Theorem mulap0d 8928

Description: The product of two numbers apart from zero is apart from zero. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Feb-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulap0d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
mulap0d.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
mulap0d.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 # 0)
mulap0d.4	⊢ (𝜑 → 𝐵 # 0)

Assertion

Ref	Expression
mulap0d	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) # 0)

Proof of Theorem mulap0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulap0d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		mulap0d.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 # 0)
3		mulap0d.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
4		mulap0d.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 # 0)
5		mulap0 8924	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0)) → (𝐴 · 𝐵) # 0)
6	1, 2, 3, 4, 5	syl22anc 1275	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) # 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2203   class class class wbr 4108  (class class class)co 6049  ℂcc 8121  0cc0 8123   · cmul 8128   # cap 8851

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4227  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-setind 4658  ax-cnex 8214  ax-resscn 8215  ax-1cn 8216  ax-1re 8217  ax-icn 8218  ax-addcl 8219  ax-addrcl 8220  ax-mulcl 8221  ax-mulrcl 8222  ax-addcom 8223  ax-mulcom 8224  ax-addass 8225  ax-mulass 8226  ax-distr 8227  ax-i2m1 8228  ax-0lt1 8229  ax-1rid 8230  ax-0id 8231  ax-rnegex 8232  ax-precex 8233  ax-cnre 8234  ax-pre-ltirr 8235  ax-pre-ltwlin 8236  ax-pre-lttrn 8237  ax-pre-apti 8238  ax-pre-ltadd 8239  ax-pre-mulgt0 8240  ax-pre-mulext 8241

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-br 4109  df-opab 4171  df-id 4413  df-po 4416  df-iso 4417  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fv 5359  df-riota 6002  df-ov 6052  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-pnf 8306  df-mnf 8307  df-xr 8308  df-ltxr 8309  df-le 8310  df-sub 8442  df-neg 8443  df-reap 8845  df-ap 8852

This theorem is referenced by:  divdivdivap  8983  modqmulnn  10700  exp3vallem  10898  mulexpzap  10937  absrpclap  11739  reccn2ap  11991  trireciplem  12179  prodfap0  12224  fprodap0  12300  fprodap0f  12315  efaddlem  12353  tanval3ap  12393  tanaddaplem  12417  tanaddap  12418  lcmcllem  12757  lcmgcdlem  12767  pcpremul  12984  pcmul  12992  pcqmul  12994  pcaddlem  13030  lgsdilem2  15896  lgsdi  15897  apdiff  16819