Theorem diveqap1bd 8828

Description: If two complex numbers are equal, their quotient is one. One-way deduction form of diveqap1 8697. Converse of diveqap1d 8790. (Contributed by David Moews, 28-Feb-2017.) (Revised by Jim Kingdon, 2-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
diveq1bd.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
diveqap1bd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 # 0)
diveq1bd.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
diveqap1bd	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) = 1)

Proof of Theorem diveqap1bd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		diveq1bd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
2		diveq1bd.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3	1, 2	eqeltrd 2266	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
4		diveqap1bd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 # 0)
5	3, 2, 4	diveqap1ad 8791	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 𝐵) = 1 ↔ 𝐴 = 𝐵))
6	1, 5	mpbird 167	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1364   ∈ wcel 2160   class class class wbr 4021  (class class class)co 5900  ℂcc 7844  0cc0 7846  1c1 7847   # cap 8573   / cdiv 8664

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4139  ax-pow 4195  ax-pr 4230  ax-un 4454  ax-setind 4557  ax-cnex 7937  ax-resscn 7938  ax-1cn 7939  ax-1re 7940  ax-icn 7941  ax-addcl 7942  ax-addrcl 7943  ax-mulcl 7944  ax-mulrcl 7945  ax-addcom 7946  ax-mulcom 7947  ax-addass 7948  ax-mulass 7949  ax-distr 7950  ax-i2m1 7951  ax-0lt1 7952  ax-1rid 7953  ax-0id 7954  ax-rnegex 7955  ax-precex 7956  ax-cnre 7957  ax-pre-ltirr 7958  ax-pre-ltwlin 7959  ax-pre-lttrn 7960  ax-pre-apti 7961  ax-pre-ltadd 7962  ax-pre-mulgt0 7963  ax-pre-mulext 7964

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3595  df-sn 3616  df-pr 3617  df-op 3619  df-uni 3828  df-br 4022  df-opab 4083  df-id 4314  df-po 4317  df-iso 4318  df-xp 4653  df-rel 4654  df-cnv 4655  df-co 4656  df-dm 4657  df-iota 5199  df-fun 5240  df-fv 5246  df-riota 5855  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpo 5905  df-pnf 8029  df-mnf 8030  df-xr 8031  df-ltxr 8032  df-le 8033  df-sub 8165  df-neg 8166  df-reap 8567  df-ap 8574  df-div 8665

This theorem is referenced by:  dvid  14647