Theorem mplnegfi 14582

Description: The negative function on multivariate polynomials. (Contributed by SN, 25-May-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
mplneg.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mplneg.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
mplneg.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝑅)
mplneg.m	⊢ 𝑀 = (invg‘𝑃)
mplnegfi.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
mplneg.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
mplneg.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
mplnegfi	⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝑋) = (𝑁 ∘ 𝑋))

Proof of Theorem mplnegfi

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mplneg.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (invg‘𝑃)
2	1	fveq1i 5600	. . 3 ⊢ (𝑀‘𝑋) = ((invg‘𝑃)‘𝑋)
3		mplnegfi.i	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
4		mplneg.r	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
5		mplneg.p	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
6		eqid 2207	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 mPwSer 𝑅) = (𝐼 mPwSer 𝑅)
7		mplneg.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
8	5, 6, 7	mplval2g 14572	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Grp) → 𝑃 = ((𝐼 mPwSer 𝑅) ↾s 𝐵))
9	3, 4, 8	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 = ((𝐼 mPwSer 𝑅) ↾s 𝐵))
10	9	fveq2d 5603	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (invg‘𝑃) = (invg‘((𝐼 mPwSer 𝑅) ↾s 𝐵)))
11	10	fveq1d 5601	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝑃)‘𝑋) = ((invg‘((𝐼 mPwSer 𝑅) ↾s 𝐵))‘𝑋))
12	2, 11	eqtrid 2252	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝑋) = ((invg‘((𝐼 mPwSer 𝑅) ↾s 𝐵))‘𝑋))
13	6, 5, 7, 3, 4	mplsubgfi 14578	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (SubGrp‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))
14		mplneg.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
15		eqid 2207	. . . 4 ⊢ ((𝐼 mPwSer 𝑅) ↾s 𝐵) = ((𝐼 mPwSer 𝑅) ↾s 𝐵)
16		eqid 2207	. . . 4 ⊢ (invg‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (invg‘(𝐼 mPwSer 𝑅))
17		eqid 2207	. . . 4 ⊢ (invg‘((𝐼 mPwSer 𝑅) ↾s 𝐵)) = (invg‘((𝐼 mPwSer 𝑅) ↾s 𝐵))
18	15, 16, 17	subginv 13632	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ (SubGrp‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((invg‘(𝐼 mPwSer 𝑅))‘𝑋) = ((invg‘((𝐼 mPwSer 𝑅) ↾s 𝐵))‘𝑋))
19	13, 14, 18	syl2anc 411	. 2 ⊢ (𝜑 → ((invg‘(𝐼 mPwSer 𝑅))‘𝑋) = ((invg‘((𝐼 mPwSer 𝑅) ↾s 𝐵))‘𝑋))
20		eqid 2207	. . 3 ⊢ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} = {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin}
21		mplneg.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝑅)
22		eqid 2207	. . 3 ⊢ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))
23	5, 6, 7, 22	mplbasss 14573	. . . 4 ⊢ 𝐵 ⊆ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))
24	23, 14	sselid 3199	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))
25	6, 3, 4, 20, 21, 22, 16, 24	psrneg 14564	. 2 ⊢ (𝜑 → ((invg‘(𝐼 mPwSer 𝑅))‘𝑋) = (𝑁 ∘ 𝑋))
26	12, 19, 25	3eqtr2d 2246	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝑋) = (𝑁 ∘ 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1373   ∈ wcel 2178  {crab 2490  ^◡ccnv 4692   “ cima 4696   ∘ ccom 4697  ‘cfv 5290  (class class class)co 5967   ↑_𝑚 cmap 6758  Fincfn 6850  ℕcn 9071  ℕ₀cn0 9330  Basecbs 12947   ↾_s cress 12948  Grpcgrp 13447  inv_gcminusg 13448  SubGrpcsubg 13618   mPwSer cmps 14538   mPoly cmpl 14539

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-coll 4175  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-iinf 4654  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1cn 8053  ax-1re 8054  ax-icn 8055  ax-addcl 8056  ax-addrcl 8057  ax-mulcl 8058  ax-addcom 8060  ax-mulcom 8061  ax-addass 8062  ax-mulass 8063  ax-distr 8064  ax-i2m1 8065  ax-0lt1 8066  ax-1rid 8067  ax-0id 8068  ax-rnegex 8069  ax-cnre 8071  ax-pre-ltirr 8072  ax-pre-ltwlin 8073  ax-pre-lttrn 8074  ax-pre-apti 8075  ax-pre-ltadd 8076

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rmo 2494  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-csb 3102  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-nul 3469  df-if 3580  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-tp 3651  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3943  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-tr 4159  df-id 4358  df-iord 4431  df-on 4433  df-suc 4436  df-iom 4657  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-f1 5295  df-fo 5296  df-f1o 5297  df-fv 5298  df-riota 5922  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-of 6181  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-1o 6525  df-er 6643  df-map 6760  df-ixp 6809  df-en 6851  df-fin 6853  df-sup 7112  df-pnf 8144  df-mnf 8145  df-xr 8146  df-ltxr 8147  df-le 8148  df-sub 8280  df-neg 8281  df-inn 9072  df-2 9130  df-3 9131  df-4 9132  df-5 9133  df-6 9134  df-7 9135  df-8 9136  df-9 9137  df-n0 9331  df-z 9408  df-dec 9540  df-uz 9684  df-fz 10166  df-struct 12949  df-ndx 12950  df-slot 12951  df-base 12953  df-sets 12954  df-iress 12955  df-plusg 13037  df-mulr 13038  df-sca 13040  df-vsca 13041  df-ip 13042  df-tset 13043  df-ple 13044  df-ds 13046  df-hom 13048  df-cco 13049  df-rest 13188  df-topn 13189  df-0g 13205  df-topgen 13207  df-pt 13208  df-prds 13214  df-pws 13237  df-mgm 13303  df-sgrp 13349  df-mnd 13364  df-grp 13450  df-minusg 13451  df-subg 13621  df-psr 14540  df-mplcoe 14541

This theorem is referenced by: (None)