Theorem mul0inf 11251

Description: Equality of a product with zero. A bit of a curiosity, in the sense that theorems like abs00ap 11073 and mulap0bd 8616 may better express the ideas behind it. (Contributed by Jim Kingdon, 31-Jul-2023.)

Assertion

Ref	Expression
mul0inf	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝐵) = 0 ↔ inf({(abs‘𝐴), (abs‘𝐵)}, ℝ, < ) = 0))

Proof of Theorem mul0inf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulcl 7940	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ)
2		0cnd 7952	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 0 ∈ ℂ)
3		simpl 109	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
4	3	abscld 11192	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
5		simpr 110	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
6	5	abscld 11192	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (abs‘𝐵) ∈ ℝ)
7		mincl 11241	. . . 4 ⊢ (((abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐵) ∈ ℝ) → inf({(abs‘𝐴), (abs‘𝐵)}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
8	4, 6, 7	syl2anc 411	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → inf({(abs‘𝐴), (abs‘𝐵)}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
9	8	recnd 7988	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → inf({(abs‘𝐴), (abs‘𝐵)}, ℝ, < ) ∈ ℂ)
10	3	absge0d 11195	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 0 ≤ (abs‘𝐴))
11	5	absge0d 11195	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 0 ≤ (abs‘𝐵))
12		0red 7960	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 0 ∈ ℝ)
13		lemininf 11244	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐵) ∈ ℝ) → (0 ≤ inf({(abs‘𝐴), (abs‘𝐵)}, ℝ, < ) ↔ (0 ≤ (abs‘𝐴) ∧ 0 ≤ (abs‘𝐵))))
14	12, 4, 6, 13	syl3anc 1238	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (0 ≤ inf({(abs‘𝐴), (abs‘𝐵)}, ℝ, < ) ↔ (0 ≤ (abs‘𝐴) ∧ 0 ≤ (abs‘𝐵))))
15	10, 11, 14	mpbir2and 944	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 0 ≤ inf({(abs‘𝐴), (abs‘𝐵)}, ℝ, < ))
16		ap0gt0 8599	. . . 4 ⊢ ((inf({(abs‘𝐴), (abs‘𝐵)}, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ inf({(abs‘𝐴), (abs‘𝐵)}, ℝ, < )) → (inf({(abs‘𝐴), (abs‘𝐵)}, ℝ, < ) # 0 ↔ 0 < inf({(abs‘𝐴), (abs‘𝐵)}, ℝ, < )))
17	8, 15, 16	syl2anc 411	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (inf({(abs‘𝐴), (abs‘𝐵)}, ℝ, < ) # 0 ↔ 0 < inf({(abs‘𝐴), (abs‘𝐵)}, ℝ, < )))
18		absgt0ap 11110	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 # 0 ↔ 0 < (abs‘𝐴)))
19		absgt0ap 11110	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (𝐵 # 0 ↔ 0 < (abs‘𝐵)))
20	18, 19	bi2anan9 606	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 # 0 ∧ 𝐵 # 0) ↔ (0 < (abs‘𝐴) ∧ 0 < (abs‘𝐵))))
21		ltmininf 11245	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐵) ∈ ℝ) → (0 < inf({(abs‘𝐴), (abs‘𝐵)}, ℝ, < ) ↔ (0 < (abs‘𝐴) ∧ 0 < (abs‘𝐵))))
22	12, 4, 6, 21	syl3anc 1238	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (0 < inf({(abs‘𝐴), (abs‘𝐵)}, ℝ, < ) ↔ (0 < (abs‘𝐴) ∧ 0 < (abs‘𝐵))))
23	20, 22	bitr4d 191	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 # 0 ∧ 𝐵 # 0) ↔ 0 < inf({(abs‘𝐴), (abs‘𝐵)}, ℝ, < )))
24		mulap0b 8614	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 # 0 ∧ 𝐵 # 0) ↔ (𝐴 · 𝐵) # 0))
25	17, 23, 24	3bitr2rd 217	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝐵) # 0 ↔ inf({(abs‘𝐴), (abs‘𝐵)}, ℝ, < ) # 0))
26	1, 2, 9, 2, 25	apcon4bid 8583	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝐵) = 0 ↔ inf({(abs‘𝐴), (abs‘𝐵)}, ℝ, < ) = 0))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  {cpr 3595   class class class wbr 4005  ‘cfv 5218  (class class class)co 5877  infcinf 6984  ℂcc 7811  ℝcr 7812  0cc0 7813   · cmul 7818   < clt 7994   ≤ cle 7995   # cap 8540  abscabs 11008

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-mulrcl 7912  ax-addcom 7913  ax-mulcom 7914  ax-addass 7915  ax-mulass 7916  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-1rid 7920  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-precex 7923  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-apti 7928  ax-pre-ltadd 7929  ax-pre-mulgt0 7930  ax-pre-mulext 7931  ax-arch 7932  ax-caucvg 7933

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-isom 5227  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-recs 6308  df-frec 6394  df-sup 6985  df-inf 6986  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-reap 8534  df-ap 8541  df-div 8632  df-inn 8922  df-2 8980  df-3 8981  df-4 8982  df-n0 9179  df-z 9256  df-uz 9531  df-rp 9656  df-seqfrec 10448  df-exp 10522  df-cj 10853  df-re 10854  df-im 10855  df-rsqrt 11009  df-abs 11010

This theorem is referenced by: (None)