ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mulnqprlemfl GIF version

Theorem mulnqprlemfl 7588
Description: Lemma for mulnqpr 7590. The forward subset relationship for the lower cut. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
mulnqprlemfl ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q) โ†’ (1st โ€˜โŸจ{๐‘™ โˆฃ ๐‘™ <Q (๐ด ยทQ ๐ต)}, {๐‘ข โˆฃ (๐ด ยทQ ๐ต) <Q ๐‘ข}โŸฉ) โІ (1st โ€˜(โŸจ{๐‘™ โˆฃ ๐‘™ <Q ๐ด}, {๐‘ข โˆฃ ๐ด <Q ๐‘ข}โŸฉ ยทP โŸจ{๐‘™ โˆฃ ๐‘™ <Q ๐ต}, {๐‘ข โˆฃ ๐ต <Q ๐‘ข}โŸฉ)))
Distinct variable groups:   ๐ด,๐‘™,๐‘ข   ๐ต,๐‘™,๐‘ข

Proof of Theorem mulnqprlemfl
Dummy variable ๐‘Ÿ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mulnqprlemru 7587 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q) โ†’ (2nd โ€˜(โŸจ{๐‘™ โˆฃ ๐‘™ <Q ๐ด}, {๐‘ข โˆฃ ๐ด <Q ๐‘ข}โŸฉ ยทP โŸจ{๐‘™ โˆฃ ๐‘™ <Q ๐ต}, {๐‘ข โˆฃ ๐ต <Q ๐‘ข}โŸฉ)) โІ (2nd โ€˜โŸจ{๐‘™ โˆฃ ๐‘™ <Q (๐ด ยทQ ๐ต)}, {๐‘ข โˆฃ (๐ด ยทQ ๐ต) <Q ๐‘ข}โŸฉ))
2 ltsonq 7411 . . . . . . . . 9 <Q Or Q
3 mulclnq 7389 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q) โ†’ (๐ด ยทQ ๐ต) โˆˆ Q)
4 sonr 4329 . . . . . . . . 9 (( <Q Or Q โˆง (๐ด ยทQ ๐ต) โˆˆ Q) โ†’ ยฌ (๐ด ยทQ ๐ต) <Q (๐ด ยทQ ๐ต))
52, 3, 4sylancr 414 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q) โ†’ ยฌ (๐ด ยทQ ๐ต) <Q (๐ด ยทQ ๐ต))
6 ltrelnq 7378 . . . . . . . . . . . 12 <Q โІ (Q ร— Q)
76brel 4690 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด ยทQ ๐ต) <Q (๐ด ยทQ ๐ต) โ†’ ((๐ด ยทQ ๐ต) โˆˆ Q โˆง (๐ด ยทQ ๐ต) โˆˆ Q))
87simpld 112 . . . . . . . . . 10 ((๐ด ยทQ ๐ต) <Q (๐ด ยทQ ๐ต) โ†’ (๐ด ยทQ ๐ต) โˆˆ Q)
9 elex 2760 . . . . . . . . . 10 ((๐ด ยทQ ๐ต) โˆˆ Q โ†’ (๐ด ยทQ ๐ต) โˆˆ V)
108, 9syl 14 . . . . . . . . 9 ((๐ด ยทQ ๐ต) <Q (๐ด ยทQ ๐ต) โ†’ (๐ด ยทQ ๐ต) โˆˆ V)
11 breq2 4019 . . . . . . . . 9 (๐‘ข = (๐ด ยทQ ๐ต) โ†’ ((๐ด ยทQ ๐ต) <Q ๐‘ข โ†” (๐ด ยทQ ๐ต) <Q (๐ด ยทQ ๐ต)))
1210, 11elab3 2901 . . . . . . . 8 ((๐ด ยทQ ๐ต) โˆˆ {๐‘ข โˆฃ (๐ด ยทQ ๐ต) <Q ๐‘ข} โ†” (๐ด ยทQ ๐ต) <Q (๐ด ยทQ ๐ต))
135, 12sylnibr 678 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q) โ†’ ยฌ (๐ด ยทQ ๐ต) โˆˆ {๐‘ข โˆฃ (๐ด ยทQ ๐ต) <Q ๐‘ข})
14 ltnqex 7562 . . . . . . . . 9 {๐‘™ โˆฃ ๐‘™ <Q (๐ด ยทQ ๐ต)} โˆˆ V
15 gtnqex 7563 . . . . . . . . 9 {๐‘ข โˆฃ (๐ด ยทQ ๐ต) <Q ๐‘ข} โˆˆ V
1614, 15op2nd 6162 . . . . . . . 8 (2nd โ€˜โŸจ{๐‘™ โˆฃ ๐‘™ <Q (๐ด ยทQ ๐ต)}, {๐‘ข โˆฃ (๐ด ยทQ ๐ต) <Q ๐‘ข}โŸฉ) = {๐‘ข โˆฃ (๐ด ยทQ ๐ต) <Q ๐‘ข}
1716eleq2i 2254 . . . . . . 7 ((๐ด ยทQ ๐ต) โˆˆ (2nd โ€˜โŸจ{๐‘™ โˆฃ ๐‘™ <Q (๐ด ยทQ ๐ต)}, {๐‘ข โˆฃ (๐ด ยทQ ๐ต) <Q ๐‘ข}โŸฉ) โ†” (๐ด ยทQ ๐ต) โˆˆ {๐‘ข โˆฃ (๐ด ยทQ ๐ต) <Q ๐‘ข})
1813, 17sylnibr 678 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q) โ†’ ยฌ (๐ด ยทQ ๐ต) โˆˆ (2nd โ€˜โŸจ{๐‘™ โˆฃ ๐‘™ <Q (๐ด ยทQ ๐ต)}, {๐‘ข โˆฃ (๐ด ยทQ ๐ต) <Q ๐‘ข}โŸฉ))
191, 18ssneldd 3170 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q) โ†’ ยฌ (๐ด ยทQ ๐ต) โˆˆ (2nd โ€˜(โŸจ{๐‘™ โˆฃ ๐‘™ <Q ๐ด}, {๐‘ข โˆฃ ๐ด <Q ๐‘ข}โŸฉ ยทP โŸจ{๐‘™ โˆฃ ๐‘™ <Q ๐ต}, {๐‘ข โˆฃ ๐ต <Q ๐‘ข}โŸฉ)))
2019adantr 276 . . . 4 (((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q) โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (1st โ€˜โŸจ{๐‘™ โˆฃ ๐‘™ <Q (๐ด ยทQ ๐ต)}, {๐‘ข โˆฃ (๐ด ยทQ ๐ต) <Q ๐‘ข}โŸฉ)) โ†’ ยฌ (๐ด ยทQ ๐ต) โˆˆ (2nd โ€˜(โŸจ{๐‘™ โˆฃ ๐‘™ <Q ๐ด}, {๐‘ข โˆฃ ๐ด <Q ๐‘ข}โŸฉ ยทP โŸจ{๐‘™ โˆฃ ๐‘™ <Q ๐ต}, {๐‘ข โˆฃ ๐ต <Q ๐‘ข}โŸฉ)))
21 nqprlu 7560 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ Q โ†’ โŸจ{๐‘™ โˆฃ ๐‘™ <Q ๐ด}, {๐‘ข โˆฃ ๐ด <Q ๐‘ข}โŸฉ โˆˆ P)
22 nqprlu 7560 . . . . . . 7 (๐ต โˆˆ Q โ†’ โŸจ{๐‘™ โˆฃ ๐‘™ <Q ๐ต}, {๐‘ข โˆฃ ๐ต <Q ๐‘ข}โŸฉ โˆˆ P)
23 mulclpr 7585 . . . . . . 7 ((โŸจ{๐‘™ โˆฃ ๐‘™ <Q ๐ด}, {๐‘ข โˆฃ ๐ด <Q ๐‘ข}โŸฉ โˆˆ P โˆง โŸจ{๐‘™ โˆฃ ๐‘™ <Q ๐ต}, {๐‘ข โˆฃ ๐ต <Q ๐‘ข}โŸฉ โˆˆ P) โ†’ (โŸจ{๐‘™ โˆฃ ๐‘™ <Q ๐ด}, {๐‘ข โˆฃ ๐ด <Q ๐‘ข}โŸฉ ยทP โŸจ{๐‘™ โˆฃ ๐‘™ <Q ๐ต}, {๐‘ข โˆฃ ๐ต <Q ๐‘ข}โŸฉ) โˆˆ P)
2421, 22, 23syl2an 289 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q) โ†’ (โŸจ{๐‘™ โˆฃ ๐‘™ <Q ๐ด}, {๐‘ข โˆฃ ๐ด <Q ๐‘ข}โŸฉ ยทP โŸจ{๐‘™ โˆฃ ๐‘™ <Q ๐ต}, {๐‘ข โˆฃ ๐ต <Q ๐‘ข}โŸฉ) โˆˆ P)
25 prop 7488 . . . . . 6 ((โŸจ{๐‘™ โˆฃ ๐‘™ <Q ๐ด}, {๐‘ข โˆฃ ๐ด <Q ๐‘ข}โŸฉ ยทP โŸจ{๐‘™ โˆฃ ๐‘™ <Q ๐ต}, {๐‘ข โˆฃ ๐ต <Q ๐‘ข}โŸฉ) โˆˆ P โ†’ โŸจ(1st โ€˜(โŸจ{๐‘™ โˆฃ ๐‘™ <Q ๐ด}, {๐‘ข โˆฃ ๐ด <Q ๐‘ข}โŸฉ ยทP โŸจ{๐‘™ โˆฃ ๐‘™ <Q ๐ต}, {๐‘ข โˆฃ ๐ต <Q ๐‘ข}โŸฉ)), (2nd โ€˜(โŸจ{๐‘™ โˆฃ ๐‘™ <Q ๐ด}, {๐‘ข โˆฃ ๐ด <Q ๐‘ข}โŸฉ ยทP โŸจ{๐‘™ โˆฃ ๐‘™ <Q ๐ต}, {๐‘ข โˆฃ ๐ต <Q ๐‘ข}โŸฉ))โŸฉ โˆˆ P)
2624, 25syl 14 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q) โ†’ โŸจ(1st โ€˜(โŸจ{๐‘™ โˆฃ ๐‘™ <Q ๐ด}, {๐‘ข โˆฃ ๐ด <Q ๐‘ข}โŸฉ ยทP โŸจ{๐‘™ โˆฃ ๐‘™ <Q ๐ต}, {๐‘ข โˆฃ ๐ต <Q ๐‘ข}โŸฉ)), (2nd โ€˜(โŸจ{๐‘™ โˆฃ ๐‘™ <Q ๐ด}, {๐‘ข โˆฃ ๐ด <Q ๐‘ข}โŸฉ ยทP โŸจ{๐‘™ โˆฃ ๐‘™ <Q ๐ต}, {๐‘ข โˆฃ ๐ต <Q ๐‘ข}โŸฉ))โŸฉ โˆˆ P)
27 vex 2752 . . . . . . 7 ๐‘Ÿ โˆˆ V
28 breq1 4018 . . . . . . 7 (๐‘™ = ๐‘Ÿ โ†’ (๐‘™ <Q (๐ด ยทQ ๐ต) โ†” ๐‘Ÿ <Q (๐ด ยทQ ๐ต)))
2914, 15op1st 6161 . . . . . . 7 (1st โ€˜โŸจ{๐‘™ โˆฃ ๐‘™ <Q (๐ด ยทQ ๐ต)}, {๐‘ข โˆฃ (๐ด ยทQ ๐ต) <Q ๐‘ข}โŸฉ) = {๐‘™ โˆฃ ๐‘™ <Q (๐ด ยทQ ๐ต)}
3027, 28, 29elab2 2897 . . . . . 6 (๐‘Ÿ โˆˆ (1st โ€˜โŸจ{๐‘™ โˆฃ ๐‘™ <Q (๐ด ยทQ ๐ต)}, {๐‘ข โˆฃ (๐ด ยทQ ๐ต) <Q ๐‘ข}โŸฉ) โ†” ๐‘Ÿ <Q (๐ด ยทQ ๐ต))
3130biimpi 120 . . . . 5 (๐‘Ÿ โˆˆ (1st โ€˜โŸจ{๐‘™ โˆฃ ๐‘™ <Q (๐ด ยทQ ๐ต)}, {๐‘ข โˆฃ (๐ด ยทQ ๐ต) <Q ๐‘ข}โŸฉ) โ†’ ๐‘Ÿ <Q (๐ด ยทQ ๐ต))
32 prloc 7504 . . . . 5 ((โŸจ(1st โ€˜(โŸจ{๐‘™ โˆฃ ๐‘™ <Q ๐ด}, {๐‘ข โˆฃ ๐ด <Q ๐‘ข}โŸฉ ยทP โŸจ{๐‘™ โˆฃ ๐‘™ <Q ๐ต}, {๐‘ข โˆฃ ๐ต <Q ๐‘ข}โŸฉ)), (2nd โ€˜(โŸจ{๐‘™ โˆฃ ๐‘™ <Q ๐ด}, {๐‘ข โˆฃ ๐ด <Q ๐‘ข}โŸฉ ยทP โŸจ{๐‘™ โˆฃ ๐‘™ <Q ๐ต}, {๐‘ข โˆฃ ๐ต <Q ๐‘ข}โŸฉ))โŸฉ โˆˆ P โˆง ๐‘Ÿ <Q (๐ด ยทQ ๐ต)) โ†’ (๐‘Ÿ โˆˆ (1st โ€˜(โŸจ{๐‘™ โˆฃ ๐‘™ <Q ๐ด}, {๐‘ข โˆฃ ๐ด <Q ๐‘ข}โŸฉ ยทP โŸจ{๐‘™ โˆฃ ๐‘™ <Q ๐ต}, {๐‘ข โˆฃ ๐ต <Q ๐‘ข}โŸฉ)) โˆจ (๐ด ยทQ ๐ต) โˆˆ (2nd โ€˜(โŸจ{๐‘™ โˆฃ ๐‘™ <Q ๐ด}, {๐‘ข โˆฃ ๐ด <Q ๐‘ข}โŸฉ ยทP โŸจ{๐‘™ โˆฃ ๐‘™ <Q ๐ต}, {๐‘ข โˆฃ ๐ต <Q ๐‘ข}โŸฉ))))
3326, 31, 32syl2an 289 . . . 4 (((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q) โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (1st โ€˜โŸจ{๐‘™ โˆฃ ๐‘™ <Q (๐ด ยทQ ๐ต)}, {๐‘ข โˆฃ (๐ด ยทQ ๐ต) <Q ๐‘ข}โŸฉ)) โ†’ (๐‘Ÿ โˆˆ (1st โ€˜(โŸจ{๐‘™ โˆฃ ๐‘™ <Q ๐ด}, {๐‘ข โˆฃ ๐ด <Q ๐‘ข}โŸฉ ยทP โŸจ{๐‘™ โˆฃ ๐‘™ <Q ๐ต}, {๐‘ข โˆฃ ๐ต <Q ๐‘ข}โŸฉ)) โˆจ (๐ด ยทQ ๐ต) โˆˆ (2nd โ€˜(โŸจ{๐‘™ โˆฃ ๐‘™ <Q ๐ด}, {๐‘ข โˆฃ ๐ด <Q ๐‘ข}โŸฉ ยทP โŸจ{๐‘™ โˆฃ ๐‘™ <Q ๐ต}, {๐‘ข โˆฃ ๐ต <Q ๐‘ข}โŸฉ))))
3420, 33ecased 1359 . . 3 (((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q) โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (1st โ€˜โŸจ{๐‘™ โˆฃ ๐‘™ <Q (๐ด ยทQ ๐ต)}, {๐‘ข โˆฃ (๐ด ยทQ ๐ต) <Q ๐‘ข}โŸฉ)) โ†’ ๐‘Ÿ โˆˆ (1st โ€˜(โŸจ{๐‘™ โˆฃ ๐‘™ <Q ๐ด}, {๐‘ข โˆฃ ๐ด <Q ๐‘ข}โŸฉ ยทP โŸจ{๐‘™ โˆฃ ๐‘™ <Q ๐ต}, {๐‘ข โˆฃ ๐ต <Q ๐‘ข}โŸฉ)))
3534ex 115 . 2 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q) โ†’ (๐‘Ÿ โˆˆ (1st โ€˜โŸจ{๐‘™ โˆฃ ๐‘™ <Q (๐ด ยทQ ๐ต)}, {๐‘ข โˆฃ (๐ด ยทQ ๐ต) <Q ๐‘ข}โŸฉ) โ†’ ๐‘Ÿ โˆˆ (1st โ€˜(โŸจ{๐‘™ โˆฃ ๐‘™ <Q ๐ด}, {๐‘ข โˆฃ ๐ด <Q ๐‘ข}โŸฉ ยทP โŸจ{๐‘™ โˆฃ ๐‘™ <Q ๐ต}, {๐‘ข โˆฃ ๐ต <Q ๐‘ข}โŸฉ))))
3635ssrdv 3173 1 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q) โ†’ (1st โ€˜โŸจ{๐‘™ โˆฃ ๐‘™ <Q (๐ด ยทQ ๐ต)}, {๐‘ข โˆฃ (๐ด ยทQ ๐ต) <Q ๐‘ข}โŸฉ) โІ (1st โ€˜(โŸจ{๐‘™ โˆฃ ๐‘™ <Q ๐ด}, {๐‘ข โˆฃ ๐ด <Q ๐‘ข}โŸฉ ยทP โŸจ{๐‘™ โˆฃ ๐‘™ <Q ๐ต}, {๐‘ข โˆฃ ๐ต <Q ๐‘ข}โŸฉ)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   โˆจ wo 709   โˆˆ wcel 2158  {cab 2173  Vcvv 2749   โІ wss 3141  โŸจcop 3607   class class class wbr 4015   Or wor 4307  โ€˜cfv 5228  (class class class)co 5888  1st c1st 6153  2nd c2nd 6154  Qcnq 7293   ยทQ cmq 7296   <Q cltq 7298  Pcnp 7304   ยทP cmp 7307
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-nul 4141  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-iinf 4599
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-tr 4114  df-eprel 4301  df-id 4305  df-po 4308  df-iso 4309  df-iord 4378  df-on 4380  df-suc 4383  df-iom 4602  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1st 6155  df-2nd 6156  df-recs 6320  df-irdg 6385  df-1o 6431  df-2o 6432  df-oadd 6435  df-omul 6436  df-er 6549  df-ec 6551  df-qs 6555  df-ni 7317  df-pli 7318  df-mi 7319  df-lti 7320  df-plpq 7357  df-mpq 7358  df-enq 7360  df-nqqs 7361  df-plqqs 7362  df-mqqs 7363  df-1nqqs 7364  df-rq 7365  df-ltnqqs 7366  df-enq0 7437  df-nq0 7438  df-0nq0 7439  df-plq0 7440  df-mq0 7441  df-inp 7479  df-imp 7482
This theorem is referenced by:  mulnqpr  7590
  Copyright terms: Public domain W3C validator