Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  distrnqg GIF version

Theorem distrnqg 7007
 Description: Multiplication of positive fractions is distributive. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Sep-2019.)
Assertion
Ref Expression
distrnqg ((𝐴Q𝐵Q𝐶Q) → (𝐴 ·Q (𝐵 +Q 𝐶)) = ((𝐴 ·Q 𝐵) +Q (𝐴 ·Q 𝐶)))

Proof of Theorem distrnqg
Dummy variables 𝑢 𝑣 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-nqqs 6968 . 2 Q = ((N × N) / ~Q )
2 addpipqqs 6990 . 2 (((𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) → ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q +Q [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q ) = [⟨((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣)), (𝑤 ·N 𝑢)⟩] ~Q )
3 mulpipqqs 6993 . . 3 (((𝑥N𝑦N) ∧ (((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣)) ∈ N ∧ (𝑤 ·N 𝑢) ∈ N)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q ·Q [⟨((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣)), (𝑤 ·N 𝑢)⟩] ~Q ) = [⟨(𝑥 ·N ((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣))), (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑢))⟩] ~Q )
4 mulclpi 6948 . . . . . . 7 ((𝑥N ∧ ((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣)) ∈ N) → (𝑥 ·N ((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣))) ∈ N)
5 simpl 108 . . . . . . . 8 ((𝑦N ∧ (𝑤 ·N 𝑢) ∈ N) → 𝑦N)
6 mulclpi 6948 . . . . . . . 8 ((𝑦N ∧ (𝑤 ·N 𝑢) ∈ N) → (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑢)) ∈ N)
75, 6jca 301 . . . . . . 7 ((𝑦N ∧ (𝑤 ·N 𝑢) ∈ N) → (𝑦N ∧ (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑢)) ∈ N))
84, 7anim12i 332 . . . . . 6 (((𝑥N ∧ ((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣)) ∈ N) ∧ (𝑦N ∧ (𝑤 ·N 𝑢) ∈ N)) → ((𝑥 ·N ((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣))) ∈ N ∧ (𝑦N ∧ (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑢)) ∈ N)))
9 an12 529 . . . . . . 7 (((𝑥 ·N ((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣))) ∈ N ∧ (𝑦N ∧ (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑢)) ∈ N)) ↔ (𝑦N ∧ ((𝑥 ·N ((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣))) ∈ N ∧ (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑢)) ∈ N)))
10 3anass 929 . . . . . . 7 ((𝑦N ∧ (𝑥 ·N ((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣))) ∈ N ∧ (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑢)) ∈ N) ↔ (𝑦N ∧ ((𝑥 ·N ((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣))) ∈ N ∧ (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑢)) ∈ N)))
119, 10bitr4i 186 . . . . . 6 (((𝑥 ·N ((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣))) ∈ N ∧ (𝑦N ∧ (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑢)) ∈ N)) ↔ (𝑦N ∧ (𝑥 ·N ((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣))) ∈ N ∧ (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑢)) ∈ N))
128, 11sylib 121 . . . . 5 (((𝑥N ∧ ((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣)) ∈ N) ∧ (𝑦N ∧ (𝑤 ·N 𝑢) ∈ N)) → (𝑦N ∧ (𝑥 ·N ((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣))) ∈ N ∧ (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑢)) ∈ N))
1312an4s 556 . . . 4 (((𝑥N𝑦N) ∧ (((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣)) ∈ N ∧ (𝑤 ·N 𝑢) ∈ N)) → (𝑦N ∧ (𝑥 ·N ((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣))) ∈ N ∧ (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑢)) ∈ N))
14 mulcanenqec 7006 . . . 4 ((𝑦N ∧ (𝑥 ·N ((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣))) ∈ N ∧ (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑢)) ∈ N) → [⟨(𝑦 ·N (𝑥 ·N ((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣)))), (𝑦 ·N (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑢)))⟩] ~Q = [⟨(𝑥 ·N ((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣))), (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑢))⟩] ~Q )
1513, 14syl 14 . . 3 (((𝑥N𝑦N) ∧ (((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣)) ∈ N ∧ (𝑤 ·N 𝑢) ∈ N)) → [⟨(𝑦 ·N (𝑥 ·N ((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣)))), (𝑦 ·N (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑢)))⟩] ~Q = [⟨(𝑥 ·N ((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣))), (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑢))⟩] ~Q )
163, 15eqtr4d 2124 . 2 (((𝑥N𝑦N) ∧ (((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣)) ∈ N ∧ (𝑤 ·N 𝑢) ∈ N)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q ·Q [⟨((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣)), (𝑤 ·N 𝑢)⟩] ~Q ) = [⟨(𝑦 ·N (𝑥 ·N ((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣)))), (𝑦 ·N (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑢)))⟩] ~Q )
17 mulpipqqs 6993 . 2 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q ·Q [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ) = [⟨(𝑥 ·N 𝑧), (𝑦 ·N 𝑤)⟩] ~Q )
18 mulpipqqs 6993 . 2 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑣N𝑢N)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q ·Q [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q ) = [⟨(𝑥 ·N 𝑣), (𝑦 ·N 𝑢)⟩] ~Q )
19 addpipqqs 6990 . 2 ((((𝑥 ·N 𝑧) ∈ N ∧ (𝑦 ·N 𝑤) ∈ N) ∧ ((𝑥 ·N 𝑣) ∈ N ∧ (𝑦 ·N 𝑢) ∈ N)) → ([⟨(𝑥 ·N 𝑧), (𝑦 ·N 𝑤)⟩] ~Q +Q [⟨(𝑥 ·N 𝑣), (𝑦 ·N 𝑢)⟩] ~Q ) = [⟨(((𝑥 ·N 𝑧) ·N (𝑦 ·N 𝑢)) +N ((𝑦 ·N 𝑤) ·N (𝑥 ·N 𝑣))), ((𝑦 ·N 𝑤) ·N (𝑦 ·N 𝑢))⟩] ~Q )
20 mulclpi 6948 . . . . 5 ((𝑧N𝑢N) → (𝑧 ·N 𝑢) ∈ N)
21 mulclpi 6948 . . . . 5 ((𝑤N𝑣N) → (𝑤 ·N 𝑣) ∈ N)
22 addclpi 6947 . . . . 5 (((𝑧 ·N 𝑢) ∈ N ∧ (𝑤 ·N 𝑣) ∈ N) → ((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣)) ∈ N)
2320, 21, 22syl2an 284 . . . 4 (((𝑧N𝑢N) ∧ (𝑤N𝑣N)) → ((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣)) ∈ N)
2423an42s 557 . . 3 (((𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) → ((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣)) ∈ N)
25 mulclpi 6948 . . . 4 ((𝑤N𝑢N) → (𝑤 ·N 𝑢) ∈ N)
2625ad2ant2l 493 . . 3 (((𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) → (𝑤 ·N 𝑢) ∈ N)
2724, 26jca 301 . 2 (((𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) → (((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣)) ∈ N ∧ (𝑤 ·N 𝑢) ∈ N))
28 mulclpi 6948 . . . 4 ((𝑥N𝑧N) → (𝑥 ·N 𝑧) ∈ N)
29 mulclpi 6948 . . . 4 ((𝑦N𝑤N) → (𝑦 ·N 𝑤) ∈ N)
3028, 29anim12i 332 . . 3 (((𝑥N𝑧N) ∧ (𝑦N𝑤N)) → ((𝑥 ·N 𝑧) ∈ N ∧ (𝑦 ·N 𝑤) ∈ N))
3130an4s 556 . 2 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N)) → ((𝑥 ·N 𝑧) ∈ N ∧ (𝑦 ·N 𝑤) ∈ N))
32 mulclpi 6948 . . . 4 ((𝑥N𝑣N) → (𝑥 ·N 𝑣) ∈ N)
33 mulclpi 6948 . . . 4 ((𝑦N𝑢N) → (𝑦 ·N 𝑢) ∈ N)
3432, 33anim12i 332 . . 3 (((𝑥N𝑣N) ∧ (𝑦N𝑢N)) → ((𝑥 ·N 𝑣) ∈ N ∧ (𝑦 ·N 𝑢) ∈ N))
3534an4s 556 . 2 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑣N𝑢N)) → ((𝑥 ·N 𝑣) ∈ N ∧ (𝑦 ·N 𝑢) ∈ N))
36 an42 555 . . . . 5 (((𝑧N𝑢N) ∧ (𝑤N𝑣N)) ↔ ((𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)))
3736anbi2i 446 . . . 4 (((𝑥N𝑦N) ∧ ((𝑧N𝑢N) ∧ (𝑤N𝑣N))) ↔ ((𝑥N𝑦N) ∧ ((𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N))))
38 3anass 929 . . . 4 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑢N) ∧ (𝑤N𝑣N)) ↔ ((𝑥N𝑦N) ∧ ((𝑧N𝑢N) ∧ (𝑤N𝑣N))))
39 3anass 929 . . . 4 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) ↔ ((𝑥N𝑦N) ∧ ((𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N))))
4037, 38, 393bitr4i 211 . . 3 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑢N) ∧ (𝑤N𝑣N)) ↔ ((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)))
41 mulclpi 6948 . . . . . 6 ((𝑦N𝑥N) → (𝑦 ·N 𝑥) ∈ N)
4241ancoms 265 . . . . 5 ((𝑥N𝑦N) → (𝑦 ·N 𝑥) ∈ N)
43 distrpig 6953 . . . . 5 (((𝑦 ·N 𝑥) ∈ N ∧ (𝑧 ·N 𝑢) ∈ N ∧ (𝑤 ·N 𝑣) ∈ N) → ((𝑦 ·N 𝑥) ·N ((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣))) = (((𝑦 ·N 𝑥) ·N (𝑧 ·N 𝑢)) +N ((𝑦 ·N 𝑥) ·N (𝑤 ·N 𝑣))))
4442, 20, 21, 43syl3an 1217 . . . 4 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑢N) ∧ (𝑤N𝑣N)) → ((𝑦 ·N 𝑥) ·N ((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣))) = (((𝑦 ·N 𝑥) ·N (𝑧 ·N 𝑢)) +N ((𝑦 ·N 𝑥) ·N (𝑤 ·N 𝑣))))
45 simp1r 969 . . . . 5 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑢N) ∧ (𝑤N𝑣N)) → 𝑦N)
46 simp1l 968 . . . . 5 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑢N) ∧ (𝑤N𝑣N)) → 𝑥N)
47203ad2ant2 966 . . . . . 6 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑢N) ∧ (𝑤N𝑣N)) → (𝑧 ·N 𝑢) ∈ N)
48213ad2ant3 967 . . . . . 6 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑢N) ∧ (𝑤N𝑣N)) → (𝑤 ·N 𝑣) ∈ N)
4947, 48, 22syl2anc 404 . . . . 5 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑢N) ∧ (𝑤N𝑣N)) → ((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣)) ∈ N)
50 mulasspig 6952 . . . . 5 ((𝑦N𝑥N ∧ ((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣)) ∈ N) → ((𝑦 ·N 𝑥) ·N ((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣))) = (𝑦 ·N (𝑥 ·N ((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣)))))
5145, 46, 49, 50syl3anc 1175 . . . 4 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑢N) ∧ (𝑤N𝑣N)) → ((𝑦 ·N 𝑥) ·N ((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣))) = (𝑦 ·N (𝑥 ·N ((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣)))))
52 mulcompig 6951 . . . . . . . . 9 ((𝑥N𝑦N) → (𝑥 ·N 𝑦) = (𝑦 ·N 𝑥))
5352oveq1d 5681 . . . . . . . 8 ((𝑥N𝑦N) → ((𝑥 ·N 𝑦) ·N (𝑧 ·N 𝑢)) = ((𝑦 ·N 𝑥) ·N (𝑧 ·N 𝑢)))
5453adantr 271 . . . . . . 7 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑢N)) → ((𝑥 ·N 𝑦) ·N (𝑧 ·N 𝑢)) = ((𝑦 ·N 𝑥) ·N (𝑧 ·N 𝑢)))
55 simpll 497 . . . . . . . 8 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑢N)) → 𝑥N)
56 simplr 498 . . . . . . . 8 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑢N)) → 𝑦N)
57 simprl 499 . . . . . . . 8 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑢N)) → 𝑧N)
58 mulcompig 6951 . . . . . . . . 9 ((𝑓N𝑔N) → (𝑓 ·N 𝑔) = (𝑔 ·N 𝑓))
5958adantl 272 . . . . . . . 8 ((((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑢N)) ∧ (𝑓N𝑔N)) → (𝑓 ·N 𝑔) = (𝑔 ·N 𝑓))
60 mulasspig 6952 . . . . . . . . 9 ((𝑓N𝑔NN) → ((𝑓 ·N 𝑔) ·N ) = (𝑓 ·N (𝑔 ·N )))
6160adantl 272 . . . . . . . 8 ((((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑢N)) ∧ (𝑓N𝑔NN)) → ((𝑓 ·N 𝑔) ·N ) = (𝑓 ·N (𝑔 ·N )))
62 simprr 500 . . . . . . . 8 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑢N)) → 𝑢N)
63 mulclpi 6948 . . . . . . . . 9 ((𝑓N𝑔N) → (𝑓 ·N 𝑔) ∈ N)
6463adantl 272 . . . . . . . 8 ((((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑢N)) ∧ (𝑓N𝑔N)) → (𝑓 ·N 𝑔) ∈ N)
6555, 56, 57, 59, 61, 62, 64caov4d 5843 . . . . . . 7 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑢N)) → ((𝑥 ·N 𝑦) ·N (𝑧 ·N 𝑢)) = ((𝑥 ·N 𝑧) ·N (𝑦 ·N 𝑢)))
6654, 65eqtr3d 2123 . . . . . 6 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑢N)) → ((𝑦 ·N 𝑥) ·N (𝑧 ·N 𝑢)) = ((𝑥 ·N 𝑧) ·N (𝑦 ·N 𝑢)))
67663adant3 964 . . . . 5 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑢N) ∧ (𝑤N𝑣N)) → ((𝑦 ·N 𝑥) ·N (𝑧 ·N 𝑢)) = ((𝑥 ·N 𝑧) ·N (𝑦 ·N 𝑢)))
68 simplr 498 . . . . . . 7 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑤N𝑣N)) → 𝑦N)
69 simpll 497 . . . . . . 7 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑤N𝑣N)) → 𝑥N)
70 simprl 499 . . . . . . 7 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑤N𝑣N)) → 𝑤N)
7158adantl 272 . . . . . . 7 ((((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑤N𝑣N)) ∧ (𝑓N𝑔N)) → (𝑓 ·N 𝑔) = (𝑔 ·N 𝑓))
7260adantl 272 . . . . . . 7 ((((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑤N𝑣N)) ∧ (𝑓N𝑔NN)) → ((𝑓 ·N 𝑔) ·N ) = (𝑓 ·N (𝑔 ·N )))
73 simprr 500 . . . . . . 7 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑤N𝑣N)) → 𝑣N)
7463adantl 272 . . . . . . 7 ((((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑤N𝑣N)) ∧ (𝑓N𝑔N)) → (𝑓 ·N 𝑔) ∈ N)
7568, 69, 70, 71, 72, 73, 74caov4d 5843 . . . . . 6 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑤N𝑣N)) → ((𝑦 ·N 𝑥) ·N (𝑤 ·N 𝑣)) = ((𝑦 ·N 𝑤) ·N (𝑥 ·N 𝑣)))
76753adant2 963 . . . . 5 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑢N) ∧ (𝑤N𝑣N)) → ((𝑦 ·N 𝑥) ·N (𝑤 ·N 𝑣)) = ((𝑦 ·N 𝑤) ·N (𝑥 ·N 𝑣)))
7767, 76oveq12d 5684 . . . 4 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑢N) ∧ (𝑤N𝑣N)) → (((𝑦 ·N 𝑥) ·N (𝑧 ·N 𝑢)) +N ((𝑦 ·N 𝑥) ·N (𝑤 ·N 𝑣))) = (((𝑥 ·N 𝑧) ·N (𝑦 ·N 𝑢)) +N ((𝑦 ·N 𝑤) ·N (𝑥 ·N 𝑣))))
7844, 51, 773eqtr3d 2129 . . 3 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑢N) ∧ (𝑤N𝑣N)) → (𝑦 ·N (𝑥 ·N ((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣)))) = (((𝑥 ·N 𝑧) ·N (𝑦 ·N 𝑢)) +N ((𝑦 ·N 𝑤) ·N (𝑥 ·N 𝑣))))
7940, 78sylbir 134 . 2 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) → (𝑦 ·N (𝑥 ·N ((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣)))) = (((𝑥 ·N 𝑧) ·N (𝑦 ·N 𝑢)) +N ((𝑦 ·N 𝑤) ·N (𝑥 ·N 𝑣))))
80703adant2 963 . . . . . 6 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑢N) ∧ (𝑤N𝑣N)) → 𝑤N)
81623adant3 964 . . . . . 6 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑢N) ∧ (𝑤N𝑣N)) → 𝑢N)
8280, 81, 25syl2anc 404 . . . . 5 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑢N) ∧ (𝑤N𝑣N)) → (𝑤 ·N 𝑢) ∈ N)
83 mulasspig 6952 . . . . 5 ((𝑦N𝑦N ∧ (𝑤 ·N 𝑢) ∈ N) → ((𝑦 ·N 𝑦) ·N (𝑤 ·N 𝑢)) = (𝑦 ·N (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑢))))
8445, 45, 82, 83syl3anc 1175 . . . 4 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑢N) ∧ (𝑤N𝑣N)) → ((𝑦 ·N 𝑦) ·N (𝑤 ·N 𝑢)) = (𝑦 ·N (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑢))))
8558adantl 272 . . . . 5 ((((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑢N) ∧ (𝑤N𝑣N)) ∧ (𝑓N𝑔N)) → (𝑓 ·N 𝑔) = (𝑔 ·N 𝑓))
8660adantl 272 . . . . 5 ((((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑢N) ∧ (𝑤N𝑣N)) ∧ (𝑓N𝑔NN)) → ((𝑓 ·N 𝑔) ·N ) = (𝑓 ·N (𝑔 ·N )))
8763adantl 272 . . . . 5 ((((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑢N) ∧ (𝑤N𝑣N)) ∧ (𝑓N𝑔N)) → (𝑓 ·N 𝑔) ∈ N)
8845, 45, 80, 85, 86, 81, 87caov4d 5843 . . . 4 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑢N) ∧ (𝑤N𝑣N)) → ((𝑦 ·N 𝑦) ·N (𝑤 ·N 𝑢)) = ((𝑦 ·N 𝑤) ·N (𝑦 ·N 𝑢)))
8984, 88eqtr3d 2123 . . 3 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑢N) ∧ (𝑤N𝑣N)) → (𝑦 ·N (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑢))) = ((𝑦 ·N 𝑤) ·N (𝑦 ·N 𝑢)))
9040, 89sylbir 134 . 2 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) → (𝑦 ·N (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑢))) = ((𝑦 ·N 𝑤) ·N (𝑦 ·N 𝑢)))
911, 2, 16, 17, 18, 19, 27, 31, 35, 79, 90ecovidi 6418 1 ((𝐴Q𝐵Q𝐶Q) → (𝐴 ·Q (𝐵 +Q 𝐶)) = ((𝐴 ·Q 𝐵) +Q (𝐴 ·Q 𝐶)))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ∧ w3a 925   = wceq 1290   ∈ wcel 1439  ⟨cop 3453  (class class class)co 5666  [cec 6304  Ncnpi 6892   +N cpli 6893   ·N cmi 6894   ~Q ceq 6899  Qcnq 6900   +Q cplq 6902   ·Q cmq 6903 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-coll 3960  ax-sep 3963  ax-nul 3971  ax-pow 4015  ax-pr 4045  ax-un 4269  ax-setind 4366  ax-iinf 4416 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 782  df-3or 926  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rab 2369  df-v 2622  df-sbc 2842  df-csb 2935  df-dif 3002  df-un 3004  df-in 3006  df-ss 3013  df-nul 3288  df-pw 3435  df-sn 3456  df-pr 3457  df-op 3459  df-uni 3660  df-int 3695  df-iun 3738  df-br 3852  df-opab 3906  df-mpt 3907  df-tr 3943  df-id 4129  df-iord 4202  df-on 4204  df-suc 4207  df-iom 4419  df-xp 4458  df-rel 4459  df-cnv 4460  df-co 4461  df-dm 4462  df-rn 4463  df-res 4464  df-ima 4465  df-iota 4993  df-fun 5030  df-fn 5031  df-f 5032  df-f1 5033  df-fo 5034  df-f1o 5035  df-fv 5036  df-ov 5669  df-oprab 5670  df-mpt2 5671  df-1st 5925  df-2nd 5926  df-recs 6084  df-irdg 6149  df-oadd 6199  df-omul 6200  df-er 6306  df-ec 6308  df-qs 6312  df-ni 6924  df-pli 6925  df-mi 6926  df-plpq 6964  df-mpq 6965  df-enq 6967  df-nqqs 6968  df-plqqs 6969  df-mqqs 6970 This theorem is referenced by:  ltaddnq  7027  halfnqq  7030  addnqprl  7149  addnqpru  7150  prmuloclemcalc  7185  distrlem1prl  7202  distrlem1pru  7203  distrlem4prl  7204  distrlem4pru  7205
 Copyright terms: Public domain W3C validator