Theorem mpl0fi 14336

Description: The zero polynomial. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mpl0.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mpl0.o	⊢ 𝑂 = (0g‘𝑅)
mpl0.z	⊢ 0 = (0g‘𝑃)
mpl0fi.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
mpl0.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)

Assertion

Ref	Expression
mpl0fi	⊢ (𝜑 → 0 = (𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ↦ 𝑂))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐼   𝑥,𝑂

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝑃(𝑥)   𝑅(𝑥)   0 (𝑥)

Proof of Theorem mpl0fi

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mpl0.z	. 2 ⊢ 0 = (0g‘𝑃)
2		mpl0fi.i	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
3		mpl0.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
4		mpl0.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
5		eqid 2196	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 mPwSer 𝑅) = (𝐼 mPwSer 𝑅)
6		eqid 2196	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
7	4, 5, 6	mplval2g 14329	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Grp) → 𝑃 = ((𝐼 mPwSer 𝑅) ↾s (Base‘𝑃)))
8	2, 3, 7	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 = ((𝐼 mPwSer 𝑅) ↾s (Base‘𝑃)))
9	8	fveq2d 5565	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑃) = (0g‘((𝐼 mPwSer 𝑅) ↾s (Base‘𝑃))))
10	5, 4, 6, 2, 3	mplsubgfi 14335	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑃) ∈ (SubGrp‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))
11		eqid 2196	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 mPwSer 𝑅) ↾s (Base‘𝑃)) = ((𝐼 mPwSer 𝑅) ↾s (Base‘𝑃))
12		eqid 2196	. . . . 5 ⊢ (0g‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (0g‘(𝐼 mPwSer 𝑅))
13	11, 12	subg0 13388	. . . 4 ⊢ ((Base‘𝑃) ∈ (SubGrp‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) → (0g‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (0g‘((𝐼 mPwSer 𝑅) ↾s (Base‘𝑃))))
14	10, 13	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0g‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (0g‘((𝐼 mPwSer 𝑅) ↾s (Base‘𝑃))))
15		eqid 2196	. . . . . 6 ⊢ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
16		mpl0.o	. . . . . 6 ⊢ 𝑂 = (0g‘𝑅)
17	5, 2, 3, 15, 16, 12	psr0 14320	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0g‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = ({𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} × {𝑂}))
18	15	psrbagfi 14307	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} = (ℕ0 ↑𝑚 𝐼))
19	2, 18	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} = (ℕ0 ↑𝑚 𝐼))
20	19	xpeq1d 4687	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ({𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} × {𝑂}) = ((ℕ0 ↑𝑚 𝐼) × {𝑂}))
21	17, 20	eqtrd 2229	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0g‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = ((ℕ0 ↑𝑚 𝐼) × {𝑂}))
22		fconstmpt 4711	. . . 4 ⊢ ((ℕ0 ↑𝑚 𝐼) × {𝑂}) = (𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ↦ 𝑂)
23	21, 22	eqtrdi 2245	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0g‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ↦ 𝑂))
24	9, 14, 23	3eqtr2d 2235	. 2 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑃) = (𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ↦ 𝑂))
25	1, 24	eqtrid 2241	1 ⊢ (𝜑 → 0 = (𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ↦ 𝑂))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  {crab 2479  {csn 3623   ↦ cmpt 4095   × cxp 4662  ^◡ccnv 4663   “ cima 4667  ‘cfv 5259  (class class class)co 5925   ↑_𝑚 cmap 6716  Fincfn 6808  ℕcn 9009  ℕ₀cn0 9268  Basecbs 12705   ↾_s cress 12706  0_gc0g 12960  Grpcgrp 13204  SubGrpcsubg 13375   mPwSer cmps 14295   mPoly cmpl 14296

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625  ax-cnex 7989  ax-resscn 7990  ax-1cn 7991  ax-1re 7992  ax-icn 7993  ax-addcl 7994  ax-addrcl 7995  ax-mulcl 7996  ax-addcom 7998  ax-mulcom 7999  ax-addass 8000  ax-mulass 8001  ax-distr 8002  ax-i2m1 8003  ax-0lt1 8004  ax-1rid 8005  ax-0id 8006  ax-rnegex 8007  ax-cnre 8009  ax-pre-ltirr 8010  ax-pre-ltwlin 8011  ax-pre-lttrn 8012  ax-pre-apti 8013  ax-pre-ltadd 8014

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-if 3563  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-tp 3631  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-iord 4402  df-on 4404  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-of 6139  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-1o 6483  df-er 6601  df-map 6718  df-ixp 6767  df-en 6809  df-fin 6811  df-sup 7059  df-pnf 8082  df-mnf 8083  df-xr 8084  df-ltxr 8085  df-le 8086  df-sub 8218  df-neg 8219  df-inn 9010  df-2 9068  df-3 9069  df-4 9070  df-5 9071  df-6 9072  df-7 9073  df-8 9074  df-9 9075  df-n0 9269  df-z 9346  df-dec 9477  df-uz 9621  df-fz 10103  df-struct 12707  df-ndx 12708  df-slot 12709  df-base 12711  df-sets 12712  df-iress 12713  df-plusg 12795  df-mulr 12796  df-sca 12798  df-vsca 12799  df-ip 12800  df-tset 12801  df-ple 12802  df-ds 12804  df-hom 12806  df-cco 12807  df-rest 12945  df-topn 12946  df-0g 12962  df-topgen 12964  df-pt 12965  df-prds 12971  df-pws 12994  df-mgm 13060  df-sgrp 13106  df-mnd 13121  df-grp 13207  df-minusg 13208  df-subg 13378  df-psr 14297  df-mplcoe 14298

This theorem is referenced by: (None)