Theorem swrdfv 11447

Description: A symbol in an extracted subword, indexed using the subword's indices. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
swrdfv	⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) ∧ 𝑋 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐹))) → ((𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩)‘𝑋) = (𝑆‘(𝑋 + 𝐹)))

Proof of Theorem swrdfv

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		swrdval2 11445	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = (𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐹)) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 𝐹))))
2	1	fveq1d 5700	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → ((𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩)‘𝑋) = ((𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐹)) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 𝐹)))‘𝑋))
3	2	adantr 276	. 2 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) ∧ 𝑋 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐹))) → ((𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩)‘𝑋) = ((𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐹)) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 𝐹)))‘𝑋))
4		eqid 2238	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐹)) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 𝐹))) = (𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐹)) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 𝐹)))
5		fvoveq1 6111	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑆‘(𝑥 + 𝐹)) = (𝑆‘(𝑋 + 𝐹)))
6		simpr 110	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) ∧ 𝑋 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐹))) → 𝑋 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐹)))
7		simpl1 1031	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) ∧ 𝑋 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐹))) → 𝑆 ∈ Word 𝐴)
8		elfzoelz 10571	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐹)) → 𝑋 ∈ ℤ)
9	8	adantl 277	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) ∧ 𝑋 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐹))) → 𝑋 ∈ ℤ)
10		elfzelz 10445	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (0...𝐿) → 𝐹 ∈ ℤ)
11	10	3ad2ant2 1050	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → 𝐹 ∈ ℤ)
12	11	adantr 276	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) ∧ 𝑋 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐹))) → 𝐹 ∈ ℤ)
13	9, 12	zaddcld 9783	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) ∧ 𝑋 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐹))) → (𝑋 + 𝐹) ∈ ℤ)
14		fvexg 5717	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑋 + 𝐹) ∈ ℤ) → (𝑆‘(𝑋 + 𝐹)) ∈ V)
15	7, 13, 14	syl2anc 415	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) ∧ 𝑋 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐹))) → (𝑆‘(𝑋 + 𝐹)) ∈ V)
16	4, 5, 6, 15	fvmptd3 5802	. 2 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) ∧ 𝑋 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐹))) → ((𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐹)) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 𝐹)))‘𝑋) = (𝑆‘(𝑋 + 𝐹)))
17	3, 16	eqtrd 2271	1 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) ∧ 𝑋 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐹))) → ((𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩)‘𝑋) = (𝑆‘(𝑋 + 𝐹)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 1009   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  Vcvv 2821  ⟨cop 3712   ↦ cmpt 4193  ‘cfv 5380  (class class class)co 6088  0cc0 8185   + caddc 8188   − cmin 8504  ℤcz 9655  ...cfz 10428  ..^cfzo 10566  ♯chash 11236  Word cword 11326   substr csubstr 11439

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-addcom 8285  ax-addass 8287  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-apti 8300  ax-pre-ltadd 8301

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6580  df-frec 6666  df-1o 6691  df-er 6811  df-en 7027  df-dom 7028  df-fin 7029  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-inn 9314  df-n0 9575  df-z 9656  df-uz 9938  df-fz 10429  df-fzo 10567  df-ihash 11237  df-word 11327  df-substr 11440

This theorem is used by:  swrdfv0  11448  swrdfv2  11457  swrds1  11462  ccatswrd  11464  swrdccat2  11465  pfxfv  11478  ccatpfx  11495  swrdswrd  11499  swrdccatin1  11519  swrdccatin2  11523  pfxccatin12lem2  11525  pfxccatin12lem3  11526