Theorem qtri3or 10246

Description: Rational trichotomy. (Contributed by Jim Kingdon, 6-Oct-2021.)

Assertion

Ref	Expression
qtri3or	⊢ ((𝑀 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ) → (𝑀 < 𝑁 ∨ 𝑀 = 𝑁 ∨ 𝑁 < 𝑀))

Proof of Theorem qtri3or

Dummy variables 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elq 9625	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℚ ↔ ∃𝑧 ∈ ℤ ∃𝑤 ∈ ℕ 𝑁 = (𝑧 / 𝑤))
2	1	biimpi 120	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℚ → ∃𝑧 ∈ ℤ ∃𝑤 ∈ ℕ 𝑁 = (𝑧 / 𝑤))
3	2	adantl 277	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ) → ∃𝑧 ∈ ℤ ∃𝑤 ∈ ℕ 𝑁 = (𝑧 / 𝑤))
4		elq 9625	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℚ ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝑀 = (𝑥 / 𝑦))
5	4	biimpi 120	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℚ → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝑀 = (𝑥 / 𝑦))
6	5	ad3antrrr 492	. . . . 5 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝑁 = (𝑧 / 𝑤)) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝑀 = (𝑥 / 𝑦))
7		simplrl 535	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝑀 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝑁 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑀 = (𝑥 / 𝑦)) → 𝑥 ∈ ℤ)
8		simplrr 536	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝑁 = (𝑧 / 𝑤)) → 𝑤 ∈ ℕ)
9	8	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝑀 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝑁 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑀 = (𝑥 / 𝑦)) → 𝑤 ∈ ℕ)
10	9	nnzd 9377	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝑀 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝑁 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑀 = (𝑥 / 𝑦)) → 𝑤 ∈ ℤ)
11	7, 10	zmulcld 9384	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝑀 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝑁 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑀 = (𝑥 / 𝑦)) → (𝑥 · 𝑤) ∈ ℤ)
12		simplrl 535	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝑁 = (𝑧 / 𝑤)) → 𝑧 ∈ ℤ)
13	12	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝑀 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝑁 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑀 = (𝑥 / 𝑦)) → 𝑧 ∈ ℤ)
14		simplrr 536	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝑀 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝑁 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑀 = (𝑥 / 𝑦)) → 𝑦 ∈ ℕ)
15	14	nnzd 9377	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝑀 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝑁 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑀 = (𝑥 / 𝑦)) → 𝑦 ∈ ℤ)
16	13, 15	zmulcld 9384	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝑀 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝑁 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑀 = (𝑥 / 𝑦)) → (𝑧 · 𝑦) ∈ ℤ)
17		ztri3or 9299	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 · 𝑤) ∈ ℤ ∧ (𝑧 · 𝑦) ∈ ℤ) → ((𝑥 · 𝑤) < (𝑧 · 𝑦) ∨ (𝑥 · 𝑤) = (𝑧 · 𝑦) ∨ (𝑧 · 𝑦) < (𝑥 · 𝑤)))
18	11, 16, 17	syl2anc 411	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝑀 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝑁 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑀 = (𝑥 / 𝑦)) → ((𝑥 · 𝑤) < (𝑧 · 𝑦) ∨ (𝑥 · 𝑤) = (𝑧 · 𝑦) ∨ (𝑧 · 𝑦) < (𝑥 · 𝑤)))
19		simpllr 534	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝑀 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝑁 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑀 = (𝑥 / 𝑦)) → 𝑁 = (𝑧 / 𝑤))
20	19	breq2d 4017	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝑀 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝑁 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑀 = (𝑥 / 𝑦)) → ((𝑥 / 𝑦) < 𝑁 ↔ (𝑥 / 𝑦) < (𝑧 / 𝑤)))
21		breq1 4008	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 = (𝑥 / 𝑦) → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑥 / 𝑦) < 𝑁))
22	21	adantl 277	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝑀 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝑁 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑀 = (𝑥 / 𝑦)) → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑥 / 𝑦) < 𝑁))
23	7	zred 9378	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝑀 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝑁 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑀 = (𝑥 / 𝑦)) → 𝑥 ∈ ℝ)
24	9	nnrpd 9697	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝑀 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝑁 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑀 = (𝑥 / 𝑦)) → 𝑤 ∈ ℝ+)
25	13	zred 9378	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝑀 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝑁 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑀 = (𝑥 / 𝑦)) → 𝑧 ∈ ℝ)
26	14	nnrpd 9697	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝑀 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝑁 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑀 = (𝑥 / 𝑦)) → 𝑦 ∈ ℝ+)
27	23, 24, 25, 26	lt2mul2divd 9768	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝑀 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝑁 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑀 = (𝑥 / 𝑦)) → ((𝑥 · 𝑤) < (𝑧 · 𝑦) ↔ (𝑥 / 𝑦) < (𝑧 / 𝑤)))
28	20, 22, 27	3bitr4rd 221	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝑀 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝑁 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑀 = (𝑥 / 𝑦)) → ((𝑥 · 𝑤) < (𝑧 · 𝑦) ↔ 𝑀 < 𝑁))
29		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝑀 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝑁 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑀 = (𝑥 / 𝑦)) → 𝑀 = (𝑥 / 𝑦))
30	29, 19	eqeq12d 2192	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝑀 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝑁 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑀 = (𝑥 / 𝑦)) → (𝑀 = 𝑁 ↔ (𝑥 / 𝑦) = (𝑧 / 𝑤)))
31	7	zcnd 9379	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝑀 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝑁 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑀 = (𝑥 / 𝑦)) → 𝑥 ∈ ℂ)
32	13	zcnd 9379	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝑀 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝑁 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑀 = (𝑥 / 𝑦)) → 𝑧 ∈ ℂ)
33	14	nncnd 8936	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝑀 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝑁 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑀 = (𝑥 / 𝑦)) → 𝑦 ∈ ℂ)
34	14	nnap0d 8968	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝑀 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝑁 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑀 = (𝑥 / 𝑦)) → 𝑦 # 0)
35	33, 34	jca 306	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝑀 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝑁 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑀 = (𝑥 / 𝑦)) → (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 # 0))
36	9	nncnd 8936	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝑀 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝑁 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑀 = (𝑥 / 𝑦)) → 𝑤 ∈ ℂ)
37	9	nnap0d 8968	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝑀 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝑁 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑀 = (𝑥 / 𝑦)) → 𝑤 # 0)
38	36, 37	jca 306	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝑀 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝑁 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑀 = (𝑥 / 𝑦)) → (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0))
39		divmuleqap 8677	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 # 0) ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0))) → ((𝑥 / 𝑦) = (𝑧 / 𝑤) ↔ (𝑥 · 𝑤) = (𝑧 · 𝑦)))
40	31, 32, 35, 38, 39	syl22anc 1239	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝑀 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝑁 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑀 = (𝑥 / 𝑦)) → ((𝑥 / 𝑦) = (𝑧 / 𝑤) ↔ (𝑥 · 𝑤) = (𝑧 · 𝑦)))
41	30, 40	bitr2d 189	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝑀 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝑁 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑀 = (𝑥 / 𝑦)) → ((𝑥 · 𝑤) = (𝑧 · 𝑦) ↔ 𝑀 = 𝑁))
42	25, 26, 23, 24	lt2mul2divd 9768	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝑀 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝑁 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑀 = (𝑥 / 𝑦)) → ((𝑧 · 𝑦) < (𝑥 · 𝑤) ↔ (𝑧 / 𝑤) < (𝑥 / 𝑦)))
43	19, 29	breq12d 4018	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝑀 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝑁 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑀 = (𝑥 / 𝑦)) → (𝑁 < 𝑀 ↔ (𝑧 / 𝑤) < (𝑥 / 𝑦)))
44	42, 43	bitr4d 191	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝑀 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝑁 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑀 = (𝑥 / 𝑦)) → ((𝑧 · 𝑦) < (𝑥 · 𝑤) ↔ 𝑁 < 𝑀))
45	28, 41, 44	3orbi123d 1311	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝑀 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝑁 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑀 = (𝑥 / 𝑦)) → (((𝑥 · 𝑤) < (𝑧 · 𝑦) ∨ (𝑥 · 𝑤) = (𝑧 · 𝑦) ∨ (𝑧 · 𝑦) < (𝑥 · 𝑤)) ↔ (𝑀 < 𝑁 ∨ 𝑀 = 𝑁 ∨ 𝑁 < 𝑀)))
46	18, 45	mpbid 147	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝑀 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝑁 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑀 = (𝑥 / 𝑦)) → (𝑀 < 𝑁 ∨ 𝑀 = 𝑁 ∨ 𝑁 < 𝑀))
47	46	ex 115	. . . . . 6 ⊢ (((((𝑀 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝑁 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → (𝑀 = (𝑥 / 𝑦) → (𝑀 < 𝑁 ∨ 𝑀 = 𝑁 ∨ 𝑁 < 𝑀)))
48	47	rexlimdvva 2602	. . . . 5 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝑁 = (𝑧 / 𝑤)) → (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝑀 = (𝑥 / 𝑦) → (𝑀 < 𝑁 ∨ 𝑀 = 𝑁 ∨ 𝑁 < 𝑀)))
49	6, 48	mpd 13	. . . 4 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝑁 = (𝑧 / 𝑤)) → (𝑀 < 𝑁 ∨ 𝑀 = 𝑁 ∨ 𝑁 < 𝑀))
50	49	ex 115	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) → (𝑁 = (𝑧 / 𝑤) → (𝑀 < 𝑁 ∨ 𝑀 = 𝑁 ∨ 𝑁 < 𝑀)))
51	50	rexlimdvva 2602	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ) → (∃𝑧 ∈ ℤ ∃𝑤 ∈ ℕ 𝑁 = (𝑧 / 𝑤) → (𝑀 < 𝑁 ∨ 𝑀 = 𝑁 ∨ 𝑁 < 𝑀)))
52	3, 51	mpd 13	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ) → (𝑀 < 𝑁 ∨ 𝑀 = 𝑁 ∨ 𝑁 < 𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ w3o 977   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  ∃wrex 2456   class class class wbr 4005  (class class class)co 5878  ℂcc 7812  0cc0 7814   · cmul 7819   < clt 7995   # cap 8541   / cdiv 8632  ℕcn 8922  ℤcz 9256  ℚcq 9622

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7905  ax-resscn 7906  ax-1cn 7907  ax-1re 7908  ax-icn 7909  ax-addcl 7910  ax-addrcl 7911  ax-mulcl 7912  ax-mulrcl 7913  ax-addcom 7914  ax-mulcom 7915  ax-addass 7916  ax-mulass 7917  ax-distr 7918  ax-i2m1 7919  ax-0lt1 7920  ax-1rid 7921  ax-0id 7922  ax-rnegex 7923  ax-precex 7924  ax-cnre 7925  ax-pre-ltirr 7926  ax-pre-ltwlin 7927  ax-pre-lttrn 7928  ax-pre-apti 7929  ax-pre-ltadd 7930  ax-pre-mulgt0 7931  ax-pre-mulext 7932

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-fv 5226  df-riota 5834  df-ov 5881  df-oprab 5882  df-mpo 5883  df-1st 6144  df-2nd 6145  df-pnf 7997  df-mnf 7998  df-xr 7999  df-ltxr 8000  df-le 8001  df-sub 8133  df-neg 8134  df-reap 8535  df-ap 8542  df-div 8633  df-inn 8923  df-n0 9180  df-z 9257  df-q 9623  df-rp 9657

This theorem is referenced by:  qletric  10247  qlelttric  10248  qltnle  10249  qdceq  10250  fimaxq  10810