Theorem mpl0fi 14844

Description: The zero polynomial. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mpl0.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mpl0.o	⊢ 𝑂 = (0g‘𝑅)
mpl0.z	⊢ 0 = (0g‘𝑃)
mpl0fi.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
mpl0.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)

Assertion

Ref	Expression
mpl0fi	⊢ (𝜑 → 0 = (𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ↦ 𝑂))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐼   𝑥,𝑂

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝑃(𝑥)   𝑅(𝑥)   0 (𝑥)

Proof of Theorem mpl0fi

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mpl0.z	. 2 ⊢ 0 = (0g‘𝑃)
2		mpl0fi.i	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
3		mpl0.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
4		mpl0.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
5		eqid 2232	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 mPwSer 𝑅) = (𝐼 mPwSer 𝑅)
6		eqid 2232	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
7	4, 5, 6	mplval2g 14837	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Grp) → 𝑃 = ((𝐼 mPwSer 𝑅) ↾s (Base‘𝑃)))
8	2, 3, 7	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 = ((𝐼 mPwSer 𝑅) ↾s (Base‘𝑃)))
9	8	fveq2d 5673	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑃) = (0g‘((𝐼 mPwSer 𝑅) ↾s (Base‘𝑃))))
10	5, 4, 6, 2, 3	mplsubgfi 14843	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑃) ∈ (SubGrp‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))
11		eqid 2232	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 mPwSer 𝑅) ↾s (Base‘𝑃)) = ((𝐼 mPwSer 𝑅) ↾s (Base‘𝑃))
12		eqid 2232	. . . . 5 ⊢ (0g‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (0g‘(𝐼 mPwSer 𝑅))
13	11, 12	subg0 13886	. . . 4 ⊢ ((Base‘𝑃) ∈ (SubGrp‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) → (0g‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (0g‘((𝐼 mPwSer 𝑅) ↾s (Base‘𝑃))))
14	10, 13	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0g‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (0g‘((𝐼 mPwSer 𝑅) ↾s (Base‘𝑃))))
15		eqid 2232	. . . . . 6 ⊢ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
16		mpl0.o	. . . . . 6 ⊢ 𝑂 = (0g‘𝑅)
17	5, 2, 3, 15, 16, 12	psr0 14828	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0g‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = ({𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} × {𝑂}))
18	15	psrbagfi 14810	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} = (ℕ0 ↑𝑚 𝐼))
19	2, 18	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} = (ℕ0 ↑𝑚 𝐼))
20	19	xpeq1d 4771	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ({𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} × {𝑂}) = ((ℕ0 ↑𝑚 𝐼) × {𝑂}))
21	17, 20	eqtrd 2265	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0g‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = ((ℕ0 ↑𝑚 𝐼) × {𝑂}))
22		fconstmpt 4796	. . . 4 ⊢ ((ℕ0 ↑𝑚 𝐼) × {𝑂}) = (𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ↦ 𝑂)
23	21, 22	eqtrdi 2281	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0g‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ↦ 𝑂))
24	9, 14, 23	3eqtr2d 2271	. 2 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑃) = (𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ↦ 𝑂))
25	1, 24	eqtrid 2277	1 ⊢ (𝜑 → 0 = (𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ↦ 𝑂))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1398   ∈ wcel 2203  {crab 2524  {csn 3688   ↦ cmpt 4170   × cxp 4746  ^◡ccnv 4747   “ cima 4751  ‘cfv 5351  (class class class)co 6049   ↑_𝑚 cmap 6881  Fincfn 6974  ℕcn 9233  ℕ₀cn0 9492  Basecbs 13201   ↾_s cress 13202  0_gc0g 13458  Grpcgrp 13702  SubGrpcsubg 13873   mPwSer cmps 14796   mPoly cmpl 14797

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4224  ax-sep 4227  ax-nul 4235  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-setind 4658  ax-iinf 4709  ax-cnex 8214  ax-resscn 8215  ax-1cn 8216  ax-1re 8217  ax-icn 8218  ax-addcl 8219  ax-addrcl 8220  ax-mulcl 8221  ax-addcom 8223  ax-mulcom 8224  ax-addass 8225  ax-mulass 8226  ax-distr 8227  ax-i2m1 8228  ax-0lt1 8229  ax-1rid 8230  ax-0id 8231  ax-rnegex 8232  ax-cnre 8234  ax-pre-ltirr 8235  ax-pre-ltwlin 8236  ax-pre-lttrn 8237  ax-pre-apti 8238  ax-pre-ltadd 8239

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-csb 3138  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-nul 3508  df-if 3620  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-tp 3696  df-op 3697  df-uni 3914  df-int 3949  df-iun 3992  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-tr 4208  df-id 4413  df-iord 4486  df-on 4488  df-suc 4491  df-iom 4712  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-ima 4761  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-f 5355  df-f1 5356  df-fo 5357  df-f1o 5358  df-fv 5359  df-riota 6002  df-ov 6052  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-of 6265  df-1st 6333  df-2nd 6334  df-1o 6646  df-er 6766  df-map 6883  df-ixp 6933  df-en 6975  df-fin 6977  df-sup 7274  df-pnf 8306  df-mnf 8307  df-xr 8308  df-ltxr 8309  df-le 8310  df-sub 8442  df-neg 8443  df-inn 9234  df-2 9292  df-3 9293  df-4 9294  df-5 9295  df-6 9296  df-7 9297  df-8 9298  df-9 9299  df-n0 9493  df-z 9574  df-dec 9706  df-uz 9850  df-fz 10339  df-struct 13203  df-ndx 13204  df-slot 13205  df-base 13207  df-sets 13208  df-iress 13209  df-plusg 13292  df-mulr 13293  df-sca 13295  df-vsca 13296  df-ip 13297  df-tset 13298  df-ple 13299  df-ds 13301  df-hom 13303  df-cco 13304  df-rest 13443  df-topn 13444  df-0g 13460  df-topgen 13462  df-pt 13463  df-prds 13469  df-pws 13492  df-mgm 13558  df-sgrp 13604  df-mnd 13619  df-grp 13705  df-minusg 13706  df-subg 13876  df-psr 14798  df-mplcoe 14799

This theorem is referenced by: (None)