Theorem mul0inf 11773

Description: Equality of a product with zero. A bit of a curiosity, in the sense that theorems like abs00ap 11594 and mulap0bd 8820 may better express the ideas behind it. (Contributed by Jim Kingdon, 31-Jul-2023.)

Assertion

Ref	Expression
mul0inf	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝐵) = 0 ↔ inf({(abs‘𝐴), (abs‘𝐵)}, ℝ, < ) = 0))

Proof of Theorem mul0inf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulcl 8142	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ)
2		0cnd 8155	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 0 ∈ ℂ)
3		simpl 109	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
4	3	abscld 11713	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
5		simpr 110	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
6	5	abscld 11713	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (abs‘𝐵) ∈ ℝ)
7		mincl 11763	. . . 4 ⊢ (((abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐵) ∈ ℝ) → inf({(abs‘𝐴), (abs‘𝐵)}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
8	4, 6, 7	syl2anc 411	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → inf({(abs‘𝐴), (abs‘𝐵)}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
9	8	recnd 8191	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → inf({(abs‘𝐴), (abs‘𝐵)}, ℝ, < ) ∈ ℂ)
10	3	absge0d 11716	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 0 ≤ (abs‘𝐴))
11	5	absge0d 11716	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 0 ≤ (abs‘𝐵))
12		0red 8163	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 0 ∈ ℝ)
13		lemininf 11766	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐵) ∈ ℝ) → (0 ≤ inf({(abs‘𝐴), (abs‘𝐵)}, ℝ, < ) ↔ (0 ≤ (abs‘𝐴) ∧ 0 ≤ (abs‘𝐵))))
14	12, 4, 6, 13	syl3anc 1271	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (0 ≤ inf({(abs‘𝐴), (abs‘𝐵)}, ℝ, < ) ↔ (0 ≤ (abs‘𝐴) ∧ 0 ≤ (abs‘𝐵))))
15	10, 11, 14	mpbir2and 950	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 0 ≤ inf({(abs‘𝐴), (abs‘𝐵)}, ℝ, < ))
16		ap0gt0 8803	. . . 4 ⊢ ((inf({(abs‘𝐴), (abs‘𝐵)}, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ inf({(abs‘𝐴), (abs‘𝐵)}, ℝ, < )) → (inf({(abs‘𝐴), (abs‘𝐵)}, ℝ, < ) # 0 ↔ 0 < inf({(abs‘𝐴), (abs‘𝐵)}, ℝ, < )))
17	8, 15, 16	syl2anc 411	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (inf({(abs‘𝐴), (abs‘𝐵)}, ℝ, < ) # 0 ↔ 0 < inf({(abs‘𝐴), (abs‘𝐵)}, ℝ, < )))
18		absgt0ap 11631	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 # 0 ↔ 0 < (abs‘𝐴)))
19		absgt0ap 11631	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (𝐵 # 0 ↔ 0 < (abs‘𝐵)))
20	18, 19	bi2anan9 608	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 # 0 ∧ 𝐵 # 0) ↔ (0 < (abs‘𝐴) ∧ 0 < (abs‘𝐵))))
21		ltmininf 11767	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐵) ∈ ℝ) → (0 < inf({(abs‘𝐴), (abs‘𝐵)}, ℝ, < ) ↔ (0 < (abs‘𝐴) ∧ 0 < (abs‘𝐵))))
22	12, 4, 6, 21	syl3anc 1271	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (0 < inf({(abs‘𝐴), (abs‘𝐵)}, ℝ, < ) ↔ (0 < (abs‘𝐴) ∧ 0 < (abs‘𝐵))))
23	20, 22	bitr4d 191	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 # 0 ∧ 𝐵 # 0) ↔ 0 < inf({(abs‘𝐴), (abs‘𝐵)}, ℝ, < )))
24		mulap0b 8818	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 # 0 ∧ 𝐵 # 0) ↔ (𝐴 · 𝐵) # 0))
25	17, 23, 24	3bitr2rd 217	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝐵) # 0 ↔ inf({(abs‘𝐴), (abs‘𝐵)}, ℝ, < ) # 0))
26	1, 2, 9, 2, 25	apcon4bid 8787	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝐵) = 0 ↔ inf({(abs‘𝐴), (abs‘𝐵)}, ℝ, < ) = 0))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  {cpr 3667   class class class wbr 4083  ‘cfv 5321  (class class class)co 6010  infcinf 7166  ℂcc 8013  ℝcr 8014  0cc0 8015   · cmul 8020   < clt 8197   ≤ cle 8198   # cap 8744  abscabs 11529

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4259  ax-pr 4294  ax-un 4525  ax-setind 4630  ax-iinf 4681  ax-cnex 8106  ax-resscn 8107  ax-1cn 8108  ax-1re 8109  ax-icn 8110  ax-addcl 8111  ax-addrcl 8112  ax-mulcl 8113  ax-mulrcl 8114  ax-addcom 8115  ax-mulcom 8116  ax-addass 8117  ax-mulass 8118  ax-distr 8119  ax-i2m1 8120  ax-0lt1 8121  ax-1rid 8122  ax-0id 8123  ax-rnegex 8124  ax-precex 8125  ax-cnre 8126  ax-pre-ltirr 8127  ax-pre-ltwlin 8128  ax-pre-lttrn 8129  ax-pre-apti 8130  ax-pre-ltadd 8131  ax-pre-mulgt0 8132  ax-pre-mulext 8133  ax-arch 8134  ax-caucvg 8135

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4385  df-po 4388  df-iso 4389  df-iord 4458  df-on 4460  df-ilim 4461  df-suc 4463  df-iom 4684  df-xp 4726  df-rel 4727  df-cnv 4728  df-co 4729  df-dm 4730  df-rn 4731  df-res 4732  df-ima 4733  df-iota 5281  df-fun 5323  df-fn 5324  df-f 5325  df-f1 5326  df-fo 5327  df-f1o 5328  df-fv 5329  df-isom 5330  df-riota 5963  df-ov 6013  df-oprab 6014  df-mpo 6015  df-1st 6295  df-2nd 6296  df-recs 6462  df-frec 6548  df-sup 7167  df-inf 7168  df-pnf 8199  df-mnf 8200  df-xr 8201  df-ltxr 8202  df-le 8203  df-sub 8335  df-neg 8336  df-reap 8738  df-ap 8745  df-div 8836  df-inn 9127  df-2 9185  df-3 9186  df-4 9187  df-n0 9386  df-z 9463  df-uz 9739  df-rp 9867  df-seqfrec 10687  df-exp 10778  df-cj 11374  df-re 11375  df-im 11376  df-rsqrt 11530  df-abs 11531

This theorem is referenced by: (None)