Theorem remim 11627

Description: Value of the conjugate of a complex number. The value is the real part minus i times the imaginary part. Definition 10-3.2 of [Gleason] p. 132. (Contributed by NM, 10-May-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
remim	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (∗‘𝐴) = ((ℜ‘𝐴) − (i · (ℑ‘𝐴))))

Proof of Theorem remim

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cjval 11612	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (∗‘𝐴) = (℩𝑥 ∈ ℂ ((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴 − 𝑥)) ∈ ℝ)))
2		replim 11626	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 = ((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))))
3	2	oveq1d 6100	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 + ((ℜ‘𝐴) − (i · (ℑ‘𝐴)))) = (((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))) + ((ℜ‘𝐴) − (i · (ℑ‘𝐴)))))
4		recl 11620	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
5	4	recnd 8354	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℂ)
6		ax-icn 8274	. . . . . . 7 ⊢ i ∈ ℂ
7		imcl 11621	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
8	7	recnd 8354	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ)
9		mulcl 8306	. . . . . . 7 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ) → (i · (ℑ‘𝐴)) ∈ ℂ)
10	6, 8, 9	sylancr 418	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · (ℑ‘𝐴)) ∈ ℂ)
11	5, 10, 5	ppncand 8677	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))) + ((ℜ‘𝐴) − (i · (ℑ‘𝐴)))) = ((ℜ‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)))
12	3, 11	eqtrd 2271	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 + ((ℜ‘𝐴) − (i · (ℑ‘𝐴)))) = ((ℜ‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)))
13	4, 4	readdcld 8355	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((ℜ‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) ∈ ℝ)
14	12, 13	eqeltrd 2315	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 + ((ℜ‘𝐴) − (i · (ℑ‘𝐴)))) ∈ ℝ)
15	5, 10, 10	pnncand 8676	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))) − ((ℜ‘𝐴) − (i · (ℑ‘𝐴)))) = ((i · (ℑ‘𝐴)) + (i · (ℑ‘𝐴))))
16	2	oveq1d 6100	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 − ((ℜ‘𝐴) − (i · (ℑ‘𝐴)))) = (((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))) − ((ℜ‘𝐴) − (i · (ℑ‘𝐴)))))
17	6	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → i ∈ ℂ)
18	17, 8, 8	adddid 8350	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · ((ℑ‘𝐴) + (ℑ‘𝐴))) = ((i · (ℑ‘𝐴)) + (i · (ℑ‘𝐴))))
19	15, 16, 18	3eqtr4d 2281	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 − ((ℜ‘𝐴) − (i · (ℑ‘𝐴)))) = (i · ((ℑ‘𝐴) + (ℑ‘𝐴))))
20	19	oveq2d 6101	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · (𝐴 − ((ℜ‘𝐴) − (i · (ℑ‘𝐴))))) = (i · (i · ((ℑ‘𝐴) + (ℑ‘𝐴)))))
21	7, 7	readdcld 8355	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((ℑ‘𝐴) + (ℑ‘𝐴)) ∈ ℝ)
22	21	recnd 8354	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((ℑ‘𝐴) + (ℑ‘𝐴)) ∈ ℂ)
23		mulass 8310	. . . . . . 7 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ ∧ ((ℑ‘𝐴) + (ℑ‘𝐴)) ∈ ℂ) → ((i · i) · ((ℑ‘𝐴) + (ℑ‘𝐴))) = (i · (i · ((ℑ‘𝐴) + (ℑ‘𝐴)))))
24	6, 6, 23	mp3an12 1368	. . . . . 6 ⊢ (((ℑ‘𝐴) + (ℑ‘𝐴)) ∈ ℂ → ((i · i) · ((ℑ‘𝐴) + (ℑ‘𝐴))) = (i · (i · ((ℑ‘𝐴) + (ℑ‘𝐴)))))
25	22, 24	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((i · i) · ((ℑ‘𝐴) + (ℑ‘𝐴))) = (i · (i · ((ℑ‘𝐴) + (ℑ‘𝐴)))))
26	20, 25	eqtr4d 2274	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · (𝐴 − ((ℜ‘𝐴) − (i · (ℑ‘𝐴))))) = ((i · i) · ((ℑ‘𝐴) + (ℑ‘𝐴))))
27		ixi 8912	. . . . . 6 ⊢ (i · i) = -1
28		neg1rr 9411	. . . . . 6 ⊢ -1 ∈ ℝ
29	27, 28	eqeltri 2311	. . . . 5 ⊢ (i · i) ∈ ℝ
30		remulcl 8307	. . . . 5 ⊢ (((i · i) ∈ ℝ ∧ ((ℑ‘𝐴) + (ℑ‘𝐴)) ∈ ℝ) → ((i · i) · ((ℑ‘𝐴) + (ℑ‘𝐴))) ∈ ℝ)
31	29, 21, 30	sylancr 418	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((i · i) · ((ℑ‘𝐴) + (ℑ‘𝐴))) ∈ ℝ)
32	26, 31	eqeltrd 2315	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · (𝐴 − ((ℜ‘𝐴) − (i · (ℑ‘𝐴))))) ∈ ℝ)
33	5, 10	subcld 8637	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((ℜ‘𝐴) − (i · (ℑ‘𝐴))) ∈ ℂ)
34		cju 9292	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ∃!𝑥 ∈ ℂ ((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴 − 𝑥)) ∈ ℝ))
35		oveq2 6093	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = ((ℜ‘𝐴) − (i · (ℑ‘𝐴))) → (𝐴 + 𝑥) = (𝐴 + ((ℜ‘𝐴) − (i · (ℑ‘𝐴)))))
36	35	eleq1d 2307	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = ((ℜ‘𝐴) − (i · (ℑ‘𝐴))) → ((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ↔ (𝐴 + ((ℜ‘𝐴) − (i · (ℑ‘𝐴)))) ∈ ℝ))
37		oveq2 6093	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = ((ℜ‘𝐴) − (i · (ℑ‘𝐴))) → (𝐴 − 𝑥) = (𝐴 − ((ℜ‘𝐴) − (i · (ℑ‘𝐴)))))
38	37	oveq2d 6101	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = ((ℜ‘𝐴) − (i · (ℑ‘𝐴))) → (i · (𝐴 − 𝑥)) = (i · (𝐴 − ((ℜ‘𝐴) − (i · (ℑ‘𝐴))))))
39	38	eleq1d 2307	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = ((ℜ‘𝐴) − (i · (ℑ‘𝐴))) → ((i · (𝐴 − 𝑥)) ∈ ℝ ↔ (i · (𝐴 − ((ℜ‘𝐴) − (i · (ℑ‘𝐴))))) ∈ ℝ))
40	36, 39	anbi12d 477	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = ((ℜ‘𝐴) − (i · (ℑ‘𝐴))) → (((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴 − 𝑥)) ∈ ℝ) ↔ ((𝐴 + ((ℜ‘𝐴) − (i · (ℑ‘𝐴)))) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴 − ((ℜ‘𝐴) − (i · (ℑ‘𝐴))))) ∈ ℝ)))
41	40	riota2 6062	. . . 4 ⊢ ((((ℜ‘𝐴) − (i · (ℑ‘𝐴))) ∈ ℂ ∧ ∃!𝑥 ∈ ℂ ((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴 − 𝑥)) ∈ ℝ)) → (((𝐴 + ((ℜ‘𝐴) − (i · (ℑ‘𝐴)))) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴 − ((ℜ‘𝐴) − (i · (ℑ‘𝐴))))) ∈ ℝ) ↔ (℩𝑥 ∈ ℂ ((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴 − 𝑥)) ∈ ℝ)) = ((ℜ‘𝐴) − (i · (ℑ‘𝐴)))))
42	33, 34, 41	syl2anc 415	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((𝐴 + ((ℜ‘𝐴) − (i · (ℑ‘𝐴)))) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴 − ((ℜ‘𝐴) − (i · (ℑ‘𝐴))))) ∈ ℝ) ↔ (℩𝑥 ∈ ℂ ((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴 − 𝑥)) ∈ ℝ)) = ((ℜ‘𝐴) − (i · (ℑ‘𝐴)))))
43	14, 32, 42	mpbi2and 956	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (℩𝑥 ∈ ℂ ((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴 − 𝑥)) ∈ ℝ)) = ((ℜ‘𝐴) − (i · (ℑ‘𝐴))))
44	1, 43	eqtrd 2271	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (∗‘𝐴) = ((ℜ‘𝐴) − (i · (ℑ‘𝐴))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ∃!wreu 2530  ‘cfv 5377  ℩crio 6037  (class class class)co 6085  ℂcc 8177  ℝcr 8178  1c1 8180  ici 8181   + caddc 8182   · cmul 8184   − cmin 8497  -cneg 8498  ∗ccj 11606  ℜcre 11607  ℑcim 11608

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-mulrcl 8278  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-precex 8289  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295  ax-pre-mulgt0 8296  ax-pre-mulext 8297

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-reap 8904  df-ap 8911  df-div 9004  df-2 9364  df-cj 11609  df-re 11610  df-im 11611

This theorem is used by:  cjreb  11633  recj  11634  remullem  11638  imcj  11642  cjadd  11651  cjneg  11657  imval2  11661  cji  11670  remimd  11710