Theorem mopnex 12663

Description: The topology generated by an extended metric can also be generated by a true metric. Thus, "metrizable topologies" can equivalently be defined in terms of metrics or extended metrics. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
mopnex.1	|- J = ( MetOpen ` D )

Assertion

Ref	Expression
mopnex	|- ( D e. ( *Met ` X ) -> E. d e. ( Met ` X ) J = ( MetOpen ` d ) )

Distinct variable groups:   D, d   J, d   X, d

Proof of Theorem mopnex

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1rp 9438	. . 3 |- 1 e. RR+
2		eqid 2137	. . . 4 |- ( x e. X , y e. X |-> inf ( { ( x D y ) , 1 } , RR* , < ) ) = ( x e. X , y e. X |-> inf ( { ( x D y ) , 1 } , RR* , < ) )
3	2	bdmet 12660	. . 3 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ 1 e. RR+ ) -> ( x e. X , y e. X |-> inf ( { ( x D y ) , 1 } , RR* , < ) ) e. ( Met ` X ) )
4	1, 3	mpan2 421	. 2 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> ( x e. X , y e. X |-> inf ( { ( x D y ) , 1 } , RR* , < ) ) e. ( Met ` X ) )
5		rpxr 9442	. . . 4 |- ( 1 e. RR+ -> 1 e. RR* )
6	1, 5	ax-mp 5	. . 3 |- 1 e. RR*
7		0lt1 7882	. . 3 |- 0 < 1
8		mopnex.1	. . . 4 |- J = ( MetOpen ` D )
9	2, 8	bdmopn 12662	. . 3 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ 1 e. RR* /\ 0 < 1 ) -> J = ( MetOpen ` ( x e. X , y e. X |-> inf ( { ( x D y ) , 1 } , RR* , < ) ) ) )
10	6, 7, 9	mp3an23 1307	. 2 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> J = ( MetOpen ` ( x e. X , y e. X |-> inf ( { ( x D y ) , 1 } , RR* , < ) ) ) )
11		fveq2 5414	. . 3 |- ( d = ( x e. X , y e. X |-> inf ( { ( x D y ) , 1 } , RR* , < ) ) -> ( MetOpen ` d ) = ( MetOpen ` ( x e. X , y e. X |-> inf ( { ( x D y ) , 1 } , RR* , < ) ) ) )
12	11	rspceeqv 2802	. 2 |- ( ( ( x e. X , y e. X |-> inf ( { ( x D y ) , 1 } , RR* , < ) ) e. ( Met ` X ) /\ J = ( MetOpen ` ( x e. X , y e. X |-> inf ( { ( x D y ) , 1 } , RR* , < ) ) ) ) -> E. d e. ( Met ` X ) J = ( MetOpen ` d ) )
13	4, 10, 12	syl2anc 408	1 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> E. d e. ( Met ` X ) J = ( MetOpen ` d ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1331   e. wcel 1480   E.wrex 2415   {cpr 3523   class class class wbr 3924   ` cfv 5118  (class class class)co 5767   e. cmpo 5769  infcinf 6863   0cc0 7613   1c1 7614   RR*cxr 7792   < clt 7793   RR+crp 9434   *Metcxmet 12138   Metcmet 12139   MetOpencmopn 12143

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-coll 4038  ax-sep 4041  ax-nul 4049  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-iinf 4497  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705  ax-1cn 7706  ax-1re 7707  ax-icn 7708  ax-addcl 7709  ax-addrcl 7710  ax-mulcl 7711  ax-mulrcl 7712  ax-addcom 7713  ax-mulcom 7714  ax-addass 7715  ax-mulass 7716  ax-distr 7717  ax-i2m1 7718  ax-0lt1 7719  ax-1rid 7720  ax-0id 7721  ax-rnegex 7722  ax-precex 7723  ax-cnre 7724  ax-pre-ltirr 7725  ax-pre-ltwlin 7726  ax-pre-lttrn 7727  ax-pre-apti 7728  ax-pre-ltadd 7729  ax-pre-mulgt0 7730  ax-pre-mulext 7731  ax-arch 7732  ax-caucvg 7733

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 816  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-nel 2402  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rmo 2422  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-csb 2999  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-nul 3359  df-if 3470  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-iun 3810  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-tr 4022  df-id 4210  df-po 4213  df-iso 4214  df-iord 4283  df-on 4285  df-ilim 4286  df-suc 4288  df-iom 4500  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-f1 5123  df-fo 5124  df-f1o 5125  df-fv 5126  df-isom 5127  df-riota 5723  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-1st 6031  df-2nd 6032  df-recs 6195  df-frec 6281  df-map 6537  df-sup 6864  df-inf 6865  df-pnf 7795  df-mnf 7796  df-xr 7797  df-ltxr 7798  df-le 7799  df-sub 7928  df-neg 7929  df-reap 8330  df-ap 8337  df-div 8426  df-inn 8714  df-2 8772  df-3 8773  df-4 8774  df-n0 8971  df-z 9048  df-uz 9320  df-q 9405  df-rp 9435  df-xneg 9552  df-xadd 9553  df-icc 9671  df-seqfrec 10212  df-exp 10286  df-cj 10607  df-re 10608  df-im 10609  df-rsqrt 10763  df-abs 10764  df-topgen 12130  df-psmet 12145  df-xmet 12146  df-met 12147  df-bl 12148  df-mopn 12149  df-top 12154  df-bases 12199

This theorem is referenced by: (None)