Theorem pfxsuffeqwrdeq 11189

Description: Two words are equal if and only if they have the same prefix and the same suffix. (Contributed by Alexander van der Vekens, 23-Sep-2018.) (Revised by AV, 5-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
pfxsuffeqwrdeq	⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊 = 𝑆 ↔ ((♯‘𝑊) = (♯‘𝑆) ∧ ((𝑊 prefix 𝐼) = (𝑆 prefix 𝐼) ∧ (𝑊 substr ⟨𝐼, (♯‘𝑊)⟩) = (𝑆 substr ⟨𝐼, (♯‘𝑊)⟩)))))

Proof of Theorem pfxsuffeqwrdeq

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqwrd 11071	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ Word 𝑉) → (𝑊 = 𝑆 ↔ ((♯‘𝑊) = (♯‘𝑆) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) = (𝑆‘𝑖))))
2	1	3adant3 1020	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊 = 𝑆 ↔ ((♯‘𝑊) = (♯‘𝑆) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) = (𝑆‘𝑖))))
3		elfzofz 10320	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → 𝐼 ∈ (0...(♯‘𝑊)))
4		fzosplit 10336	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → (0..^(♯‘𝑊)) = ((0..^𝐼) ∪ (𝐼..^(♯‘𝑊))))
5	3, 4	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → (0..^(♯‘𝑊)) = ((0..^𝐼) ∪ (𝐼..^(♯‘𝑊))))
6	5	3ad2ant3 1023	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (0..^(♯‘𝑊)) = ((0..^𝐼) ∪ (𝐼..^(♯‘𝑊))))
7	6	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑆)) → (0..^(♯‘𝑊)) = ((0..^𝐼) ∪ (𝐼..^(♯‘𝑊))))
8	7	raleqdv 2711	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑆)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) = (𝑆‘𝑖) ↔ ∀𝑖 ∈ ((0..^𝐼) ∪ (𝐼..^(♯‘𝑊)))(𝑊‘𝑖) = (𝑆‘𝑖)))
9		ralunb 3362	. . . . 5 ⊢ (∀𝑖 ∈ ((0..^𝐼) ∪ (𝐼..^(♯‘𝑊)))(𝑊‘𝑖) = (𝑆‘𝑖) ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^𝐼)(𝑊‘𝑖) = (𝑆‘𝑖) ∧ ∀𝑖 ∈ (𝐼..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) = (𝑆‘𝑖)))
10	8, 9	bitrdi 196	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑆)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) = (𝑆‘𝑖) ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^𝐼)(𝑊‘𝑖) = (𝑆‘𝑖) ∧ ∀𝑖 ∈ (𝐼..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) = (𝑆‘𝑖))))
11		eqidd 2208	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑆)) → 𝐼 = 𝐼)
12		3simpa 997	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ Word 𝑉))
13	12	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑆)) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ Word 𝑉))
14		elfzonn0 10347	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → 𝐼 ∈ ℕ0)
15	14, 14	jca 306	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0))
16	15	3ad2ant3 1023	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0))
17	16	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑆)) → (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0))
18		elfzo0le 10346	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → 𝐼 ≤ (♯‘𝑊))
19	18	3ad2ant3 1023	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → 𝐼 ≤ (♯‘𝑊))
20	19	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑆)) → 𝐼 ≤ (♯‘𝑊))
21		breq2 4063	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝑊) = (♯‘𝑆) → (𝐼 ≤ (♯‘𝑊) ↔ 𝐼 ≤ (♯‘𝑆)))
22	21	adantl 277	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑆)) → (𝐼 ≤ (♯‘𝑊) ↔ 𝐼 ≤ (♯‘𝑆)))
23	20, 22	mpbid 147	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑆)) → 𝐼 ≤ (♯‘𝑆))
24		pfxeq 11187	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) ∧ (𝐼 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝐼 ≤ (♯‘𝑆))) → ((𝑊 prefix 𝐼) = (𝑆 prefix 𝐼) ↔ (𝐼 = 𝐼 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝐼)(𝑊‘𝑖) = (𝑆‘𝑖))))
25	13, 17, 20, 23, 24	syl112anc 1254	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑆)) → ((𝑊 prefix 𝐼) = (𝑆 prefix 𝐼) ↔ (𝐼 = 𝐼 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝐼)(𝑊‘𝑖) = (𝑆‘𝑖))))
26	11, 25	mpbirand 441	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑆)) → ((𝑊 prefix 𝐼) = (𝑆 prefix 𝐼) ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^𝐼)(𝑊‘𝑖) = (𝑆‘𝑖)))
27		lencl 11035	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
28	27, 14	anim12ci 339	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0))
29	28	3adant2 1019	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0))
30	29	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑆)) → (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0))
31	27	nn0red 9384	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℝ)
32	31	leidd 8622	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ≤ (♯‘𝑊))
33	32	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑆)) → (♯‘𝑊) ≤ (♯‘𝑊))
34		eqle 8199	. . . . . . . . 9 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℝ ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑆)) → (♯‘𝑊) ≤ (♯‘𝑆))
35	31, 34	sylan 283	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑆)) → (♯‘𝑊) ≤ (♯‘𝑆))
36	33, 35	jca 306	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑆)) → ((♯‘𝑊) ≤ (♯‘𝑊) ∧ (♯‘𝑊) ≤ (♯‘𝑆)))
37	36	3ad2antl1 1162	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑆)) → ((♯‘𝑊) ≤ (♯‘𝑊) ∧ (♯‘𝑊) ≤ (♯‘𝑆)))
38		swrdspsleq 11158	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0) ∧ ((♯‘𝑊) ≤ (♯‘𝑊) ∧ (♯‘𝑊) ≤ (♯‘𝑆))) → ((𝑊 substr ⟨𝐼, (♯‘𝑊)⟩) = (𝑆 substr ⟨𝐼, (♯‘𝑊)⟩) ↔ ∀𝑖 ∈ (𝐼..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) = (𝑆‘𝑖)))
39	13, 30, 37, 38	syl3anc 1250	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑆)) → ((𝑊 substr ⟨𝐼, (♯‘𝑊)⟩) = (𝑆 substr ⟨𝐼, (♯‘𝑊)⟩) ↔ ∀𝑖 ∈ (𝐼..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) = (𝑆‘𝑖)))
40	26, 39	anbi12d 473	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑆)) → (((𝑊 prefix 𝐼) = (𝑆 prefix 𝐼) ∧ (𝑊 substr ⟨𝐼, (♯‘𝑊)⟩) = (𝑆 substr ⟨𝐼, (♯‘𝑊)⟩)) ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^𝐼)(𝑊‘𝑖) = (𝑆‘𝑖) ∧ ∀𝑖 ∈ (𝐼..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) = (𝑆‘𝑖))))
41	10, 40	bitr4d 191	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑆)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) = (𝑆‘𝑖) ↔ ((𝑊 prefix 𝐼) = (𝑆 prefix 𝐼) ∧ (𝑊 substr ⟨𝐼, (♯‘𝑊)⟩) = (𝑆 substr ⟨𝐼, (♯‘𝑊)⟩))))
42	41	pm5.32da 452	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (((♯‘𝑊) = (♯‘𝑆) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) = (𝑆‘𝑖)) ↔ ((♯‘𝑊) = (♯‘𝑆) ∧ ((𝑊 prefix 𝐼) = (𝑆 prefix 𝐼) ∧ (𝑊 substr ⟨𝐼, (♯‘𝑊)⟩) = (𝑆 substr ⟨𝐼, (♯‘𝑊)⟩)))))
43	2, 42	bitrd 188	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊 = 𝑆 ↔ ((♯‘𝑊) = (♯‘𝑆) ∧ ((𝑊 prefix 𝐼) = (𝑆 prefix 𝐼) ∧ (𝑊 substr ⟨𝐼, (♯‘𝑊)⟩) = (𝑆 substr ⟨𝐼, (♯‘𝑊)⟩)))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 981   = wceq 1373   ∈ wcel 2178  ∀wral 2486   ∪ cun 3172  ⟨cop 3646   class class class wbr 4059  ‘cfv 5290  (class class class)co 5967  ℝcr 7959  0cc0 7960   ≤ cle 8143  ℕ₀cn0 9330  ...cfz 10165  ..^cfzo 10299  ♯chash 10957  Word cword 11031   substr csubstr 11136   prefix cpfx 11163

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-coll 4175  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-iinf 4654  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1cn 8053  ax-1re 8054  ax-icn 8055  ax-addcl 8056  ax-addrcl 8057  ax-mulcl 8058  ax-addcom 8060  ax-addass 8062  ax-distr 8064  ax-i2m1 8065  ax-0lt1 8066  ax-0id 8068  ax-rnegex 8069  ax-cnre 8071  ax-pre-ltirr 8072  ax-pre-ltwlin 8073  ax-pre-lttrn 8074  ax-pre-apti 8075  ax-pre-ltadd 8076

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-csb 3102  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-nul 3469  df-if 3580  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3943  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-tr 4159  df-id 4358  df-iord 4431  df-on 4433  df-ilim 4434  df-suc 4436  df-iom 4657  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-f1 5295  df-fo 5296  df-f1o 5297  df-fv 5298  df-riota 5922  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-recs 6414  df-frec 6500  df-1o 6525  df-er 6643  df-en 6851  df-dom 6852  df-fin 6853  df-pnf 8144  df-mnf 8145  df-xr 8146  df-ltxr 8147  df-le 8148  df-sub 8280  df-neg 8281  df-inn 9072  df-n0 9331  df-z 9408  df-uz 9684  df-fz 10166  df-fzo 10300  df-ihash 10958  df-word 11032  df-substr 11137  df-pfx 11164

This theorem is referenced by:  pfxsuff1eqwrdeq  11190