Theorem mpl0fi 14579

Description: The zero polynomial. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mpl0.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mpl0.o	⊢ 𝑂 = (0g‘𝑅)
mpl0.z	⊢ 0 = (0g‘𝑃)
mpl0fi.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
mpl0.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)

Assertion

Ref	Expression
mpl0fi	⊢ (𝜑 → 0 = (𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ↦ 𝑂))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐼   𝑥,𝑂

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝑃(𝑥)   𝑅(𝑥)   0 (𝑥)

Proof of Theorem mpl0fi

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mpl0.z	. 2 ⊢ 0 = (0g‘𝑃)
2		mpl0fi.i	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
3		mpl0.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
4		mpl0.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
5		eqid 2207	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 mPwSer 𝑅) = (𝐼 mPwSer 𝑅)
6		eqid 2207	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
7	4, 5, 6	mplval2g 14572	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Grp) → 𝑃 = ((𝐼 mPwSer 𝑅) ↾s (Base‘𝑃)))
8	2, 3, 7	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 = ((𝐼 mPwSer 𝑅) ↾s (Base‘𝑃)))
9	8	fveq2d 5603	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑃) = (0g‘((𝐼 mPwSer 𝑅) ↾s (Base‘𝑃))))
10	5, 4, 6, 2, 3	mplsubgfi 14578	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑃) ∈ (SubGrp‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))
11		eqid 2207	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 mPwSer 𝑅) ↾s (Base‘𝑃)) = ((𝐼 mPwSer 𝑅) ↾s (Base‘𝑃))
12		eqid 2207	. . . . 5 ⊢ (0g‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (0g‘(𝐼 mPwSer 𝑅))
13	11, 12	subg0 13631	. . . 4 ⊢ ((Base‘𝑃) ∈ (SubGrp‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) → (0g‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (0g‘((𝐼 mPwSer 𝑅) ↾s (Base‘𝑃))))
14	10, 13	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0g‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (0g‘((𝐼 mPwSer 𝑅) ↾s (Base‘𝑃))))
15		eqid 2207	. . . . . 6 ⊢ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
16		mpl0.o	. . . . . 6 ⊢ 𝑂 = (0g‘𝑅)
17	5, 2, 3, 15, 16, 12	psr0 14563	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0g‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = ({𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} × {𝑂}))
18	15	psrbagfi 14550	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} = (ℕ0 ↑𝑚 𝐼))
19	2, 18	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} = (ℕ0 ↑𝑚 𝐼))
20	19	xpeq1d 4716	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ({𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} × {𝑂}) = ((ℕ0 ↑𝑚 𝐼) × {𝑂}))
21	17, 20	eqtrd 2240	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0g‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = ((ℕ0 ↑𝑚 𝐼) × {𝑂}))
22		fconstmpt 4740	. . . 4 ⊢ ((ℕ0 ↑𝑚 𝐼) × {𝑂}) = (𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ↦ 𝑂)
23	21, 22	eqtrdi 2256	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0g‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ↦ 𝑂))
24	9, 14, 23	3eqtr2d 2246	. 2 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑃) = (𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ↦ 𝑂))
25	1, 24	eqtrid 2252	1 ⊢ (𝜑 → 0 = (𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ↦ 𝑂))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1373   ∈ wcel 2178  {crab 2490  {csn 3643   ↦ cmpt 4121   × cxp 4691  ^◡ccnv 4692   “ cima 4696  ‘cfv 5290  (class class class)co 5967   ↑_𝑚 cmap 6758  Fincfn 6850  ℕcn 9071  ℕ₀cn0 9330  Basecbs 12947   ↾_s cress 12948  0_gc0g 13203  Grpcgrp 13447  SubGrpcsubg 13618   mPwSer cmps 14538   mPoly cmpl 14539

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-coll 4175  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-iinf 4654  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1cn 8053  ax-1re 8054  ax-icn 8055  ax-addcl 8056  ax-addrcl 8057  ax-mulcl 8058  ax-addcom 8060  ax-mulcom 8061  ax-addass 8062  ax-mulass 8063  ax-distr 8064  ax-i2m1 8065  ax-0lt1 8066  ax-1rid 8067  ax-0id 8068  ax-rnegex 8069  ax-cnre 8071  ax-pre-ltirr 8072  ax-pre-ltwlin 8073  ax-pre-lttrn 8074  ax-pre-apti 8075  ax-pre-ltadd 8076

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rmo 2494  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-csb 3102  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-nul 3469  df-if 3580  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-tp 3651  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3943  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-tr 4159  df-id 4358  df-iord 4431  df-on 4433  df-suc 4436  df-iom 4657  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-f1 5295  df-fo 5296  df-f1o 5297  df-fv 5298  df-riota 5922  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-of 6181  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-1o 6525  df-er 6643  df-map 6760  df-ixp 6809  df-en 6851  df-fin 6853  df-sup 7112  df-pnf 8144  df-mnf 8145  df-xr 8146  df-ltxr 8147  df-le 8148  df-sub 8280  df-neg 8281  df-inn 9072  df-2 9130  df-3 9131  df-4 9132  df-5 9133  df-6 9134  df-7 9135  df-8 9136  df-9 9137  df-n0 9331  df-z 9408  df-dec 9540  df-uz 9684  df-fz 10166  df-struct 12949  df-ndx 12950  df-slot 12951  df-base 12953  df-sets 12954  df-iress 12955  df-plusg 13037  df-mulr 13038  df-sca 13040  df-vsca 13041  df-ip 13042  df-tset 13043  df-ple 13044  df-ds 13046  df-hom 13048  df-cco 13049  df-rest 13188  df-topn 13189  df-0g 13205  df-topgen 13207  df-pt 13208  df-prds 13214  df-pws 13237  df-mgm 13303  df-sgrp 13349  df-mnd 13364  df-grp 13450  df-minusg 13451  df-subg 13621  df-psr 14540  df-mplcoe 14541

This theorem is referenced by: (None)