Theorem gausslemma2dlem0b 15714

Description: Auxiliary lemma 2 for gausslemma2d 15733. (Contributed by AV, 9-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
gausslemma2dlem0a.p	|- ( ph -> P e. ( Prime \ { 2 } ) )
gausslemma2dlem0b.h	|- H = ( ( P - 1 ) / 2 )

Assertion

Ref	Expression
gausslemma2dlem0b	|- ( ph -> H e. NN )

Proof of Theorem gausslemma2dlem0b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gausslemma2dlem0b.h	. 2 |- H = ( ( P - 1 ) / 2 )
2		gausslemma2dlem0a.p	. . . 4 |- ( ph -> P e. ( Prime \ { 2 } ) )
3		eldifi 3326	. . . . . 6 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> P e. Prime )
4		prmuz2 12639	. . . . . 6 |- ( P e. Prime -> P e. ( ZZ>= ` 2 ) )
5	3, 4	syl 14	. . . . 5 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> P e. ( ZZ>= ` 2 ) )
6		nnoddn2prm 12769	. . . . . 6 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( P e. NN /\ -. 2 || P ) )
7		nnoddm1d2 12407	. . . . . . . 8 |- ( P e. NN -> ( -. 2 || P <-> ( ( P + 1 ) / 2 ) e. NN ) )
8	7	biimpa 296	. . . . . . 7 |- ( ( P e. NN /\ -. 2 || P ) -> ( ( P + 1 ) / 2 ) e. NN )
9	8	nnnn0d 9410	. . . . . 6 |- ( ( P e. NN /\ -. 2 || P ) -> ( ( P + 1 ) / 2 ) e. NN0 )
10	6, 9	syl 14	. . . . 5 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( ( P + 1 ) / 2 ) e. NN0 )
11	5, 10	jca 306	. . . 4 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( ( P + 1 ) / 2 ) e. NN0 ) )
12	2, 11	syl 14	. . 3 |- ( ph -> ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( ( P + 1 ) / 2 ) e. NN0 ) )
13		nno 12403	. . 3 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( ( P + 1 ) / 2 ) e. NN0 ) -> ( ( P - 1 ) / 2 ) e. NN )
14	12, 13	syl 14	. 2 |- ( ph -> ( ( P - 1 ) / 2 ) e. NN )
15	1, 14	eqeltrid 2316	1 |- ( ph -> H e. NN )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1395   e. wcel 2200   \ cdif 3194   {csn 3666   class class class wbr 4082   ` cfv 5314  (class class class)co 5994   1c1 7988   + caddc 7990   - cmin 8305   / cdiv 8807   NNcn 9098   2c2 9149   NN0cn0 9357   ZZ>=cuz 9710   || cdvds 12284   Primecprime 12615

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4198  ax-sep 4201  ax-nul 4209  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4521  ax-setind 4626  ax-iinf 4677  ax-cnex 8078  ax-resscn 8079  ax-1cn 8080  ax-1re 8081  ax-icn 8082  ax-addcl 8083  ax-addrcl 8084  ax-mulcl 8085  ax-mulrcl 8086  ax-addcom 8087  ax-mulcom 8088  ax-addass 8089  ax-mulass 8090  ax-distr 8091  ax-i2m1 8092  ax-0lt1 8093  ax-1rid 8094  ax-0id 8095  ax-rnegex 8096  ax-precex 8097  ax-cnre 8098  ax-pre-ltirr 8099  ax-pre-ltwlin 8100  ax-pre-lttrn 8101  ax-pre-apti 8102  ax-pre-ltadd 8103  ax-pre-mulgt0 8104  ax-pre-mulext 8105  ax-arch 8106  ax-caucvg 8107

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-xor 1418  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-iun 3966  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-tr 4182  df-id 4381  df-po 4384  df-iso 4385  df-iord 4454  df-on 4456  df-ilim 4457  df-suc 4459  df-iom 4680  df-xp 4722  df-rel 4723  df-cnv 4724  df-co 4725  df-dm 4726  df-rn 4727  df-res 4728  df-ima 4729  df-iota 5274  df-fun 5316  df-fn 5317  df-f 5318  df-f1 5319  df-fo 5320  df-f1o 5321  df-fv 5322  df-riota 5947  df-ov 5997  df-oprab 5998  df-mpo 5999  df-1st 6276  df-2nd 6277  df-recs 6441  df-frec 6527  df-1o 6552  df-2o 6553  df-er 6670  df-en 6878  df-pnf 8171  df-mnf 8172  df-xr 8173  df-ltxr 8174  df-le 8175  df-sub 8307  df-neg 8308  df-reap 8710  df-ap 8717  df-div 8808  df-inn 9099  df-2 9157  df-3 9158  df-4 9159  df-n0 9358  df-z 9435  df-uz 9711  df-q 9803  df-rp 9838  df-seqfrec 10657  df-exp 10748  df-cj 11339  df-re 11340  df-im 11341  df-rsqrt 11495  df-abs 11496  df-dvds 12285  df-prm 12616

This theorem is referenced by:  gausslemma2dlem0c  15715  gausslemma2dlem0h  15720  gausslemma2dlem1  15725  gausslemma2dlem2  15726  gausslemma2dlem4  15728  gausslemma2dlem5a  15729  gausslemma2dlem5  15730  gausslemma2dlem6  15731  gausslemma2dlem7  15732  gausslemma2d  15733  lgsquadlemsfi  15739  lgsquadlem1  15741  lgsquadlem2  15742  lgsquadlem3  15743