Theorem remim 11422

Description: Value of the conjugate of a complex number. The value is the real part minus i times the imaginary part. Definition 10-3.2 of [Gleason] p. 132. (Contributed by NM, 10-May-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
remim	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (∗‘𝐴) = ((ℜ‘𝐴) − (i · (ℑ‘𝐴))))

Proof of Theorem remim

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cjval 11407	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (∗‘𝐴) = (℩𝑥 ∈ ℂ ((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴 − 𝑥)) ∈ ℝ)))
2		replim 11421	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 = ((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))))
3	2	oveq1d 6033	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 + ((ℜ‘𝐴) − (i · (ℑ‘𝐴)))) = (((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))) + ((ℜ‘𝐴) − (i · (ℑ‘𝐴)))))
4		recl 11415	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
5	4	recnd 8208	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℂ)
6		ax-icn 8127	. . . . . . 7 ⊢ i ∈ ℂ
7		imcl 11416	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
8	7	recnd 8208	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ)
9		mulcl 8159	. . . . . . 7 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ) → (i · (ℑ‘𝐴)) ∈ ℂ)
10	6, 8, 9	sylancr 414	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · (ℑ‘𝐴)) ∈ ℂ)
11	5, 10, 5	ppncand 8530	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))) + ((ℜ‘𝐴) − (i · (ℑ‘𝐴)))) = ((ℜ‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)))
12	3, 11	eqtrd 2264	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 + ((ℜ‘𝐴) − (i · (ℑ‘𝐴)))) = ((ℜ‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)))
13	4, 4	readdcld 8209	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((ℜ‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) ∈ ℝ)
14	12, 13	eqeltrd 2308	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 + ((ℜ‘𝐴) − (i · (ℑ‘𝐴)))) ∈ ℝ)
15	5, 10, 10	pnncand 8529	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))) − ((ℜ‘𝐴) − (i · (ℑ‘𝐴)))) = ((i · (ℑ‘𝐴)) + (i · (ℑ‘𝐴))))
16	2	oveq1d 6033	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 − ((ℜ‘𝐴) − (i · (ℑ‘𝐴)))) = (((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))) − ((ℜ‘𝐴) − (i · (ℑ‘𝐴)))))
17	6	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → i ∈ ℂ)
18	17, 8, 8	adddid 8204	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · ((ℑ‘𝐴) + (ℑ‘𝐴))) = ((i · (ℑ‘𝐴)) + (i · (ℑ‘𝐴))))
19	15, 16, 18	3eqtr4d 2274	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 − ((ℜ‘𝐴) − (i · (ℑ‘𝐴)))) = (i · ((ℑ‘𝐴) + (ℑ‘𝐴))))
20	19	oveq2d 6034	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · (𝐴 − ((ℜ‘𝐴) − (i · (ℑ‘𝐴))))) = (i · (i · ((ℑ‘𝐴) + (ℑ‘𝐴)))))
21	7, 7	readdcld 8209	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((ℑ‘𝐴) + (ℑ‘𝐴)) ∈ ℝ)
22	21	recnd 8208	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((ℑ‘𝐴) + (ℑ‘𝐴)) ∈ ℂ)
23		mulass 8163	. . . . . . 7 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ ∧ ((ℑ‘𝐴) + (ℑ‘𝐴)) ∈ ℂ) → ((i · i) · ((ℑ‘𝐴) + (ℑ‘𝐴))) = (i · (i · ((ℑ‘𝐴) + (ℑ‘𝐴)))))
24	6, 6, 23	mp3an12 1363	. . . . . 6 ⊢ (((ℑ‘𝐴) + (ℑ‘𝐴)) ∈ ℂ → ((i · i) · ((ℑ‘𝐴) + (ℑ‘𝐴))) = (i · (i · ((ℑ‘𝐴) + (ℑ‘𝐴)))))
25	22, 24	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((i · i) · ((ℑ‘𝐴) + (ℑ‘𝐴))) = (i · (i · ((ℑ‘𝐴) + (ℑ‘𝐴)))))
26	20, 25	eqtr4d 2267	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · (𝐴 − ((ℜ‘𝐴) − (i · (ℑ‘𝐴))))) = ((i · i) · ((ℑ‘𝐴) + (ℑ‘𝐴))))
27		ixi 8763	. . . . . 6 ⊢ (i · i) = -1
28		neg1rr 9249	. . . . . 6 ⊢ -1 ∈ ℝ
29	27, 28	eqeltri 2304	. . . . 5 ⊢ (i · i) ∈ ℝ
30		remulcl 8160	. . . . 5 ⊢ (((i · i) ∈ ℝ ∧ ((ℑ‘𝐴) + (ℑ‘𝐴)) ∈ ℝ) → ((i · i) · ((ℑ‘𝐴) + (ℑ‘𝐴))) ∈ ℝ)
31	29, 21, 30	sylancr 414	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((i · i) · ((ℑ‘𝐴) + (ℑ‘𝐴))) ∈ ℝ)
32	26, 31	eqeltrd 2308	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · (𝐴 − ((ℜ‘𝐴) − (i · (ℑ‘𝐴))))) ∈ ℝ)
33	5, 10	subcld 8490	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((ℜ‘𝐴) − (i · (ℑ‘𝐴))) ∈ ℂ)
34		cju 9141	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ∃!𝑥 ∈ ℂ ((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴 − 𝑥)) ∈ ℝ))
35		oveq2 6026	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = ((ℜ‘𝐴) − (i · (ℑ‘𝐴))) → (𝐴 + 𝑥) = (𝐴 + ((ℜ‘𝐴) − (i · (ℑ‘𝐴)))))
36	35	eleq1d 2300	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = ((ℜ‘𝐴) − (i · (ℑ‘𝐴))) → ((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ↔ (𝐴 + ((ℜ‘𝐴) − (i · (ℑ‘𝐴)))) ∈ ℝ))
37		oveq2 6026	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = ((ℜ‘𝐴) − (i · (ℑ‘𝐴))) → (𝐴 − 𝑥) = (𝐴 − ((ℜ‘𝐴) − (i · (ℑ‘𝐴)))))
38	37	oveq2d 6034	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = ((ℜ‘𝐴) − (i · (ℑ‘𝐴))) → (i · (𝐴 − 𝑥)) = (i · (𝐴 − ((ℜ‘𝐴) − (i · (ℑ‘𝐴))))))
39	38	eleq1d 2300	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = ((ℜ‘𝐴) − (i · (ℑ‘𝐴))) → ((i · (𝐴 − 𝑥)) ∈ ℝ ↔ (i · (𝐴 − ((ℜ‘𝐴) − (i · (ℑ‘𝐴))))) ∈ ℝ))
40	36, 39	anbi12d 473	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = ((ℜ‘𝐴) − (i · (ℑ‘𝐴))) → (((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴 − 𝑥)) ∈ ℝ) ↔ ((𝐴 + ((ℜ‘𝐴) − (i · (ℑ‘𝐴)))) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴 − ((ℜ‘𝐴) − (i · (ℑ‘𝐴))))) ∈ ℝ)))
41	40	riota2 5995	. . . 4 ⊢ ((((ℜ‘𝐴) − (i · (ℑ‘𝐴))) ∈ ℂ ∧ ∃!𝑥 ∈ ℂ ((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴 − 𝑥)) ∈ ℝ)) → (((𝐴 + ((ℜ‘𝐴) − (i · (ℑ‘𝐴)))) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴 − ((ℜ‘𝐴) − (i · (ℑ‘𝐴))))) ∈ ℝ) ↔ (℩𝑥 ∈ ℂ ((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴 − 𝑥)) ∈ ℝ)) = ((ℜ‘𝐴) − (i · (ℑ‘𝐴)))))
42	33, 34, 41	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((𝐴 + ((ℜ‘𝐴) − (i · (ℑ‘𝐴)))) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴 − ((ℜ‘𝐴) − (i · (ℑ‘𝐴))))) ∈ ℝ) ↔ (℩𝑥 ∈ ℂ ((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴 − 𝑥)) ∈ ℝ)) = ((ℜ‘𝐴) − (i · (ℑ‘𝐴)))))
43	14, 32, 42	mpbi2and 951	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (℩𝑥 ∈ ℂ ((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴 − 𝑥)) ∈ ℝ)) = ((ℜ‘𝐴) − (i · (ℑ‘𝐴))))
44	1, 43	eqtrd 2264	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (∗‘𝐴) = ((ℜ‘𝐴) − (i · (ℑ‘𝐴))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1397   ∈ wcel 2202  ∃!wreu 2512  ‘cfv 5326  ℩crio 5970  (class class class)co 6018  ℂcc 8030  ℝcr 8031  1c1 8033  ici 8034   + caddc 8035   · cmul 8037   − cmin 8350  -cneg 8351  ∗ccj 11401  ℜcre 11402  ℑcim 11403

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-mulrcl 8131  ax-addcom 8132  ax-mulcom 8133  ax-addass 8134  ax-mulass 8135  ax-distr 8136  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-1rid 8139  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-precex 8142  ax-cnre 8143  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-ltwlin 8145  ax-pre-lttrn 8146  ax-pre-apti 8147  ax-pre-ltadd 8148  ax-pre-mulgt0 8149  ax-pre-mulext 8150

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-fv 5334  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-xr 8218  df-ltxr 8219  df-le 8220  df-sub 8352  df-neg 8353  df-reap 8755  df-ap 8762  df-div 8853  df-2 9202  df-cj 11404  df-re 11405  df-im 11406

This theorem is referenced by:  cjreb  11428  recj  11429  remullem  11433  imcj  11437  cjadd  11446  cjneg  11452  imval2  11456  cji  11464  remimd  11504