ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mulnqprlemfl GIF version

Theorem mulnqprlemfl 7573
Description: Lemma for mulnqpr 7575. The forward subset relationship for the lower cut. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
mulnqprlemfl ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q) โ†’ (1st โ€˜โŸจ{๐‘™ โˆฃ ๐‘™ <Q (๐ด ยทQ ๐ต)}, {๐‘ข โˆฃ (๐ด ยทQ ๐ต) <Q ๐‘ข}โŸฉ) โŠ† (1st โ€˜(โŸจ{๐‘™ โˆฃ ๐‘™ <Q ๐ด}, {๐‘ข โˆฃ ๐ด <Q ๐‘ข}โŸฉ ยทP โŸจ{๐‘™ โˆฃ ๐‘™ <Q ๐ต}, {๐‘ข โˆฃ ๐ต <Q ๐‘ข}โŸฉ)))
Distinct variable groups:   ๐ด,๐‘™,๐‘ข   ๐ต,๐‘™,๐‘ข

Proof of Theorem mulnqprlemfl
Dummy variable ๐‘Ÿ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mulnqprlemru 7572 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q) โ†’ (2nd โ€˜(โŸจ{๐‘™ โˆฃ ๐‘™ <Q ๐ด}, {๐‘ข โˆฃ ๐ด <Q ๐‘ข}โŸฉ ยทP โŸจ{๐‘™ โˆฃ ๐‘™ <Q ๐ต}, {๐‘ข โˆฃ ๐ต <Q ๐‘ข}โŸฉ)) โŠ† (2nd โ€˜โŸจ{๐‘™ โˆฃ ๐‘™ <Q (๐ด ยทQ ๐ต)}, {๐‘ข โˆฃ (๐ด ยทQ ๐ต) <Q ๐‘ข}โŸฉ))
2 ltsonq 7396 . . . . . . . . 9 <Q Or Q
3 mulclnq 7374 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q) โ†’ (๐ด ยทQ ๐ต) โˆˆ Q)
4 sonr 4317 . . . . . . . . 9 (( <Q Or Q โˆง (๐ด ยทQ ๐ต) โˆˆ Q) โ†’ ยฌ (๐ด ยทQ ๐ต) <Q (๐ด ยทQ ๐ต))
52, 3, 4sylancr 414 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q) โ†’ ยฌ (๐ด ยทQ ๐ต) <Q (๐ด ยทQ ๐ต))
6 ltrelnq 7363 . . . . . . . . . . . 12 <Q โŠ† (Q ร— Q)
76brel 4678 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด ยทQ ๐ต) <Q (๐ด ยทQ ๐ต) โ†’ ((๐ด ยทQ ๐ต) โˆˆ Q โˆง (๐ด ยทQ ๐ต) โˆˆ Q))
87simpld 112 . . . . . . . . . 10 ((๐ด ยทQ ๐ต) <Q (๐ด ยทQ ๐ต) โ†’ (๐ด ยทQ ๐ต) โˆˆ Q)
9 elex 2748 . . . . . . . . . 10 ((๐ด ยทQ ๐ต) โˆˆ Q โ†’ (๐ด ยทQ ๐ต) โˆˆ V)
108, 9syl 14 . . . . . . . . 9 ((๐ด ยทQ ๐ต) <Q (๐ด ยทQ ๐ต) โ†’ (๐ด ยทQ ๐ต) โˆˆ V)
11 breq2 4007 . . . . . . . . 9 (๐‘ข = (๐ด ยทQ ๐ต) โ†’ ((๐ด ยทQ ๐ต) <Q ๐‘ข โ†” (๐ด ยทQ ๐ต) <Q (๐ด ยทQ ๐ต)))
1210, 11elab3 2889 . . . . . . . 8 ((๐ด ยทQ ๐ต) โˆˆ {๐‘ข โˆฃ (๐ด ยทQ ๐ต) <Q ๐‘ข} โ†” (๐ด ยทQ ๐ต) <Q (๐ด ยทQ ๐ต))
135, 12sylnibr 677 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q) โ†’ ยฌ (๐ด ยทQ ๐ต) โˆˆ {๐‘ข โˆฃ (๐ด ยทQ ๐ต) <Q ๐‘ข})
14 ltnqex 7547 . . . . . . . . 9 {๐‘™ โˆฃ ๐‘™ <Q (๐ด ยทQ ๐ต)} โˆˆ V
15 gtnqex 7548 . . . . . . . . 9 {๐‘ข โˆฃ (๐ด ยทQ ๐ต) <Q ๐‘ข} โˆˆ V
1614, 15op2nd 6147 . . . . . . . 8 (2nd โ€˜โŸจ{๐‘™ โˆฃ ๐‘™ <Q (๐ด ยทQ ๐ต)}, {๐‘ข โˆฃ (๐ด ยทQ ๐ต) <Q ๐‘ข}โŸฉ) = {๐‘ข โˆฃ (๐ด ยทQ ๐ต) <Q ๐‘ข}
1716eleq2i 2244 . . . . . . 7 ((๐ด ยทQ ๐ต) โˆˆ (2nd โ€˜โŸจ{๐‘™ โˆฃ ๐‘™ <Q (๐ด ยทQ ๐ต)}, {๐‘ข โˆฃ (๐ด ยทQ ๐ต) <Q ๐‘ข}โŸฉ) โ†” (๐ด ยทQ ๐ต) โˆˆ {๐‘ข โˆฃ (๐ด ยทQ ๐ต) <Q ๐‘ข})
1813, 17sylnibr 677 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q) โ†’ ยฌ (๐ด ยทQ ๐ต) โˆˆ (2nd โ€˜โŸจ{๐‘™ โˆฃ ๐‘™ <Q (๐ด ยทQ ๐ต)}, {๐‘ข โˆฃ (๐ด ยทQ ๐ต) <Q ๐‘ข}โŸฉ))
191, 18ssneldd 3158 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q) โ†’ ยฌ (๐ด ยทQ ๐ต) โˆˆ (2nd โ€˜(โŸจ{๐‘™ โˆฃ ๐‘™ <Q ๐ด}, {๐‘ข โˆฃ ๐ด <Q ๐‘ข}โŸฉ ยทP โŸจ{๐‘™ โˆฃ ๐‘™ <Q ๐ต}, {๐‘ข โˆฃ ๐ต <Q ๐‘ข}โŸฉ)))
2019adantr 276 . . . 4 (((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q) โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (1st โ€˜โŸจ{๐‘™ โˆฃ ๐‘™ <Q (๐ด ยทQ ๐ต)}, {๐‘ข โˆฃ (๐ด ยทQ ๐ต) <Q ๐‘ข}โŸฉ)) โ†’ ยฌ (๐ด ยทQ ๐ต) โˆˆ (2nd โ€˜(โŸจ{๐‘™ โˆฃ ๐‘™ <Q ๐ด}, {๐‘ข โˆฃ ๐ด <Q ๐‘ข}โŸฉ ยทP โŸจ{๐‘™ โˆฃ ๐‘™ <Q ๐ต}, {๐‘ข โˆฃ ๐ต <Q ๐‘ข}โŸฉ)))
21 nqprlu 7545 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ Q โ†’ โŸจ{๐‘™ โˆฃ ๐‘™ <Q ๐ด}, {๐‘ข โˆฃ ๐ด <Q ๐‘ข}โŸฉ โˆˆ P)
22 nqprlu 7545 . . . . . . 7 (๐ต โˆˆ Q โ†’ โŸจ{๐‘™ โˆฃ ๐‘™ <Q ๐ต}, {๐‘ข โˆฃ ๐ต <Q ๐‘ข}โŸฉ โˆˆ P)
23 mulclpr 7570 . . . . . . 7 ((โŸจ{๐‘™ โˆฃ ๐‘™ <Q ๐ด}, {๐‘ข โˆฃ ๐ด <Q ๐‘ข}โŸฉ โˆˆ P โˆง โŸจ{๐‘™ โˆฃ ๐‘™ <Q ๐ต}, {๐‘ข โˆฃ ๐ต <Q ๐‘ข}โŸฉ โˆˆ P) โ†’ (โŸจ{๐‘™ โˆฃ ๐‘™ <Q ๐ด}, {๐‘ข โˆฃ ๐ด <Q ๐‘ข}โŸฉ ยทP โŸจ{๐‘™ โˆฃ ๐‘™ <Q ๐ต}, {๐‘ข โˆฃ ๐ต <Q ๐‘ข}โŸฉ) โˆˆ P)
2421, 22, 23syl2an 289 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q) โ†’ (โŸจ{๐‘™ โˆฃ ๐‘™ <Q ๐ด}, {๐‘ข โˆฃ ๐ด <Q ๐‘ข}โŸฉ ยทP โŸจ{๐‘™ โˆฃ ๐‘™ <Q ๐ต}, {๐‘ข โˆฃ ๐ต <Q ๐‘ข}โŸฉ) โˆˆ P)
25 prop 7473 . . . . . 6 ((โŸจ{๐‘™ โˆฃ ๐‘™ <Q ๐ด}, {๐‘ข โˆฃ ๐ด <Q ๐‘ข}โŸฉ ยทP โŸจ{๐‘™ โˆฃ ๐‘™ <Q ๐ต}, {๐‘ข โˆฃ ๐ต <Q ๐‘ข}โŸฉ) โˆˆ P โ†’ โŸจ(1st โ€˜(โŸจ{๐‘™ โˆฃ ๐‘™ <Q ๐ด}, {๐‘ข โˆฃ ๐ด <Q ๐‘ข}โŸฉ ยทP โŸจ{๐‘™ โˆฃ ๐‘™ <Q ๐ต}, {๐‘ข โˆฃ ๐ต <Q ๐‘ข}โŸฉ)), (2nd โ€˜(โŸจ{๐‘™ โˆฃ ๐‘™ <Q ๐ด}, {๐‘ข โˆฃ ๐ด <Q ๐‘ข}โŸฉ ยทP โŸจ{๐‘™ โˆฃ ๐‘™ <Q ๐ต}, {๐‘ข โˆฃ ๐ต <Q ๐‘ข}โŸฉ))โŸฉ โˆˆ P)
2624, 25syl 14 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q) โ†’ โŸจ(1st โ€˜(โŸจ{๐‘™ โˆฃ ๐‘™ <Q ๐ด}, {๐‘ข โˆฃ ๐ด <Q ๐‘ข}โŸฉ ยทP โŸจ{๐‘™ โˆฃ ๐‘™ <Q ๐ต}, {๐‘ข โˆฃ ๐ต <Q ๐‘ข}โŸฉ)), (2nd โ€˜(โŸจ{๐‘™ โˆฃ ๐‘™ <Q ๐ด}, {๐‘ข โˆฃ ๐ด <Q ๐‘ข}โŸฉ ยทP โŸจ{๐‘™ โˆฃ ๐‘™ <Q ๐ต}, {๐‘ข โˆฃ ๐ต <Q ๐‘ข}โŸฉ))โŸฉ โˆˆ P)
27 vex 2740 . . . . . . 7 ๐‘Ÿ โˆˆ V
28 breq1 4006 . . . . . . 7 (๐‘™ = ๐‘Ÿ โ†’ (๐‘™ <Q (๐ด ยทQ ๐ต) โ†” ๐‘Ÿ <Q (๐ด ยทQ ๐ต)))
2914, 15op1st 6146 . . . . . . 7 (1st โ€˜โŸจ{๐‘™ โˆฃ ๐‘™ <Q (๐ด ยทQ ๐ต)}, {๐‘ข โˆฃ (๐ด ยทQ ๐ต) <Q ๐‘ข}โŸฉ) = {๐‘™ โˆฃ ๐‘™ <Q (๐ด ยทQ ๐ต)}
3027, 28, 29elab2 2885 . . . . . 6 (๐‘Ÿ โˆˆ (1st โ€˜โŸจ{๐‘™ โˆฃ ๐‘™ <Q (๐ด ยทQ ๐ต)}, {๐‘ข โˆฃ (๐ด ยทQ ๐ต) <Q ๐‘ข}โŸฉ) โ†” ๐‘Ÿ <Q (๐ด ยทQ ๐ต))
3130biimpi 120 . . . . 5 (๐‘Ÿ โˆˆ (1st โ€˜โŸจ{๐‘™ โˆฃ ๐‘™ <Q (๐ด ยทQ ๐ต)}, {๐‘ข โˆฃ (๐ด ยทQ ๐ต) <Q ๐‘ข}โŸฉ) โ†’ ๐‘Ÿ <Q (๐ด ยทQ ๐ต))
32 prloc 7489 . . . . 5 ((โŸจ(1st โ€˜(โŸจ{๐‘™ โˆฃ ๐‘™ <Q ๐ด}, {๐‘ข โˆฃ ๐ด <Q ๐‘ข}โŸฉ ยทP โŸจ{๐‘™ โˆฃ ๐‘™ <Q ๐ต}, {๐‘ข โˆฃ ๐ต <Q ๐‘ข}โŸฉ)), (2nd โ€˜(โŸจ{๐‘™ โˆฃ ๐‘™ <Q ๐ด}, {๐‘ข โˆฃ ๐ด <Q ๐‘ข}โŸฉ ยทP โŸจ{๐‘™ โˆฃ ๐‘™ <Q ๐ต}, {๐‘ข โˆฃ ๐ต <Q ๐‘ข}โŸฉ))โŸฉ โˆˆ P โˆง ๐‘Ÿ <Q (๐ด ยทQ ๐ต)) โ†’ (๐‘Ÿ โˆˆ (1st โ€˜(โŸจ{๐‘™ โˆฃ ๐‘™ <Q ๐ด}, {๐‘ข โˆฃ ๐ด <Q ๐‘ข}โŸฉ ยทP โŸจ{๐‘™ โˆฃ ๐‘™ <Q ๐ต}, {๐‘ข โˆฃ ๐ต <Q ๐‘ข}โŸฉ)) โˆจ (๐ด ยทQ ๐ต) โˆˆ (2nd โ€˜(โŸจ{๐‘™ โˆฃ ๐‘™ <Q ๐ด}, {๐‘ข โˆฃ ๐ด <Q ๐‘ข}โŸฉ ยทP โŸจ{๐‘™ โˆฃ ๐‘™ <Q ๐ต}, {๐‘ข โˆฃ ๐ต <Q ๐‘ข}โŸฉ))))
3326, 31, 32syl2an 289 . . . 4 (((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q) โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (1st โ€˜โŸจ{๐‘™ โˆฃ ๐‘™ <Q (๐ด ยทQ ๐ต)}, {๐‘ข โˆฃ (๐ด ยทQ ๐ต) <Q ๐‘ข}โŸฉ)) โ†’ (๐‘Ÿ โˆˆ (1st โ€˜(โŸจ{๐‘™ โˆฃ ๐‘™ <Q ๐ด}, {๐‘ข โˆฃ ๐ด <Q ๐‘ข}โŸฉ ยทP โŸจ{๐‘™ โˆฃ ๐‘™ <Q ๐ต}, {๐‘ข โˆฃ ๐ต <Q ๐‘ข}โŸฉ)) โˆจ (๐ด ยทQ ๐ต) โˆˆ (2nd โ€˜(โŸจ{๐‘™ โˆฃ ๐‘™ <Q ๐ด}, {๐‘ข โˆฃ ๐ด <Q ๐‘ข}โŸฉ ยทP โŸจ{๐‘™ โˆฃ ๐‘™ <Q ๐ต}, {๐‘ข โˆฃ ๐ต <Q ๐‘ข}โŸฉ))))
3420, 33ecased 1349 . . 3 (((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q) โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (1st โ€˜โŸจ{๐‘™ โˆฃ ๐‘™ <Q (๐ด ยทQ ๐ต)}, {๐‘ข โˆฃ (๐ด ยทQ ๐ต) <Q ๐‘ข}โŸฉ)) โ†’ ๐‘Ÿ โˆˆ (1st โ€˜(โŸจ{๐‘™ โˆฃ ๐‘™ <Q ๐ด}, {๐‘ข โˆฃ ๐ด <Q ๐‘ข}โŸฉ ยทP โŸจ{๐‘™ โˆฃ ๐‘™ <Q ๐ต}, {๐‘ข โˆฃ ๐ต <Q ๐‘ข}โŸฉ)))
3534ex 115 . 2 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q) โ†’ (๐‘Ÿ โˆˆ (1st โ€˜โŸจ{๐‘™ โˆฃ ๐‘™ <Q (๐ด ยทQ ๐ต)}, {๐‘ข โˆฃ (๐ด ยทQ ๐ต) <Q ๐‘ข}โŸฉ) โ†’ ๐‘Ÿ โˆˆ (1st โ€˜(โŸจ{๐‘™ โˆฃ ๐‘™ <Q ๐ด}, {๐‘ข โˆฃ ๐ด <Q ๐‘ข}โŸฉ ยทP โŸจ{๐‘™ โˆฃ ๐‘™ <Q ๐ต}, {๐‘ข โˆฃ ๐ต <Q ๐‘ข}โŸฉ))))
3635ssrdv 3161 1 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q) โ†’ (1st โ€˜โŸจ{๐‘™ โˆฃ ๐‘™ <Q (๐ด ยทQ ๐ต)}, {๐‘ข โˆฃ (๐ด ยทQ ๐ต) <Q ๐‘ข}โŸฉ) โŠ† (1st โ€˜(โŸจ{๐‘™ โˆฃ ๐‘™ <Q ๐ด}, {๐‘ข โˆฃ ๐ด <Q ๐‘ข}โŸฉ ยทP โŸจ{๐‘™ โˆฃ ๐‘™ <Q ๐ต}, {๐‘ข โˆฃ ๐ต <Q ๐‘ข}โŸฉ)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   โˆจ wo 708   โˆˆ wcel 2148  {cab 2163  Vcvv 2737   โŠ† wss 3129  โŸจcop 3595   class class class wbr 4003   Or wor 4295  โ€˜cfv 5216  (class class class)co 5874  1st c1st 6138  2nd c2nd 6139  Qcnq 7278   ยทQ cmq 7281   <Q cltq 7283  Pcnp 7289   ยทP cmp 7292
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-iinf 4587
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-tr 4102  df-eprel 4289  df-id 4293  df-po 4296  df-iso 4297  df-iord 4366  df-on 4368  df-suc 4371  df-iom 4590  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-recs 6305  df-irdg 6370  df-1o 6416  df-2o 6417  df-oadd 6420  df-omul 6421  df-er 6534  df-ec 6536  df-qs 6540  df-ni 7302  df-pli 7303  df-mi 7304  df-lti 7305  df-plpq 7342  df-mpq 7343  df-enq 7345  df-nqqs 7346  df-plqqs 7347  df-mqqs 7348  df-1nqqs 7349  df-rq 7350  df-ltnqqs 7351  df-enq0 7422  df-nq0 7423  df-0nq0 7424  df-plq0 7425  df-mq0 7426  df-inp 7464  df-imp 7467
This theorem is referenced by:  mulnqpr  7575
  Copyright terms: Public domain W3C validator