Theorem zrhmulg 14457

Description: Value of the ℤRHom homomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
zrhval.l	⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑅)
zrhval2.m	⊢ · = (.g‘𝑅)
zrhval2.1	⊢ 1 = (1r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
zrhmulg	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐿‘𝑁) = (𝑁 · 1 ))

Proof of Theorem zrhmulg

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zrhval.l	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑅)
2		zrhval2.m	. . . . 5 ⊢ · = (.g‘𝑅)
3		zrhval2.1	. . . . 5 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
4	1, 2, 3	zrhval2 14456	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐿 = (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 1 )))
5	4	fveq1d 5591	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐿‘𝑁) = ((𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 1 ))‘𝑁))
6	5	adantr 276	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐿‘𝑁) = ((𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 1 ))‘𝑁))
7		eqid 2206	. . 3 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 1 )) = (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 1 ))
8		oveq1 5964	. . 3 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝑛 · 1 ) = (𝑁 · 1 ))
9		simpr 110	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
10		eqid 2206	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
11		ringgrp 13838	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
12	11	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑅 ∈ Grp)
13	10, 3	ringidcl 13857	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 ∈ (Base‘𝑅))
14	13	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 1 ∈ (Base‘𝑅))
15	10, 2, 12, 9, 14	mulgcld 13555	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 · 1 ) ∈ (Base‘𝑅))
16	7, 8, 9, 15	fvmptd3 5686	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 1 ))‘𝑁) = (𝑁 · 1 ))
17	6, 16	eqtrd 2239	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐿‘𝑁) = (𝑁 · 1 ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1373   ∈ wcel 2177   ↦ cmpt 4113  ‘cfv 5280  (class class class)co 5957  ℤcz 9392  Basecbs 12907  Grpcgrp 13407  ._gcmg 13530  1_rcur 13796  Ringcrg 13833  ℤRHomczrh 14448

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4167  ax-sep 4170  ax-nul 4178  ax-pow 4226  ax-pr 4261  ax-un 4488  ax-setind 4593  ax-iinf 4644  ax-cnex 8036  ax-resscn 8037  ax-1cn 8038  ax-1re 8039  ax-icn 8040  ax-addcl 8041  ax-addrcl 8042  ax-mulcl 8043  ax-mulrcl 8044  ax-addcom 8045  ax-mulcom 8046  ax-addass 8047  ax-mulass 8048  ax-distr 8049  ax-i2m1 8050  ax-0lt1 8051  ax-1rid 8052  ax-0id 8053  ax-rnegex 8054  ax-precex 8055  ax-cnre 8056  ax-pre-ltirr 8057  ax-pre-ltwlin 8058  ax-pre-lttrn 8059  ax-pre-apti 8060  ax-pre-ltadd 8061  ax-pre-mulgt0 8062  ax-addf 8067  ax-mulf 8068

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rmo 2493  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-csb 3098  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-nul 3465  df-if 3576  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-tp 3646  df-op 3647  df-uni 3857  df-int 3892  df-iun 3935  df-br 4052  df-opab 4114  df-mpt 4115  df-tr 4151  df-id 4348  df-iord 4421  df-on 4423  df-ilim 4424  df-suc 4426  df-iom 4647  df-xp 4689  df-rel 4690  df-cnv 4691  df-co 4692  df-dm 4693  df-rn 4694  df-res 4695  df-ima 4696  df-iota 5241  df-fun 5282  df-fn 5283  df-f 5284  df-f1 5285  df-fo 5286  df-f1o 5287  df-fv 5288  df-riota 5912  df-ov 5960  df-oprab 5961  df-mpo 5962  df-1st 6239  df-2nd 6240  df-recs 6404  df-frec 6490  df-map 6750  df-pnf 8129  df-mnf 8130  df-xr 8131  df-ltxr 8132  df-le 8133  df-sub 8265  df-neg 8266  df-reap 8668  df-inn 9057  df-2 9115  df-3 9116  df-4 9117  df-5 9118  df-6 9119  df-7 9120  df-8 9121  df-9 9122  df-n0 9316  df-z 9393  df-dec 9525  df-uz 9669  df-rp 9796  df-fz 10151  df-fzo 10285  df-seqfrec 10615  df-cj 11228  df-abs 11385  df-struct 12909  df-ndx 12910  df-slot 12911  df-base 12913  df-sets 12914  df-iress 12915  df-plusg 12997  df-mulr 12998  df-starv 12999  df-tset 13003  df-ple 13004  df-ds 13006  df-unif 13007  df-0g 13165  df-topgen 13167  df-mgm 13263  df-sgrp 13309  df-mnd 13324  df-mhm 13366  df-grp 13410  df-minusg 13411  df-mulg 13531  df-subg 13581  df-ghm 13652  df-cmn 13697  df-mgp 13758  df-ur 13797  df-ring 13835  df-cring 13836  df-rhm 13989  df-subrg 14056  df-bl 14383  df-mopn 14384  df-fg 14386  df-metu 14387  df-cnfld 14394  df-zring 14428  df-zrh 14451

This theorem is referenced by: (None)