Theorem zringmulg 14858

Description: The multiplication (group power) operation of the group of integers. (Contributed by Thierry Arnoux, 31-Oct-2017.) (Revised by AV, 9-Jun-2019.)

Assertion

Ref	Expression
zringmulg	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴(.g‘ℤring)𝐵) = (𝐴 · 𝐵))

Proof of Theorem zringmulg

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zcn 9599	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
2		zaddcl 9634	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℤ)
3		znegcl 9625	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → -𝑥 ∈ ℤ)
4		1z 9620	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℤ
5	1, 2, 3, 4	cnsubglem 14839	. . 3 ⊢ ℤ ∈ (SubGrp‘ℂfld)
6		eqid 2234	. . . 4 ⊢ (.g‘ℂfld) = (.g‘ℂfld)
7		df-zring 14851	. . . 4 ⊢ ℤring = (ℂfld ↾s ℤ)
8		eqid 2234	. . . 4 ⊢ (.g‘ℤring) = (.g‘ℤring)
9	6, 7, 8	subgmulg 13989	. . 3 ⊢ ((ℤ ∈ (SubGrp‘ℂfld) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴(.g‘ℂfld)𝐵) = (𝐴(.g‘ℤring)𝐵))
10	5, 9	mp3an1 1361	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴(.g‘ℂfld)𝐵) = (𝐴(.g‘ℤring)𝐵))
11		simpr 110	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈ ℤ)
12	11	zcnd 9719	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈ ℂ)
13		cnfldmulg 14836	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴(.g‘ℂfld)𝐵) = (𝐴 · 𝐵))
14	12, 13	syldan 282	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴(.g‘ℂfld)𝐵) = (𝐴 · 𝐵))
15	10, 14	eqtr3d 2269	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴(.g‘ℤring)𝐵) = (𝐴 · 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1398   ∈ wcel 2205  ‘cfv 5357  (class class class)co 6058  ℂcc 8141  1c1 8144   · cmul 8148  ℤcz 9594  ._gcmg 13920  SubGrpcsubg 13968  ℂ_fldccnfld 14816  ℤ_ringczring 14850

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-mulrcl 8242  ax-addcom 8243  ax-mulcom 8244  ax-addass 8245  ax-mulass 8246  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-1rid 8250  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-precex 8253  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-apti 8258  ax-pre-ltadd 8259  ax-pre-mulgt0 8260  ax-addf 8265  ax-mulf 8266

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3625  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-tp 3702  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-iord 4492  df-on 4494  df-ilim 4495  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-recs 6549  df-frec 6635  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-reap 8866  df-inn 9255  df-2 9313  df-3 9314  df-4 9315  df-5 9316  df-6 9317  df-7 9318  df-8 9319  df-9 9320  df-n0 9514  df-z 9595  df-dec 9728  df-uz 9872  df-rp 10005  df-fz 10362  df-seqfrec 10834  df-cj 11552  df-abs 11709  df-struct 13298  df-ndx 13299  df-slot 13300  df-base 13302  df-sets 13303  df-iress 13304  df-plusg 13387  df-mulr 13388  df-starv 13389  df-tset 13393  df-ple 13394  df-ds 13396  df-unif 13397  df-0g 13555  df-topgen 13557  df-mgm 13653  df-sgrp 13699  df-mnd 13714  df-grp 13800  df-minusg 13801  df-mulg 13921  df-subg 13971  df-cmn 14087  df-mgp 14149  df-ring 14226  df-cring 14227  df-bl 14806  df-mopn 14807  df-fg 14809  df-metu 14810  df-cnfld 14817  df-zring 14851

This theorem is referenced by:  mulgrhm2  14870