Theorem mpl0fi 15095

Description: The zero polynomial. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mpl0.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mpl0.o	⊢ 𝑂 = (0g‘𝑅)
mpl0.z	⊢ 0 = (0g‘𝑃)
mpl0fi.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
mpl0.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)

Assertion

Ref	Expression
mpl0fi	⊢ (𝜑 → 0 = (𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ↦ 𝑂))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐼   𝑥,𝑂

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝑃(𝑥)   𝑅(𝑥)   0 (𝑥)

Proof of Theorem mpl0fi

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mpl0.z	. 2 ⊢ 0 = (0g‘𝑃)
2		mpl0fi.i	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
3		mpl0.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
4		mpl0.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
5		eqid 2238	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 mPwSer 𝑅) = (𝐼 mPwSer 𝑅)
6		eqid 2238	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
7	4, 5, 6	mplval2g 15088	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Grp) → 𝑃 = ((𝐼 mPwSer 𝑅) ↾s (Base‘𝑃)))
8	2, 3, 7	syl2anc 415	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 = ((𝐼 mPwSer 𝑅) ↾s (Base‘𝑃)))
9	8	fveq2d 5699	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑃) = (0g‘((𝐼 mPwSer 𝑅) ↾s (Base‘𝑃))))
10	5, 4, 6, 2, 3	mplsubgfi 15094	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑃) ∈ (SubGrp‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))
11		eqid 2238	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 mPwSer 𝑅) ↾s (Base‘𝑃)) = ((𝐼 mPwSer 𝑅) ↾s (Base‘𝑃))
12		eqid 2238	. . . . 5 ⊢ (0g‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (0g‘(𝐼 mPwSer 𝑅))
13	11, 12	subg0 13985	. . . 4 ⊢ ((Base‘𝑃) ∈ (SubGrp‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) → (0g‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (0g‘((𝐼 mPwSer 𝑅) ↾s (Base‘𝑃))))
14	10, 13	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0g‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (0g‘((𝐼 mPwSer 𝑅) ↾s (Base‘𝑃))))
15		eqid 2238	. . . . . 6 ⊢ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
16		mpl0.o	. . . . . 6 ⊢ 𝑂 = (0g‘𝑅)
17	5, 2, 3, 15, 16, 12	psr0 15079	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0g‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = ({𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} × {𝑂}))
18	15	psrbagfi 15061	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} = (ℕ0 ↑𝑚 𝐼))
19	2, 18	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} = (ℕ0 ↑𝑚 𝐼))
20	19	xpeq1d 4797	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ({𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} × {𝑂}) = ((ℕ0 ↑𝑚 𝐼) × {𝑂}))
21	17, 20	eqtrd 2271	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0g‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = ((ℕ0 ↑𝑚 𝐼) × {𝑂}))
22		fconstmpt 4822	. . . 4 ⊢ ((ℕ0 ↑𝑚 𝐼) × {𝑂}) = (𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ↦ 𝑂)
23	21, 22	eqtrdi 2287	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0g‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ↦ 𝑂))
24	9, 14, 23	3eqtr2d 2277	. 2 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑃) = (𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ↦ 𝑂))
25	1, 24	eqtrid 2283	1 ⊢ (𝜑 → 0 = (𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ↦ 𝑂))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  {crab 2532  {csn 3709   ↦ cmpt 4192   × cxp 4772  ^◡ccnv 4773   “ cima 4777  ‘cfv 5377  (class class class)co 6085   ↑_𝑚 cmap 6922  Fincfn 7022  ℕcn 9305  ℕ₀cn0 9565  Basecbs 13354   ↾_s cress 13355  0_gc0g 13612  Grpcgrp 13807  SubGrpcsubg 13972   mPwSer cmps 15047   mPoly cmpl 15048

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-tp 3717  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-iord 4511  df-on 4513  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-of 6302  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-1o 6687  df-er 6807  df-map 6924  df-ixp 6981  df-en 7023  df-fin 7025  df-sup 7324  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-inn 9306  df-2 9364  df-3 9365  df-4 9366  df-5 9367  df-6 9368  df-7 9369  df-8 9370  df-9 9371  df-n0 9566  df-z 9647  df-dec 9780  df-uz 9924  df-fz 10414  df-struct 13356  df-ndx 13357  df-slot 13358  df-base 13360  df-sets 13361  df-iress 13362  df-plusg 13446  df-mulr 13447  df-sca 13449  df-vsca 13450  df-ip 13451  df-tset 13452  df-ple 13453  df-ds 13455  df-hom 13457  df-cco 13458  df-rest 13597  df-topn 13598  df-0g 13614  df-topgen 13616  df-pt 13617  df-mgm 13678  df-sgrp 13719  df-mnd 13732  df-grp 13810  df-minusg 13811  df-subg 13975  df-prds 14172  df-pws 14205  df-psr 15049  df-mplcoe 15050

This theorem is used by: (None)