ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mul0eqap GIF version

Theorem mul0eqap 8454
Description: If two numbers are apart from each other and their product is zero, one of them must be zero. (Contributed by Jim Kingdon, 31-Jul-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
mul0eqap.a (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
mul0eqap.b (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
mul0eqap.ab (𝜑𝐴 # 𝐵)
mul0eqap.0 (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) = 0)
Assertion
Ref Expression
mul0eqap (𝜑 → (𝐴 = 0 ∨ 𝐵 = 0))

Proof of Theorem mul0eqap
StepHypRef Expression
1 mul0eqap.ab . . . 4 (𝜑𝐴 # 𝐵)
2 mul0eqap.a . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
3 mul0eqap.b . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
4 0cnd 7782 . . . . 5 (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
5 apcotr 8392 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → (𝐴 # 𝐵 → (𝐴 # 0 ∨ 𝐵 # 0)))
62, 3, 4, 5syl3anc 1217 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 # 𝐵 → (𝐴 # 0 ∨ 𝐵 # 0)))
71, 6mpd 13 . . 3 (𝜑 → (𝐴 # 0 ∨ 𝐵 # 0))
8 mul0eqap.0 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) = 0)
98adantr 274 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 # 0) → (𝐴 · 𝐵) = 0)
103adantr 274 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 # 0) → 𝐵 ∈ ℂ)
11 0cnd 7782 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 # 0) → 0 ∈ ℂ)
122, 3mulcld 7809 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ)
1312adantr 274 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 # 0) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ)
14 ibar 299 . . . . . . . 8 (𝐴 # 0 → (𝐵 # 0 ↔ (𝐴 # 0 ∧ 𝐵 # 0)))
152, 3mulap0bd 8441 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐴 # 0 ∧ 𝐵 # 0) ↔ (𝐴 · 𝐵) # 0))
1614, 15sylan9bbr 459 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 # 0) → (𝐵 # 0 ↔ (𝐴 · 𝐵) # 0))
1710, 11, 13, 11, 16apcon4bid 8409 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 # 0) → (𝐵 = 0 ↔ (𝐴 · 𝐵) = 0))
189, 17mpbird 166 . . . . 5 ((𝜑𝐴 # 0) → 𝐵 = 0)
1918ex 114 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 # 0 → 𝐵 = 0))
208adantr 274 . . . . . 6 ((𝜑𝐵 # 0) → (𝐴 · 𝐵) = 0)
212adantr 274 . . . . . . 7 ((𝜑𝐵 # 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
22 0cnd 7782 . . . . . . 7 ((𝜑𝐵 # 0) → 0 ∈ ℂ)
2312adantr 274 . . . . . . 7 ((𝜑𝐵 # 0) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ)
24 iba 298 . . . . . . . 8 (𝐵 # 0 → (𝐴 # 0 ↔ (𝐴 # 0 ∧ 𝐵 # 0)))
2524, 15sylan9bbr 459 . . . . . . 7 ((𝜑𝐵 # 0) → (𝐴 # 0 ↔ (𝐴 · 𝐵) # 0))
2621, 22, 23, 22, 25apcon4bid 8409 . . . . . 6 ((𝜑𝐵 # 0) → (𝐴 = 0 ↔ (𝐴 · 𝐵) = 0))
2720, 26mpbird 166 . . . . 5 ((𝜑𝐵 # 0) → 𝐴 = 0)
2827ex 114 . . . 4 (𝜑 → (𝐵 # 0 → 𝐴 = 0))
2919, 28orim12d 776 . . 3 (𝜑 → ((𝐴 # 0 ∨ 𝐵 # 0) → (𝐵 = 0 ∨ 𝐴 = 0)))
307, 29mpd 13 . 2 (𝜑 → (𝐵 = 0 ∨ 𝐴 = 0))
3130orcomd 719 1 (𝜑 → (𝐴 = 0 ∨ 𝐵 = 0))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wo 698   = wceq 1332  wcel 1481   class class class wbr 3936  (class class class)co 5781  cc 7641  0cc0 7643   · cmul 7648   # cap 8366
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4053  ax-pow 4105  ax-pr 4138  ax-un 4362  ax-setind 4459  ax-cnex 7734  ax-resscn 7735  ax-1cn 7736  ax-1re 7737  ax-icn 7738  ax-addcl 7739  ax-addrcl 7740  ax-mulcl 7741  ax-mulrcl 7742  ax-addcom 7743  ax-mulcom 7744  ax-addass 7745  ax-mulass 7746  ax-distr 7747  ax-i2m1 7748  ax-0lt1 7749  ax-1rid 7750  ax-0id 7751  ax-rnegex 7752  ax-precex 7753  ax-cnre 7754  ax-pre-ltirr 7755  ax-pre-ltwlin 7756  ax-pre-lttrn 7757  ax-pre-apti 7758  ax-pre-ltadd 7759  ax-pre-mulgt0 7760  ax-pre-mulext 7761
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2913  df-dif 3077  df-un 3079  df-in 3081  df-ss 3088  df-pw 3516  df-sn 3537  df-pr 3538  df-op 3540  df-uni 3744  df-br 3937  df-opab 3997  df-id 4222  df-po 4225  df-iso 4226  df-xp 4552  df-rel 4553  df-cnv 4554  df-co 4555  df-dm 4556  df-iota 5095  df-fun 5132  df-fv 5138  df-riota 5737  df-ov 5784  df-oprab 5785  df-mpo 5786  df-pnf 7825  df-mnf 7826  df-xr 7827  df-ltxr 7828  df-le 7829  df-sub 7958  df-neg 7959  df-reap 8360  df-ap 8367
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator