Theorem qtri3or 10142

Description: Rational trichotomy. (Contributed by Jim Kingdon, 6-Oct-2021.)

Assertion

Ref	Expression
qtri3or	⊢ ((𝑀 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ) → (𝑀 < 𝑁 ∨ 𝑀 = 𝑁 ∨ 𝑁 < 𝑀))

Proof of Theorem qtri3or

Dummy variables 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elq 9531	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℚ ↔ ∃𝑧 ∈ ℤ ∃𝑤 ∈ ℕ 𝑁 = (𝑧 / 𝑤))
2	1	biimpi 119	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℚ → ∃𝑧 ∈ ℤ ∃𝑤 ∈ ℕ 𝑁 = (𝑧 / 𝑤))
3	2	adantl 275	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ) → ∃𝑧 ∈ ℤ ∃𝑤 ∈ ℕ 𝑁 = (𝑧 / 𝑤))
4		elq 9531	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℚ ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝑀 = (𝑥 / 𝑦))
5	4	biimpi 119	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℚ → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝑀 = (𝑥 / 𝑦))
6	5	ad3antrrr 484	. . . . 5 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝑁 = (𝑧 / 𝑤)) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝑀 = (𝑥 / 𝑦))
7		simplrl 525	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝑀 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝑁 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑀 = (𝑥 / 𝑦)) → 𝑥 ∈ ℤ)
8		simplrr 526	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝑁 = (𝑧 / 𝑤)) → 𝑤 ∈ ℕ)
9	8	ad2antrr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝑀 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝑁 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑀 = (𝑥 / 𝑦)) → 𝑤 ∈ ℕ)
10	9	nnzd 9285	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝑀 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝑁 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑀 = (𝑥 / 𝑦)) → 𝑤 ∈ ℤ)
11	7, 10	zmulcld 9292	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝑀 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝑁 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑀 = (𝑥 / 𝑦)) → (𝑥 · 𝑤) ∈ ℤ)
12		simplrl 525	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝑁 = (𝑧 / 𝑤)) → 𝑧 ∈ ℤ)
13	12	ad2antrr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝑀 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝑁 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑀 = (𝑥 / 𝑦)) → 𝑧 ∈ ℤ)
14		simplrr 526	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝑀 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝑁 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑀 = (𝑥 / 𝑦)) → 𝑦 ∈ ℕ)
15	14	nnzd 9285	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝑀 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝑁 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑀 = (𝑥 / 𝑦)) → 𝑦 ∈ ℤ)
16	13, 15	zmulcld 9292	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝑀 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝑁 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑀 = (𝑥 / 𝑦)) → (𝑧 · 𝑦) ∈ ℤ)
17		ztri3or 9210	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 · 𝑤) ∈ ℤ ∧ (𝑧 · 𝑦) ∈ ℤ) → ((𝑥 · 𝑤) < (𝑧 · 𝑦) ∨ (𝑥 · 𝑤) = (𝑧 · 𝑦) ∨ (𝑧 · 𝑦) < (𝑥 · 𝑤)))
18	11, 16, 17	syl2anc 409	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝑀 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝑁 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑀 = (𝑥 / 𝑦)) → ((𝑥 · 𝑤) < (𝑧 · 𝑦) ∨ (𝑥 · 𝑤) = (𝑧 · 𝑦) ∨ (𝑧 · 𝑦) < (𝑥 · 𝑤)))
19		simpllr 524	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝑀 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝑁 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑀 = (𝑥 / 𝑦)) → 𝑁 = (𝑧 / 𝑤))
20	19	breq2d 3977	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝑀 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝑁 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑀 = (𝑥 / 𝑦)) → ((𝑥 / 𝑦) < 𝑁 ↔ (𝑥 / 𝑦) < (𝑧 / 𝑤)))
21		breq1 3968	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 = (𝑥 / 𝑦) → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑥 / 𝑦) < 𝑁))
22	21	adantl 275	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝑀 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝑁 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑀 = (𝑥 / 𝑦)) → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑥 / 𝑦) < 𝑁))
23	7	zred 9286	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝑀 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝑁 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑀 = (𝑥 / 𝑦)) → 𝑥 ∈ ℝ)
24	9	nnrpd 9601	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝑀 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝑁 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑀 = (𝑥 / 𝑦)) → 𝑤 ∈ ℝ+)
25	13	zred 9286	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝑀 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝑁 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑀 = (𝑥 / 𝑦)) → 𝑧 ∈ ℝ)
26	14	nnrpd 9601	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝑀 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝑁 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑀 = (𝑥 / 𝑦)) → 𝑦 ∈ ℝ+)
27	23, 24, 25, 26	lt2mul2divd 9672	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝑀 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝑁 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑀 = (𝑥 / 𝑦)) → ((𝑥 · 𝑤) < (𝑧 · 𝑦) ↔ (𝑥 / 𝑦) < (𝑧 / 𝑤)))
28	20, 22, 27	3bitr4rd 220	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝑀 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝑁 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑀 = (𝑥 / 𝑦)) → ((𝑥 · 𝑤) < (𝑧 · 𝑦) ↔ 𝑀 < 𝑁))
29		simpr 109	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝑀 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝑁 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑀 = (𝑥 / 𝑦)) → 𝑀 = (𝑥 / 𝑦))
30	29, 19	eqeq12d 2172	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝑀 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝑁 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑀 = (𝑥 / 𝑦)) → (𝑀 = 𝑁 ↔ (𝑥 / 𝑦) = (𝑧 / 𝑤)))
31	7	zcnd 9287	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝑀 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝑁 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑀 = (𝑥 / 𝑦)) → 𝑥 ∈ ℂ)
32	13	zcnd 9287	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝑀 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝑁 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑀 = (𝑥 / 𝑦)) → 𝑧 ∈ ℂ)
33	14	nncnd 8847	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝑀 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝑁 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑀 = (𝑥 / 𝑦)) → 𝑦 ∈ ℂ)
34	14	nnap0d 8879	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝑀 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝑁 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑀 = (𝑥 / 𝑦)) → 𝑦 # 0)
35	33, 34	jca 304	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝑀 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝑁 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑀 = (𝑥 / 𝑦)) → (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 # 0))
36	9	nncnd 8847	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝑀 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝑁 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑀 = (𝑥 / 𝑦)) → 𝑤 ∈ ℂ)
37	9	nnap0d 8879	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝑀 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝑁 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑀 = (𝑥 / 𝑦)) → 𝑤 # 0)
38	36, 37	jca 304	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝑀 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝑁 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑀 = (𝑥 / 𝑦)) → (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0))
39		divmuleqap 8590	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 # 0) ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0))) → ((𝑥 / 𝑦) = (𝑧 / 𝑤) ↔ (𝑥 · 𝑤) = (𝑧 · 𝑦)))
40	31, 32, 35, 38, 39	syl22anc 1221	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝑀 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝑁 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑀 = (𝑥 / 𝑦)) → ((𝑥 / 𝑦) = (𝑧 / 𝑤) ↔ (𝑥 · 𝑤) = (𝑧 · 𝑦)))
41	30, 40	bitr2d 188	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝑀 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝑁 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑀 = (𝑥 / 𝑦)) → ((𝑥 · 𝑤) = (𝑧 · 𝑦) ↔ 𝑀 = 𝑁))
42	25, 26, 23, 24	lt2mul2divd 9672	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝑀 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝑁 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑀 = (𝑥 / 𝑦)) → ((𝑧 · 𝑦) < (𝑥 · 𝑤) ↔ (𝑧 / 𝑤) < (𝑥 / 𝑦)))
43	19, 29	breq12d 3978	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝑀 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝑁 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑀 = (𝑥 / 𝑦)) → (𝑁 < 𝑀 ↔ (𝑧 / 𝑤) < (𝑥 / 𝑦)))
44	42, 43	bitr4d 190	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝑀 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝑁 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑀 = (𝑥 / 𝑦)) → ((𝑧 · 𝑦) < (𝑥 · 𝑤) ↔ 𝑁 < 𝑀))
45	28, 41, 44	3orbi123d 1293	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝑀 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝑁 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑀 = (𝑥 / 𝑦)) → (((𝑥 · 𝑤) < (𝑧 · 𝑦) ∨ (𝑥 · 𝑤) = (𝑧 · 𝑦) ∨ (𝑧 · 𝑦) < (𝑥 · 𝑤)) ↔ (𝑀 < 𝑁 ∨ 𝑀 = 𝑁 ∨ 𝑁 < 𝑀)))
46	18, 45	mpbid 146	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝑀 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝑁 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑀 = (𝑥 / 𝑦)) → (𝑀 < 𝑁 ∨ 𝑀 = 𝑁 ∨ 𝑁 < 𝑀))
47	46	ex 114	. . . . . 6 ⊢ (((((𝑀 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝑁 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → (𝑀 = (𝑥 / 𝑦) → (𝑀 < 𝑁 ∨ 𝑀 = 𝑁 ∨ 𝑁 < 𝑀)))
48	47	rexlimdvva 2582	. . . . 5 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝑁 = (𝑧 / 𝑤)) → (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝑀 = (𝑥 / 𝑦) → (𝑀 < 𝑁 ∨ 𝑀 = 𝑁 ∨ 𝑁 < 𝑀)))
49	6, 48	mpd 13	. . . 4 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝑁 = (𝑧 / 𝑤)) → (𝑀 < 𝑁 ∨ 𝑀 = 𝑁 ∨ 𝑁 < 𝑀))
50	49	ex 114	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) → (𝑁 = (𝑧 / 𝑤) → (𝑀 < 𝑁 ∨ 𝑀 = 𝑁 ∨ 𝑁 < 𝑀)))
51	50	rexlimdvva 2582	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ) → (∃𝑧 ∈ ℤ ∃𝑤 ∈ ℕ 𝑁 = (𝑧 / 𝑤) → (𝑀 < 𝑁 ∨ 𝑀 = 𝑁 ∨ 𝑁 < 𝑀)))
52	3, 51	mpd 13	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ) → (𝑀 < 𝑁 ∨ 𝑀 = 𝑁 ∨ 𝑁 < 𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∨ w3o 962   = wceq 1335   ∈ wcel 2128  ∃wrex 2436   class class class wbr 3965  (class class class)co 5824  ℂcc 7730  0cc0 7732   · cmul 7737   < clt 7912   # cap 8456   / cdiv 8545  ℕcn 8833  ℤcz 9167  ℚcq 9528

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4082  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-setind 4496  ax-cnex 7823  ax-resscn 7824  ax-1cn 7825  ax-1re 7826  ax-icn 7827  ax-addcl 7828  ax-addrcl 7829  ax-mulcl 7830  ax-mulrcl 7831  ax-addcom 7832  ax-mulcom 7833  ax-addass 7834  ax-mulass 7835  ax-distr 7836  ax-i2m1 7837  ax-0lt1 7838  ax-1rid 7839  ax-0id 7840  ax-rnegex 7841  ax-precex 7842  ax-cnre 7843  ax-pre-ltirr 7844  ax-pre-ltwlin 7845  ax-pre-lttrn 7846  ax-pre-apti 7847  ax-pre-ltadd 7848  ax-pre-mulgt0 7849  ax-pre-mulext 7850

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rmo 2443  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-iun 3851  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-id 4253  df-po 4256  df-iso 4257  df-xp 4592  df-rel 4593  df-cnv 4594  df-co 4595  df-dm 4596  df-rn 4597  df-res 4598  df-ima 4599  df-iota 5135  df-fun 5172  df-fn 5173  df-f 5174  df-fv 5178  df-riota 5780  df-ov 5827  df-oprab 5828  df-mpo 5829  df-1st 6088  df-2nd 6089  df-pnf 7914  df-mnf 7915  df-xr 7916  df-ltxr 7917  df-le 7918  df-sub 8048  df-neg 8049  df-reap 8450  df-ap 8457  df-div 8546  df-inn 8834  df-n0 9091  df-z 9168  df-q 9529  df-rp 9561

This theorem is referenced by:  qletric  10143  qlelttric  10144  qltnle  10145  qdceq  10146  fimaxq  10701