Theorem mplnegfi 14511

Description: The negative function on multivariate polynomials. (Contributed by SN, 25-May-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
mplneg.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mplneg.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
mplneg.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝑅)
mplneg.m	⊢ 𝑀 = (invg‘𝑃)
mplnegfi.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
mplneg.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
mplneg.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
mplnegfi	⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝑋) = (𝑁 ∘ 𝑋))

Proof of Theorem mplnegfi

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mplneg.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (invg‘𝑃)
2	1	fveq1i 5584	. . 3 ⊢ (𝑀‘𝑋) = ((invg‘𝑃)‘𝑋)
3		mplnegfi.i	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
4		mplneg.r	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
5		mplneg.p	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
6		eqid 2206	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 mPwSer 𝑅) = (𝐼 mPwSer 𝑅)
7		mplneg.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
8	5, 6, 7	mplval2g 14501	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Grp) → 𝑃 = ((𝐼 mPwSer 𝑅) ↾s 𝐵))
9	3, 4, 8	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 = ((𝐼 mPwSer 𝑅) ↾s 𝐵))
10	9	fveq2d 5587	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (invg‘𝑃) = (invg‘((𝐼 mPwSer 𝑅) ↾s 𝐵)))
11	10	fveq1d 5585	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝑃)‘𝑋) = ((invg‘((𝐼 mPwSer 𝑅) ↾s 𝐵))‘𝑋))
12	2, 11	eqtrid 2251	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝑋) = ((invg‘((𝐼 mPwSer 𝑅) ↾s 𝐵))‘𝑋))
13	6, 5, 7, 3, 4	mplsubgfi 14507	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (SubGrp‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))
14		mplneg.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
15		eqid 2206	. . . 4 ⊢ ((𝐼 mPwSer 𝑅) ↾s 𝐵) = ((𝐼 mPwSer 𝑅) ↾s 𝐵)
16		eqid 2206	. . . 4 ⊢ (invg‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (invg‘(𝐼 mPwSer 𝑅))
17		eqid 2206	. . . 4 ⊢ (invg‘((𝐼 mPwSer 𝑅) ↾s 𝐵)) = (invg‘((𝐼 mPwSer 𝑅) ↾s 𝐵))
18	15, 16, 17	subginv 13561	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ (SubGrp‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((invg‘(𝐼 mPwSer 𝑅))‘𝑋) = ((invg‘((𝐼 mPwSer 𝑅) ↾s 𝐵))‘𝑋))
19	13, 14, 18	syl2anc 411	. 2 ⊢ (𝜑 → ((invg‘(𝐼 mPwSer 𝑅))‘𝑋) = ((invg‘((𝐼 mPwSer 𝑅) ↾s 𝐵))‘𝑋))
20		eqid 2206	. . 3 ⊢ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} = {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin}
21		mplneg.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝑅)
22		eqid 2206	. . 3 ⊢ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))
23	5, 6, 7, 22	mplbasss 14502	. . . 4 ⊢ 𝐵 ⊆ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))
24	23, 14	sselid 3192	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))
25	6, 3, 4, 20, 21, 22, 16, 24	psrneg 14493	. 2 ⊢ (𝜑 → ((invg‘(𝐼 mPwSer 𝑅))‘𝑋) = (𝑁 ∘ 𝑋))
26	12, 19, 25	3eqtr2d 2245	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝑋) = (𝑁 ∘ 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1373   ∈ wcel 2177  {crab 2489  ^◡ccnv 4678   “ cima 4682   ∘ ccom 4683  ‘cfv 5276  (class class class)co 5951   ↑_𝑚 cmap 6742  Fincfn 6834  ℕcn 9043  ℕ₀cn0 9302  Basecbs 12876   ↾_s cress 12877  Grpcgrp 13376  inv_gcminusg 13377  SubGrpcsubg 13547   mPwSer cmps 14467   mPoly cmpl 14468

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4163  ax-sep 4166  ax-nul 4174  ax-pow 4222  ax-pr 4257  ax-un 4484  ax-setind 4589  ax-iinf 4640  ax-cnex 8023  ax-resscn 8024  ax-1cn 8025  ax-1re 8026  ax-icn 8027  ax-addcl 8028  ax-addrcl 8029  ax-mulcl 8030  ax-addcom 8032  ax-mulcom 8033  ax-addass 8034  ax-mulass 8035  ax-distr 8036  ax-i2m1 8037  ax-0lt1 8038  ax-1rid 8039  ax-0id 8040  ax-rnegex 8041  ax-cnre 8043  ax-pre-ltirr 8044  ax-pre-ltwlin 8045  ax-pre-lttrn 8046  ax-pre-apti 8047  ax-pre-ltadd 8048

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rmo 2493  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3000  df-csb 3095  df-dif 3169  df-un 3171  df-in 3173  df-ss 3180  df-nul 3462  df-if 3573  df-pw 3619  df-sn 3640  df-pr 3641  df-tp 3642  df-op 3643  df-uni 3853  df-int 3888  df-iun 3931  df-br 4048  df-opab 4110  df-mpt 4111  df-tr 4147  df-id 4344  df-iord 4417  df-on 4419  df-suc 4422  df-iom 4643  df-xp 4685  df-rel 4686  df-cnv 4687  df-co 4688  df-dm 4689  df-rn 4690  df-res 4691  df-ima 4692  df-iota 5237  df-fun 5278  df-fn 5279  df-f 5280  df-f1 5281  df-fo 5282  df-f1o 5283  df-fv 5284  df-riota 5906  df-ov 5954  df-oprab 5955  df-mpo 5956  df-of 6165  df-1st 6233  df-2nd 6234  df-1o 6509  df-er 6627  df-map 6744  df-ixp 6793  df-en 6835  df-fin 6837  df-sup 7093  df-pnf 8116  df-mnf 8117  df-xr 8118  df-ltxr 8119  df-le 8120  df-sub 8252  df-neg 8253  df-inn 9044  df-2 9102  df-3 9103  df-4 9104  df-5 9105  df-6 9106  df-7 9107  df-8 9108  df-9 9109  df-n0 9303  df-z 9380  df-dec 9512  df-uz 9656  df-fz 10138  df-struct 12878  df-ndx 12879  df-slot 12880  df-base 12882  df-sets 12883  df-iress 12884  df-plusg 12966  df-mulr 12967  df-sca 12969  df-vsca 12970  df-ip 12971  df-tset 12972  df-ple 12973  df-ds 12975  df-hom 12977  df-cco 12978  df-rest 13117  df-topn 13118  df-0g 13134  df-topgen 13136  df-pt 13137  df-prds 13143  df-pws 13166  df-mgm 13232  df-sgrp 13278  df-mnd 13293  df-grp 13379  df-minusg 13380  df-subg 13550  df-psr 14469  df-mplcoe 14470

This theorem is referenced by: (None)