Theorem mul0inf 11954

Description: Equality of a product with zero. A bit of a curiosity, in the sense that theorems like abs00ap 11775 and mulap0bd 8949 may better express the ideas behind it. (Contributed by Jim Kingdon, 31-Jul-2023.)

Assertion

Ref	Expression
mul0inf	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝐵) = 0 ↔ inf({(abs‘𝐴), (abs‘𝐵)}, ℝ, < ) = 0))

Proof of Theorem mul0inf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulcl 8270	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ)
2		0cnd 8283	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 0 ∈ ℂ)
3		simpl 109	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
4	3	abscld 11894	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
5		simpr 110	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
6	5	abscld 11894	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (abs‘𝐵) ∈ ℝ)
7		mincl 11944	. . . 4 ⊢ (((abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐵) ∈ ℝ) → inf({(abs‘𝐴), (abs‘𝐵)}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
8	4, 6, 7	syl2anc 411	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → inf({(abs‘𝐴), (abs‘𝐵)}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
9	8	recnd 8318	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → inf({(abs‘𝐴), (abs‘𝐵)}, ℝ, < ) ∈ ℂ)
10	3	absge0d 11897	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 0 ≤ (abs‘𝐴))
11	5	absge0d 11897	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 0 ≤ (abs‘𝐵))
12		0red 8291	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 0 ∈ ℝ)
13		lemininf 11947	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐵) ∈ ℝ) → (0 ≤ inf({(abs‘𝐴), (abs‘𝐵)}, ℝ, < ) ↔ (0 ≤ (abs‘𝐴) ∧ 0 ≤ (abs‘𝐵))))
14	12, 4, 6, 13	syl3anc 1274	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (0 ≤ inf({(abs‘𝐴), (abs‘𝐵)}, ℝ, < ) ↔ (0 ≤ (abs‘𝐴) ∧ 0 ≤ (abs‘𝐵))))
15	10, 11, 14	mpbir2and 953	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 0 ≤ inf({(abs‘𝐴), (abs‘𝐵)}, ℝ, < ))
16		ap0gt0 8932	. . . 4 ⊢ ((inf({(abs‘𝐴), (abs‘𝐵)}, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ inf({(abs‘𝐴), (abs‘𝐵)}, ℝ, < )) → (inf({(abs‘𝐴), (abs‘𝐵)}, ℝ, < ) # 0 ↔ 0 < inf({(abs‘𝐴), (abs‘𝐵)}, ℝ, < )))
17	8, 15, 16	syl2anc 411	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (inf({(abs‘𝐴), (abs‘𝐵)}, ℝ, < ) # 0 ↔ 0 < inf({(abs‘𝐴), (abs‘𝐵)}, ℝ, < )))
18		absgt0ap 11812	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 # 0 ↔ 0 < (abs‘𝐴)))
19		absgt0ap 11812	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (𝐵 # 0 ↔ 0 < (abs‘𝐵)))
20	18, 19	bi2anan9 610	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 # 0 ∧ 𝐵 # 0) ↔ (0 < (abs‘𝐴) ∧ 0 < (abs‘𝐵))))
21		ltmininf 11948	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐵) ∈ ℝ) → (0 < inf({(abs‘𝐴), (abs‘𝐵)}, ℝ, < ) ↔ (0 < (abs‘𝐴) ∧ 0 < (abs‘𝐵))))
22	12, 4, 6, 21	syl3anc 1274	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (0 < inf({(abs‘𝐴), (abs‘𝐵)}, ℝ, < ) ↔ (0 < (abs‘𝐴) ∧ 0 < (abs‘𝐵))))
23	20, 22	bitr4d 191	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 # 0 ∧ 𝐵 # 0) ↔ 0 < inf({(abs‘𝐴), (abs‘𝐵)}, ℝ, < )))
24		mulap0b 8947	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 # 0 ∧ 𝐵 # 0) ↔ (𝐴 · 𝐵) # 0))
25	17, 23, 24	3bitr2rd 217	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝐵) # 0 ↔ inf({(abs‘𝐴), (abs‘𝐵)}, ℝ, < ) # 0))
26	1, 2, 9, 2, 25	apcon4bid 8916	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝐵) = 0 ↔ inf({(abs‘𝐴), (abs‘𝐵)}, ℝ, < ) = 0))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1398   ∈ wcel 2205  {cpr 3695   class class class wbr 4114  ‘cfv 5357  (class class class)co 6058  infcinf 7287  ℂcc 8141  ℝcr 8142  0cc0 8143   · cmul 8148   < clt 8324   ≤ cle 8325   # cap 8873  abscabs 11710

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-mulrcl 8242  ax-addcom 8243  ax-mulcom 8244  ax-addass 8245  ax-mulass 8246  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-1rid 8250  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-precex 8253  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-apti 8258  ax-pre-ltadd 8259  ax-pre-mulgt0 8260  ax-pre-mulext 8261  ax-arch 8262  ax-caucvg 8263

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3625  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-po 4422  df-iso 4423  df-iord 4492  df-on 4494  df-ilim 4495  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-isom 5366  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-recs 6549  df-frec 6635  df-sup 7288  df-inf 7289  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8463  df-neg 8464  df-reap 8867  df-ap 8874  df-div 8967  df-inn 9258  df-2 9316  df-3 9317  df-4 9318  df-n0 9517  df-z 9598  df-uz 9875  df-rp 10008  df-seqfrec 10837  df-exp 10928  df-cj 11555  df-re 11556  df-im 11557  df-rsqrt 11711  df-abs 11712

This theorem is referenced by: (None)