ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  distrnqg GIF version

Theorem distrnqg 7385
Description: Multiplication of positive fractions is distributive. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Sep-2019.)
Assertion
Ref Expression
distrnqg ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q โˆง ๐ถ โˆˆ Q) โ†’ (๐ด ยทQ (๐ต +Q ๐ถ)) = ((๐ด ยทQ ๐ต) +Q (๐ด ยทQ ๐ถ)))

Proof of Theorem distrnqg
Dummy variables ๐‘ข ๐‘ฃ ๐‘ค ๐‘ฅ ๐‘ฆ ๐‘ง ๐‘“ ๐‘” โ„Ž are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-nqqs 7346 . 2 Q = ((N ร— N) / ~Q )
2 addpipqqs 7368 . 2 (((๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N)) โ†’ ([โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q +Q [โŸจ๐‘ฃ, ๐‘ขโŸฉ] ~Q ) = [โŸจ((๐‘ง ยทN ๐‘ข) +N (๐‘ค ยทN ๐‘ฃ)), (๐‘ค ยทN ๐‘ข)โŸฉ] ~Q )
3 mulpipqqs 7371 . . 3 (((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (((๐‘ง ยทN ๐‘ข) +N (๐‘ค ยทN ๐‘ฃ)) โˆˆ N โˆง (๐‘ค ยทN ๐‘ข) โˆˆ N)) โ†’ ([โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ] ~Q ยทQ [โŸจ((๐‘ง ยทN ๐‘ข) +N (๐‘ค ยทN ๐‘ฃ)), (๐‘ค ยทN ๐‘ข)โŸฉ] ~Q ) = [โŸจ(๐‘ฅ ยทN ((๐‘ง ยทN ๐‘ข) +N (๐‘ค ยทN ๐‘ฃ))), (๐‘ฆ ยทN (๐‘ค ยทN ๐‘ข))โŸฉ] ~Q )
4 mulclpi 7326 . . . . . . 7 ((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ((๐‘ง ยทN ๐‘ข) +N (๐‘ค ยทN ๐‘ฃ)) โˆˆ N) โ†’ (๐‘ฅ ยทN ((๐‘ง ยทN ๐‘ข) +N (๐‘ค ยทN ๐‘ฃ))) โˆˆ N)
5 simpl 109 . . . . . . . 8 ((๐‘ฆ โˆˆ N โˆง (๐‘ค ยทN ๐‘ข) โˆˆ N) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ N)
6 mulclpi 7326 . . . . . . . 8 ((๐‘ฆ โˆˆ N โˆง (๐‘ค ยทN ๐‘ข) โˆˆ N) โ†’ (๐‘ฆ ยทN (๐‘ค ยทN ๐‘ข)) โˆˆ N)
75, 6jca 306 . . . . . . 7 ((๐‘ฆ โˆˆ N โˆง (๐‘ค ยทN ๐‘ข) โˆˆ N) โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ N โˆง (๐‘ฆ ยทN (๐‘ค ยทN ๐‘ข)) โˆˆ N))
84, 7anim12i 338 . . . . . 6 (((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ((๐‘ง ยทN ๐‘ข) +N (๐‘ค ยทN ๐‘ฃ)) โˆˆ N) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ N โˆง (๐‘ค ยทN ๐‘ข) โˆˆ N)) โ†’ ((๐‘ฅ ยทN ((๐‘ง ยทN ๐‘ข) +N (๐‘ค ยทN ๐‘ฃ))) โˆˆ N โˆง (๐‘ฆ โˆˆ N โˆง (๐‘ฆ ยทN (๐‘ค ยทN ๐‘ข)) โˆˆ N)))
9 an12 561 . . . . . . 7 (((๐‘ฅ ยทN ((๐‘ง ยทN ๐‘ข) +N (๐‘ค ยทN ๐‘ฃ))) โˆˆ N โˆง (๐‘ฆ โˆˆ N โˆง (๐‘ฆ ยทN (๐‘ค ยทN ๐‘ข)) โˆˆ N)) โ†” (๐‘ฆ โˆˆ N โˆง ((๐‘ฅ ยทN ((๐‘ง ยทN ๐‘ข) +N (๐‘ค ยทN ๐‘ฃ))) โˆˆ N โˆง (๐‘ฆ ยทN (๐‘ค ยทN ๐‘ข)) โˆˆ N)))
10 3anass 982 . . . . . . 7 ((๐‘ฆ โˆˆ N โˆง (๐‘ฅ ยทN ((๐‘ง ยทN ๐‘ข) +N (๐‘ค ยทN ๐‘ฃ))) โˆˆ N โˆง (๐‘ฆ ยทN (๐‘ค ยทN ๐‘ข)) โˆˆ N) โ†” (๐‘ฆ โˆˆ N โˆง ((๐‘ฅ ยทN ((๐‘ง ยทN ๐‘ข) +N (๐‘ค ยทN ๐‘ฃ))) โˆˆ N โˆง (๐‘ฆ ยทN (๐‘ค ยทN ๐‘ข)) โˆˆ N)))
119, 10bitr4i 187 . . . . . 6 (((๐‘ฅ ยทN ((๐‘ง ยทN ๐‘ข) +N (๐‘ค ยทN ๐‘ฃ))) โˆˆ N โˆง (๐‘ฆ โˆˆ N โˆง (๐‘ฆ ยทN (๐‘ค ยทN ๐‘ข)) โˆˆ N)) โ†” (๐‘ฆ โˆˆ N โˆง (๐‘ฅ ยทN ((๐‘ง ยทN ๐‘ข) +N (๐‘ค ยทN ๐‘ฃ))) โˆˆ N โˆง (๐‘ฆ ยทN (๐‘ค ยทN ๐‘ข)) โˆˆ N))
128, 11sylib 122 . . . . 5 (((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ((๐‘ง ยทN ๐‘ข) +N (๐‘ค ยทN ๐‘ฃ)) โˆˆ N) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ N โˆง (๐‘ค ยทN ๐‘ข) โˆˆ N)) โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ N โˆง (๐‘ฅ ยทN ((๐‘ง ยทN ๐‘ข) +N (๐‘ค ยทN ๐‘ฃ))) โˆˆ N โˆง (๐‘ฆ ยทN (๐‘ค ยทN ๐‘ข)) โˆˆ N))
1312an4s 588 . . . 4 (((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (((๐‘ง ยทN ๐‘ข) +N (๐‘ค ยทN ๐‘ฃ)) โˆˆ N โˆง (๐‘ค ยทN ๐‘ข) โˆˆ N)) โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ N โˆง (๐‘ฅ ยทN ((๐‘ง ยทN ๐‘ข) +N (๐‘ค ยทN ๐‘ฃ))) โˆˆ N โˆง (๐‘ฆ ยทN (๐‘ค ยทN ๐‘ข)) โˆˆ N))
14 mulcanenqec 7384 . . . 4 ((๐‘ฆ โˆˆ N โˆง (๐‘ฅ ยทN ((๐‘ง ยทN ๐‘ข) +N (๐‘ค ยทN ๐‘ฃ))) โˆˆ N โˆง (๐‘ฆ ยทN (๐‘ค ยทN ๐‘ข)) โˆˆ N) โ†’ [โŸจ(๐‘ฆ ยทN (๐‘ฅ ยทN ((๐‘ง ยทN ๐‘ข) +N (๐‘ค ยทN ๐‘ฃ)))), (๐‘ฆ ยทN (๐‘ฆ ยทN (๐‘ค ยทN ๐‘ข)))โŸฉ] ~Q = [โŸจ(๐‘ฅ ยทN ((๐‘ง ยทN ๐‘ข) +N (๐‘ค ยทN ๐‘ฃ))), (๐‘ฆ ยทN (๐‘ค ยทN ๐‘ข))โŸฉ] ~Q )
1513, 14syl 14 . . 3 (((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (((๐‘ง ยทN ๐‘ข) +N (๐‘ค ยทN ๐‘ฃ)) โˆˆ N โˆง (๐‘ค ยทN ๐‘ข) โˆˆ N)) โ†’ [โŸจ(๐‘ฆ ยทN (๐‘ฅ ยทN ((๐‘ง ยทN ๐‘ข) +N (๐‘ค ยทN ๐‘ฃ)))), (๐‘ฆ ยทN (๐‘ฆ ยทN (๐‘ค ยทN ๐‘ข)))โŸฉ] ~Q = [โŸจ(๐‘ฅ ยทN ((๐‘ง ยทN ๐‘ข) +N (๐‘ค ยทN ๐‘ฃ))), (๐‘ฆ ยทN (๐‘ค ยทN ๐‘ข))โŸฉ] ~Q )
163, 15eqtr4d 2213 . 2 (((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (((๐‘ง ยทN ๐‘ข) +N (๐‘ค ยทN ๐‘ฃ)) โˆˆ N โˆง (๐‘ค ยทN ๐‘ข) โˆˆ N)) โ†’ ([โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ] ~Q ยทQ [โŸจ((๐‘ง ยทN ๐‘ข) +N (๐‘ค ยทN ๐‘ฃ)), (๐‘ค ยทN ๐‘ข)โŸฉ] ~Q ) = [โŸจ(๐‘ฆ ยทN (๐‘ฅ ยทN ((๐‘ง ยทN ๐‘ข) +N (๐‘ค ยทN ๐‘ฃ)))), (๐‘ฆ ยทN (๐‘ฆ ยทN (๐‘ค ยทN ๐‘ข)))โŸฉ] ~Q )
17 mulpipqqs 7371 . 2 (((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N)) โ†’ ([โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ] ~Q ยทQ [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q ) = [โŸจ(๐‘ฅ ยทN ๐‘ง), (๐‘ฆ ยทN ๐‘ค)โŸฉ] ~Q )
18 mulpipqqs 7371 . 2 (((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N)) โ†’ ([โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ] ~Q ยทQ [โŸจ๐‘ฃ, ๐‘ขโŸฉ] ~Q ) = [โŸจ(๐‘ฅ ยทN ๐‘ฃ), (๐‘ฆ ยทN ๐‘ข)โŸฉ] ~Q )
19 addpipqqs 7368 . 2 ((((๐‘ฅ ยทN ๐‘ง) โˆˆ N โˆง (๐‘ฆ ยทN ๐‘ค) โˆˆ N) โˆง ((๐‘ฅ ยทN ๐‘ฃ) โˆˆ N โˆง (๐‘ฆ ยทN ๐‘ข) โˆˆ N)) โ†’ ([โŸจ(๐‘ฅ ยทN ๐‘ง), (๐‘ฆ ยทN ๐‘ค)โŸฉ] ~Q +Q [โŸจ(๐‘ฅ ยทN ๐‘ฃ), (๐‘ฆ ยทN ๐‘ข)โŸฉ] ~Q ) = [โŸจ(((๐‘ฅ ยทN ๐‘ง) ยทN (๐‘ฆ ยทN ๐‘ข)) +N ((๐‘ฆ ยทN ๐‘ค) ยทN (๐‘ฅ ยทN ๐‘ฃ))), ((๐‘ฆ ยทN ๐‘ค) ยทN (๐‘ฆ ยทN ๐‘ข))โŸฉ] ~Q )
20 mulclpi 7326 . . . . 5 ((๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N) โ†’ (๐‘ง ยทN ๐‘ข) โˆˆ N)
21 mulclpi 7326 . . . . 5 ((๐‘ค โˆˆ N โˆง ๐‘ฃ โˆˆ N) โ†’ (๐‘ค ยทN ๐‘ฃ) โˆˆ N)
22 addclpi 7325 . . . . 5 (((๐‘ง ยทN ๐‘ข) โˆˆ N โˆง (๐‘ค ยทN ๐‘ฃ) โˆˆ N) โ†’ ((๐‘ง ยทN ๐‘ข) +N (๐‘ค ยทN ๐‘ฃ)) โˆˆ N)
2320, 21, 22syl2an 289 . . . 4 (((๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N) โˆง (๐‘ค โˆˆ N โˆง ๐‘ฃ โˆˆ N)) โ†’ ((๐‘ง ยทN ๐‘ข) +N (๐‘ค ยทN ๐‘ฃ)) โˆˆ N)
2423an42s 589 . . 3 (((๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N)) โ†’ ((๐‘ง ยทN ๐‘ข) +N (๐‘ค ยทN ๐‘ฃ)) โˆˆ N)
25 mulclpi 7326 . . . 4 ((๐‘ค โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N) โ†’ (๐‘ค ยทN ๐‘ข) โˆˆ N)
2625ad2ant2l 508 . . 3 (((๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N)) โ†’ (๐‘ค ยทN ๐‘ข) โˆˆ N)
2724, 26jca 306 . 2 (((๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N)) โ†’ (((๐‘ง ยทN ๐‘ข) +N (๐‘ค ยทN ๐‘ฃ)) โˆˆ N โˆง (๐‘ค ยทN ๐‘ข) โˆˆ N))
28 mulclpi 7326 . . . 4 ((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ง โˆˆ N) โ†’ (๐‘ฅ ยทN ๐‘ง) โˆˆ N)
29 mulclpi 7326 . . . 4 ((๐‘ฆ โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โ†’ (๐‘ฆ ยทN ๐‘ค) โˆˆ N)
3028, 29anim12i 338 . . 3 (((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ง โˆˆ N) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N)) โ†’ ((๐‘ฅ ยทN ๐‘ง) โˆˆ N โˆง (๐‘ฆ ยทN ๐‘ค) โˆˆ N))
3130an4s 588 . 2 (((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N)) โ†’ ((๐‘ฅ ยทN ๐‘ง) โˆˆ N โˆง (๐‘ฆ ยทN ๐‘ค) โˆˆ N))
32 mulclpi 7326 . . . 4 ((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฃ โˆˆ N) โ†’ (๐‘ฅ ยทN ๐‘ฃ) โˆˆ N)
33 mulclpi 7326 . . . 4 ((๐‘ฆ โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N) โ†’ (๐‘ฆ ยทN ๐‘ข) โˆˆ N)
3432, 33anim12i 338 . . 3 (((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฃ โˆˆ N) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N)) โ†’ ((๐‘ฅ ยทN ๐‘ฃ) โˆˆ N โˆง (๐‘ฆ ยทN ๐‘ข) โˆˆ N))
3534an4s 588 . 2 (((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N)) โ†’ ((๐‘ฅ ยทN ๐‘ฃ) โˆˆ N โˆง (๐‘ฆ ยทN ๐‘ข) โˆˆ N))
36 an42 587 . . . . 5 (((๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N) โˆง (๐‘ค โˆˆ N โˆง ๐‘ฃ โˆˆ N)) โ†” ((๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N)))
3736anbi2i 457 . . . 4 (((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง ((๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N) โˆง (๐‘ค โˆˆ N โˆง ๐‘ฃ โˆˆ N))) โ†” ((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง ((๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N))))
38 3anass 982 . . . 4 (((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N) โˆง (๐‘ค โˆˆ N โˆง ๐‘ฃ โˆˆ N)) โ†” ((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง ((๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N) โˆง (๐‘ค โˆˆ N โˆง ๐‘ฃ โˆˆ N))))
39 3anass 982 . . . 4 (((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N)) โ†” ((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง ((๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N))))
4037, 38, 393bitr4i 212 . . 3 (((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N) โˆง (๐‘ค โˆˆ N โˆง ๐‘ฃ โˆˆ N)) โ†” ((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N)))
41 mulclpi 7326 . . . . . 6 ((๐‘ฆ โˆˆ N โˆง ๐‘ฅ โˆˆ N) โ†’ (๐‘ฆ ยทN ๐‘ฅ) โˆˆ N)
4241ancoms 268 . . . . 5 ((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โ†’ (๐‘ฆ ยทN ๐‘ฅ) โˆˆ N)
43 distrpig 7331 . . . . 5 (((๐‘ฆ ยทN ๐‘ฅ) โˆˆ N โˆง (๐‘ง ยทN ๐‘ข) โˆˆ N โˆง (๐‘ค ยทN ๐‘ฃ) โˆˆ N) โ†’ ((๐‘ฆ ยทN ๐‘ฅ) ยทN ((๐‘ง ยทN ๐‘ข) +N (๐‘ค ยทN ๐‘ฃ))) = (((๐‘ฆ ยทN ๐‘ฅ) ยทN (๐‘ง ยทN ๐‘ข)) +N ((๐‘ฆ ยทN ๐‘ฅ) ยทN (๐‘ค ยทN ๐‘ฃ))))
4442, 20, 21, 43syl3an 1280 . . . 4 (((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N) โˆง (๐‘ค โˆˆ N โˆง ๐‘ฃ โˆˆ N)) โ†’ ((๐‘ฆ ยทN ๐‘ฅ) ยทN ((๐‘ง ยทN ๐‘ข) +N (๐‘ค ยทN ๐‘ฃ))) = (((๐‘ฆ ยทN ๐‘ฅ) ยทN (๐‘ง ยทN ๐‘ข)) +N ((๐‘ฆ ยทN ๐‘ฅ) ยทN (๐‘ค ยทN ๐‘ฃ))))
45 simp1r 1022 . . . . 5 (((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N) โˆง (๐‘ค โˆˆ N โˆง ๐‘ฃ โˆˆ N)) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ N)
46 simp1l 1021 . . . . 5 (((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N) โˆง (๐‘ค โˆˆ N โˆง ๐‘ฃ โˆˆ N)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ N)
47203ad2ant2 1019 . . . . . 6 (((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N) โˆง (๐‘ค โˆˆ N โˆง ๐‘ฃ โˆˆ N)) โ†’ (๐‘ง ยทN ๐‘ข) โˆˆ N)
48213ad2ant3 1020 . . . . . 6 (((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N) โˆง (๐‘ค โˆˆ N โˆง ๐‘ฃ โˆˆ N)) โ†’ (๐‘ค ยทN ๐‘ฃ) โˆˆ N)
4947, 48, 22syl2anc 411 . . . . 5 (((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N) โˆง (๐‘ค โˆˆ N โˆง ๐‘ฃ โˆˆ N)) โ†’ ((๐‘ง ยทN ๐‘ข) +N (๐‘ค ยทN ๐‘ฃ)) โˆˆ N)
50 mulasspig 7330 . . . . 5 ((๐‘ฆ โˆˆ N โˆง ๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ((๐‘ง ยทN ๐‘ข) +N (๐‘ค ยทN ๐‘ฃ)) โˆˆ N) โ†’ ((๐‘ฆ ยทN ๐‘ฅ) ยทN ((๐‘ง ยทN ๐‘ข) +N (๐‘ค ยทN ๐‘ฃ))) = (๐‘ฆ ยทN (๐‘ฅ ยทN ((๐‘ง ยทN ๐‘ข) +N (๐‘ค ยทN ๐‘ฃ)))))
5145, 46, 49, 50syl3anc 1238 . . . 4 (((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N) โˆง (๐‘ค โˆˆ N โˆง ๐‘ฃ โˆˆ N)) โ†’ ((๐‘ฆ ยทN ๐‘ฅ) ยทN ((๐‘ง ยทN ๐‘ข) +N (๐‘ค ยทN ๐‘ฃ))) = (๐‘ฆ ยทN (๐‘ฅ ยทN ((๐‘ง ยทN ๐‘ข) +N (๐‘ค ยทN ๐‘ฃ)))))
52 mulcompig 7329 . . . . . . . . 9 ((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โ†’ (๐‘ฅ ยทN ๐‘ฆ) = (๐‘ฆ ยทN ๐‘ฅ))
5352oveq1d 5889 . . . . . . . 8 ((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โ†’ ((๐‘ฅ ยทN ๐‘ฆ) ยทN (๐‘ง ยทN ๐‘ข)) = ((๐‘ฆ ยทN ๐‘ฅ) ยทN (๐‘ง ยทN ๐‘ข)))
5453adantr 276 . . . . . . 7 (((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N)) โ†’ ((๐‘ฅ ยทN ๐‘ฆ) ยทN (๐‘ง ยทN ๐‘ข)) = ((๐‘ฆ ยทN ๐‘ฅ) ยทN (๐‘ง ยทN ๐‘ข)))
55 simpll 527 . . . . . . . 8 (((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ N)
56 simplr 528 . . . . . . . 8 (((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N)) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ N)
57 simprl 529 . . . . . . . 8 (((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N)) โ†’ ๐‘ง โˆˆ N)
58 mulcompig 7329 . . . . . . . . 9 ((๐‘“ โˆˆ N โˆง ๐‘” โˆˆ N) โ†’ (๐‘“ ยทN ๐‘”) = (๐‘” ยทN ๐‘“))
5958adantl 277 . . . . . . . 8 ((((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N)) โˆง (๐‘“ โˆˆ N โˆง ๐‘” โˆˆ N)) โ†’ (๐‘“ ยทN ๐‘”) = (๐‘” ยทN ๐‘“))
60 mulasspig 7330 . . . . . . . . 9 ((๐‘“ โˆˆ N โˆง ๐‘” โˆˆ N โˆง โ„Ž โˆˆ N) โ†’ ((๐‘“ ยทN ๐‘”) ยทN โ„Ž) = (๐‘“ ยทN (๐‘” ยทN โ„Ž)))
6160adantl 277 . . . . . . . 8 ((((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N)) โˆง (๐‘“ โˆˆ N โˆง ๐‘” โˆˆ N โˆง โ„Ž โˆˆ N)) โ†’ ((๐‘“ ยทN ๐‘”) ยทN โ„Ž) = (๐‘“ ยทN (๐‘” ยทN โ„Ž)))
62 simprr 531 . . . . . . . 8 (((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N)) โ†’ ๐‘ข โˆˆ N)
63 mulclpi 7326 . . . . . . . . 9 ((๐‘“ โˆˆ N โˆง ๐‘” โˆˆ N) โ†’ (๐‘“ ยทN ๐‘”) โˆˆ N)
6463adantl 277 . . . . . . . 8 ((((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N)) โˆง (๐‘“ โˆˆ N โˆง ๐‘” โˆˆ N)) โ†’ (๐‘“ ยทN ๐‘”) โˆˆ N)
6555, 56, 57, 59, 61, 62, 64caov4d 6058 . . . . . . 7 (((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N)) โ†’ ((๐‘ฅ ยทN ๐‘ฆ) ยทN (๐‘ง ยทN ๐‘ข)) = ((๐‘ฅ ยทN ๐‘ง) ยทN (๐‘ฆ ยทN ๐‘ข)))
6654, 65eqtr3d 2212 . . . . . 6 (((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N)) โ†’ ((๐‘ฆ ยทN ๐‘ฅ) ยทN (๐‘ง ยทN ๐‘ข)) = ((๐‘ฅ ยทN ๐‘ง) ยทN (๐‘ฆ ยทN ๐‘ข)))
67663adant3 1017 . . . . 5 (((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N) โˆง (๐‘ค โˆˆ N โˆง ๐‘ฃ โˆˆ N)) โ†’ ((๐‘ฆ ยทN ๐‘ฅ) ยทN (๐‘ง ยทN ๐‘ข)) = ((๐‘ฅ ยทN ๐‘ง) ยทN (๐‘ฆ ยทN ๐‘ข)))
68 simplr 528 . . . . . . 7 (((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ค โˆˆ N โˆง ๐‘ฃ โˆˆ N)) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ N)
69 simpll 527 . . . . . . 7 (((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ค โˆˆ N โˆง ๐‘ฃ โˆˆ N)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ N)
70 simprl 529 . . . . . . 7 (((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ค โˆˆ N โˆง ๐‘ฃ โˆˆ N)) โ†’ ๐‘ค โˆˆ N)
7158adantl 277 . . . . . . 7 ((((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ค โˆˆ N โˆง ๐‘ฃ โˆˆ N)) โˆง (๐‘“ โˆˆ N โˆง ๐‘” โˆˆ N)) โ†’ (๐‘“ ยทN ๐‘”) = (๐‘” ยทN ๐‘“))
7260adantl 277 . . . . . . 7 ((((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ค โˆˆ N โˆง ๐‘ฃ โˆˆ N)) โˆง (๐‘“ โˆˆ N โˆง ๐‘” โˆˆ N โˆง โ„Ž โˆˆ N)) โ†’ ((๐‘“ ยทN ๐‘”) ยทN โ„Ž) = (๐‘“ ยทN (๐‘” ยทN โ„Ž)))
73 simprr 531 . . . . . . 7 (((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ค โˆˆ N โˆง ๐‘ฃ โˆˆ N)) โ†’ ๐‘ฃ โˆˆ N)
7463adantl 277 . . . . . . 7 ((((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ค โˆˆ N โˆง ๐‘ฃ โˆˆ N)) โˆง (๐‘“ โˆˆ N โˆง ๐‘” โˆˆ N)) โ†’ (๐‘“ ยทN ๐‘”) โˆˆ N)
7568, 69, 70, 71, 72, 73, 74caov4d 6058 . . . . . 6 (((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ค โˆˆ N โˆง ๐‘ฃ โˆˆ N)) โ†’ ((๐‘ฆ ยทN ๐‘ฅ) ยทN (๐‘ค ยทN ๐‘ฃ)) = ((๐‘ฆ ยทN ๐‘ค) ยทN (๐‘ฅ ยทN ๐‘ฃ)))
76753adant2 1016 . . . . 5 (((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N) โˆง (๐‘ค โˆˆ N โˆง ๐‘ฃ โˆˆ N)) โ†’ ((๐‘ฆ ยทN ๐‘ฅ) ยทN (๐‘ค ยทN ๐‘ฃ)) = ((๐‘ฆ ยทN ๐‘ค) ยทN (๐‘ฅ ยทN ๐‘ฃ)))
7767, 76oveq12d 5892 . . . 4 (((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N) โˆง (๐‘ค โˆˆ N โˆง ๐‘ฃ โˆˆ N)) โ†’ (((๐‘ฆ ยทN ๐‘ฅ) ยทN (๐‘ง ยทN ๐‘ข)) +N ((๐‘ฆ ยทN ๐‘ฅ) ยทN (๐‘ค ยทN ๐‘ฃ))) = (((๐‘ฅ ยทN ๐‘ง) ยทN (๐‘ฆ ยทN ๐‘ข)) +N ((๐‘ฆ ยทN ๐‘ค) ยทN (๐‘ฅ ยทN ๐‘ฃ))))
7844, 51, 773eqtr3d 2218 . . 3 (((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N) โˆง (๐‘ค โˆˆ N โˆง ๐‘ฃ โˆˆ N)) โ†’ (๐‘ฆ ยทN (๐‘ฅ ยทN ((๐‘ง ยทN ๐‘ข) +N (๐‘ค ยทN ๐‘ฃ)))) = (((๐‘ฅ ยทN ๐‘ง) ยทN (๐‘ฆ ยทN ๐‘ข)) +N ((๐‘ฆ ยทN ๐‘ค) ยทN (๐‘ฅ ยทN ๐‘ฃ))))
7940, 78sylbir 135 . 2 (((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N)) โ†’ (๐‘ฆ ยทN (๐‘ฅ ยทN ((๐‘ง ยทN ๐‘ข) +N (๐‘ค ยทN ๐‘ฃ)))) = (((๐‘ฅ ยทN ๐‘ง) ยทN (๐‘ฆ ยทN ๐‘ข)) +N ((๐‘ฆ ยทN ๐‘ค) ยทN (๐‘ฅ ยทN ๐‘ฃ))))
80703adant2 1016 . . . . . 6 (((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N) โˆง (๐‘ค โˆˆ N โˆง ๐‘ฃ โˆˆ N)) โ†’ ๐‘ค โˆˆ N)
81623adant3 1017 . . . . . 6 (((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N) โˆง (๐‘ค โˆˆ N โˆง ๐‘ฃ โˆˆ N)) โ†’ ๐‘ข โˆˆ N)
8280, 81, 25syl2anc 411 . . . . 5 (((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N) โˆง (๐‘ค โˆˆ N โˆง ๐‘ฃ โˆˆ N)) โ†’ (๐‘ค ยทN ๐‘ข) โˆˆ N)
83 mulasspig 7330 . . . . 5 ((๐‘ฆ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N โˆง (๐‘ค ยทN ๐‘ข) โˆˆ N) โ†’ ((๐‘ฆ ยทN ๐‘ฆ) ยทN (๐‘ค ยทN ๐‘ข)) = (๐‘ฆ ยทN (๐‘ฆ ยทN (๐‘ค ยทN ๐‘ข))))
8445, 45, 82, 83syl3anc 1238 . . . 4 (((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N) โˆง (๐‘ค โˆˆ N โˆง ๐‘ฃ โˆˆ N)) โ†’ ((๐‘ฆ ยทN ๐‘ฆ) ยทN (๐‘ค ยทN ๐‘ข)) = (๐‘ฆ ยทN (๐‘ฆ ยทN (๐‘ค ยทN ๐‘ข))))
8558adantl 277 . . . . 5 ((((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N) โˆง (๐‘ค โˆˆ N โˆง ๐‘ฃ โˆˆ N)) โˆง (๐‘“ โˆˆ N โˆง ๐‘” โˆˆ N)) โ†’ (๐‘“ ยทN ๐‘”) = (๐‘” ยทN ๐‘“))
8660adantl 277 . . . . 5 ((((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N) โˆง (๐‘ค โˆˆ N โˆง ๐‘ฃ โˆˆ N)) โˆง (๐‘“ โˆˆ N โˆง ๐‘” โˆˆ N โˆง โ„Ž โˆˆ N)) โ†’ ((๐‘“ ยทN ๐‘”) ยทN โ„Ž) = (๐‘“ ยทN (๐‘” ยทN โ„Ž)))
8763adantl 277 . . . . 5 ((((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N) โˆง (๐‘ค โˆˆ N โˆง ๐‘ฃ โˆˆ N)) โˆง (๐‘“ โˆˆ N โˆง ๐‘” โˆˆ N)) โ†’ (๐‘“ ยทN ๐‘”) โˆˆ N)
8845, 45, 80, 85, 86, 81, 87caov4d 6058 . . . 4 (((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N) โˆง (๐‘ค โˆˆ N โˆง ๐‘ฃ โˆˆ N)) โ†’ ((๐‘ฆ ยทN ๐‘ฆ) ยทN (๐‘ค ยทN ๐‘ข)) = ((๐‘ฆ ยทN ๐‘ค) ยทN (๐‘ฆ ยทN ๐‘ข)))
8984, 88eqtr3d 2212 . . 3 (((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N) โˆง (๐‘ค โˆˆ N โˆง ๐‘ฃ โˆˆ N)) โ†’ (๐‘ฆ ยทN (๐‘ฆ ยทN (๐‘ค ยทN ๐‘ข))) = ((๐‘ฆ ยทN ๐‘ค) ยทN (๐‘ฆ ยทN ๐‘ข)))
9040, 89sylbir 135 . 2 (((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N)) โ†’ (๐‘ฆ ยทN (๐‘ฆ ยทN (๐‘ค ยทN ๐‘ข))) = ((๐‘ฆ ยทN ๐‘ค) ยทN (๐‘ฆ ยทN ๐‘ข)))
911, 2, 16, 17, 18, 19, 27, 31, 35, 79, 90ecovidi 6646 1 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q โˆง ๐ถ โˆˆ Q) โ†’ (๐ด ยทQ (๐ต +Q ๐ถ)) = ((๐ด ยทQ ๐ต) +Q (๐ด ยทQ ๐ถ)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   โˆง w3a 978   = wceq 1353   โˆˆ wcel 2148  โŸจcop 3595  (class class class)co 5874  [cec 6532  Ncnpi 7270   +N cpli 7271   ยทN cmi 7272   ~Q ceq 7277  Qcnq 7278   +Q cplq 7280   ยทQ cmq 7281
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-iinf 4587
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-tr 4102  df-id 4293  df-iord 4366  df-on 4368  df-suc 4371  df-iom 4590  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-recs 6305  df-irdg 6370  df-oadd 6420  df-omul 6421  df-er 6534  df-ec 6536  df-qs 6540  df-ni 7302  df-pli 7303  df-mi 7304  df-plpq 7342  df-mpq 7343  df-enq 7345  df-nqqs 7346  df-plqqs 7347  df-mqqs 7348
This theorem is referenced by:  ltaddnq  7405  halfnqq  7408  addnqprl  7527  addnqpru  7528  prmuloclemcalc  7563  distrlem1prl  7580  distrlem1pru  7581  distrlem4prl  7582  distrlem4pru  7583
  Copyright terms: Public domain W3C validator