Theorem mul0inf 11242

Description: Equality of a product with zero. A bit of a curiosity, in the sense that theorems like abs00ap 11064 and mulap0bd 8610 may better express the ideas behind it. (Contributed by Jim Kingdon, 31-Jul-2023.)

Assertion

Ref	Expression
mul0inf	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝐵) = 0 ↔ inf({(abs‘𝐴), (abs‘𝐵)}, ℝ, < ) = 0))

Proof of Theorem mul0inf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulcl 7935	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ)
2		0cnd 7947	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 0 ∈ ℂ)
3		simpl 109	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
4	3	abscld 11183	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
5		simpr 110	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
6	5	abscld 11183	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (abs‘𝐵) ∈ ℝ)
7		mincl 11232	. . . 4 ⊢ (((abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐵) ∈ ℝ) → inf({(abs‘𝐴), (abs‘𝐵)}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
8	4, 6, 7	syl2anc 411	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → inf({(abs‘𝐴), (abs‘𝐵)}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
9	8	recnd 7982	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → inf({(abs‘𝐴), (abs‘𝐵)}, ℝ, < ) ∈ ℂ)
10	3	absge0d 11186	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 0 ≤ (abs‘𝐴))
11	5	absge0d 11186	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 0 ≤ (abs‘𝐵))
12		0red 7955	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 0 ∈ ℝ)
13		lemininf 11235	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐵) ∈ ℝ) → (0 ≤ inf({(abs‘𝐴), (abs‘𝐵)}, ℝ, < ) ↔ (0 ≤ (abs‘𝐴) ∧ 0 ≤ (abs‘𝐵))))
14	12, 4, 6, 13	syl3anc 1238	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (0 ≤ inf({(abs‘𝐴), (abs‘𝐵)}, ℝ, < ) ↔ (0 ≤ (abs‘𝐴) ∧ 0 ≤ (abs‘𝐵))))
15	10, 11, 14	mpbir2and 944	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 0 ≤ inf({(abs‘𝐴), (abs‘𝐵)}, ℝ, < ))
16		ap0gt0 8593	. . . 4 ⊢ ((inf({(abs‘𝐴), (abs‘𝐵)}, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ inf({(abs‘𝐴), (abs‘𝐵)}, ℝ, < )) → (inf({(abs‘𝐴), (abs‘𝐵)}, ℝ, < ) # 0 ↔ 0 < inf({(abs‘𝐴), (abs‘𝐵)}, ℝ, < )))
17	8, 15, 16	syl2anc 411	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (inf({(abs‘𝐴), (abs‘𝐵)}, ℝ, < ) # 0 ↔ 0 < inf({(abs‘𝐴), (abs‘𝐵)}, ℝ, < )))
18		absgt0ap 11101	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 # 0 ↔ 0 < (abs‘𝐴)))
19		absgt0ap 11101	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (𝐵 # 0 ↔ 0 < (abs‘𝐵)))
20	18, 19	bi2anan9 606	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 # 0 ∧ 𝐵 # 0) ↔ (0 < (abs‘𝐴) ∧ 0 < (abs‘𝐵))))
21		ltmininf 11236	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐵) ∈ ℝ) → (0 < inf({(abs‘𝐴), (abs‘𝐵)}, ℝ, < ) ↔ (0 < (abs‘𝐴) ∧ 0 < (abs‘𝐵))))
22	12, 4, 6, 21	syl3anc 1238	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (0 < inf({(abs‘𝐴), (abs‘𝐵)}, ℝ, < ) ↔ (0 < (abs‘𝐴) ∧ 0 < (abs‘𝐵))))
23	20, 22	bitr4d 191	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 # 0 ∧ 𝐵 # 0) ↔ 0 < inf({(abs‘𝐴), (abs‘𝐵)}, ℝ, < )))
24		mulap0b 8608	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 # 0 ∧ 𝐵 # 0) ↔ (𝐴 · 𝐵) # 0))
25	17, 23, 24	3bitr2rd 217	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝐵) # 0 ↔ inf({(abs‘𝐴), (abs‘𝐵)}, ℝ, < ) # 0))
26	1, 2, 9, 2, 25	apcon4bid 8577	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝐵) = 0 ↔ inf({(abs‘𝐴), (abs‘𝐵)}, ℝ, < ) = 0))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  {cpr 3593   class class class wbr 4002  ‘cfv 5215  (class class class)co 5872  infcinf 6979  ℂcc 7806  ℝcr 7807  0cc0 7808   · cmul 7813   < clt 7988   ≤ cle 7989   # cap 8534  abscabs 10999

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4117  ax-sep 4120  ax-nul 4128  ax-pow 4173  ax-pr 4208  ax-un 4432  ax-setind 4535  ax-iinf 4586  ax-cnex 7899  ax-resscn 7900  ax-1cn 7901  ax-1re 7902  ax-icn 7903  ax-addcl 7904  ax-addrcl 7905  ax-mulcl 7906  ax-mulrcl 7907  ax-addcom 7908  ax-mulcom 7909  ax-addass 7910  ax-mulass 7911  ax-distr 7912  ax-i2m1 7913  ax-0lt1 7914  ax-1rid 7915  ax-0id 7916  ax-rnegex 7917  ax-precex 7918  ax-cnre 7919  ax-pre-ltirr 7920  ax-pre-ltwlin 7921  ax-pre-lttrn 7922  ax-pre-apti 7923  ax-pre-ltadd 7924  ax-pre-mulgt0 7925  ax-pre-mulext 7926  ax-arch 7927  ax-caucvg 7928

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4003  df-opab 4064  df-mpt 4065  df-tr 4101  df-id 4292  df-po 4295  df-iso 4296  df-iord 4365  df-on 4367  df-ilim 4368  df-suc 4370  df-iom 4589  df-xp 4631  df-rel 4632  df-cnv 4633  df-co 4634  df-dm 4635  df-rn 4636  df-res 4637  df-ima 4638  df-iota 5177  df-fun 5217  df-fn 5218  df-f 5219  df-f1 5220  df-fo 5221  df-f1o 5222  df-fv 5223  df-isom 5224  df-riota 5828  df-ov 5875  df-oprab 5876  df-mpo 5877  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-recs 6303  df-frec 6389  df-sup 6980  df-inf 6981  df-pnf 7990  df-mnf 7991  df-xr 7992  df-ltxr 7993  df-le 7994  df-sub 8126  df-neg 8127  df-reap 8528  df-ap 8535  df-div 8626  df-inn 8916  df-2 8974  df-3 8975  df-4 8976  df-n0 9173  df-z 9250  df-uz 9525  df-rp 9650  df-seqfrec 10441  df-exp 10515  df-cj 10844  df-re 10845  df-im 10846  df-rsqrt 11000  df-abs 11001

This theorem is referenced by: (None)