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Theorem qtri3or 10199
Description: Rational trichotomy. (Contributed by Jim Kingdon, 6-Oct-2021.)
Assertion
Ref Expression
qtri3or ((𝑀 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ) → (𝑀 < 𝑁𝑀 = 𝑁𝑁 < 𝑀))

Proof of Theorem qtri3or
Dummy variables 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elq 9581 . . . 4 (𝑁 ∈ ℚ ↔ ∃𝑧 ∈ ℤ ∃𝑤 ∈ ℕ 𝑁 = (𝑧 / 𝑤))
21biimpi 119 . . 3 (𝑁 ∈ ℚ → ∃𝑧 ∈ ℤ ∃𝑤 ∈ ℕ 𝑁 = (𝑧 / 𝑤))
32adantl 275 . 2 ((𝑀 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ) → ∃𝑧 ∈ ℤ ∃𝑤 ∈ ℕ 𝑁 = (𝑧 / 𝑤))
4 elq 9581 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℚ ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝑀 = (𝑥 / 𝑦))
54biimpi 119 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℚ → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝑀 = (𝑥 / 𝑦))
65ad3antrrr 489 . . . . 5 ((((𝑀 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝑁 = (𝑧 / 𝑤)) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝑀 = (𝑥 / 𝑦))
7 simplrl 530 . . . . . . . . . 10 ((((((𝑀 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝑁 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑀 = (𝑥 / 𝑦)) → 𝑥 ∈ ℤ)
8 simplrr 531 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑀 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝑁 = (𝑧 / 𝑤)) → 𝑤 ∈ ℕ)
98ad2antrr 485 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝑀 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝑁 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑀 = (𝑥 / 𝑦)) → 𝑤 ∈ ℕ)
109nnzd 9333 . . . . . . . . . 10 ((((((𝑀 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝑁 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑀 = (𝑥 / 𝑦)) → 𝑤 ∈ ℤ)
117, 10zmulcld 9340 . . . . . . . . 9 ((((((𝑀 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝑁 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑀 = (𝑥 / 𝑦)) → (𝑥 · 𝑤) ∈ ℤ)
12 simplrl 530 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑀 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝑁 = (𝑧 / 𝑤)) → 𝑧 ∈ ℤ)
1312ad2antrr 485 . . . . . . . . . 10 ((((((𝑀 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝑁 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑀 = (𝑥 / 𝑦)) → 𝑧 ∈ ℤ)
14 simplrr 531 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝑀 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝑁 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑀 = (𝑥 / 𝑦)) → 𝑦 ∈ ℕ)
1514nnzd 9333 . . . . . . . . . 10 ((((((𝑀 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝑁 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑀 = (𝑥 / 𝑦)) → 𝑦 ∈ ℤ)
1613, 15zmulcld 9340 . . . . . . . . 9 ((((((𝑀 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝑁 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑀 = (𝑥 / 𝑦)) → (𝑧 · 𝑦) ∈ ℤ)
17 ztri3or 9255 . . . . . . . . 9 (((𝑥 · 𝑤) ∈ ℤ ∧ (𝑧 · 𝑦) ∈ ℤ) → ((𝑥 · 𝑤) < (𝑧 · 𝑦) ∨ (𝑥 · 𝑤) = (𝑧 · 𝑦) ∨ (𝑧 · 𝑦) < (𝑥 · 𝑤)))
1811, 16, 17syl2anc 409 . . . . . . . 8 ((((((𝑀 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝑁 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑀 = (𝑥 / 𝑦)) → ((𝑥 · 𝑤) < (𝑧 · 𝑦) ∨ (𝑥 · 𝑤) = (𝑧 · 𝑦) ∨ (𝑧 · 𝑦) < (𝑥 · 𝑤)))
19 simpllr 529 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝑀 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝑁 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑀 = (𝑥 / 𝑦)) → 𝑁 = (𝑧 / 𝑤))
2019breq2d 4001 . . . . . . . . . 10 ((((((𝑀 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝑁 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑀 = (𝑥 / 𝑦)) → ((𝑥 / 𝑦) < 𝑁 ↔ (𝑥 / 𝑦) < (𝑧 / 𝑤)))
21 breq1 3992 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 = (𝑥 / 𝑦) → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑥 / 𝑦) < 𝑁))
2221adantl 275 . . . . . . . . . 10 ((((((𝑀 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝑁 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑀 = (𝑥 / 𝑦)) → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑥 / 𝑦) < 𝑁))
237zred 9334 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝑀 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝑁 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑀 = (𝑥 / 𝑦)) → 𝑥 ∈ ℝ)
249nnrpd 9651 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝑀 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝑁 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑀 = (𝑥 / 𝑦)) → 𝑤 ∈ ℝ+)
2513zred 9334 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝑀 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝑁 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑀 = (𝑥 / 𝑦)) → 𝑧 ∈ ℝ)
2614nnrpd 9651 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝑀 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝑁 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑀 = (𝑥 / 𝑦)) → 𝑦 ∈ ℝ+)
2723, 24, 25, 26lt2mul2divd 9722 . . . . . . . . . 10 ((((((𝑀 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝑁 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑀 = (𝑥 / 𝑦)) → ((𝑥 · 𝑤) < (𝑧 · 𝑦) ↔ (𝑥 / 𝑦) < (𝑧 / 𝑤)))
2820, 22, 273bitr4rd 220 . . . . . . . . 9 ((((((𝑀 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝑁 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑀 = (𝑥 / 𝑦)) → ((𝑥 · 𝑤) < (𝑧 · 𝑦) ↔ 𝑀 < 𝑁))
29 simpr 109 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝑀 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝑁 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑀 = (𝑥 / 𝑦)) → 𝑀 = (𝑥 / 𝑦))
3029, 19eqeq12d 2185 . . . . . . . . . 10 ((((((𝑀 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝑁 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑀 = (𝑥 / 𝑦)) → (𝑀 = 𝑁 ↔ (𝑥 / 𝑦) = (𝑧 / 𝑤)))
317zcnd 9335 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝑀 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝑁 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑀 = (𝑥 / 𝑦)) → 𝑥 ∈ ℂ)
3213zcnd 9335 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝑀 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝑁 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑀 = (𝑥 / 𝑦)) → 𝑧 ∈ ℂ)
3314nncnd 8892 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝑀 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝑁 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑀 = (𝑥 / 𝑦)) → 𝑦 ∈ ℂ)
3414nnap0d 8924 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝑀 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝑁 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑀 = (𝑥 / 𝑦)) → 𝑦 # 0)
3533, 34jca 304 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝑀 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝑁 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑀 = (𝑥 / 𝑦)) → (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 # 0))
369nncnd 8892 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝑀 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝑁 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑀 = (𝑥 / 𝑦)) → 𝑤 ∈ ℂ)
379nnap0d 8924 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝑀 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝑁 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑀 = (𝑥 / 𝑦)) → 𝑤 # 0)
3836, 37jca 304 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝑀 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝑁 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑀 = (𝑥 / 𝑦)) → (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0))
39 divmuleqap 8634 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 # 0) ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0))) → ((𝑥 / 𝑦) = (𝑧 / 𝑤) ↔ (𝑥 · 𝑤) = (𝑧 · 𝑦)))
4031, 32, 35, 38, 39syl22anc 1234 . . . . . . . . . 10 ((((((𝑀 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝑁 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑀 = (𝑥 / 𝑦)) → ((𝑥 / 𝑦) = (𝑧 / 𝑤) ↔ (𝑥 · 𝑤) = (𝑧 · 𝑦)))
4130, 40bitr2d 188 . . . . . . . . 9 ((((((𝑀 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝑁 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑀 = (𝑥 / 𝑦)) → ((𝑥 · 𝑤) = (𝑧 · 𝑦) ↔ 𝑀 = 𝑁))
4225, 26, 23, 24lt2mul2divd 9722 . . . . . . . . . 10 ((((((𝑀 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝑁 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑀 = (𝑥 / 𝑦)) → ((𝑧 · 𝑦) < (𝑥 · 𝑤) ↔ (𝑧 / 𝑤) < (𝑥 / 𝑦)))
4319, 29breq12d 4002 . . . . . . . . . 10 ((((((𝑀 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝑁 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑀 = (𝑥 / 𝑦)) → (𝑁 < 𝑀 ↔ (𝑧 / 𝑤) < (𝑥 / 𝑦)))
4442, 43bitr4d 190 . . . . . . . . 9 ((((((𝑀 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝑁 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑀 = (𝑥 / 𝑦)) → ((𝑧 · 𝑦) < (𝑥 · 𝑤) ↔ 𝑁 < 𝑀))
4528, 41, 443orbi123d 1306 . . . . . . . 8 ((((((𝑀 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝑁 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑀 = (𝑥 / 𝑦)) → (((𝑥 · 𝑤) < (𝑧 · 𝑦) ∨ (𝑥 · 𝑤) = (𝑧 · 𝑦) ∨ (𝑧 · 𝑦) < (𝑥 · 𝑤)) ↔ (𝑀 < 𝑁𝑀 = 𝑁𝑁 < 𝑀)))
4618, 45mpbid 146 . . . . . . 7 ((((((𝑀 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝑁 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑀 = (𝑥 / 𝑦)) → (𝑀 < 𝑁𝑀 = 𝑁𝑁 < 𝑀))
4746ex 114 . . . . . 6 (((((𝑀 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝑁 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → (𝑀 = (𝑥 / 𝑦) → (𝑀 < 𝑁𝑀 = 𝑁𝑁 < 𝑀)))
4847rexlimdvva 2595 . . . . 5 ((((𝑀 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝑁 = (𝑧 / 𝑤)) → (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝑀 = (𝑥 / 𝑦) → (𝑀 < 𝑁𝑀 = 𝑁𝑁 < 𝑀)))
496, 48mpd 13 . . . 4 ((((𝑀 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝑁 = (𝑧 / 𝑤)) → (𝑀 < 𝑁𝑀 = 𝑁𝑁 < 𝑀))
5049ex 114 . . 3 (((𝑀 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) → (𝑁 = (𝑧 / 𝑤) → (𝑀 < 𝑁𝑀 = 𝑁𝑁 < 𝑀)))
5150rexlimdvva 2595 . 2 ((𝑀 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ) → (∃𝑧 ∈ ℤ ∃𝑤 ∈ ℕ 𝑁 = (𝑧 / 𝑤) → (𝑀 < 𝑁𝑀 = 𝑁𝑁 < 𝑀)))
523, 51mpd 13 1 ((𝑀 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ) → (𝑀 < 𝑁𝑀 = 𝑁𝑁 < 𝑀))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104  w3o 972   = wceq 1348  wcel 2141  wrex 2449   class class class wbr 3989  (class class class)co 5853  cc 7772  0cc0 7774   · cmul 7779   < clt 7954   # cap 8500   / cdiv 8589  cn 8878  cz 9212  cq 9578
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-mulext 7892
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501  df-div 8590  df-inn 8879  df-n0 9136  df-z 9213  df-q 9579  df-rp 9611
This theorem is referenced by:  qletric  10200  qlelttric  10201  qltnle  10202  qdceq  10203  fimaxq  10762
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