ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  qtri3or GIF version

Theorem qtri3or 10257
Description: Rational trichotomy. (Contributed by Jim Kingdon, 6-Oct-2021.)
Assertion
Ref Expression
qtri3or ((๐‘€ โˆˆ โ„š โˆง ๐‘ โˆˆ โ„š) โ†’ (๐‘€ < ๐‘ โˆจ ๐‘€ = ๐‘ โˆจ ๐‘ < ๐‘€))

Proof of Theorem qtri3or
Dummy variables ๐‘ค ๐‘ฅ ๐‘ฆ ๐‘ง are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elq 9636 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„š โ†” โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ค โˆˆ โ„• ๐‘ = (๐‘ง / ๐‘ค))
21biimpi 120 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„š โ†’ โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ค โˆˆ โ„• ๐‘ = (๐‘ง / ๐‘ค))
32adantl 277 . 2 ((๐‘€ โˆˆ โ„š โˆง ๐‘ โˆˆ โ„š) โ†’ โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ค โˆˆ โ„• ๐‘ = (๐‘ง / ๐‘ค))
4 elq 9636 . . . . . . 7 (๐‘€ โˆˆ โ„š โ†” โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„• ๐‘€ = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ))
54biimpi 120 . . . . . 6 (๐‘€ โˆˆ โ„š โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„• ๐‘€ = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ))
65ad3antrrr 492 . . . . 5 ((((๐‘€ โˆˆ โ„š โˆง ๐‘ โˆˆ โ„š) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•)) โˆง ๐‘ = (๐‘ง / ๐‘ค)) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„• ๐‘€ = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ))
7 simplrl 535 . . . . . . . . . 10 ((((((๐‘€ โˆˆ โ„š โˆง ๐‘ โˆˆ โ„š) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•)) โˆง ๐‘ = (๐‘ง / ๐‘ค)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•)) โˆง ๐‘€ = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค)
8 simplrr 536 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐‘€ โˆˆ โ„š โˆง ๐‘ โˆˆ โ„š) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•)) โˆง ๐‘ = (๐‘ง / ๐‘ค)) โ†’ ๐‘ค โˆˆ โ„•)
98ad2antrr 488 . . . . . . . . . . 11 ((((((๐‘€ โˆˆ โ„š โˆง ๐‘ โˆˆ โ„š) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•)) โˆง ๐‘ = (๐‘ง / ๐‘ค)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•)) โˆง ๐‘€ = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ)) โ†’ ๐‘ค โˆˆ โ„•)
109nnzd 9388 . . . . . . . . . 10 ((((((๐‘€ โˆˆ โ„š โˆง ๐‘ โˆˆ โ„š) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•)) โˆง ๐‘ = (๐‘ง / ๐‘ค)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•)) โˆง ๐‘€ = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ)) โ†’ ๐‘ค โˆˆ โ„ค)
117, 10zmulcld 9395 . . . . . . . . 9 ((((((๐‘€ โˆˆ โ„š โˆง ๐‘ โˆˆ โ„š) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•)) โˆง ๐‘ = (๐‘ง / ๐‘ค)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•)) โˆง ๐‘€ = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ)) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ค) โˆˆ โ„ค)
12 simplrl 535 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘€ โˆˆ โ„š โˆง ๐‘ โˆˆ โ„š) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•)) โˆง ๐‘ = (๐‘ง / ๐‘ค)) โ†’ ๐‘ง โˆˆ โ„ค)
1312ad2antrr 488 . . . . . . . . . 10 ((((((๐‘€ โˆˆ โ„š โˆง ๐‘ โˆˆ โ„š) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•)) โˆง ๐‘ = (๐‘ง / ๐‘ค)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•)) โˆง ๐‘€ = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ)) โ†’ ๐‘ง โˆˆ โ„ค)
14 simplrr 536 . . . . . . . . . . 11 ((((((๐‘€ โˆˆ โ„š โˆง ๐‘ โˆˆ โ„š) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•)) โˆง ๐‘ = (๐‘ง / ๐‘ค)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•)) โˆง ๐‘€ = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ)) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„•)
1514nnzd 9388 . . . . . . . . . 10 ((((((๐‘€ โˆˆ โ„š โˆง ๐‘ โˆˆ โ„š) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•)) โˆง ๐‘ = (๐‘ง / ๐‘ค)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•)) โˆง ๐‘€ = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ)) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)
1613, 15zmulcld 9395 . . . . . . . . 9 ((((((๐‘€ โˆˆ โ„š โˆง ๐‘ โˆˆ โ„š) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•)) โˆง ๐‘ = (๐‘ง / ๐‘ค)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•)) โˆง ๐‘€ = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ)) โ†’ (๐‘ง ยท ๐‘ฆ) โˆˆ โ„ค)
17 ztri3or 9310 . . . . . . . . 9 (((๐‘ฅ ยท ๐‘ค) โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ง ยท ๐‘ฆ) โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐‘ค) < (๐‘ง ยท ๐‘ฆ) โˆจ (๐‘ฅ ยท ๐‘ค) = (๐‘ง ยท ๐‘ฆ) โˆจ (๐‘ง ยท ๐‘ฆ) < (๐‘ฅ ยท ๐‘ค)))
1811, 16, 17syl2anc 411 . . . . . . . 8 ((((((๐‘€ โˆˆ โ„š โˆง ๐‘ โˆˆ โ„š) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•)) โˆง ๐‘ = (๐‘ง / ๐‘ค)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•)) โˆง ๐‘€ = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ)) โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐‘ค) < (๐‘ง ยท ๐‘ฆ) โˆจ (๐‘ฅ ยท ๐‘ค) = (๐‘ง ยท ๐‘ฆ) โˆจ (๐‘ง ยท ๐‘ฆ) < (๐‘ฅ ยท ๐‘ค)))
19 simpllr 534 . . . . . . . . . . 11 ((((((๐‘€ โˆˆ โ„š โˆง ๐‘ โˆˆ โ„š) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•)) โˆง ๐‘ = (๐‘ง / ๐‘ค)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•)) โˆง ๐‘€ = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ)) โ†’ ๐‘ = (๐‘ง / ๐‘ค))
2019breq2d 4027 . . . . . . . . . 10 ((((((๐‘€ โˆˆ โ„š โˆง ๐‘ โˆˆ โ„š) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•)) โˆง ๐‘ = (๐‘ง / ๐‘ค)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•)) โˆง ๐‘€ = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ)) โ†’ ((๐‘ฅ / ๐‘ฆ) < ๐‘ โ†” (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) < (๐‘ง / ๐‘ค)))
21 breq1 4018 . . . . . . . . . . 11 (๐‘€ = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โ†’ (๐‘€ < ๐‘ โ†” (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) < ๐‘))
2221adantl 277 . . . . . . . . . 10 ((((((๐‘€ โˆˆ โ„š โˆง ๐‘ โˆˆ โ„š) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•)) โˆง ๐‘ = (๐‘ง / ๐‘ค)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•)) โˆง ๐‘€ = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ)) โ†’ (๐‘€ < ๐‘ โ†” (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) < ๐‘))
237zred 9389 . . . . . . . . . . 11 ((((((๐‘€ โˆˆ โ„š โˆง ๐‘ โˆˆ โ„š) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•)) โˆง ๐‘ = (๐‘ง / ๐‘ค)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•)) โˆง ๐‘€ = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„)
249nnrpd 9708 . . . . . . . . . . 11 ((((((๐‘€ โˆˆ โ„š โˆง ๐‘ โˆˆ โ„š) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•)) โˆง ๐‘ = (๐‘ง / ๐‘ค)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•)) โˆง ๐‘€ = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ)) โ†’ ๐‘ค โˆˆ โ„+)
2513zred 9389 . . . . . . . . . . 11 ((((((๐‘€ โˆˆ โ„š โˆง ๐‘ โˆˆ โ„š) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•)) โˆง ๐‘ = (๐‘ง / ๐‘ค)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•)) โˆง ๐‘€ = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ)) โ†’ ๐‘ง โˆˆ โ„)
2614nnrpd 9708 . . . . . . . . . . 11 ((((((๐‘€ โˆˆ โ„š โˆง ๐‘ โˆˆ โ„š) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•)) โˆง ๐‘ = (๐‘ง / ๐‘ค)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•)) โˆง ๐‘€ = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ)) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„+)
2723, 24, 25, 26lt2mul2divd 9779 . . . . . . . . . 10 ((((((๐‘€ โˆˆ โ„š โˆง ๐‘ โˆˆ โ„š) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•)) โˆง ๐‘ = (๐‘ง / ๐‘ค)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•)) โˆง ๐‘€ = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ)) โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐‘ค) < (๐‘ง ยท ๐‘ฆ) โ†” (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) < (๐‘ง / ๐‘ค)))
2820, 22, 273bitr4rd 221 . . . . . . . . 9 ((((((๐‘€ โˆˆ โ„š โˆง ๐‘ โˆˆ โ„š) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•)) โˆง ๐‘ = (๐‘ง / ๐‘ค)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•)) โˆง ๐‘€ = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ)) โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐‘ค) < (๐‘ง ยท ๐‘ฆ) โ†” ๐‘€ < ๐‘))
29 simpr 110 . . . . . . . . . . 11 ((((((๐‘€ โˆˆ โ„š โˆง ๐‘ โˆˆ โ„š) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•)) โˆง ๐‘ = (๐‘ง / ๐‘ค)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•)) โˆง ๐‘€ = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ)) โ†’ ๐‘€ = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ))
3029, 19eqeq12d 2202 . . . . . . . . . 10 ((((((๐‘€ โˆˆ โ„š โˆง ๐‘ โˆˆ โ„š) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•)) โˆง ๐‘ = (๐‘ง / ๐‘ค)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•)) โˆง ๐‘€ = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ)) โ†’ (๐‘€ = ๐‘ โ†” (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) = (๐‘ง / ๐‘ค)))
317zcnd 9390 . . . . . . . . . . 11 ((((((๐‘€ โˆˆ โ„š โˆง ๐‘ โˆˆ โ„š) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•)) โˆง ๐‘ = (๐‘ง / ๐‘ค)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•)) โˆง ๐‘€ = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
3213zcnd 9390 . . . . . . . . . . 11 ((((((๐‘€ โˆˆ โ„š โˆง ๐‘ โˆˆ โ„š) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•)) โˆง ๐‘ = (๐‘ง / ๐‘ค)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•)) โˆง ๐‘€ = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ)) โ†’ ๐‘ง โˆˆ โ„‚)
3314nncnd 8947 . . . . . . . . . . . 12 ((((((๐‘€ โˆˆ โ„š โˆง ๐‘ โˆˆ โ„š) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•)) โˆง ๐‘ = (๐‘ง / ๐‘ค)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•)) โˆง ๐‘€ = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ)) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚)
3414nnap0d 8979 . . . . . . . . . . . 12 ((((((๐‘€ โˆˆ โ„š โˆง ๐‘ โˆˆ โ„š) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•)) โˆง ๐‘ = (๐‘ง / ๐‘ค)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•)) โˆง ๐‘€ = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ)) โ†’ ๐‘ฆ # 0)
3533, 34jca 306 . . . . . . . . . . 11 ((((((๐‘€ โˆˆ โ„š โˆง ๐‘ โˆˆ โ„š) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•)) โˆง ๐‘ = (๐‘ง / ๐‘ค)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•)) โˆง ๐‘€ = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ)) โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ # 0))
369nncnd 8947 . . . . . . . . . . . 12 ((((((๐‘€ โˆˆ โ„š โˆง ๐‘ โˆˆ โ„š) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•)) โˆง ๐‘ = (๐‘ง / ๐‘ค)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•)) โˆง ๐‘€ = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ)) โ†’ ๐‘ค โˆˆ โ„‚)
379nnap0d 8979 . . . . . . . . . . . 12 ((((((๐‘€ โˆˆ โ„š โˆง ๐‘ โˆˆ โ„š) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•)) โˆง ๐‘ = (๐‘ง / ๐‘ค)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•)) โˆง ๐‘€ = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ)) โ†’ ๐‘ค # 0)
3836, 37jca 306 . . . . . . . . . . 11 ((((((๐‘€ โˆˆ โ„š โˆง ๐‘ โˆˆ โ„š) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•)) โˆง ๐‘ = (๐‘ง / ๐‘ค)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•)) โˆง ๐‘€ = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ)) โ†’ (๐‘ค โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ค # 0))
39 divmuleqap 8688 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‚) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ # 0) โˆง (๐‘ค โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ค # 0))) โ†’ ((๐‘ฅ / ๐‘ฆ) = (๐‘ง / ๐‘ค) โ†” (๐‘ฅ ยท ๐‘ค) = (๐‘ง ยท ๐‘ฆ)))
4031, 32, 35, 38, 39syl22anc 1249 . . . . . . . . . 10 ((((((๐‘€ โˆˆ โ„š โˆง ๐‘ โˆˆ โ„š) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•)) โˆง ๐‘ = (๐‘ง / ๐‘ค)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•)) โˆง ๐‘€ = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ)) โ†’ ((๐‘ฅ / ๐‘ฆ) = (๐‘ง / ๐‘ค) โ†” (๐‘ฅ ยท ๐‘ค) = (๐‘ง ยท ๐‘ฆ)))
4130, 40bitr2d 189 . . . . . . . . 9 ((((((๐‘€ โˆˆ โ„š โˆง ๐‘ โˆˆ โ„š) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•)) โˆง ๐‘ = (๐‘ง / ๐‘ค)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•)) โˆง ๐‘€ = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ)) โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐‘ค) = (๐‘ง ยท ๐‘ฆ) โ†” ๐‘€ = ๐‘))
4225, 26, 23, 24lt2mul2divd 9779 . . . . . . . . . 10 ((((((๐‘€ โˆˆ โ„š โˆง ๐‘ โˆˆ โ„š) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•)) โˆง ๐‘ = (๐‘ง / ๐‘ค)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•)) โˆง ๐‘€ = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ)) โ†’ ((๐‘ง ยท ๐‘ฆ) < (๐‘ฅ ยท ๐‘ค) โ†” (๐‘ง / ๐‘ค) < (๐‘ฅ / ๐‘ฆ)))
4319, 29breq12d 4028 . . . . . . . . . 10 ((((((๐‘€ โˆˆ โ„š โˆง ๐‘ โˆˆ โ„š) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•)) โˆง ๐‘ = (๐‘ง / ๐‘ค)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•)) โˆง ๐‘€ = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ)) โ†’ (๐‘ < ๐‘€ โ†” (๐‘ง / ๐‘ค) < (๐‘ฅ / ๐‘ฆ)))
4442, 43bitr4d 191 . . . . . . . . 9 ((((((๐‘€ โˆˆ โ„š โˆง ๐‘ โˆˆ โ„š) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•)) โˆง ๐‘ = (๐‘ง / ๐‘ค)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•)) โˆง ๐‘€ = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ)) โ†’ ((๐‘ง ยท ๐‘ฆ) < (๐‘ฅ ยท ๐‘ค) โ†” ๐‘ < ๐‘€))
4528, 41, 443orbi123d 1321 . . . . . . . 8 ((((((๐‘€ โˆˆ โ„š โˆง ๐‘ โˆˆ โ„š) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•)) โˆง ๐‘ = (๐‘ง / ๐‘ค)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•)) โˆง ๐‘€ = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ)) โ†’ (((๐‘ฅ ยท ๐‘ค) < (๐‘ง ยท ๐‘ฆ) โˆจ (๐‘ฅ ยท ๐‘ค) = (๐‘ง ยท ๐‘ฆ) โˆจ (๐‘ง ยท ๐‘ฆ) < (๐‘ฅ ยท ๐‘ค)) โ†” (๐‘€ < ๐‘ โˆจ ๐‘€ = ๐‘ โˆจ ๐‘ < ๐‘€)))
4618, 45mpbid 147 . . . . . . 7 ((((((๐‘€ โˆˆ โ„š โˆง ๐‘ โˆˆ โ„š) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•)) โˆง ๐‘ = (๐‘ง / ๐‘ค)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•)) โˆง ๐‘€ = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ)) โ†’ (๐‘€ < ๐‘ โˆจ ๐‘€ = ๐‘ โˆจ ๐‘ < ๐‘€))
4746ex 115 . . . . . 6 (((((๐‘€ โˆˆ โ„š โˆง ๐‘ โˆˆ โ„š) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•)) โˆง ๐‘ = (๐‘ง / ๐‘ค)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•)) โ†’ (๐‘€ = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โ†’ (๐‘€ < ๐‘ โˆจ ๐‘€ = ๐‘ โˆจ ๐‘ < ๐‘€)))
4847rexlimdvva 2612 . . . . 5 ((((๐‘€ โˆˆ โ„š โˆง ๐‘ โˆˆ โ„š) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•)) โˆง ๐‘ = (๐‘ง / ๐‘ค)) โ†’ (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„• ๐‘€ = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โ†’ (๐‘€ < ๐‘ โˆจ ๐‘€ = ๐‘ โˆจ ๐‘ < ๐‘€)))
496, 48mpd 13 . . . 4 ((((๐‘€ โˆˆ โ„š โˆง ๐‘ โˆˆ โ„š) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•)) โˆง ๐‘ = (๐‘ง / ๐‘ค)) โ†’ (๐‘€ < ๐‘ โˆจ ๐‘€ = ๐‘ โˆจ ๐‘ < ๐‘€))
5049ex 115 . . 3 (((๐‘€ โˆˆ โ„š โˆง ๐‘ โˆˆ โ„š) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•)) โ†’ (๐‘ = (๐‘ง / ๐‘ค) โ†’ (๐‘€ < ๐‘ โˆจ ๐‘€ = ๐‘ โˆจ ๐‘ < ๐‘€)))
5150rexlimdvva 2612 . 2 ((๐‘€ โˆˆ โ„š โˆง ๐‘ โˆˆ โ„š) โ†’ (โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ค โˆˆ โ„• ๐‘ = (๐‘ง / ๐‘ค) โ†’ (๐‘€ < ๐‘ โˆจ ๐‘€ = ๐‘ โˆจ ๐‘ < ๐‘€)))
523, 51mpd 13 1 ((๐‘€ โˆˆ โ„š โˆง ๐‘ โˆˆ โ„š) โ†’ (๐‘€ < ๐‘ โˆจ ๐‘€ = ๐‘ โˆจ ๐‘ < ๐‘€))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   โ†” wb 105   โˆจ w3o 978   = wceq 1363   โˆˆ wcel 2158  โˆƒwrex 2466   class class class wbr 4015  (class class class)co 5888  โ„‚cc 7823  0cc0 7825   ยท cmul 7830   < clt 8006   # cap 8552   / cdiv 8643  โ„•cn 8933  โ„คcz 9267  โ„šcq 9633
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-cnex 7916  ax-resscn 7917  ax-1cn 7918  ax-1re 7919  ax-icn 7920  ax-addcl 7921  ax-addrcl 7922  ax-mulcl 7923  ax-mulrcl 7924  ax-addcom 7925  ax-mulcom 7926  ax-addass 7927  ax-mulass 7928  ax-distr 7929  ax-i2m1 7930  ax-0lt1 7931  ax-1rid 7932  ax-0id 7933  ax-rnegex 7934  ax-precex 7935  ax-cnre 7936  ax-pre-ltirr 7937  ax-pre-ltwlin 7938  ax-pre-lttrn 7939  ax-pre-apti 7940  ax-pre-ltadd 7941  ax-pre-mulgt0 7942  ax-pre-mulext 7943
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rmo 2473  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-id 4305  df-po 4308  df-iso 4309  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-fv 5236  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1st 6155  df-2nd 6156  df-pnf 8008  df-mnf 8009  df-xr 8010  df-ltxr 8011  df-le 8012  df-sub 8144  df-neg 8145  df-reap 8546  df-ap 8553  df-div 8644  df-inn 8934  df-n0 9191  df-z 9268  df-q 9634  df-rp 9668
This theorem is referenced by:  qletric  10258  qlelttric  10259  qltnle  10260  qdceq  10261  fimaxq  10821
  Copyright terms: Public domain W3C validator