Theorem zrhval2 14632

Description: Alternate value of the ZRHom homomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
zrhval.l	|- L = ( ZRHom ` R )
zrhval2.m	|- .x. = (.g ` R )
zrhval2.1	|- .1. = ( 1r ` R )

Assertion

Ref	Expression
zrhval2	|- ( R e. Ring -> L = ( n e. ZZ |-> ( n .x. .1. ) ) )

Distinct variable groups:   .1. , n   R, n   .x. , n

Allowed substitution hint:   L( n)

Proof of Theorem zrhval2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zrhval.l	. . 3 |- L = ( ZRHom ` R )
2	1	zrhvalg 14631	. 2 |- ( R e. Ring -> L = U. (ℤring RingHom R ) )
3		zrhval2.m	. . . . 5 |- .x. = (.g ` R )
4		eqid 2231	. . . . 5 |- ( n e. ZZ |-> ( n .x. .1. ) ) = ( n e. ZZ |-> ( n .x. .1. ) )
5		zrhval2.1	. . . . 5 |- .1. = ( 1r ` R )
6	3, 4, 5	mulgrhm2 14623	. . . 4 |- ( R e. Ring -> (ℤring RingHom R ) = { ( n e. ZZ |-> ( n .x. .1. ) ) } )
7	6	unieqd 3904	. . 3 |- ( R e. Ring -> U. (ℤring RingHom R ) = U. { ( n e. ZZ |-> ( n .x. .1. ) ) } )
8		zex 9487	. . . . 5 |- ZZ e. _V
9	8	mptex 5879	. . . 4 |- ( n e. ZZ |-> ( n .x. .1. ) ) e. _V
10	9	unisn 3909	. . 3 |- U. { ( n e. ZZ |-> ( n .x. .1. ) ) } = ( n e. ZZ |-> ( n .x. .1. ) )
11	7, 10	eqtrdi 2280	. 2 |- ( R e. Ring -> U. (ℤring RingHom R ) = ( n e. ZZ |-> ( n .x. .1. ) ) )
12	2, 11	eqtrd 2264	1 |- ( R e. Ring -> L = ( n e. ZZ |-> ( n .x. .1. ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1397   e. wcel 2202   {csn 3669   U.cuni 3893   |-> cmpt 4150   ` cfv 5326  (class class class)co 6017   ZZcz 9478  ._gcmg 13705   1rcur 13971   Ringcrg 14008   RingHom crh 14163  ℤ_ringczring 14603   ZRHomczrh 14624

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-mulrcl 8130  ax-addcom 8131  ax-mulcom 8132  ax-addass 8133  ax-mulass 8134  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-1rid 8138  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-precex 8141  ax-cnre 8142  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-ltwlin 8144  ax-pre-lttrn 8145  ax-pre-apti 8146  ax-pre-ltadd 8147  ax-pre-mulgt0 8148  ax-addf 8153  ax-mulf 8154

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-tp 3677  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-1st 6302  df-2nd 6303  df-recs 6470  df-frec 6556  df-map 6818  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-xr 8217  df-ltxr 8218  df-le 8219  df-sub 8351  df-neg 8352  df-reap 8754  df-inn 9143  df-2 9201  df-3 9202  df-4 9203  df-5 9204  df-6 9205  df-7 9206  df-8 9207  df-9 9208  df-n0 9402  df-z 9479  df-dec 9611  df-uz 9755  df-rp 9888  df-fz 10243  df-fzo 10377  df-seqfrec 10709  df-cj 11402  df-abs 11559  df-struct 13083  df-ndx 13084  df-slot 13085  df-base 13087  df-sets 13088  df-iress 13089  df-plusg 13172  df-mulr 13173  df-starv 13174  df-tset 13178  df-ple 13179  df-ds 13181  df-unif 13182  df-0g 13340  df-topgen 13342  df-mgm 13438  df-sgrp 13484  df-mnd 13499  df-mhm 13541  df-grp 13585  df-minusg 13586  df-mulg 13706  df-subg 13756  df-ghm 13827  df-cmn 13872  df-mgp 13933  df-ur 13972  df-ring 14010  df-cring 14011  df-rhm 14165  df-subrg 14232  df-bl 14559  df-mopn 14560  df-fg 14562  df-metu 14563  df-cnfld 14570  df-zring 14604  df-zrh 14627

This theorem is referenced by:  zrhmulg  14633  zrhrhmb  14635