Theorem zrhmulg 15039

Description: Value of the ℤRHom homomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
zrhval.l	⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑅)
zrhval2.m	⊢ · = (.g‘𝑅)
zrhval2.1	⊢ 1 = (1r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
zrhmulg	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐿‘𝑁) = (𝑁 · 1 ))

Proof of Theorem zrhmulg

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zrhval.l	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑅)
2		zrhval2.m	. . . . 5 ⊢ · = (.g‘𝑅)
3		zrhval2.1	. . . . 5 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
4	1, 2, 3	zrhval2 15038	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐿 = (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 1 )))
5	4	fveq1d 5697	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐿‘𝑁) = ((𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 1 ))‘𝑁))
6	5	adantr 276	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐿‘𝑁) = ((𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 1 ))‘𝑁))
7		eqid 2238	. . 3 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 1 )) = (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 1 ))
8		oveq1 6092	. . 3 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝑛 · 1 ) = (𝑁 · 1 ))
9		simpr 110	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
10		eqid 2238	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
11		ringgrp 14389	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
12	11	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑅 ∈ Grp)
13	10, 3	ringidcl 14409	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 ∈ (Base‘𝑅))
14	13	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 1 ∈ (Base‘𝑅))
15	10, 2, 12, 9, 14	mulgcld 14000	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 · 1 ) ∈ (Base‘𝑅))
16	7, 8, 9, 15	fvmptd3 5799	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 1 ))‘𝑁) = (𝑁 · 1 ))
17	6, 16	eqtrd 2271	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐿‘𝑁) = (𝑁 · 1 ))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   ↦ cmpt 4192  ‘cfv 5377  (class class class)co 6085  ℤcz 9649  Basecbs 13404  Grpcgrp 13858  ._gcmg 13975  1_rcur 14346  Ringcrg 14384  ℤRHomczrh 15030

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8271  ax-resscn 8272  ax-1cn 8273  ax-1re 8274  ax-icn 8275  ax-addcl 8276  ax-addrcl 8277  ax-mulcl 8278  ax-mulrcl 8279  ax-addcom 8280  ax-mulcom 8281  ax-addass 8282  ax-mulass 8283  ax-distr 8284  ax-i2m1 8285  ax-0lt1 8286  ax-1rid 8287  ax-0id 8288  ax-rnegex 8289  ax-precex 8290  ax-cnre 8291  ax-pre-ltirr 8292  ax-pre-ltwlin 8293  ax-pre-lttrn 8294  ax-pre-apti 8295  ax-pre-ltadd 8296  ax-pre-mulgt0 8297  ax-addf 8302  ax-mulf 8303

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-tp 3717  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-frec 6662  df-map 6924  df-pnf 8363  df-mnf 8364  df-xr 8365  df-ltxr 8366  df-le 8367  df-sub 8501  df-neg 8502  df-reap 8906  df-inn 9308  df-2 9366  df-3 9367  df-4 9368  df-5 9369  df-6 9370  df-7 9371  df-8 9372  df-9 9373  df-n0 9569  df-z 9650  df-dec 9783  df-uz 9932  df-rp 10066  df-fz 10423  df-fzo 10561  df-seqfrec 10900  df-cj 11623  df-abs 11781  df-struct 13406  df-ndx 13407  df-slot 13408  df-base 13410  df-sets 13411  df-iress 13412  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-starv 13499  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-unif 13507  df-0g 13665  df-topgen 13667  df-mgm 13729  df-sgrp 13770  df-mnd 13783  df-mhm 13819  df-grp 13861  df-minusg 13862  df-mulg 13976  df-subg 14026  df-ghm 14097  df-cmn 14173  df-mgp 14302  df-ur 14347  df-ring 14386  df-cring 14387  df-rhm 14543  df-subrg 14611  df-bl 14967  df-mopn 14968  df-fg 14970  df-metu 14971  df-cnfld 14978  df-zring 15010  df-zrh 15033

This theorem is used by: (None)