Theorem mplnegfi 15233

Description: The negative function on multivariate polynomials. (Contributed by SN, 25-May-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
mplneg.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mplneg.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
mplneg.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝑅)
mplneg.m	⊢ 𝑀 = (invg‘𝑃)
mplnegfi.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
mplneg.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
mplneg.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
mplnegfi	⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝑋) = (𝑁 ∘ 𝑋))

Proof of Theorem mplnegfi

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mplneg.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (invg‘𝑃)
2	1	fveq1i 5699	. . 3 ⊢ (𝑀‘𝑋) = ((invg‘𝑃)‘𝑋)
3		mplnegfi.i	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
4		mplneg.r	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
5		mplneg.p	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
6		eqid 2238	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 mPwSer 𝑅) = (𝐼 mPwSer 𝑅)
7		mplneg.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
8	5, 6, 7	mplval2g 15223	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Grp) → 𝑃 = ((𝐼 mPwSer 𝑅) ↾s 𝐵))
9	3, 4, 8	syl2anc 415	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 = ((𝐼 mPwSer 𝑅) ↾s 𝐵))
10	9	fveq2d 5702	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (invg‘𝑃) = (invg‘((𝐼 mPwSer 𝑅) ↾s 𝐵)))
11	10	fveq1d 5700	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝑃)‘𝑋) = ((invg‘((𝐼 mPwSer 𝑅) ↾s 𝐵))‘𝑋))
12	2, 11	eqtrid 2283	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝑋) = ((invg‘((𝐼 mPwSer 𝑅) ↾s 𝐵))‘𝑋))
13	6, 5, 7, 3, 4	mplsubgfi 15229	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (SubGrp‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))
14		mplneg.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
15		eqid 2238	. . . 4 ⊢ ((𝐼 mPwSer 𝑅) ↾s 𝐵) = ((𝐼 mPwSer 𝑅) ↾s 𝐵)
16		eqid 2238	. . . 4 ⊢ (invg‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (invg‘(𝐼 mPwSer 𝑅))
17		eqid 2238	. . . 4 ⊢ (invg‘((𝐼 mPwSer 𝑅) ↾s 𝐵)) = (invg‘((𝐼 mPwSer 𝑅) ↾s 𝐵))
18	15, 16, 17	subginv 14044	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ (SubGrp‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((invg‘(𝐼 mPwSer 𝑅))‘𝑋) = ((invg‘((𝐼 mPwSer 𝑅) ↾s 𝐵))‘𝑋))
19	13, 14, 18	syl2anc 415	. 2 ⊢ (𝜑 → ((invg‘(𝐼 mPwSer 𝑅))‘𝑋) = ((invg‘((𝐼 mPwSer 𝑅) ↾s 𝐵))‘𝑋))
20		eqid 2238	. . 3 ⊢ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} = {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin}
21		mplneg.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝑅)
22		eqid 2238	. . 3 ⊢ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))
23	5, 6, 7, 22	mplbasss 15224	. . . 4 ⊢ 𝐵 ⊆ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))
24	23, 14	sselid 3246	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))
25	6, 3, 4, 20, 21, 22, 16, 24	psrneg 15202	. 2 ⊢ (𝜑 → ((invg‘(𝐼 mPwSer 𝑅))‘𝑋) = (𝑁 ∘ 𝑋))
26	12, 19, 25	3eqtr2d 2277	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝑋) = (𝑁 ∘ 𝑋))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  {crab 2532  ^◡ccnv 4775   “ cima 4779   ∘ ccom 4780  ‘cfv 5380  (class class class)co 6088   ↑_𝑚 cmap 6926  Fincfn 7027  ℕcn 9314  ℕ₀cn0 9575  Basecbs 13411   ↾_s cress 13412  Grpcgrp 13865  inv_gcminusg 13866  SubGrpcsubg 14030   mPwSer cmps 15155   mPoly cmpl 15157

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8277  ax-resscn 8278  ax-1cn 8279  ax-1re 8280  ax-icn 8281  ax-addcl 8282  ax-addrcl 8283  ax-mulcl 8284  ax-addcom 8286  ax-mulcom 8287  ax-addass 8288  ax-mulass 8289  ax-distr 8290  ax-i2m1 8291  ax-0lt1 8292  ax-1rid 8293  ax-0id 8294  ax-rnegex 8295  ax-cnre 8297  ax-pre-ltirr 8298  ax-pre-ltwlin 8299  ax-pre-lttrn 8300  ax-pre-apti 8301  ax-pre-ltadd 8302

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-tp 3717  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-iord 4513  df-on 4515  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-of 6305  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-1o 6691  df-er 6811  df-map 6928  df-ixp 6986  df-en 7028  df-fin 7030  df-sup 7331  df-pnf 8369  df-mnf 8370  df-xr 8371  df-ltxr 8372  df-le 8373  df-sub 8507  df-neg 8508  df-inn 9315  df-2 9373  df-3 9374  df-4 9375  df-5 9376  df-6 9377  df-7 9378  df-8 9379  df-9 9380  df-n0 9576  df-z 9657  df-dec 9790  df-uz 9939  df-fz 10430  df-struct 13413  df-ndx 13414  df-slot 13415  df-base 13417  df-sets 13418  df-iress 13419  df-plusg 13504  df-mulr 13505  df-sca 13507  df-vsca 13508  df-ip 13509  df-tset 13510  df-ple 13511  df-ds 13513  df-hom 13515  df-cco 13516  df-rest 13655  df-topn 13656  df-0g 13672  df-topgen 13674  df-pt 13675  df-mgm 13736  df-sgrp 13777  df-mnd 13790  df-grp 13868  df-minusg 13869  df-subg 14033  df-prds 14278  df-pws 14311  df-psr 15158  df-mplcoe 15160

This theorem is used by: (None)