Theorem mpl0fi 14986

Description: The zero polynomial. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mpl0.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mpl0.o	⊢ 𝑂 = (0g‘𝑅)
mpl0.z	⊢ 0 = (0g‘𝑃)
mpl0fi.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
mpl0.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)

Assertion

Ref	Expression
mpl0fi	⊢ (𝜑 → 0 = (𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ↦ 𝑂))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐼   𝑥,𝑂

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝑃(𝑥)   𝑅(𝑥)   0 (𝑥)

Proof of Theorem mpl0fi

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mpl0.z	. 2 ⊢ 0 = (0g‘𝑃)
2		mpl0fi.i	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
3		mpl0.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
4		mpl0.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
5		eqid 2234	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 mPwSer 𝑅) = (𝐼 mPwSer 𝑅)
6		eqid 2234	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
7	4, 5, 6	mplval2g 14979	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Grp) → 𝑃 = ((𝐼 mPwSer 𝑅) ↾s (Base‘𝑃)))
8	2, 3, 7	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 = ((𝐼 mPwSer 𝑅) ↾s (Base‘𝑃)))
9	8	fveq2d 5679	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑃) = (0g‘((𝐼 mPwSer 𝑅) ↾s (Base‘𝑃))))
10	5, 4, 6, 2, 3	mplsubgfi 14985	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑃) ∈ (SubGrp‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))
11		eqid 2234	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 mPwSer 𝑅) ↾s (Base‘𝑃)) = ((𝐼 mPwSer 𝑅) ↾s (Base‘𝑃))
12		eqid 2234	. . . . 5 ⊢ (0g‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (0g‘(𝐼 mPwSer 𝑅))
13	11, 12	subg0 13936	. . . 4 ⊢ ((Base‘𝑃) ∈ (SubGrp‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) → (0g‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (0g‘((𝐼 mPwSer 𝑅) ↾s (Base‘𝑃))))
14	10, 13	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0g‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (0g‘((𝐼 mPwSer 𝑅) ↾s (Base‘𝑃))))
15		eqid 2234	. . . . . 6 ⊢ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
16		mpl0.o	. . . . . 6 ⊢ 𝑂 = (0g‘𝑅)
17	5, 2, 3, 15, 16, 12	psr0 14970	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0g‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = ({𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} × {𝑂}))
18	15	psrbagfi 14952	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} = (ℕ0 ↑𝑚 𝐼))
19	2, 18	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} = (ℕ0 ↑𝑚 𝐼))
20	19	xpeq1d 4777	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ({𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} × {𝑂}) = ((ℕ0 ↑𝑚 𝐼) × {𝑂}))
21	17, 20	eqtrd 2267	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0g‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = ((ℕ0 ↑𝑚 𝐼) × {𝑂}))
22		fconstmpt 4802	. . . 4 ⊢ ((ℕ0 ↑𝑚 𝐼) × {𝑂}) = (𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ↦ 𝑂)
23	21, 22	eqtrdi 2283	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0g‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ↦ 𝑂))
24	9, 14, 23	3eqtr2d 2273	. 2 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑃) = (𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ↦ 𝑂))
25	1, 24	eqtrid 2279	1 ⊢ (𝜑 → 0 = (𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ↦ 𝑂))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1398   ∈ wcel 2205  {crab 2526  {csn 3694   ↦ cmpt 4176   × cxp 4752  ^◡ccnv 4753   “ cima 4757  ‘cfv 5357  (class class class)co 6058   ↑_𝑚 cmap 6895  Fincfn 6988  ℕcn 9257  ℕ₀cn0 9516  Basecbs 13299   ↾_s cress 13300  0_gc0g 13556  Grpcgrp 13758  SubGrpcsubg 13923   mPwSer cmps 14938   mPoly cmpl 14939

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-addcom 8243  ax-mulcom 8244  ax-addass 8245  ax-mulass 8246  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-1rid 8250  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-apti 8258  ax-pre-ltadd 8259

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3625  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-tp 3702  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-iord 4492  df-on 4494  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-of 6275  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-1o 6660  df-er 6780  df-map 6897  df-ixp 6947  df-en 6989  df-fin 6991  df-sup 7288  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8463  df-neg 8464  df-inn 9258  df-2 9316  df-3 9317  df-4 9318  df-5 9319  df-6 9320  df-7 9321  df-8 9322  df-9 9323  df-n0 9517  df-z 9598  df-dec 9731  df-uz 9875  df-fz 10365  df-struct 13301  df-ndx 13302  df-slot 13303  df-base 13305  df-sets 13306  df-iress 13307  df-plusg 13390  df-mulr 13391  df-sca 13393  df-vsca 13394  df-ip 13395  df-tset 13396  df-ple 13397  df-ds 13399  df-hom 13401  df-cco 13402  df-rest 13541  df-topn 13542  df-0g 13558  df-topgen 13560  df-pt 13561  df-mgm 13622  df-sgrp 13668  df-mnd 13681  df-grp 13761  df-minusg 13762  df-subg 13926  df-prds 14115  df-pws 14148  df-psr 14940  df-mplcoe 14941

This theorem is referenced by: (None)