluzle 9667	. . . . . . . . . . . 12 |- ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) -> 2 <_ P )
103	100, 101, 102	3syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> 2 <_ P )
104	99, 87, 103	leltapd 8719	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 2 < P <-> P # 2 ) )
105	97, 104	mpbird 167	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> 2 < P )
106	91, 105	eqbrtrrid 4083	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( 1 + 1 ) < P )
107	84, 84, 87	ltaddsubd 8625	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( 1 + 1 ) < P <-> 1 < ( P - 1 ) ) )
108	106, 107	mpbid 147	. . . . . . 7 |- ( ph -> 1 < ( P - 1 ) )
109	76, 84, 89, 90, 108	lelttrd 8204	. . . . . 6 |- ( ph -> ( -u 1 ^ sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) < ( P - 1 ) )
110	76, 84, 87	ltaddsubd 8625	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( -u 1 ^ sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) + 1 ) < P <-> ( -u 1 ^ sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) < ( P - 1 ) ) )
111	109, 110	mpbird 167	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( -u 1 ^ sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) + 1 ) < P )
112		modqid 10501	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( -u 1 ^ sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) + 1 ) e. QQ /\ P e. QQ ) /\ ( 0 <_ ( ( -u 1 ^ sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) + 1 ) /\ ( ( -u 1 ^ sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) + 1 ) < P ) ) -> ( ( ( -u 1 ^ sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) + 1 ) mod P ) = ( ( -u 1 ^ sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) + 1 ) )
113	56, 44, 86, 111, 112	syl22anc 1251	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( -u 1 ^ sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) + 1 ) mod P ) = ( ( -u 1 ^ sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) + 1 ) )
114	54, 113	eqtrd 2239	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( Q ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod P ) = ( ( -u 1 ^ sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) + 1 ) )
115	114	oveq1d 5966	. 2 |- ( ph -> ( ( ( ( Q ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod P ) - 1 ) = ( ( ( -u 1 ^ sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) + 1 ) - 1 ) )
116	76	recnd 8108	. . 3 |- ( ph -> ( -u 1 ^ sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) e. CC )
117		pncan 8285	. . 3 |- ( ( ( -u 1 ^ sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( ( -u 1 ^ sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) + 1 ) - 1 ) = ( -u 1 ^ sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) )
118	116, 62, 117	sylancl 413	. 2 |- ( ph -> ( ( ( -u 1 ^ sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) + 1 ) - 1 ) = ( -u 1 ^ sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) )
119	7, 115, 118	3eqtrd 2243	1 |- ( ph -> ( Q /L P ) = ( -u 1 ^ sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1373   e. wcel 2177   =/= wne 2377   \ cdif 3164   {csn 3634   class class class wbr 4047   |-> cmpt 4109   ` cfv 5276  (class class class)co 5951   CCcc 7930   RRcr 7931   0cc0 7932   1c1 7933   + caddc 7935   x. cmul 7937   < clt 8114   <_ cle 8115   - cmin 8250   -ucneg 8251   # cap 8661   / cdiv 8752   NNcn 9043   2c2 9094   ZZcz 9379   ZZ>=cuz 9655   QQcq 9747   ...cfz 10137   |_cfl 10418   mod cmo 10474   ^cexp 10690   abscabs 11352   sum_csu 11708   Primecprime 12473  mulGrpcmgp 13726   ZRHomczrh 14417  ℤ/nℤczn 14419   /Lclgs 15518

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4163  ax-sep 4166  ax-nul 4174  ax-pow 4222  ax-pr 4257  ax-un 4484  ax-setind 4589  ax-iinf 4640  ax-cnex 8023  ax-resscn 8024  ax-1cn 8025  ax-1re 8026  ax-icn 8027  ax-addcl 8028  ax-addrcl 8029  ax-mulcl 8030  ax-mulrcl 8031  ax-addcom 8032  ax-mulcom 8033  ax-addass 8034  ax-mulass 8035  ax-distr 8036  ax-i2m1 8037  ax-0lt1 8038  ax-1rid 8039  ax-0id 8040  ax-rnegex 8041  ax-precex 8042  ax-cnre 8043  ax-pre-ltirr 8044  ax-pre-ltwlin 8045  ax-pre-lttrn 8046  ax-pre-apti 8047  ax-pre-ltadd 8048  ax-pre-mulgt0 8049  ax-pre-mulext 8050  ax-arch 8051  ax-caucvg 8052  ax-addf 8054  ax-mulf 8055

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 833  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-xor 1396  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rmo 2493  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3000  df-csb 3095  df-dif 3169  df-un 3171  df-in 3173  df-ss 3180  df-nul 3462  df-if 3573  df-pw 3619  df-sn 3640  df-pr 3641  df-tp 3642  df-op 3643  df-uni 3853  df-int 3888  df-iun 3931  df-br 4048  df-opab 4110  df-mpt 4111  df-tr 4147  df-id 4344  df-po 4347  df-iso 4348  df-iord 4417  df-on 4419  df-ilim 4420  df-suc 4422  df-iom 4643  df-xp 4685  df-rel 4686  df-cnv 4687  df-co 4688  df-dm 4689  df-rn 4690  df-res 4691  df-ima 4692  df-iota 5237  df-fun 5278  df-fn 5279  df-f 5280  df-f1 5281  df-fo 5282  df-f1o 5283  df-fv 5284  df-isom 5285  df-riota 5906  df-ov 5954  df-oprab 5955  df-mpo 5956  df-of 6165  df-1st 6233  df-2nd 6234  df-tpos 6338  df-recs 6398  df-irdg 6463  df-frec 6484  df-1o 6509  df-2o 6510  df-oadd 6513  df-er 6627  df-ec 6629  df-qs 6633  df-map 6744  df-en 6835  df-dom 6836  df-fin 6837  df-sup 7093  df-inf 7094  df-pnf 8116  df-mnf 8117  df-xr 8118  df-ltxr 8119  df-le 8120  df-sub 8252  df-neg 8253  df-reap 8655  df-ap 8662  df-div 8753  df-inn 9044  df-2 9102  df-3 9103  df-4 9104  df-5 9105  df-6 9106  df-7 9107  df-8 9108  df-9 9109  df-n0 9303  df-z 9380  df-dec 9512  df-uz 9656  df-q 9748  df-rp 9783  df-fz 10138  df-fzo 10272  df-fl 10420  df-mod 10475  df-seqfrec 10600  df-exp 10691  df-ihash 10928  df-cj 11197  df-re 11198  df-im 11199  df-rsqrt 11353  df-abs 11354  df-clim 11634  df-sumdc 11709  df-proddc 11906  df-dvds 12143  df-gcd 12319  df-prm 12474  df-phi 12577  df-pc 12652  df-struct 12878  df-ndx 12879  df-slot 12880  df-base 12882  df-sets 12883  df-iress 12884  df-plusg 12966  df-mulr 12967  df-starv 12968  df-sca 12969  df-vsca 12970  df-ip 12971  df-tset 12972  df-ple 12973  df-ds 12975  df-unif 12976  df-0g 13134  df-igsum 13135  df-topgen 13136  df-iimas 13178  df-qus 13179  df-mgm 13232  df-sgrp 13278  df-mnd 13293  df-mhm 13335  df-submnd 13336  df-grp 13379  df-minusg 13380  df-sbg 13381  df-mulg 13500  df-subg 13550  df-nsg 13551  df-eqg 13552  df-ghm 13621  df-cmn 13666  df-abl 13667  df-mgp 13727  df-rng 13739  df-ur 13766  df-srg 13770  df-ring 13804  df-cring 13805  df-oppr 13874  df-dvdsr 13895  df-unit 13896  df-invr 13927  df-dvr 13938  df-rhm 13958  df-nzr 13986  df-subrg 14025  df-domn 14065  df-idom 14066  df-lmod 14095  df-lssm 14159  df-lsp 14193  df-sra 14241  df-rgmod 14242  df-lidl 14275  df-rsp 14276  df-2idl 14306  df-bl 14352  df-mopn 14353  df-fg 14355  df-metu 14356  df-cnfld 14363  df-zring 14397  df-zrh 14420  df-zn 14422  df-lgs 15519

This theorem is referenced by:  lgsquadlem2  15599