Theorem distrnqg 7219

Description: Multiplication of positive fractions is distributive. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Sep-2019.)

Assertion

Ref	Expression
distrnqg	⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q ∧ 𝐶 ∈ Q) → (𝐴 ·Q (𝐵 +Q 𝐶)) = ((𝐴 ·Q 𝐵) +Q (𝐴 ·Q 𝐶)))

Proof of Theorem distrnqg

Dummy variables 𝑢 𝑣 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 𝑓 𝑔 ℎ are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nqqs 7180	. 2 ⊢ Q = ((N × N) / ~Q )
2		addpipqqs 7202	. 2 ⊢ (((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N)) → ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q +Q [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q ) = [⟨((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣)), (𝑤 ·N 𝑢)⟩] ~Q )
3		mulpipqqs 7205	. . 3 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣)) ∈ N ∧ (𝑤 ·N 𝑢) ∈ N)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q ·Q [⟨((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣)), (𝑤 ·N 𝑢)⟩] ~Q ) = [⟨(𝑥 ·N ((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣))), (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑢))⟩] ~Q )
4		mulclpi 7160	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ N ∧ ((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣)) ∈ N) → (𝑥 ·N ((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣))) ∈ N)
5		simpl 108	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ N ∧ (𝑤 ·N 𝑢) ∈ N) → 𝑦 ∈ N)
6		mulclpi 7160	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ N ∧ (𝑤 ·N 𝑢) ∈ N) → (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑢)) ∈ N)
7	5, 6	jca 304	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ N ∧ (𝑤 ·N 𝑢) ∈ N) → (𝑦 ∈ N ∧ (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑢)) ∈ N))
8	4, 7	anim12i 336	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ ((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣)) ∈ N) ∧ (𝑦 ∈ N ∧ (𝑤 ·N 𝑢) ∈ N)) → ((𝑥 ·N ((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣))) ∈ N ∧ (𝑦 ∈ N ∧ (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑢)) ∈ N)))
9		an12 551	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ·N ((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣))) ∈ N ∧ (𝑦 ∈ N ∧ (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑢)) ∈ N)) ↔ (𝑦 ∈ N ∧ ((𝑥 ·N ((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣))) ∈ N ∧ (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑢)) ∈ N)))
10		3anass 967	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ N ∧ (𝑥 ·N ((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣))) ∈ N ∧ (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑢)) ∈ N) ↔ (𝑦 ∈ N ∧ ((𝑥 ·N ((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣))) ∈ N ∧ (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑢)) ∈ N)))
11	9, 10	bitr4i 186	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ·N ((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣))) ∈ N ∧ (𝑦 ∈ N ∧ (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑢)) ∈ N)) ↔ (𝑦 ∈ N ∧ (𝑥 ·N ((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣))) ∈ N ∧ (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑢)) ∈ N))
12	8, 11	sylib 121	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ ((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣)) ∈ N) ∧ (𝑦 ∈ N ∧ (𝑤 ·N 𝑢) ∈ N)) → (𝑦 ∈ N ∧ (𝑥 ·N ((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣))) ∈ N ∧ (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑢)) ∈ N))
13	12	an4s 578	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣)) ∈ N ∧ (𝑤 ·N 𝑢) ∈ N)) → (𝑦 ∈ N ∧ (𝑥 ·N ((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣))) ∈ N ∧ (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑢)) ∈ N))
14		mulcanenqec 7218	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ N ∧ (𝑥 ·N ((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣))) ∈ N ∧ (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑢)) ∈ N) → [⟨(𝑦 ·N (𝑥 ·N ((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣)))), (𝑦 ·N (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑢)))⟩] ~Q = [⟨(𝑥 ·N ((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣))), (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑢))⟩] ~Q )
15	13, 14	syl 14	. . 3 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣)) ∈ N ∧ (𝑤 ·N 𝑢) ∈ N)) → [⟨(𝑦 ·N (𝑥 ·N ((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣)))), (𝑦 ·N (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑢)))⟩] ~Q = [⟨(𝑥 ·N ((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣))), (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑢))⟩] ~Q )
16	3, 15	eqtr4d 2176	. 2 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣)) ∈ N ∧ (𝑤 ·N 𝑢) ∈ N)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q ·Q [⟨((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣)), (𝑤 ·N 𝑢)⟩] ~Q ) = [⟨(𝑦 ·N (𝑥 ·N ((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣)))), (𝑦 ·N (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑢)))⟩] ~Q )
17		mulpipqqs 7205	. 2 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q ·Q [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ) = [⟨(𝑥 ·N 𝑧), (𝑦 ·N 𝑤)⟩] ~Q )
18		mulpipqqs 7205	. 2 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q ·Q [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q ) = [⟨(𝑥 ·N 𝑣), (𝑦 ·N 𝑢)⟩] ~Q )
19		addpipqqs 7202	. 2 ⊢ ((((𝑥 ·N 𝑧) ∈ N ∧ (𝑦 ·N 𝑤) ∈ N) ∧ ((𝑥 ·N 𝑣) ∈ N ∧ (𝑦 ·N 𝑢) ∈ N)) → ([⟨(𝑥 ·N 𝑧), (𝑦 ·N 𝑤)⟩] ~Q +Q [⟨(𝑥 ·N 𝑣), (𝑦 ·N 𝑢)⟩] ~Q ) = [⟨(((𝑥 ·N 𝑧) ·N (𝑦 ·N 𝑢)) +N ((𝑦 ·N 𝑤) ·N (𝑥 ·N 𝑣))), ((𝑦 ·N 𝑤) ·N (𝑦 ·N 𝑢))⟩] ~Q )
20		mulclpi 7160	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N) → (𝑧 ·N 𝑢) ∈ N)
21		mulclpi 7160	. . . . 5 ⊢ ((𝑤 ∈ N ∧ 𝑣 ∈ N) → (𝑤 ·N 𝑣) ∈ N)
22		addclpi 7159	. . . . 5 ⊢ (((𝑧 ·N 𝑢) ∈ N ∧ (𝑤 ·N 𝑣) ∈ N) → ((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣)) ∈ N)
23	20, 21, 22	syl2an 287	. . . 4 ⊢ (((𝑧 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N) ∧ (𝑤 ∈ N ∧ 𝑣 ∈ N)) → ((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣)) ∈ N)
24	23	an42s 579	. . 3 ⊢ (((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N)) → ((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣)) ∈ N)
25		mulclpi 7160	. . . 4 ⊢ ((𝑤 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N) → (𝑤 ·N 𝑢) ∈ N)
26	25	ad2ant2l 500	. . 3 ⊢ (((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N)) → (𝑤 ·N 𝑢) ∈ N)
27	24, 26	jca 304	. 2 ⊢ (((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N)) → (((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣)) ∈ N ∧ (𝑤 ·N 𝑢) ∈ N))
28		mulclpi 7160	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ N ∧ 𝑧 ∈ N) → (𝑥 ·N 𝑧) ∈ N)
29		mulclpi 7160	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) → (𝑦 ·N 𝑤) ∈ N)
30	28, 29	anim12i 336	. . 3 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑧 ∈ N) ∧ (𝑦 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N)) → ((𝑥 ·N 𝑧) ∈ N ∧ (𝑦 ·N 𝑤) ∈ N))
31	30	an4s 578	. 2 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N)) → ((𝑥 ·N 𝑧) ∈ N ∧ (𝑦 ·N 𝑤) ∈ N))
32		mulclpi 7160	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ N ∧ 𝑣 ∈ N) → (𝑥 ·N 𝑣) ∈ N)
33		mulclpi 7160	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N) → (𝑦 ·N 𝑢) ∈ N)
34	32, 33	anim12i 336	. . 3 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑣 ∈ N) ∧ (𝑦 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N)) → ((𝑥 ·N 𝑣) ∈ N ∧ (𝑦 ·N 𝑢) ∈ N))
35	34	an4s 578	. 2 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N)) → ((𝑥 ·N 𝑣) ∈ N ∧ (𝑦 ·N 𝑢) ∈ N))
36		an42 577	. . . . 5 ⊢ (((𝑧 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N) ∧ (𝑤 ∈ N ∧ 𝑣 ∈ N)) ↔ ((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N)))
37	36	anbi2i 453	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ ((𝑧 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N) ∧ (𝑤 ∈ N ∧ 𝑣 ∈ N))) ↔ ((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ ((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N))))
38		3anass 967	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N) ∧ (𝑤 ∈ N ∧ 𝑣 ∈ N)) ↔ ((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ ((𝑧 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N) ∧ (𝑤 ∈ N ∧ 𝑣 ∈ N))))
39		3anass 967	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N)) ↔ ((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ ((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N))))
40	37, 38, 39	3bitr4i 211	. . 3 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N) ∧ (𝑤 ∈ N ∧ 𝑣 ∈ N)) ↔ ((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N)))
41		mulclpi 7160	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ N ∧ 𝑥 ∈ N) → (𝑦 ·N 𝑥) ∈ N)
42	41	ancoms 266	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) → (𝑦 ·N 𝑥) ∈ N)
43		distrpig 7165	. . . . 5 ⊢ (((𝑦 ·N 𝑥) ∈ N ∧ (𝑧 ·N 𝑢) ∈ N ∧ (𝑤 ·N 𝑣) ∈ N) → ((𝑦 ·N 𝑥) ·N ((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣))) = (((𝑦 ·N 𝑥) ·N (𝑧 ·N 𝑢)) +N ((𝑦 ·N 𝑥) ·N (𝑤 ·N 𝑣))))
44	42, 20, 21, 43	syl3an 1259	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N) ∧ (𝑤 ∈ N ∧ 𝑣 ∈ N)) → ((𝑦 ·N 𝑥) ·N ((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣))) = (((𝑦 ·N 𝑥) ·N (𝑧 ·N 𝑢)) +N ((𝑦 ·N 𝑥) ·N (𝑤 ·N 𝑣))))
45		simp1r 1007	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N) ∧ (𝑤 ∈ N ∧ 𝑣 ∈ N)) → 𝑦 ∈ N)
46		simp1l 1006	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N) ∧ (𝑤 ∈ N ∧ 𝑣 ∈ N)) → 𝑥 ∈ N)
47	20	3ad2ant2 1004	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N) ∧ (𝑤 ∈ N ∧ 𝑣 ∈ N)) → (𝑧 ·N 𝑢) ∈ N)
48	21	3ad2ant3 1005	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N) ∧ (𝑤 ∈ N ∧ 𝑣 ∈ N)) → (𝑤 ·N 𝑣) ∈ N)
49	47, 48, 22	syl2anc 409	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N) ∧ (𝑤 ∈ N ∧ 𝑣 ∈ N)) → ((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣)) ∈ N)
50		mulasspig 7164	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ N ∧ 𝑥 ∈ N ∧ ((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣)) ∈ N) → ((𝑦 ·N 𝑥) ·N ((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣))) = (𝑦 ·N (𝑥 ·N ((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣)))))
51	45, 46, 49, 50	syl3anc 1217	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N) ∧ (𝑤 ∈ N ∧ 𝑣 ∈ N)) → ((𝑦 ·N 𝑥) ·N ((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣))) = (𝑦 ·N (𝑥 ·N ((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣)))))
52		mulcompig 7163	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) → (𝑥 ·N 𝑦) = (𝑦 ·N 𝑥))
53	52	oveq1d 5797	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) → ((𝑥 ·N 𝑦) ·N (𝑧 ·N 𝑢)) = ((𝑦 ·N 𝑥) ·N (𝑧 ·N 𝑢)))
54	53	adantr 274	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N)) → ((𝑥 ·N 𝑦) ·N (𝑧 ·N 𝑢)) = ((𝑦 ·N 𝑥) ·N (𝑧 ·N 𝑢)))
55		simpll 519	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N)) → 𝑥 ∈ N)
56		simplr 520	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N)) → 𝑦 ∈ N)
57		simprl 521	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N)) → 𝑧 ∈ N)
58		mulcompig 7163	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓 ∈ N ∧ 𝑔 ∈ N) → (𝑓 ·N 𝑔) = (𝑔 ·N 𝑓))
59	58	adantl 275	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N)) ∧ (𝑓 ∈ N ∧ 𝑔 ∈ N)) → (𝑓 ·N 𝑔) = (𝑔 ·N 𝑓))
60		mulasspig 7164	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓 ∈ N ∧ 𝑔 ∈ N ∧ ℎ ∈ N) → ((𝑓 ·N 𝑔) ·N ℎ) = (𝑓 ·N (𝑔 ·N ℎ)))
61	60	adantl 275	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N)) ∧ (𝑓 ∈ N ∧ 𝑔 ∈ N ∧ ℎ ∈ N)) → ((𝑓 ·N 𝑔) ·N ℎ) = (𝑓 ·N (𝑔 ·N ℎ)))
62		simprr 522	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N)) → 𝑢 ∈ N)
63		mulclpi 7160	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓 ∈ N ∧ 𝑔 ∈ N) → (𝑓 ·N 𝑔) ∈ N)
64	63	adantl 275	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N)) ∧ (𝑓 ∈ N ∧ 𝑔 ∈ N)) → (𝑓 ·N 𝑔) ∈ N)
65	55, 56, 57, 59, 61, 62, 64	caov4d 5963	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N)) → ((𝑥 ·N 𝑦) ·N (𝑧 ·N 𝑢)) = ((𝑥 ·N 𝑧) ·N (𝑦 ·N 𝑢)))
66	54, 65	eqtr3d 2175	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N)) → ((𝑦 ·N 𝑥) ·N (𝑧 ·N 𝑢)) = ((𝑥 ·N 𝑧) ·N (𝑦 ·N 𝑢)))
67	66	3adant3 1002	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N) ∧ (𝑤 ∈ N ∧ 𝑣 ∈ N)) → ((𝑦 ·N 𝑥) ·N (𝑧 ·N 𝑢)) = ((𝑥 ·N 𝑧) ·N (𝑦 ·N 𝑢)))
68		simplr 520	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑤 ∈ N ∧ 𝑣 ∈ N)) → 𝑦 ∈ N)
69		simpll 519	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑤 ∈ N ∧ 𝑣 ∈ N)) → 𝑥 ∈ N)
70		simprl 521	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑤 ∈ N ∧ 𝑣 ∈ N)) → 𝑤 ∈ N)
71	58	adantl 275	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑤 ∈ N ∧ 𝑣 ∈ N)) ∧ (𝑓 ∈ N ∧ 𝑔 ∈ N)) → (𝑓 ·N 𝑔) = (𝑔 ·N 𝑓))
72	60	adantl 275	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑤 ∈ N ∧ 𝑣 ∈ N)) ∧ (𝑓 ∈ N ∧ 𝑔 ∈ N ∧ ℎ ∈ N)) → ((𝑓 ·N 𝑔) ·N ℎ) = (𝑓 ·N (𝑔 ·N ℎ)))
73		simprr 522	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑤 ∈ N ∧ 𝑣 ∈ N)) → 𝑣 ∈ N)
74	63	adantl 275	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑤 ∈ N ∧ 𝑣 ∈ N)) ∧ (𝑓 ∈ N ∧ 𝑔 ∈ N)) → (𝑓 ·N 𝑔) ∈ N)
75	68, 69, 70, 71, 72, 73, 74	caov4d 5963	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑤 ∈ N ∧ 𝑣 ∈ N)) → ((𝑦 ·N 𝑥) ·N (𝑤 ·N 𝑣)) = ((𝑦 ·N 𝑤) ·N (𝑥 ·N 𝑣)))
76	75	3adant2 1001	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N) ∧ (𝑤 ∈ N ∧ 𝑣 ∈ N)) → ((𝑦 ·N 𝑥) ·N (𝑤 ·N 𝑣)) = ((𝑦 ·N 𝑤) ·N (𝑥 ·N 𝑣)))
77	67, 76	oveq12d 5800	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N) ∧ (𝑤 ∈ N ∧ 𝑣 ∈ N)) → (((𝑦 ·N 𝑥) ·N (𝑧 ·N 𝑢)) +N ((𝑦 ·N 𝑥) ·N (𝑤 ·N 𝑣))) = (((𝑥 ·N 𝑧) ·N (𝑦 ·N 𝑢)) +N ((𝑦 ·N 𝑤) ·N (𝑥 ·N 𝑣))))
78	44, 51, 77	3eqtr3d 2181	. . 3 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N) ∧ (𝑤 ∈ N ∧ 𝑣 ∈ N)) → (𝑦 ·N (𝑥 ·N ((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣)))) = (((𝑥 ·N 𝑧) ·N (𝑦 ·N 𝑢)) +N ((𝑦 ·N 𝑤) ·N (𝑥 ·N 𝑣))))
79	40, 78	sylbir 134	. 2 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N)) → (𝑦 ·N (𝑥 ·N ((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣)))) = (((𝑥 ·N 𝑧) ·N (𝑦 ·N 𝑢)) +N ((𝑦 ·N 𝑤) ·N (𝑥 ·N 𝑣))))
80	70	3adant2 1001	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N) ∧ (𝑤 ∈ N ∧ 𝑣 ∈ N)) → 𝑤 ∈ N)
81	62	3adant3 1002	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N) ∧ (𝑤 ∈ N ∧ 𝑣 ∈ N)) → 𝑢 ∈ N)
82	80, 81, 25	syl2anc 409	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N) ∧ (𝑤 ∈ N ∧ 𝑣 ∈ N)) → (𝑤 ·N 𝑢) ∈ N)
83		mulasspig 7164	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N ∧ (𝑤 ·N 𝑢) ∈ N) → ((𝑦 ·N 𝑦) ·N (𝑤 ·N 𝑢)) = (𝑦 ·N (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑢))))
84	45, 45, 82, 83	syl3anc 1217	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N) ∧ (𝑤 ∈ N ∧ 𝑣 ∈ N)) → ((𝑦 ·N 𝑦) ·N (𝑤 ·N 𝑢)) = (𝑦 ·N (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑢))))
85	58	adantl 275	. . . . 5 ⊢ ((((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N) ∧ (𝑤 ∈ N ∧ 𝑣 ∈ N)) ∧ (𝑓 ∈ N ∧ 𝑔 ∈ N)) → (𝑓 ·N 𝑔) = (𝑔 ·N 𝑓))
86	60	adantl 275	. . . . 5 ⊢ ((((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N) ∧ (𝑤 ∈ N ∧ 𝑣 ∈ N)) ∧ (𝑓 ∈ N ∧ 𝑔 ∈ N ∧ ℎ ∈ N)) → ((𝑓 ·N 𝑔) ·N ℎ) = (𝑓 ·N (𝑔 ·N ℎ)))
87	63	adantl 275	. . . . 5 ⊢ ((((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N) ∧ (𝑤 ∈ N ∧ 𝑣 ∈ N)) ∧ (𝑓 ∈ N ∧ 𝑔 ∈ N)) → (𝑓 ·N 𝑔) ∈ N)
88	45, 45, 80, 85, 86, 81, 87	caov4d 5963	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N) ∧ (𝑤 ∈ N ∧ 𝑣 ∈ N)) → ((𝑦 ·N 𝑦) ·N (𝑤 ·N 𝑢)) = ((𝑦 ·N 𝑤) ·N (𝑦 ·N 𝑢)))
89	84, 88	eqtr3d 2175	. . 3 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N) ∧ (𝑤 ∈ N ∧ 𝑣 ∈ N)) → (𝑦 ·N (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑢))) = ((𝑦 ·N 𝑤) ·N (𝑦 ·N 𝑢)))
90	40, 89	sylbir 134	. 2 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N)) → (𝑦 ·N (𝑦 ·N (𝑤 ·N 𝑢))) = ((𝑦 ·N 𝑤) ·N (𝑦 ·N 𝑢)))
91	1, 2, 16, 17, 18, 19, 27, 31, 35, 79, 90	ecovidi 6549	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q ∧ 𝐶 ∈ Q) → (𝐴 ·Q (𝐵 +Q 𝐶)) = ((𝐴 ·Q 𝐵) +Q (𝐴 ·Q 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ∧ w3a 963   = wceq 1332   ∈ wcel 1481  ⟨cop 3535  (class class class)co 5782  [cec 6435  Ncnpi 7104   +_N cpli 7105   ·_N cmi 7106   ~_Q ceq 7111  Qcnq 7112   +_Q cplq 7114   ·_Q cmq 7115

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4051  ax-sep 4054  ax-nul 4062  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-iinf 4510

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-csb 3008  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-nul 3369  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-iun 3823  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-tr 4035  df-id 4223  df-iord 4296  df-on 4298  df-suc 4301  df-iom 4513  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-f1 5136  df-fo 5137  df-f1o 5138  df-fv 5139  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-1st 6046  df-2nd 6047  df-recs 6210  df-irdg 6275  df-oadd 6325  df-omul 6326  df-er 6437  df-ec 6439  df-qs 6443  df-ni 7136  df-pli 7137  df-mi 7138  df-plpq 7176  df-mpq 7177  df-enq 7179  df-nqqs 7180  df-plqqs 7181  df-mqqs 7182

This theorem is referenced by:  ltaddnq  7239  halfnqq  7242  addnqprl  7361  addnqpru  7362  prmuloclemcalc  7397  distrlem1prl  7414  distrlem1pru  7415  distrlem4prl  7416  distrlem4pru  7417