Theorem lgseisen 15399

Description: Eisenstein's lemma, an expression for ( P /L Q ) when P , Q are distinct odd primes. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lgseisen.1	|- ( ph -> P e. ( Prime \ { 2 } ) )
lgseisen.2	|- ( ph -> Q e. ( Prime \ { 2 } ) )
lgseisen.3	|- ( ph -> P =/= Q )

Assertion

Ref	Expression
lgseisen	|- ( ph -> ( Q /L P ) = ( -u 1 ^ sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   x, P   ph, x   x, Q

Proof of Theorem lgseisen

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lgseisen.2	. . . . 5 |- ( ph -> Q e. ( Prime \ { 2 } ) )
2	1	eldifad 3168	. . . 4 |- ( ph -> Q e. Prime )
3		prmz 12304	. . . 4 |- ( Q e. Prime -> Q e. ZZ )
4	2, 3	syl 14	. . 3 |- ( ph -> Q e. ZZ )
5		lgseisen.1	. . 3 |- ( ph -> P e. ( Prime \ { 2 } ) )
6		lgsval3 15343	. . 3 |- ( ( Q e. ZZ /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) ) -> ( Q /L P ) = ( ( ( ( Q ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod P ) - 1 ) )
7	4, 5, 6	syl2anc 411	. 2 |- ( ph -> ( Q /L P ) = ( ( ( ( Q ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod P ) - 1 ) )
8	1	gausslemma2dlem0a 15374	. . . . . . 7 |- ( ph -> Q e. NN )
9		oddprm 12453	. . . . . . . . 9 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( ( P - 1 ) / 2 ) e. NN )
10	5, 9	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( P - 1 ) / 2 ) e. NN )
11	10	nnnn0d 9319	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( P - 1 ) / 2 ) e. NN0 )
12	8, 11	nnexpcld 10804	. . . . . 6 |- ( ph -> ( Q ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) e. NN )
13		nnq 9724	. . . . . 6 |- ( ( Q ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) e. NN -> ( Q ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) e. QQ )
14	12, 13	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> ( Q ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) e. QQ )
15		1zzd 9370	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 1 e. ZZ )
16	15	znegcld 9467	. . . . . . 7 |- ( ph -> -u 1 e. ZZ )
17		zq 9717	. . . . . . 7 |- ( -u 1 e. ZZ -> -u 1 e. QQ )
18	16, 17	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> -u 1 e. QQ )
19		neg1ne0 9114	. . . . . . 7 |- -u 1 =/= 0
20	19	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ph -> -u 1 =/= 0 )
21	10	nnzd 9464	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( P - 1 ) / 2 ) e. ZZ )
22	15, 21	fzfigd 10540	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) e. Fin )
23	5	gausslemma2dlem0a 15374	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> P e. NN )
24		znq 9715	. . . . . . . . . 10 |- ( ( Q e. ZZ /\ P e. NN ) -> ( Q / P ) e. QQ )
25	4, 23, 24	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( Q / P ) e. QQ )
26		2z 9371	. . . . . . . . . . . 12 |- 2 e. ZZ
27	26	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> 2 e. ZZ )
28		elfznn 10146	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -> x e. NN )
29	28	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> x e. NN )
30	29	nnzd 9464	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> x e. ZZ )
31	27, 30	zmulcld 9471	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( 2 x. x ) e. ZZ )
32		zq 9717	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 2 x. x ) e. ZZ -> ( 2 x. x ) e. QQ )
33	31, 32	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( 2 x. x ) e. QQ )
34		qmulcl 9728	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( Q / P ) e. QQ /\ ( 2 x. x ) e. QQ ) -> ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) e. QQ )
35	25, 33, 34	syl2an2r 595	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) e. QQ )
36	35	flqcld 10384	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) -> ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) e. ZZ )
37	22, 36	fsumzcl 11584	. . . . . 6 |- ( ph -> sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) e. ZZ )
38		qexpclz 10669	. . . . . 6 |- ( ( -u 1 e. QQ /\ -u 1 =/= 0 /\ sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) e. ZZ ) -> ( -u 1 ^ sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) e. QQ )
39	18, 20, 37, 38	syl3anc 1249	. . . . 5 |- ( ph -> ( -u 1 ^ sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) e. QQ )
40		1z 9369	. . . . . 6 |- 1 e. ZZ
41		zq 9717	. . . . . 6 |- ( 1 e. ZZ -> 1 e. QQ )
42	40, 41	mp1i 10	. . . . 5 |- ( ph -> 1 e. QQ )
43		nnq 9724	. . . . . 6 |- ( P e. NN -> P e. QQ )
44	23, 43	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> P e. QQ )
45	23	nngt0d 9051	. . . . 5 |- ( ph -> 0 < P )
46		lgseisen.3	. . . . . 6 |- ( ph -> P =/= Q )
47		eqid 2196	. . . . . 6 |- ( ( Q x. ( 2 x. x ) ) mod P ) = ( ( Q x. ( 2 x. x ) ) mod P )
48		eqid 2196	. . . . . 6 |- ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( ( ( ( -u 1 ^ ( ( Q x. ( 2 x. x ) ) mod P ) ) x. ( ( Q x. ( 2 x. x ) ) mod P ) ) mod P ) / 2 ) ) = ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( ( ( ( -u 1 ^ ( ( Q x. ( 2 x. x ) ) mod P ) ) x. ( ( Q x. ( 2 x. x ) ) mod P ) ) mod P ) / 2 ) )
49		eqid 2196	. . . . . 6 |- ( ( Q x. ( 2 x. y ) ) mod P ) = ( ( Q x. ( 2 x. y ) ) mod P )
50		eqid 2196	. . . . . 6 |- (ℤ/nℤ ` P ) = (ℤ/nℤ ` P )
51		eqid 2196	. . . . . 6 |- (mulGrp ` (ℤ/nℤ ` P ) ) = (mulGrp ` (ℤ/nℤ ` P ) )
52		eqid 2196	. . . . . 6 |- ( ZRHom ` (ℤ/nℤ ` P ) ) = ( ZRHom ` (ℤ/nℤ ` P ) )
53	5, 1, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52	lgseisenlem4 15398	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( Q ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) mod P ) = ( ( -u 1 ^ sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) mod P ) )
54	14, 39, 42, 44, 45, 53	modqadd1 10470	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( Q ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod P ) = ( ( ( -u 1 ^ sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) + 1 ) mod P ) )
55		qaddcl 9726	. . . . . 6 |- ( ( ( -u 1 ^ sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) e. QQ /\ 1 e. QQ ) -> ( ( -u 1 ^ sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) + 1 ) e. QQ )
56	39, 42, 55	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( -u 1 ^ sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) + 1 ) e. QQ )
57		df-neg 8217	. . . . . . 7 |- -u 1 = ( 0 - 1 )
58		neg1cn 9112	. . . . . . . . . . . 12 |- -u 1 e. CC
59		neg1ap0 9116	. . . . . . . . . . . 12 |- -u 1 # 0
60		absexpzap 11262	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( -u 1 e. CC /\ -u 1 # 0 /\ sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) e. ZZ ) -> ( abs ` ( -u 1 ^ sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) ) = ( ( abs ` -u 1 ) ^ sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) )
61	58, 59, 37, 60	mp3an12i 1352	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( abs ` ( -u 1 ^ sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) ) = ( ( abs ` -u 1 ) ^ sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) )
62		ax-1cn 7989	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 1 e. CC
63	62	absnegi 11329	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( abs ` -u 1 ) = ( abs ` 1 )
64		abs1 11254	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( abs ` 1 ) = 1
65	63, 64	eqtri 2217	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( abs ` -u 1 ) = 1
66	65	oveq1i 5935	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( abs ` -u 1 ) ^ sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) = ( 1 ^ sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) )
67		1exp 10677	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) e. ZZ -> ( 1 ^ sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) = 1 )
68	37, 67	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( 1 ^ sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) = 1 )
69	66, 68	eqtrid 2241	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( abs ` -u 1 ) ^ sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) = 1 )
70	61, 69	eqtrd 2229	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( abs ` ( -u 1 ^ sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) ) = 1 )
71		1le1 8616	. . . . . . . . . 10 |- 1 <_ 1
72	70, 71	eqbrtrdi 4073	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( abs ` ( -u 1 ^ sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) ) <_ 1 )
73		neg1rr 9113	. . . . . . . . . . . 12 |- -u 1 e. RR
74	73	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> -u 1 e. RR )
75	59	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> -u 1 # 0 )
76	74, 75, 37	reexpclzapd 10807	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( -u 1 ^ sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) e. RR )
77		1re 8042	. . . . . . . . . 10 |- 1 e. RR
78		absle 11271	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( -u 1 ^ sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) e. RR /\ 1 e. RR ) -> ( ( abs ` ( -u 1 ^ sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) ) <_ 1 <-> ( -u 1 <_ ( -u 1 ^ sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) /\ ( -u 1 ^ sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) <_ 1 ) ) )
79	76, 77, 78	sylancl 413	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( abs ` ( -u 1 ^ sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) ) <_ 1 <-> ( -u 1 <_ ( -u 1 ^ sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) /\ ( -u 1 ^ sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) <_ 1 ) ) )
80	72, 79	mpbid 147	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( -u 1 <_ ( -u 1 ^ sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) /\ ( -u 1 ^ sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) <_ 1 ) )
81	80	simpld 112	. . . . . . 7 |- ( ph -> -u 1 <_ ( -u 1 ^ sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) )
82	57, 81	eqbrtrrid 4070	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 0 - 1 ) <_ ( -u 1 ^ sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) )
83		0red 8044	. . . . . . 7 |- ( ph -> 0 e. RR )
84		1red 8058	. . . . . . 7 |- ( ph -> 1 e. RR )
85	83, 84, 76	lesubaddd 8586	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( 0 - 1 ) <_ ( -u 1 ^ sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) <-> 0 <_ ( ( -u 1 ^ sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) + 1 ) ) )
86	82, 85	mpbid 147	. . . . 5 |- ( ph -> 0 <_ ( ( -u 1 ^ sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) + 1 ) )
87	23	nnred 9020	. . . . . . . 8 |- ( ph -> P e. RR )
88		peano2rem 8310	. . . . . . . 8 |- ( P e. RR -> ( P - 1 ) e. RR )
89	87, 88	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( P - 1 ) e. RR )
90	80	simprd 114	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( -u 1 ^ sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) <_ 1 )
91		df-2 9066	. . . . . . . . 9 |- 2 = ( 1 + 1 )
92		eldifsni 3752	. . . . . . . . . . . 12 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> P =/= 2 )
93	5, 92	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> P =/= 2 )
94	23	nnzd 9464	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> P e. ZZ )
95		zapne 9417	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( P e. ZZ /\ 2 e. ZZ ) -> ( P # 2 <-> P =/= 2 ) )
96	94, 26, 95	sylancl 413	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( P # 2 <-> P =/= 2 ) )
97	93, 96	mpbird 167	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> P # 2 )
98		2re 9077	. . . . . . . . . . . 12 |- 2 e. RR
99	98	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> 2 e. RR )
100	5	eldifad 3168	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> P e. Prime )
101		prmuz2 12324	. . . . . . . . . . . 12 |- ( P e. Prime -> P e. ( ZZ>= ` 2 ) )
102		eluzle 9630	. . . . . . . . . . . 12 |- ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) -> 2 <_ P )
103	100, 101, 102	3syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> 2 <_ P )
104	99, 87, 103	leltapd 8683	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 2 < P <-> P # 2 ) )
105	97, 104	mpbird 167	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> 2 < P )
106	91, 105	eqbrtrrid 4070	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( 1 + 1 ) < P )
107	84, 84, 87	ltaddsubd 8589	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( 1 + 1 ) < P <-> 1 < ( P - 1 ) ) )
108	106, 107	mpbid 147	. . . . . . 7 |- ( ph -> 1 < ( P - 1 ) )
109	76, 84, 89, 90, 108	lelttrd 8168	. . . . . 6 |- ( ph -> ( -u 1 ^ sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) < ( P - 1 ) )
110	76, 84, 87	ltaddsubd 8589	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( -u 1 ^ sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) + 1 ) < P <-> ( -u 1 ^ sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) < ( P - 1 ) ) )
111	109, 110	mpbird 167	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( -u 1 ^ sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) + 1 ) < P )
112		modqid 10458	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( -u 1 ^ sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) + 1 ) e. QQ /\ P e. QQ ) /\ ( 0 <_ ( ( -u 1 ^ sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) + 1 ) /\ ( ( -u 1 ^ sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) + 1 ) < P ) ) -> ( ( ( -u 1 ^ sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) + 1 ) mod P ) = ( ( -u 1 ^ sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) + 1 ) )
113	56, 44, 86, 111, 112	syl22anc 1250	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( -u 1 ^ sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) + 1 ) mod P ) = ( ( -u 1 ^ sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) + 1 ) )
114	54, 113	eqtrd 2229	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( Q ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod P ) = ( ( -u 1 ^ sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) + 1 ) )
115	114	oveq1d 5940	. 2 |- ( ph -> ( ( ( ( Q ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod P ) - 1 ) = ( ( ( -u 1 ^ sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) + 1 ) - 1 ) )
116	76	recnd 8072	. . 3 |- ( ph -> ( -u 1 ^ sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) e. CC )
117		pncan 8249	. . 3 |- ( ( ( -u 1 ^ sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( ( -u 1 ^ sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) + 1 ) - 1 ) = ( -u 1 ^ sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) )
118	116, 62, 117	sylancl 413	. 2 |- ( ph -> ( ( ( -u 1 ^ sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) + 1 ) - 1 ) = ( -u 1 ^ sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) )
119	7, 115, 118	3eqtrd 2233	1 |- ( ph -> ( Q /L P ) = ( -u 1 ^ sum_ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( |_ ` ( ( Q / P ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2167   =/= wne 2367   \ cdif 3154   {csn 3623   class class class wbr 4034   |-> cmpt 4095   ` cfv 5259  (class class class)co 5925   CCcc 7894   RRcr 7895   0cc0 7896   1c1 7897   + caddc 7899   x. cmul 7901   < clt 8078   <_ cle 8079   - cmin 8214   -ucneg 8215   # cap 8625   / cdiv 8716   NNcn 9007   2c2 9058   ZZcz 9343   ZZ>=cuz 9618   QQcq 9710   ...cfz 10100   |_cfl 10375   mod cmo 10431   ^cexp 10647   abscabs 11179   sum_csu 11535   Primecprime 12300  mulGrpcmgp 13552   ZRHomczrh 14243  ℤ/nℤczn 14245   /Lclgs 15322

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-mulrcl 7995  ax-addcom 7996  ax-mulcom 7997  ax-addass 7998  ax-mulass 7999  ax-distr 8000  ax-i2m1 8001  ax-0lt1 8002  ax-1rid 8003  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-precex 8006  ax-cnre 8007  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-ltwlin 8009  ax-pre-lttrn 8010  ax-pre-apti 8011  ax-pre-ltadd 8012  ax-pre-mulgt0 8013  ax-pre-mulext 8014  ax-arch 8015  ax-caucvg 8016  ax-addf 8018  ax-mulf 8019

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-xor 1387  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-if 3563  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-tp 3631  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-iord 4402  df-on 4404  df-ilim 4405  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-isom 5268  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-of 6139  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-tpos 6312  df-recs 6372  df-irdg 6437  df-frec 6458  df-1o 6483  df-2o 6484  df-oadd 6487  df-er 6601  df-ec 6603  df-qs 6607  df-map 6718  df-en 6809  df-dom 6810  df-fin 6811  df-sup 7059  df-inf 7060  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-xr 8082  df-ltxr 8083  df-le 8084  df-sub 8216  df-neg 8217  df-reap 8619  df-ap 8626  df-div 8717  df-inn 9008  df-2 9066  df-3 9067  df-4 9068  df-5 9069  df-6 9070  df-7 9071  df-8 9072  df-9 9073  df-n0 9267  df-z 9344  df-dec 9475  df-uz 9619  df-q 9711  df-rp 9746  df-fz 10101  df-fzo 10235  df-fl 10377  df-mod 10432  df-seqfrec 10557  df-exp 10648  df-ihash 10885  df-cj 11024  df-re 11025  df-im 11026  df-rsqrt 11180  df-abs 11181  df-clim 11461  df-sumdc 11536  df-proddc 11733  df-dvds 11970  df-gcd 12146  df-prm 12301  df-phi 12404  df-pc 12479  df-struct 12705  df-ndx 12706  df-slot 12707  df-base 12709  df-sets 12710  df-iress 12711  df-plusg 12793  df-mulr 12794  df-starv 12795  df-sca 12796  df-vsca 12797  df-ip 12798  df-tset 12799  df-ple 12800  df-ds 12802  df-unif 12803  df-0g 12960  df-igsum 12961  df-topgen 12962  df-iimas 13004  df-qus 13005  df-mgm 13058  df-sgrp 13104  df-mnd 13119  df-mhm 13161  df-submnd 13162  df-grp 13205  df-minusg 13206  df-sbg 13207  df-mulg 13326  df-subg 13376  df-nsg 13377  df-eqg 13378  df-ghm 13447  df-cmn 13492  df-abl 13493  df-mgp 13553  df-rng 13565  df-ur 13592  df-srg 13596  df-ring 13630  df-cring 13631  df-oppr 13700  df-dvdsr 13721  df-unit 13722  df-invr 13753  df-dvr 13764  df-rhm 13784  df-nzr 13812  df-subrg 13851  df-domn 13891  df-idom 13892  df-lmod 13921  df-lssm 13985  df-lsp 14019  df-sra 14067  df-rgmod 14068  df-lidl 14101  df-rsp 14102  df-2idl 14132  df-bl 14178  df-mopn 14179  df-fg 14181  df-metu 14182  df-cnfld 14189  df-zring 14223  df-zrh 14246  df-zn 14248  df-lgs 15323

This theorem is referenced by:  lgsquadlem2  15403