Theorem mul0eqap 8990

Description: If two numbers are apart from each other and their product is zero, one of them must be zero. (Contributed by Jim Kingdon, 31-Jul-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
mul0eqap.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
mul0eqap.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
mul0eqap.ab	⊢ (𝜑 → 𝐴 # 𝐵)
mul0eqap.0	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) = 0)

Assertion

Ref	Expression
mul0eqap	⊢ (𝜑 → (𝐴 = 0 ∨ 𝐵 = 0))

Proof of Theorem mul0eqap

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mul0eqap.ab	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 # 𝐵)
2		mul0eqap.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
3		mul0eqap.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
4		0cnd 8309	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
5		apcotr 8925	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → (𝐴 # 𝐵 → (𝐴 # 0 ∨ 𝐵 # 0)))
6	2, 3, 4, 5	syl3anc 1278	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 # 𝐵 → (𝐴 # 0 ∨ 𝐵 # 0)))
7	1, 6	mpd 13	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 # 0 ∨ 𝐵 # 0))
8		mul0eqap.0	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) = 0)
9	8	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 # 0) → (𝐴 · 𝐵) = 0)
10	3	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 # 0) → 𝐵 ∈ ℂ)
11		0cnd 8309	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 # 0) → 0 ∈ ℂ)
12	2, 3	mulcld 8336	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ)
13	12	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 # 0) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ)
14		ibar 301	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 # 0 → (𝐵 # 0 ↔ (𝐴 # 0 ∧ 𝐵 # 0)))
15	2, 3	mulap0bd 8975	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 # 0 ∧ 𝐵 # 0) ↔ (𝐴 · 𝐵) # 0))
16	14, 15	sylan9bbr 467	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 # 0) → (𝐵 # 0 ↔ (𝐴 · 𝐵) # 0))
17	10, 11, 13, 11, 16	apcon4bid 8942	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 # 0) → (𝐵 = 0 ↔ (𝐴 · 𝐵) = 0))
18	9, 17	mpbird 167	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 # 0) → 𝐵 = 0)
19	18	ex 115	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 # 0 → 𝐵 = 0))
20	8	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 # 0) → (𝐴 · 𝐵) = 0)
21	2	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 # 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
22		0cnd 8309	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 # 0) → 0 ∈ ℂ)
23	12	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 # 0) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ)
24		iba 300	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 # 0 → (𝐴 # 0 ↔ (𝐴 # 0 ∧ 𝐵 # 0)))
25	24, 15	sylan9bbr 467	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 # 0) → (𝐴 # 0 ↔ (𝐴 · 𝐵) # 0))
26	21, 22, 23, 22, 25	apcon4bid 8942	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 # 0) → (𝐴 = 0 ↔ (𝐴 · 𝐵) = 0))
27	20, 26	mpbird 167	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 # 0) → 𝐴 = 0)
28	27	ex 115	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 # 0 → 𝐴 = 0))
29	19, 28	orim12d 798	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 # 0 ∨ 𝐵 # 0) → (𝐵 = 0 ∨ 𝐴 = 0)))
30	7, 29	mpd 13	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 = 0 ∨ 𝐴 = 0))
31	30	orcomd 741	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = 0 ∨ 𝐵 = 0))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 720   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4125  (class class class)co 6075  ℂcc 8167  0cc0 8169   · cmul 8174   # cap 8899

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-mulrcl 8268  ax-addcom 8269  ax-mulcom 8270  ax-addass 8271  ax-mulass 8272  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-1rid 8276  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-precex 8279  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-apti 8284  ax-pre-ltadd 8285  ax-pre-mulgt0 8286  ax-pre-mulext 8287

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-br 4126  df-opab 4188  df-id 4433  df-po 4436  df-iso 4437  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-reap 8893  df-ap 8900

This theorem is referenced by: (None)