Theorem mul0eqap 8828

Description: If two numbers are apart from each other and their product is zero, one of them must be zero. (Contributed by Jim Kingdon, 31-Jul-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
mul0eqap.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
mul0eqap.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
mul0eqap.ab	⊢ (𝜑 → 𝐴 # 𝐵)
mul0eqap.0	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) = 0)

Assertion

Ref	Expression
mul0eqap	⊢ (𝜑 → (𝐴 = 0 ∨ 𝐵 = 0))

Proof of Theorem mul0eqap

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mul0eqap.ab	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 # 𝐵)
2		mul0eqap.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
3		mul0eqap.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
4		0cnd 8150	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
5		apcotr 8765	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → (𝐴 # 𝐵 → (𝐴 # 0 ∨ 𝐵 # 0)))
6	2, 3, 4, 5	syl3anc 1271	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 # 𝐵 → (𝐴 # 0 ∨ 𝐵 # 0)))
7	1, 6	mpd 13	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 # 0 ∨ 𝐵 # 0))
8		mul0eqap.0	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) = 0)
9	8	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 # 0) → (𝐴 · 𝐵) = 0)
10	3	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 # 0) → 𝐵 ∈ ℂ)
11		0cnd 8150	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 # 0) → 0 ∈ ℂ)
12	2, 3	mulcld 8178	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ)
13	12	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 # 0) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ)
14		ibar 301	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 # 0 → (𝐵 # 0 ↔ (𝐴 # 0 ∧ 𝐵 # 0)))
15	2, 3	mulap0bd 8815	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 # 0 ∧ 𝐵 # 0) ↔ (𝐴 · 𝐵) # 0))
16	14, 15	sylan9bbr 463	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 # 0) → (𝐵 # 0 ↔ (𝐴 · 𝐵) # 0))
17	10, 11, 13, 11, 16	apcon4bid 8782	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 # 0) → (𝐵 = 0 ↔ (𝐴 · 𝐵) = 0))
18	9, 17	mpbird 167	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 # 0) → 𝐵 = 0)
19	18	ex 115	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 # 0 → 𝐵 = 0))
20	8	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 # 0) → (𝐴 · 𝐵) = 0)
21	2	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 # 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
22		0cnd 8150	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 # 0) → 0 ∈ ℂ)
23	12	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 # 0) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ)
24		iba 300	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 # 0 → (𝐴 # 0 ↔ (𝐴 # 0 ∧ 𝐵 # 0)))
25	24, 15	sylan9bbr 463	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 # 0) → (𝐴 # 0 ↔ (𝐴 · 𝐵) # 0))
26	21, 22, 23, 22, 25	apcon4bid 8782	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 # 0) → (𝐴 = 0 ↔ (𝐴 · 𝐵) = 0))
27	20, 26	mpbird 167	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 # 0) → 𝐴 = 0)
28	27	ex 115	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 # 0 → 𝐴 = 0))
29	19, 28	orim12d 791	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 # 0 ∨ 𝐵 # 0) → (𝐵 = 0 ∨ 𝐴 = 0)))
30	7, 29	mpd 13	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 = 0 ∨ 𝐴 = 0))
31	30	orcomd 734	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = 0 ∨ 𝐵 = 0))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 713   = wceq 1395   ∈ wcel 2200   class class class wbr 4083  (class class class)co 6007  ℂcc 8008  0cc0 8010   · cmul 8015   # cap 8739

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8101  ax-resscn 8102  ax-1cn 8103  ax-1re 8104  ax-icn 8105  ax-addcl 8106  ax-addrcl 8107  ax-mulcl 8108  ax-mulrcl 8109  ax-addcom 8110  ax-mulcom 8111  ax-addass 8112  ax-mulass 8113  ax-distr 8114  ax-i2m1 8115  ax-0lt1 8116  ax-1rid 8117  ax-0id 8118  ax-rnegex 8119  ax-precex 8120  ax-cnre 8121  ax-pre-ltirr 8122  ax-pre-ltwlin 8123  ax-pre-lttrn 8124  ax-pre-apti 8125  ax-pre-ltadd 8126  ax-pre-mulgt0 8127  ax-pre-mulext 8128

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-br 4084  df-opab 4146  df-id 4384  df-po 4387  df-iso 4388  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-pnf 8194  df-mnf 8195  df-xr 8196  df-ltxr 8197  df-le 8198  df-sub 8330  df-neg 8331  df-reap 8733  df-ap 8740

This theorem is referenced by: (None)