Theorem uzind4 9920

Description: Induction on the upper set of integers that starts at an integer 𝑀. The first four hypotheses give us the substitution instances we need, and the last two are the basis and the induction step. (Contributed by NM, 7-Sep-2005.)

Hypotheses

Ref	Expression
uzind4.1	⊢ (𝑗 = 𝑀 → (𝜑 ↔ 𝜓))
uzind4.2	⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝜑 ↔ 𝜒))
uzind4.3	⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝜑 ↔ 𝜃))
uzind4.4	⊢ (𝑗 = 𝑁 → (𝜑 ↔ 𝜏))
uzind4.5	⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝜓)
uzind4.6	⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝜒 → 𝜃))

Assertion

Ref	Expression
uzind4	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝜏)

Distinct variable groups:   𝑗,𝑁   𝜓,𝑗   𝜒,𝑗   𝜃,𝑗   𝜏,𝑗   𝜑,𝑘   𝑗,𝑘,𝑀

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑗)   𝜓(𝑘)   𝜒(𝑘)   𝜃(𝑘)   𝜏(𝑘)   𝑁(𝑘)

Proof of Theorem uzind4

Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzel2 9858	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
2		eluzelz 9863	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
3		eluzle 9866	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ≤ 𝑁)
4		breq2 4113	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 𝑁 → (𝑀 ≤ 𝑚 ↔ 𝑀 ≤ 𝑁))
5	4	elrab 2973	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ {𝑚 ∈ ℤ ∣ 𝑀 ≤ 𝑚} ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))
6	2, 3, 5	sylanbrc 417	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ {𝑚 ∈ ℤ ∣ 𝑀 ≤ 𝑚})
7		uzind4.1	. . 3 ⊢ (𝑗 = 𝑀 → (𝜑 ↔ 𝜓))
8		uzind4.2	. . 3 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝜑 ↔ 𝜒))
9		uzind4.3	. . 3 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝜑 ↔ 𝜃))
10		uzind4.4	. . 3 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → (𝜑 ↔ 𝜏))
11		uzind4.5	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝜓)
12		breq2 4113	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → (𝑀 ≤ 𝑚 ↔ 𝑀 ≤ 𝑘))
13	12	elrab 2973	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ {𝑚 ∈ ℤ ∣ 𝑀 ≤ 𝑚} ↔ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑘))
14		eluz2 9859	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑘))
15	14	biimpri 133	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑘) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
16	15	3expb 1231	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑘)) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
17	13, 16	sylan2b 287	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ {𝑚 ∈ ℤ ∣ 𝑀 ≤ 𝑚}) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
18		uzind4.6	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝜒 → 𝜃))
19	17, 18	syl 14	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ {𝑚 ∈ ℤ ∣ 𝑀 ≤ 𝑚}) → (𝜒 → 𝜃))
20	7, 8, 9, 10, 11, 19	uzind3 9691	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ {𝑚 ∈ ℤ ∣ 𝑀 ≤ 𝑚}) → 𝜏)
21	1, 6, 20	syl2anc 411	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝜏)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1005   = wceq 1398   ∈ wcel 2203  {crab 2524   class class class wbr 4109  ‘cfv 5352  (class class class)co 6050  1c1 8128   + caddc 8130   ≤ cle 8309  ℤcz 9577  ℤ_≥cuz 9853

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-addcom 8227  ax-addass 8229  ax-distr 8231  ax-i2m1 8232  ax-0lt1 8233  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-cnre 8238  ax-pre-ltirr 8239  ax-pre-ltwlin 8240  ax-pre-lttrn 8241  ax-pre-ltadd 8243

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-id 4414  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-fv 5360  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-xr 8312  df-ltxr 8313  df-le 8314  df-sub 8446  df-neg 8447  df-inn 9238  df-n0 9497  df-z 9578  df-uz 9854

This theorem is referenced by:  uzind4ALT  9921  uzind4s  9922  uzind4s2  9923  uzind4i  9924  zsupcllemex  10590  frec2uzrand  10767  uzsinds  10806  seq3fveq2  10837  seq3shft2  10843  seqshft2g  10844  monoord  10847  seq3split  10850  seqsplitg  10851  seqf1og  10883  seq3id2  10888  seq3homo  10889  seq3z  10890  leexp2r  10955  cvgratnnlemnexp  12210  cvgratnnlemmn  12211  clim2prod  12225  fprodabs  12302  dvdsfac  12546  ennnfonelemkh  13163  gsumfzconst  14058