Theorem zringmulg 14097

Description: The multiplication (group power) operation of the group of integers. (Contributed by Thierry Arnoux, 31-Oct-2017.) (Revised by AV, 9-Jun-2019.)

Assertion

Ref	Expression
zringmulg	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴(.g‘ℤring)𝐵) = (𝐴 · 𝐵))

Proof of Theorem zringmulg

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zcn 9325	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
2		zaddcl 9360	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℤ)
3		znegcl 9351	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → -𝑥 ∈ ℤ)
4		1z 9346	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℤ
5	1, 2, 3, 4	cnsubglem 14078	. . 3 ⊢ ℤ ∈ (SubGrp‘ℂfld)
6		eqid 2193	. . . 4 ⊢ (.g‘ℂfld) = (.g‘ℂfld)
7		df-zring 14090	. . . 4 ⊢ ℤring = (ℂfld ↾s ℤ)
8		eqid 2193	. . . 4 ⊢ (.g‘ℤring) = (.g‘ℤring)
9	6, 7, 8	subgmulg 13261	. . 3 ⊢ ((ℤ ∈ (SubGrp‘ℂfld) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴(.g‘ℂfld)𝐵) = (𝐴(.g‘ℤring)𝐵))
10	5, 9	mp3an1 1335	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴(.g‘ℂfld)𝐵) = (𝐴(.g‘ℤring)𝐵))
11		simpr 110	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈ ℤ)
12	11	zcnd 9443	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈ ℂ)
13		cnfldmulg 14075	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴(.g‘ℂfld)𝐵) = (𝐴 · 𝐵))
14	12, 13	syldan 282	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴(.g‘ℂfld)𝐵) = (𝐴 · 𝐵))
15	10, 14	eqtr3d 2228	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴(.g‘ℤring)𝐵) = (𝐴 · 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1364   ∈ wcel 2164  ‘cfv 5255  (class class class)co 5919  ℂcc 7872  1c1 7875   · cmul 7879  ℤcz 9320  ._gcmg 13192  SubGrpcsubg 13240  ℂ_fldccnfld 14055  ℤ_ringczring 14089

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4145  ax-sep 4148  ax-nul 4156  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-iinf 4621  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-1re 7968  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-mulrcl 7973  ax-addcom 7974  ax-mulcom 7975  ax-addass 7976  ax-mulass 7977  ax-distr 7978  ax-i2m1 7979  ax-0lt1 7980  ax-1rid 7981  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-precex 7984  ax-cnre 7985  ax-pre-ltirr 7986  ax-pre-ltwlin 7987  ax-pre-lttrn 7988  ax-pre-apti 7989  ax-pre-ltadd 7990  ax-pre-mulgt0 7991  ax-addf 7996  ax-mulf 7997

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-if 3559  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-tp 3627  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-tr 4129  df-id 4325  df-iord 4398  df-on 4400  df-ilim 4401  df-suc 4403  df-iom 4624  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-riota 5874  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-1st 6195  df-2nd 6196  df-recs 6360  df-frec 6446  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-xr 8060  df-ltxr 8061  df-le 8062  df-sub 8194  df-neg 8195  df-reap 8596  df-inn 8985  df-2 9043  df-3 9044  df-4 9045  df-5 9046  df-6 9047  df-7 9048  df-8 9049  df-9 9050  df-n0 9244  df-z 9321  df-dec 9452  df-uz 9596  df-rp 9723  df-fz 10078  df-seqfrec 10522  df-cj 10989  df-abs 11146  df-struct 12623  df-ndx 12624  df-slot 12625  df-base 12627  df-sets 12628  df-iress 12629  df-plusg 12711  df-mulr 12712  df-starv 12713  df-tset 12717  df-ple 12718  df-ds 12720  df-unif 12721  df-0g 12872  df-topgen 12874  df-mgm 12942  df-sgrp 12988  df-mnd 13001  df-grp 13078  df-minusg 13079  df-mulg 13193  df-subg 13243  df-cmn 13359  df-mgp 13420  df-ring 13497  df-cring 13498  df-bl 14045  df-mopn 14046  df-fg 14048  df-metu 14049  df-cnfld 14056  df-zring 14090

This theorem is referenced by:  mulgrhm2  14109