![]() |
Intuitionistic Logic Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > zringmulg | GIF version |
Description: The multiplication (group power) operation of the group of integers. (Contributed by Thierry Arnoux, 31-Oct-2017.) (Revised by AV, 9-Jun-2019.) |
Ref | Expression |
---|---|
zringmulg | โข ((๐ด โ โค โง ๐ต โ โค) โ (๐ด(.gโโคring)๐ต) = (๐ด ยท ๐ต)) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | zcn 9271 | . . . 4 โข (๐ฅ โ โค โ ๐ฅ โ โ) | |
2 | zaddcl 9306 | . . . 4 โข ((๐ฅ โ โค โง ๐ฆ โ โค) โ (๐ฅ + ๐ฆ) โ โค) | |
3 | znegcl 9297 | . . . 4 โข (๐ฅ โ โค โ -๐ฅ โ โค) | |
4 | 1z 9292 | . . . 4 โข 1 โ โค | |
5 | 1, 2, 3, 4 | cnsubglem 13730 | . . 3 โข โค โ (SubGrpโโfld) |
6 | eqid 2187 | . . . 4 โข (.gโโfld) = (.gโโfld) | |
7 | df-zring 13738 | . . . 4 โข โคring = (โfld โพs โค) | |
8 | eqid 2187 | . . . 4 โข (.gโโคring) = (.gโโคring) | |
9 | 6, 7, 8 | subgmulg 13079 | . . 3 โข ((โค โ (SubGrpโโfld) โง ๐ด โ โค โง ๐ต โ โค) โ (๐ด(.gโโfld)๐ต) = (๐ด(.gโโคring)๐ต)) |
10 | 5, 9 | mp3an1 1334 | . 2 โข ((๐ด โ โค โง ๐ต โ โค) โ (๐ด(.gโโfld)๐ต) = (๐ด(.gโโคring)๐ต)) |
11 | simpr 110 | . . . 4 โข ((๐ด โ โค โง ๐ต โ โค) โ ๐ต โ โค) | |
12 | 11 | zcnd 9389 | . . 3 โข ((๐ด โ โค โง ๐ต โ โค) โ ๐ต โ โ) |
13 | cnfldmulg 13727 | . . 3 โข ((๐ด โ โค โง ๐ต โ โ) โ (๐ด(.gโโfld)๐ต) = (๐ด ยท ๐ต)) | |
14 | 12, 13 | syldan 282 | . 2 โข ((๐ด โ โค โง ๐ต โ โค) โ (๐ด(.gโโfld)๐ต) = (๐ด ยท ๐ต)) |
15 | 10, 14 | eqtr3d 2222 | 1 โข ((๐ด โ โค โง ๐ต โ โค) โ (๐ด(.gโโคring)๐ต) = (๐ด ยท ๐ต)) |
Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: โ wi 4 โง wa 104 = wceq 1363 โ wcel 2158 โcfv 5228 (class class class)co 5888 โcc 7822 1c1 7825 ยท cmul 7829 โคcz 9266 .gcmg 13013 SubGrpcsubg 13058 โfldccnfld 13712 โคringczring 13737 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 615 ax-in2 616 ax-io 710 ax-5 1457 ax-7 1458 ax-gen 1459 ax-ie1 1503 ax-ie2 1504 ax-8 1514 ax-10 1515 ax-11 1516 ax-i12 1517 ax-bndl 1519 ax-4 1520 ax-17 1536 ax-i9 1540 ax-ial 1544 ax-i5r 1545 ax-13 2160 ax-14 2161 ax-ext 2169 ax-coll 4130 ax-sep 4133 ax-nul 4141 ax-pow 4186 ax-pr 4221 ax-un 4445 ax-setind 4548 ax-iinf 4599 ax-cnex 7915 ax-resscn 7916 ax-1cn 7917 ax-1re 7918 ax-icn 7919 ax-addcl 7920 ax-addrcl 7921 ax-mulcl 7922 ax-mulrcl 7923 ax-addcom 7924 ax-mulcom 7925 ax-addass 7926 ax-mulass 7927 ax-distr 7928 ax-i2m1 7929 ax-0lt1 7930 ax-1rid 7931 ax-0id 7932 ax-rnegex 7933 ax-precex 7934 ax-cnre 7935 ax-pre-ltirr 7936 ax-pre-ltwlin 7937 ax-pre-lttrn 7938 ax-pre-apti 7939 ax-pre-ltadd 7940 ax-pre-mulgt0 7941 ax-addf 7946 ax-mulf 7947 |
This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 836 df-3or 980 df-3an 981 df-tru 1366 df-fal 1369 df-nf 1471 df-sb 1773 df-eu 2039 df-mo 2040 df-clab 2174 df-cleq 2180 df-clel 2183 df-nfc 2318 df-ne 2358 df-nel 2453 df-ral 2470 df-rex 2471 df-reu 2472 df-rmo 2473 df-rab 2474 df-v 2751 df-sbc 2975 df-csb 3070 df-dif 3143 df-un 3145 df-in 3147 df-ss 3154 df-nul 3435 df-if 3547 df-pw 3589 df-sn 3610 df-pr 3611 df-tp 3612 df-op 3613 df-uni 3822 df-int 3857 df-iun 3900 df-br 4016 df-opab 4077 df-mpt 4078 df-tr 4114 df-id 4305 df-iord 4378 df-on 4380 df-ilim 4381 df-suc 4383 df-iom 4602 df-xp 4644 df-rel 4645 df-cnv 4646 df-co 4647 df-dm 4648 df-rn 4649 df-res 4650 df-ima 4651 df-iota 5190 df-fun 5230 df-fn 5231 df-f 5232 df-f1 5233 df-fo 5234 df-f1o 5235 df-fv 5236 df-riota 5844 df-ov 5891 df-oprab 5892 df-mpo 5893 df-1st 6154 df-2nd 6155 df-recs 6319 df-frec 6405 df-pnf 8007 df-mnf 8008 df-xr 8009 df-ltxr 8010 df-le 8011 df-sub 8143 df-neg 8144 df-reap 8545 df-inn 8933 df-2 8991 df-3 8992 df-4 8993 df-5 8994 df-6 8995 df-7 8996 df-8 8997 df-9 8998 df-n0 9190 df-z 9267 df-dec 9398 df-uz 9542 df-fz 10022 df-seqfrec 10459 df-cj 10864 df-struct 12477 df-ndx 12478 df-slot 12479 df-base 12481 df-sets 12482 df-iress 12483 df-plusg 12563 df-mulr 12564 df-starv 12565 df-0g 12724 df-mgm 12793 df-sgrp 12826 df-mnd 12839 df-grp 12901 df-minusg 12902 df-mulg 13014 df-subg 13061 df-cmn 13122 df-mgp 13171 df-ring 13245 df-cring 13246 df-icnfld 13713 df-zring 13738 |
This theorem is referenced by: (None) |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |