Theorem ascl0 15010

Description: The scalar 0 embedded into a left module corresponds to the 0 of the left module if the left module is also a ring. (Contributed by AV, 31-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
ascl0.a	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑊)
ascl0.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
ascl0.l	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
ascl0.r	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Ring)

Assertion

Ref	Expression
ascl0	⊢ (𝜑 → (𝐴‘(0g‘𝐹)) = (0g‘𝑊))

Proof of Theorem ascl0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ascl0.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑊)
2		ascl0.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
3		eqid 2238	. . 3 ⊢ (Base‘𝐹) = (Base‘𝐹)
4		eqid 2238	. . 3 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
5		eqid 2238	. . 3 ⊢ (1r‘𝑊) = (1r‘𝑊)
6		ascl0.l	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
7	2	lmodfgrp 14615	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝐹 ∈ Grp)
8		eqid 2238	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝐹) = (0g‘𝐹)
9	3, 8	grpidcl 13817	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ Grp → (0g‘𝐹) ∈ (Base‘𝐹))
10	6, 7, 9	3syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝐹) ∈ (Base‘𝐹))
11		ascl0.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Ring)
12	1, 2, 3, 4, 5, 10, 6, 11	asclvald 15005	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘(0g‘𝐹)) = ((0g‘𝐹)( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊)))
13		eqid 2238	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
14	13, 5	ringidcl 14308	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ Ring → (1r‘𝑊) ∈ (Base‘𝑊))
15	11, 14	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑊) ∈ (Base‘𝑊))
16		eqid 2238	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑊) = (0g‘𝑊)
17	13, 2, 4, 8, 16	lmod0vs 14641	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (1r‘𝑊) ∈ (Base‘𝑊)) → ((0g‘𝐹)( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊)) = (0g‘𝑊))
18	6, 15, 17	syl2anc 415	. 2 ⊢ (𝜑 → ((0g‘𝐹)( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊)) = (0g‘𝑊))
19	12, 18	eqtrd 2271	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘(0g‘𝐹)) = (0g‘𝑊))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ‘cfv 5375  (class class class)co 6079  Basecbs 13335  Scalarcsca 13417   ·_𝑠 cvsca 13418  0_gc0g 13593  Grpcgrp 13788  1_rcur 14245  Ringcrg 14283  LModclmod 14606  algSccascl 14981

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4244  ax-sep 4247  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265  ax-1cn 8266  ax-1re 8267  ax-icn 8268  ax-addcl 8269  ax-addrcl 8270  ax-mulcl 8271  ax-addcom 8273  ax-addass 8275  ax-i2m1 8278  ax-0lt1 8279  ax-0id 8281  ax-rnegex 8282  ax-pre-ltirr 8285  ax-pre-ltadd 8289

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-iun 4012  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-id 4436  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-fv 5383  df-riota 6032  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-pnf 8356  df-mnf 8357  df-ltxr 8359  df-inn 9288  df-2 9346  df-3 9347  df-4 9348  df-5 9349  df-6 9350  df-ndx 13338  df-slot 13339  df-base 13341  df-sets 13342  df-plusg 13427  df-mulr 13428  df-sca 13430  df-vsca 13431  df-0g 13595  df-mgm 13659  df-sgrp 13700  df-mnd 13713  df-grp 13791  df-mgp 14201  df-ur 14246  df-ring 14285  df-lmod 14608  df-ascl 14984

This theorem is referenced by: (None)