ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  uzind4 GIF version

Theorem uzind4 9332
Description: Induction on the upper set of integers that starts at an integer 𝑀. The first four hypotheses give us the substitution instances we need, and the last two are the basis and the induction step. (Contributed by NM, 7-Sep-2005.)
Hypotheses
Ref Expression
uzind4.1 (𝑗 = 𝑀 → (𝜑𝜓))
uzind4.2 (𝑗 = 𝑘 → (𝜑𝜒))
uzind4.3 (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝜑𝜃))
uzind4.4 (𝑗 = 𝑁 → (𝜑𝜏))
uzind4.5 (𝑀 ∈ ℤ → 𝜓)
uzind4.6 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → (𝜒𝜃))
Assertion
Ref Expression
uzind4 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝜏)
Distinct variable groups:   𝑗,𝑁   𝜓,𝑗   𝜒,𝑗   𝜃,𝑗   𝜏,𝑗   𝜑,𝑘   𝑗,𝑘,𝑀
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑗)   𝜓(𝑘)   𝜒(𝑘)   𝜃(𝑘)   𝜏(𝑘)   𝑁(𝑘)

Proof of Theorem uzind4
Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eluzel2 9280 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
2 eluzelz 9284 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
3 eluzle 9287 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀𝑁)
4 breq2 3901 . . . 4 (𝑚 = 𝑁 → (𝑀𝑚𝑀𝑁))
54elrab 2811 . . 3 (𝑁 ∈ {𝑚 ∈ ℤ ∣ 𝑀𝑚} ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑁))
62, 3, 5sylanbrc 411 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ {𝑚 ∈ ℤ ∣ 𝑀𝑚})
7 uzind4.1 . . 3 (𝑗 = 𝑀 → (𝜑𝜓))
8 uzind4.2 . . 3 (𝑗 = 𝑘 → (𝜑𝜒))
9 uzind4.3 . . 3 (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝜑𝜃))
10 uzind4.4 . . 3 (𝑗 = 𝑁 → (𝜑𝜏))
11 uzind4.5 . . 3 (𝑀 ∈ ℤ → 𝜓)
12 breq2 3901 . . . . . 6 (𝑚 = 𝑘 → (𝑀𝑚𝑀𝑘))
1312elrab 2811 . . . . 5 (𝑘 ∈ {𝑚 ∈ ℤ ∣ 𝑀𝑚} ↔ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑘))
14 eluz2 9281 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑘))
1514biimpri 132 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑘) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
16153expb 1165 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑘)) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
1713, 16sylan2b 283 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ {𝑚 ∈ ℤ ∣ 𝑀𝑚}) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
18 uzind4.6 . . . 4 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → (𝜒𝜃))
1917, 18syl 14 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ {𝑚 ∈ ℤ ∣ 𝑀𝑚}) → (𝜒𝜃))
207, 8, 9, 10, 11, 19uzind3 9115 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ {𝑚 ∈ ℤ ∣ 𝑀𝑚}) → 𝜏)
211, 6, 20syl2anc 406 1 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝜏)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104  w3a 945   = wceq 1314  wcel 1463  {crab 2395   class class class wbr 3897  cfv 5091  (class class class)co 5740  1c1 7585   + caddc 7587  cle 7765  cz 9005  cuz 9275
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4014  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-setind 4420  ax-cnex 7675  ax-resscn 7676  ax-1cn 7677  ax-1re 7678  ax-icn 7679  ax-addcl 7680  ax-addrcl 7681  ax-mulcl 7682  ax-addcom 7684  ax-addass 7686  ax-distr 7688  ax-i2m1 7689  ax-0lt1 7690  ax-0id 7692  ax-rnegex 7693  ax-cnre 7695  ax-pre-ltirr 7696  ax-pre-ltwlin 7697  ax-pre-lttrn 7698  ax-pre-ltadd 7700
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-nel 2379  df-ral 2396  df-rex 2397  df-reu 2398  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-int 3740  df-br 3898  df-opab 3958  df-mpt 3959  df-id 4183  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-rn 4518  df-res 4519  df-ima 4520  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fn 5094  df-f 5095  df-fv 5099  df-riota 5696  df-ov 5743  df-oprab 5744  df-mpo 5745  df-pnf 7766  df-mnf 7767  df-xr 7768  df-ltxr 7769  df-le 7770  df-sub 7899  df-neg 7900  df-inn 8678  df-n0 8929  df-z 9006  df-uz 9276
This theorem is referenced by:  uzind4ALT  9333  uzind4s  9334  uzind4s2  9335  uzind4i  9336  frec2uzrand  10118  uzsinds  10155  seq3fveq2  10182  seq3shft2  10186  monoord  10189  seq3split  10192  seq3id2  10222  seq3homo  10223  seq3z  10224  leexp2r  10287  cvgratnnlemnexp  11233  cvgratnnlemmn  11234  dvdsfac  11454  zsupcllemex  11535  ennnfonelemkh  11820
  Copyright terms: Public domain W3C validator