Theorem mul0eqap 8742

Description: If two numbers are apart from each other and their product is zero, one of them must be zero. (Contributed by Jim Kingdon, 31-Jul-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
mul0eqap.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
mul0eqap.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
mul0eqap.ab	⊢ (𝜑 → 𝐴 # 𝐵)
mul0eqap.0	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) = 0)

Assertion

Ref	Expression
mul0eqap	⊢ (𝜑 → (𝐴 = 0 ∨ 𝐵 = 0))

Proof of Theorem mul0eqap

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mul0eqap.ab	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 # 𝐵)
2		mul0eqap.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
3		mul0eqap.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
4		0cnd 8064	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
5		apcotr 8679	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → (𝐴 # 𝐵 → (𝐴 # 0 ∨ 𝐵 # 0)))
6	2, 3, 4, 5	syl3anc 1249	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 # 𝐵 → (𝐴 # 0 ∨ 𝐵 # 0)))
7	1, 6	mpd 13	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 # 0 ∨ 𝐵 # 0))
8		mul0eqap.0	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) = 0)
9	8	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 # 0) → (𝐴 · 𝐵) = 0)
10	3	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 # 0) → 𝐵 ∈ ℂ)
11		0cnd 8064	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 # 0) → 0 ∈ ℂ)
12	2, 3	mulcld 8092	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ)
13	12	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 # 0) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ)
14		ibar 301	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 # 0 → (𝐵 # 0 ↔ (𝐴 # 0 ∧ 𝐵 # 0)))
15	2, 3	mulap0bd 8729	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 # 0 ∧ 𝐵 # 0) ↔ (𝐴 · 𝐵) # 0))
16	14, 15	sylan9bbr 463	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 # 0) → (𝐵 # 0 ↔ (𝐴 · 𝐵) # 0))
17	10, 11, 13, 11, 16	apcon4bid 8696	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 # 0) → (𝐵 = 0 ↔ (𝐴 · 𝐵) = 0))
18	9, 17	mpbird 167	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 # 0) → 𝐵 = 0)
19	18	ex 115	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 # 0 → 𝐵 = 0))
20	8	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 # 0) → (𝐴 · 𝐵) = 0)
21	2	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 # 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
22		0cnd 8064	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 # 0) → 0 ∈ ℂ)
23	12	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 # 0) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ)
24		iba 300	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 # 0 → (𝐴 # 0 ↔ (𝐴 # 0 ∧ 𝐵 # 0)))
25	24, 15	sylan9bbr 463	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 # 0) → (𝐴 # 0 ↔ (𝐴 · 𝐵) # 0))
26	21, 22, 23, 22, 25	apcon4bid 8696	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 # 0) → (𝐴 = 0 ↔ (𝐴 · 𝐵) = 0))
27	20, 26	mpbird 167	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 # 0) → 𝐴 = 0)
28	27	ex 115	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 # 0 → 𝐴 = 0))
29	19, 28	orim12d 787	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 # 0 ∨ 𝐵 # 0) → (𝐵 = 0 ∨ 𝐴 = 0)))
30	7, 29	mpd 13	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 = 0 ∨ 𝐴 = 0))
31	30	orcomd 730	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = 0 ∨ 𝐵 = 0))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 709   = wceq 1372   ∈ wcel 2175   class class class wbr 4043  (class class class)co 5943  ℂcc 7922  0cc0 7924   · cmul 7929   # cap 8653

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-sep 4161  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4479  ax-setind 4584  ax-cnex 8015  ax-resscn 8016  ax-1cn 8017  ax-1re 8018  ax-icn 8019  ax-addcl 8020  ax-addrcl 8021  ax-mulcl 8022  ax-mulrcl 8023  ax-addcom 8024  ax-mulcom 8025  ax-addass 8026  ax-mulass 8027  ax-distr 8028  ax-i2m1 8029  ax-0lt1 8030  ax-1rid 8031  ax-0id 8032  ax-rnegex 8033  ax-precex 8034  ax-cnre 8035  ax-pre-ltirr 8036  ax-pre-ltwlin 8037  ax-pre-lttrn 8038  ax-pre-apti 8039  ax-pre-ltadd 8040  ax-pre-mulgt0 8041  ax-pre-mulext 8042

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-nel 2471  df-ral 2488  df-rex 2489  df-reu 2490  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-br 4044  df-opab 4105  df-id 4339  df-po 4342  df-iso 4343  df-xp 4680  df-rel 4681  df-cnv 4682  df-co 4683  df-dm 4684  df-iota 5231  df-fun 5272  df-fv 5278  df-riota 5898  df-ov 5946  df-oprab 5947  df-mpo 5948  df-pnf 8108  df-mnf 8109  df-xr 8110  df-ltxr 8111  df-le 8112  df-sub 8244  df-neg 8245  df-reap 8647  df-ap 8654

This theorem is referenced by: (None)