Theorem swrds1 11248

Description: Extract a single symbol from a word. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
swrds1	⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊 substr ⟨𝐼, (𝐼 + 1)⟩) = ⟨“(𝑊‘𝐼)”⟩)

Proof of Theorem swrds1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → 𝑊 ∈ Word 𝐴)
2		elfzoelz 10381	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → 𝐼 ∈ ℤ)
3	2	adantl 277	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → 𝐼 ∈ ℤ)
4	3	peano2zd 9604	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝐼 + 1) ∈ ℤ)
5		swrdclg 11230	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐼 ∈ ℤ ∧ (𝐼 + 1) ∈ ℤ) → (𝑊 substr ⟨𝐼, (𝐼 + 1)⟩) ∈ Word 𝐴)
6	1, 3, 4, 5	syl3anc 1273	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊 substr ⟨𝐼, (𝐼 + 1)⟩) ∈ Word 𝐴)
7		elfzouz 10385	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → 𝐼 ∈ (ℤ≥‘0))
8	7	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → 𝐼 ∈ (ℤ≥‘0))
9		uzid 9769	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ ℤ → 𝐼 ∈ (ℤ≥‘𝐼))
10		peano2uz 9816	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ (ℤ≥‘𝐼) → (𝐼 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝐼))
11	3, 9, 10	3syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝐼 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝐼))
12		elfzuzb 10253	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ (0...(𝐼 + 1)) ↔ (𝐼 ∈ (ℤ≥‘0) ∧ (𝐼 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝐼)))
13	8, 11, 12	sylanbrc 417	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → 𝐼 ∈ (0...(𝐼 + 1)))
14		fzofzp1 10471	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → (𝐼 + 1) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
15	14	adantl 277	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝐼 + 1) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
16		swrdlen 11232	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐼 ∈ (0...(𝐼 + 1)) ∧ (𝐼 + 1) ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (♯‘(𝑊 substr ⟨𝐼, (𝐼 + 1)⟩)) = ((𝐼 + 1) − 𝐼))
17	1, 13, 15, 16	syl3anc 1273	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (♯‘(𝑊 substr ⟨𝐼, (𝐼 + 1)⟩)) = ((𝐼 + 1) − 𝐼))
18	3	zcnd 9602	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → 𝐼 ∈ ℂ)
19		ax-1cn 8124	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
20		pncan2 8385	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝐼 + 1) − 𝐼) = 1)
21	18, 19, 20	sylancl 413	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝐼 + 1) − 𝐼) = 1)
22	17, 21	eqtrd 2264	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (♯‘(𝑊 substr ⟨𝐼, (𝐼 + 1)⟩)) = 1)
23		eqs1 11204	. . 3 ⊢ (((𝑊 substr ⟨𝐼, (𝐼 + 1)⟩) ∈ Word 𝐴 ∧ (♯‘(𝑊 substr ⟨𝐼, (𝐼 + 1)⟩)) = 1) → (𝑊 substr ⟨𝐼, (𝐼 + 1)⟩) = ⟨“((𝑊 substr ⟨𝐼, (𝐼 + 1)⟩)‘0)”⟩)
24	6, 22, 23	syl2anc 411	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊 substr ⟨𝐼, (𝐼 + 1)⟩) = ⟨“((𝑊 substr ⟨𝐼, (𝐼 + 1)⟩)‘0)”⟩)
25		0z 9489	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℤ
26		snidg 3698	. . . . . . 7 ⊢ (0 ∈ ℤ → 0 ∈ {0})
27	25, 26	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ {0}
28	21	oveq2d 6033	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (0..^((𝐼 + 1) − 𝐼)) = (0..^1))
29		fzo01 10460	. . . . . . 7 ⊢ (0..^1) = {0}
30	28, 29	eqtrdi 2280	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (0..^((𝐼 + 1) − 𝐼)) = {0})
31	27, 30	eleqtrrid 2321	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → 0 ∈ (0..^((𝐼 + 1) − 𝐼)))
32		swrdfv 11233	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐼 ∈ (0...(𝐼 + 1)) ∧ (𝐼 + 1) ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 0 ∈ (0..^((𝐼 + 1) − 𝐼))) → ((𝑊 substr ⟨𝐼, (𝐼 + 1)⟩)‘0) = (𝑊‘(0 + 𝐼)))
33	1, 13, 15, 31, 32	syl31anc 1276	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑊 substr ⟨𝐼, (𝐼 + 1)⟩)‘0) = (𝑊‘(0 + 𝐼)))
34		addlid 8317	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ ℂ → (0 + 𝐼) = 𝐼)
35	34	eqcomd 2237	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ ℂ → 𝐼 = (0 + 𝐼))
36	18, 35	syl 14	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → 𝐼 = (0 + 𝐼))
37	36	fveq2d 5643	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊‘𝐼) = (𝑊‘(0 + 𝐼)))
38	33, 37	eqtr4d 2267	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑊 substr ⟨𝐼, (𝐼 + 1)⟩)‘0) = (𝑊‘𝐼))
39	38	s1eqd 11196	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ⟨“((𝑊 substr ⟨𝐼, (𝐼 + 1)⟩)‘0)”⟩ = ⟨“(𝑊‘𝐼)”⟩)
40	24, 39	eqtrd 2264	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊 substr ⟨𝐼, (𝐼 + 1)⟩) = ⟨“(𝑊‘𝐼)”⟩)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1397   ∈ wcel 2202  {csn 3669  ⟨cop 3672  ‘cfv 5326  (class class class)co 6017  ℂcc 8029  0cc0 8031  1c1 8032   + caddc 8034   − cmin 8349  ℤcz 9478  ℤ_≥cuz 9754  ...cfz 10242  ..^cfzo 10376  ♯chash 11036  Word cword 11112  ⟨“cs1 11191   substr csubstr 11225

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-addcom 8131  ax-addass 8133  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-cnre 8142  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-ltwlin 8144  ax-pre-lttrn 8145  ax-pre-apti 8146  ax-pre-ltadd 8147

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-1st 6302  df-2nd 6303  df-recs 6470  df-frec 6556  df-1o 6581  df-er 6701  df-en 6909  df-dom 6910  df-fin 6911  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-xr 8217  df-ltxr 8218  df-le 8219  df-sub 8351  df-neg 8352  df-inn 9143  df-n0 9402  df-z 9479  df-uz 9755  df-fz 10243  df-fzo 10377  df-ihash 11037  df-word 11113  df-s1 11192  df-substr 11226

This theorem is referenced by:  swrdlsw  11249  pfx1  11283