Theorem qtri3or 10347

Description: Rational trichotomy. (Contributed by Jim Kingdon, 6-Oct-2021.)

Assertion

Ref	Expression
qtri3or	⊢ ((𝑀 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ) → (𝑀 < 𝑁 ∨ 𝑀 = 𝑁 ∨ 𝑁 < 𝑀))

Proof of Theorem qtri3or

Dummy variables 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elq 9713	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℚ ↔ ∃𝑧 ∈ ℤ ∃𝑤 ∈ ℕ 𝑁 = (𝑧 / 𝑤))
2	1	biimpi 120	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℚ → ∃𝑧 ∈ ℤ ∃𝑤 ∈ ℕ 𝑁 = (𝑧 / 𝑤))
3	2	adantl 277	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ) → ∃𝑧 ∈ ℤ ∃𝑤 ∈ ℕ 𝑁 = (𝑧 / 𝑤))
4		elq 9713	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℚ ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝑀 = (𝑥 / 𝑦))
5	4	biimpi 120	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℚ → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝑀 = (𝑥 / 𝑦))
6	5	ad3antrrr 492	. . . . 5 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝑁 = (𝑧 / 𝑤)) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝑀 = (𝑥 / 𝑦))
7		simplrl 535	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝑀 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝑁 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑀 = (𝑥 / 𝑦)) → 𝑥 ∈ ℤ)
8		simplrr 536	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝑁 = (𝑧 / 𝑤)) → 𝑤 ∈ ℕ)
9	8	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝑀 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝑁 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑀 = (𝑥 / 𝑦)) → 𝑤 ∈ ℕ)
10	9	nnzd 9464	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝑀 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝑁 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑀 = (𝑥 / 𝑦)) → 𝑤 ∈ ℤ)
11	7, 10	zmulcld 9471	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝑀 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝑁 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑀 = (𝑥 / 𝑦)) → (𝑥 · 𝑤) ∈ ℤ)
12		simplrl 535	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝑁 = (𝑧 / 𝑤)) → 𝑧 ∈ ℤ)
13	12	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝑀 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝑁 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑀 = (𝑥 / 𝑦)) → 𝑧 ∈ ℤ)
14		simplrr 536	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝑀 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝑁 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑀 = (𝑥 / 𝑦)) → 𝑦 ∈ ℕ)
15	14	nnzd 9464	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝑀 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝑁 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑀 = (𝑥 / 𝑦)) → 𝑦 ∈ ℤ)
16	13, 15	zmulcld 9471	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝑀 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝑁 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑀 = (𝑥 / 𝑦)) → (𝑧 · 𝑦) ∈ ℤ)
17		ztri3or 9386	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 · 𝑤) ∈ ℤ ∧ (𝑧 · 𝑦) ∈ ℤ) → ((𝑥 · 𝑤) < (𝑧 · 𝑦) ∨ (𝑥 · 𝑤) = (𝑧 · 𝑦) ∨ (𝑧 · 𝑦) < (𝑥 · 𝑤)))
18	11, 16, 17	syl2anc 411	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝑀 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝑁 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑀 = (𝑥 / 𝑦)) → ((𝑥 · 𝑤) < (𝑧 · 𝑦) ∨ (𝑥 · 𝑤) = (𝑧 · 𝑦) ∨ (𝑧 · 𝑦) < (𝑥 · 𝑤)))
19		simpllr 534	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝑀 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝑁 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑀 = (𝑥 / 𝑦)) → 𝑁 = (𝑧 / 𝑤))
20	19	breq2d 4046	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝑀 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝑁 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑀 = (𝑥 / 𝑦)) → ((𝑥 / 𝑦) < 𝑁 ↔ (𝑥 / 𝑦) < (𝑧 / 𝑤)))
21		breq1 4037	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 = (𝑥 / 𝑦) → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑥 / 𝑦) < 𝑁))
22	21	adantl 277	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝑀 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝑁 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑀 = (𝑥 / 𝑦)) → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑥 / 𝑦) < 𝑁))
23	7	zred 9465	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝑀 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝑁 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑀 = (𝑥 / 𝑦)) → 𝑥 ∈ ℝ)
24	9	nnrpd 9786	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝑀 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝑁 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑀 = (𝑥 / 𝑦)) → 𝑤 ∈ ℝ+)
25	13	zred 9465	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝑀 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝑁 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑀 = (𝑥 / 𝑦)) → 𝑧 ∈ ℝ)
26	14	nnrpd 9786	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝑀 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝑁 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑀 = (𝑥 / 𝑦)) → 𝑦 ∈ ℝ+)
27	23, 24, 25, 26	lt2mul2divd 9857	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝑀 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝑁 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑀 = (𝑥 / 𝑦)) → ((𝑥 · 𝑤) < (𝑧 · 𝑦) ↔ (𝑥 / 𝑦) < (𝑧 / 𝑤)))
28	20, 22, 27	3bitr4rd 221	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝑀 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝑁 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑀 = (𝑥 / 𝑦)) → ((𝑥 · 𝑤) < (𝑧 · 𝑦) ↔ 𝑀 < 𝑁))
29		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝑀 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝑁 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑀 = (𝑥 / 𝑦)) → 𝑀 = (𝑥 / 𝑦))
30	29, 19	eqeq12d 2211	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝑀 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝑁 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑀 = (𝑥 / 𝑦)) → (𝑀 = 𝑁 ↔ (𝑥 / 𝑦) = (𝑧 / 𝑤)))
31	7	zcnd 9466	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝑀 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝑁 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑀 = (𝑥 / 𝑦)) → 𝑥 ∈ ℂ)
32	13	zcnd 9466	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝑀 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝑁 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑀 = (𝑥 / 𝑦)) → 𝑧 ∈ ℂ)
33	14	nncnd 9021	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝑀 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝑁 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑀 = (𝑥 / 𝑦)) → 𝑦 ∈ ℂ)
34	14	nnap0d 9053	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝑀 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝑁 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑀 = (𝑥 / 𝑦)) → 𝑦 # 0)
35	33, 34	jca 306	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝑀 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝑁 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑀 = (𝑥 / 𝑦)) → (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 # 0))
36	9	nncnd 9021	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝑀 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝑁 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑀 = (𝑥 / 𝑦)) → 𝑤 ∈ ℂ)
37	9	nnap0d 9053	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝑀 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝑁 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑀 = (𝑥 / 𝑦)) → 𝑤 # 0)
38	36, 37	jca 306	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝑀 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝑁 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑀 = (𝑥 / 𝑦)) → (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0))
39		divmuleqap 8761	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 # 0) ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0))) → ((𝑥 / 𝑦) = (𝑧 / 𝑤) ↔ (𝑥 · 𝑤) = (𝑧 · 𝑦)))
40	31, 32, 35, 38, 39	syl22anc 1250	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝑀 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝑁 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑀 = (𝑥 / 𝑦)) → ((𝑥 / 𝑦) = (𝑧 / 𝑤) ↔ (𝑥 · 𝑤) = (𝑧 · 𝑦)))
41	30, 40	bitr2d 189	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝑀 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝑁 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑀 = (𝑥 / 𝑦)) → ((𝑥 · 𝑤) = (𝑧 · 𝑦) ↔ 𝑀 = 𝑁))
42	25, 26, 23, 24	lt2mul2divd 9857	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝑀 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝑁 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑀 = (𝑥 / 𝑦)) → ((𝑧 · 𝑦) < (𝑥 · 𝑤) ↔ (𝑧 / 𝑤) < (𝑥 / 𝑦)))
43	19, 29	breq12d 4047	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝑀 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝑁 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑀 = (𝑥 / 𝑦)) → (𝑁 < 𝑀 ↔ (𝑧 / 𝑤) < (𝑥 / 𝑦)))
44	42, 43	bitr4d 191	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝑀 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝑁 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑀 = (𝑥 / 𝑦)) → ((𝑧 · 𝑦) < (𝑥 · 𝑤) ↔ 𝑁 < 𝑀))
45	28, 41, 44	3orbi123d 1322	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝑀 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝑁 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑀 = (𝑥 / 𝑦)) → (((𝑥 · 𝑤) < (𝑧 · 𝑦) ∨ (𝑥 · 𝑤) = (𝑧 · 𝑦) ∨ (𝑧 · 𝑦) < (𝑥 · 𝑤)) ↔ (𝑀 < 𝑁 ∨ 𝑀 = 𝑁 ∨ 𝑁 < 𝑀)))
46	18, 45	mpbid 147	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝑀 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝑁 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑀 = (𝑥 / 𝑦)) → (𝑀 < 𝑁 ∨ 𝑀 = 𝑁 ∨ 𝑁 < 𝑀))
47	46	ex 115	. . . . . 6 ⊢ (((((𝑀 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝑁 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → (𝑀 = (𝑥 / 𝑦) → (𝑀 < 𝑁 ∨ 𝑀 = 𝑁 ∨ 𝑁 < 𝑀)))
48	47	rexlimdvva 2622	. . . . 5 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝑁 = (𝑧 / 𝑤)) → (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝑀 = (𝑥 / 𝑦) → (𝑀 < 𝑁 ∨ 𝑀 = 𝑁 ∨ 𝑁 < 𝑀)))
49	6, 48	mpd 13	. . . 4 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝑁 = (𝑧 / 𝑤)) → (𝑀 < 𝑁 ∨ 𝑀 = 𝑁 ∨ 𝑁 < 𝑀))
50	49	ex 115	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) → (𝑁 = (𝑧 / 𝑤) → (𝑀 < 𝑁 ∨ 𝑀 = 𝑁 ∨ 𝑁 < 𝑀)))
51	50	rexlimdvva 2622	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ) → (∃𝑧 ∈ ℤ ∃𝑤 ∈ ℕ 𝑁 = (𝑧 / 𝑤) → (𝑀 < 𝑁 ∨ 𝑀 = 𝑁 ∨ 𝑁 < 𝑀)))
52	3, 51	mpd 13	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ) → (𝑀 < 𝑁 ∨ 𝑀 = 𝑁 ∨ 𝑁 < 𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ w3o 979   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  ∃wrex 2476   class class class wbr 4034  (class class class)co 5925  ℂcc 7894  0cc0 7896   · cmul 7901   < clt 8078   # cap 8625   / cdiv 8716  ℕcn 9007  ℤcz 9343  ℚcq 9710

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-mulrcl 7995  ax-addcom 7996  ax-mulcom 7997  ax-addass 7998  ax-mulass 7999  ax-distr 8000  ax-i2m1 8001  ax-0lt1 8002  ax-1rid 8003  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-precex 8006  ax-cnre 8007  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-ltwlin 8009  ax-pre-lttrn 8010  ax-pre-apti 8011  ax-pre-ltadd 8012  ax-pre-mulgt0 8013  ax-pre-mulext 8014

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-xr 8082  df-ltxr 8083  df-le 8084  df-sub 8216  df-neg 8217  df-reap 8619  df-ap 8626  df-div 8717  df-inn 9008  df-n0 9267  df-z 9344  df-q 9711  df-rp 9746

This theorem is referenced by:  qletric  10348  qlelttric  10349  qltnle  10350  qdceq  10351  qdclt  10352  fimaxq  10936