Theorem zrhmulg 13934

Description: Value of the ZRHom homomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
zrhval.l	|- L = ( ZRHom ` R )
zrhval2.m	|- .x. = (.g ` R )
zrhval2.1	|- .1. = ( 1r ` R )

Assertion

Ref	Expression
zrhmulg	|- ( ( R e. Ring /\ N e. ZZ ) -> ( L ` N ) = ( N .x. .1. ) )

Proof of Theorem zrhmulg

Dummy variable n is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zrhval.l	. . . . 5 |- L = ( ZRHom ` R )
2		zrhval2.m	. . . . 5 |- .x. = (.g ` R )
3		zrhval2.1	. . . . 5 |- .1. = ( 1r ` R )
4	1, 2, 3	zrhval2 13933	. . . 4 |- ( R e. Ring -> L = ( n e. ZZ |-> ( n .x. .1. ) ) )
5	4	fveq1d 5536	. . 3 |- ( R e. Ring -> ( L ` N ) = ( ( n e. ZZ |-> ( n .x. .1. ) ) ` N ) )
6	5	adantr 276	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ N e. ZZ ) -> ( L ` N ) = ( ( n e. ZZ |-> ( n .x. .1. ) ) ` N ) )
7		eqid 2189	. . 3 |- ( n e. ZZ |-> ( n .x. .1. ) ) = ( n e. ZZ |-> ( n .x. .1. ) )
8		oveq1 5904	. . 3 |- ( n = N -> ( n .x. .1. ) = ( N .x. .1. ) )
9		simpr 110	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ N e. ZZ ) -> N e. ZZ )
10		eqid 2189	. . . 4 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
11		ringgrp 13372	. . . . 5 |- ( R e. Ring -> R e. Grp )
12	11	adantr 276	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ N e. ZZ ) -> R e. Grp )
13	10, 3	ringidcl 13391	. . . . 5 |- ( R e. Ring -> .1. e. ( Base ` R ) )
14	13	adantr 276	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ N e. ZZ ) -> .1. e. ( Base ` R ) )
15	10, 2, 12, 9, 14	mulgcld 13101	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ N e. ZZ ) -> ( N .x. .1. ) e. ( Base ` R ) )
16	7, 8, 9, 15	fvmptd3 5630	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ N e. ZZ ) -> ( ( n e. ZZ |-> ( n .x. .1. ) ) ` N ) = ( N .x. .1. ) )
17	6, 16	eqtrd 2222	1 |- ( ( R e. Ring /\ N e. ZZ ) -> ( L ` N ) = ( N .x. .1. ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2160   |-> cmpt 4079   ` cfv 5235  (class class class)co 5897   ZZcz 9284   Basecbs 12515   Grpcgrp 12960  ._gcmg 13076   1rcur 13330   Ringcrg 13367   ZRHomczrh 13926

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-iinf 4605  ax-cnex 7933  ax-resscn 7934  ax-1cn 7935  ax-1re 7936  ax-icn 7937  ax-addcl 7938  ax-addrcl 7939  ax-mulcl 7940  ax-mulrcl 7941  ax-addcom 7942  ax-mulcom 7943  ax-addass 7944  ax-mulass 7945  ax-distr 7946  ax-i2m1 7947  ax-0lt1 7948  ax-1rid 7949  ax-0id 7950  ax-rnegex 7951  ax-precex 7952  ax-cnre 7953  ax-pre-ltirr 7954  ax-pre-ltwlin 7955  ax-pre-lttrn 7956  ax-pre-apti 7957  ax-pre-ltadd 7958  ax-pre-mulgt0 7959  ax-addf 7964  ax-mulf 7965

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-tp 3615  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4311  df-iord 4384  df-on 4386  df-ilim 4387  df-suc 4389  df-iom 4608  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-riota 5852  df-ov 5900  df-oprab 5901  df-mpo 5902  df-1st 6166  df-2nd 6167  df-recs 6331  df-frec 6417  df-map 6677  df-pnf 8025  df-mnf 8026  df-xr 8027  df-ltxr 8028  df-le 8029  df-sub 8161  df-neg 8162  df-reap 8563  df-inn 8951  df-2 9009  df-3 9010  df-4 9011  df-5 9012  df-6 9013  df-7 9014  df-8 9015  df-9 9016  df-n0 9208  df-z 9285  df-dec 9416  df-uz 9560  df-fz 10041  df-fzo 10175  df-seqfrec 10479  df-cj 10886  df-struct 12517  df-ndx 12518  df-slot 12519  df-base 12521  df-sets 12522  df-iress 12523  df-plusg 12605  df-mulr 12606  df-starv 12607  df-0g 12766  df-mgm 12835  df-sgrp 12880  df-mnd 12893  df-mhm 12926  df-grp 12963  df-minusg 12964  df-mulg 13077  df-subg 13126  df-ghm 13197  df-cmn 13242  df-mgp 13292  df-ur 13331  df-ring 13369  df-cring 13370  df-rhm 13519  df-subrg 13583  df-icnfld 13882  df-zring 13907  df-zrh 13929

This theorem is referenced by: (None)