Theorem mopnex 15092

Description: The topology generated by an extended metric can also be generated by a true metric. Thus, "metrizable topologies" can equivalently be defined in terms of metrics or extended metrics. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
mopnex.1	|- J = ( MetOpen ` D )

Assertion

Ref	Expression
mopnex	|- ( D e. ( *Met ` X ) -> E. d e. ( Met ` X ) J = ( MetOpen ` d ) )

Distinct variable groups:   D, d   J, d   X, d

Proof of Theorem mopnex

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1rp 9814	. . 3 |- 1 e. RR+
2		eqid 2207	. . . 4 |- ( x e. X , y e. X |-> inf ( { ( x D y ) , 1 } , RR* , < ) ) = ( x e. X , y e. X |-> inf ( { ( x D y ) , 1 } , RR* , < ) )
3	2	bdmet 15089	. . 3 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ 1 e. RR+ ) -> ( x e. X , y e. X |-> inf ( { ( x D y ) , 1 } , RR* , < ) ) e. ( Met ` X ) )
4	1, 3	mpan2 425	. 2 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> ( x e. X , y e. X |-> inf ( { ( x D y ) , 1 } , RR* , < ) ) e. ( Met ` X ) )
5		rpxr 9818	. . . 4 |- ( 1 e. RR+ -> 1 e. RR* )
6	1, 5	ax-mp 5	. . 3 |- 1 e. RR*
7		0lt1 8234	. . 3 |- 0 < 1
8		mopnex.1	. . . 4 |- J = ( MetOpen ` D )
9	2, 8	bdmopn 15091	. . 3 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ 1 e. RR* /\ 0 < 1 ) -> J = ( MetOpen ` ( x e. X , y e. X |-> inf ( { ( x D y ) , 1 } , RR* , < ) ) ) )
10	6, 7, 9	mp3an23 1342	. 2 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> J = ( MetOpen ` ( x e. X , y e. X |-> inf ( { ( x D y ) , 1 } , RR* , < ) ) ) )
11		fveq2 5599	. . 3 |- ( d = ( x e. X , y e. X |-> inf ( { ( x D y ) , 1 } , RR* , < ) ) -> ( MetOpen ` d ) = ( MetOpen ` ( x e. X , y e. X |-> inf ( { ( x D y ) , 1 } , RR* , < ) ) ) )
12	11	rspceeqv 2902	. 2 |- ( ( ( x e. X , y e. X |-> inf ( { ( x D y ) , 1 } , RR* , < ) ) e. ( Met ` X ) /\ J = ( MetOpen ` ( x e. X , y e. X |-> inf ( { ( x D y ) , 1 } , RR* , < ) ) ) ) -> E. d e. ( Met ` X ) J = ( MetOpen ` d ) )
13	4, 10, 12	syl2anc 411	1 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> E. d e. ( Met ` X ) J = ( MetOpen ` d ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1373   e. wcel 2178   E.wrex 2487   {cpr 3644   class class class wbr 4059   ` cfv 5290  (class class class)co 5967   e. cmpo 5969  infcinf 7111   0cc0 7960   1c1 7961   RR*cxr 8141   < clt 8142   RR+crp 9810   *Metcxmet 14413   Metcmet 14414   MetOpencmopn 14418

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-coll 4175  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-iinf 4654  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1cn 8053  ax-1re 8054  ax-icn 8055  ax-addcl 8056  ax-addrcl 8057  ax-mulcl 8058  ax-mulrcl 8059  ax-addcom 8060  ax-mulcom 8061  ax-addass 8062  ax-mulass 8063  ax-distr 8064  ax-i2m1 8065  ax-0lt1 8066  ax-1rid 8067  ax-0id 8068  ax-rnegex 8069  ax-precex 8070  ax-cnre 8071  ax-pre-ltirr 8072  ax-pre-ltwlin 8073  ax-pre-lttrn 8074  ax-pre-apti 8075  ax-pre-ltadd 8076  ax-pre-mulgt0 8077  ax-pre-mulext 8078  ax-arch 8079  ax-caucvg 8080

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 833  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rmo 2494  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-csb 3102  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-nul 3469  df-if 3580  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3943  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-tr 4159  df-id 4358  df-po 4361  df-iso 4362  df-iord 4431  df-on 4433  df-ilim 4434  df-suc 4436  df-iom 4657  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-f1 5295  df-fo 5296  df-f1o 5297  df-fv 5298  df-isom 5299  df-riota 5922  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-recs 6414  df-frec 6500  df-map 6760  df-sup 7112  df-inf 7113  df-pnf 8144  df-mnf 8145  df-xr 8146  df-ltxr 8147  df-le 8148  df-sub 8280  df-neg 8281  df-reap 8683  df-ap 8690  df-div 8781  df-inn 9072  df-2 9130  df-3 9131  df-4 9132  df-n0 9331  df-z 9408  df-uz 9684  df-q 9776  df-rp 9811  df-xneg 9929  df-xadd 9930  df-icc 10052  df-seqfrec 10630  df-exp 10721  df-cj 11268  df-re 11269  df-im 11270  df-rsqrt 11424  df-abs 11425  df-topgen 13207  df-psmet 14420  df-xmet 14421  df-met 14422  df-bl 14423  df-mopn 14424  df-top 14585  df-bases 14630

This theorem is referenced by: (None)