Theorem dvid 15722

Description: Derivative of the identity function. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Aug-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 2-Aug-2023.)

Assertion

Ref	Expression
dvid	⊢ (ℂ D ( I ↾ ℂ)) = (ℂ × {1})

Proof of Theorem dvid

Dummy variables 𝑥 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1oi 5677	. . . 4 ⊢ ( I ↾ ℂ):ℂ–1-1-onto→ℂ
2		f1of 5637	. . . 4 ⊢ (( I ↾ ℂ):ℂ–1-1-onto→ℂ → ( I ↾ ℂ):ℂ⟶ℂ)
3	1, 2	mp1i 10	. . 3 ⊢ (⊤ → ( I ↾ ℂ):ℂ⟶ℂ)
4		simp2 1029	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑧 # 𝑥) → 𝑧 ∈ ℂ)
5		simp1 1028	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑧 # 𝑥) → 𝑥 ∈ ℂ)
6	4, 5	subcld 8630	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑧 # 𝑥) → (𝑧 − 𝑥) ∈ ℂ)
7		simp3 1030	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑧 # 𝑥) → 𝑧 # 𝑥)
8	4, 5, 7	subap0d 8965	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑧 # 𝑥) → (𝑧 − 𝑥) # 0)
9		fvresi 5902	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ ℂ → (( I ↾ ℂ)‘𝑧) = 𝑧)
10		fvresi 5902	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (( I ↾ ℂ)‘𝑥) = 𝑥)
11	9, 10	oveqan12rd 6098	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((( I ↾ ℂ)‘𝑧) − (( I ↾ ℂ)‘𝑥)) = (𝑧 − 𝑥))
12	11	3adant3 1048	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑧 # 𝑥) → ((( I ↾ ℂ)‘𝑧) − (( I ↾ ℂ)‘𝑥)) = (𝑧 − 𝑥))
13	6, 8, 12	diveqap1bd 9159	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑧 # 𝑥) → (((( I ↾ ℂ)‘𝑧) − (( I ↾ ℂ)‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥)) = 1)
14	13	adantl 277	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑧 # 𝑥)) → (((( I ↾ ℂ)‘𝑧) − (( I ↾ ℂ)‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥)) = 1)
15		ax-1cn 8265	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℂ
16	3, 14, 15	dvidlemap 15718	. 2 ⊢ (⊤ → (ℂ D ( I ↾ ℂ)) = (ℂ × {1}))
17	16	mptru 1411	1 ⊢ (ℂ D ( I ↾ ℂ)) = (ℂ × {1})

Syntax hints:   ∧ w3a 1009   = wceq 1402  ⊤wtru 1403   ∈ wcel 2209  {csn 3708   class class class wbr 4128   I cid 4431   × cxp 4770   ↾ cres 4774  ⟶wf 5371  –1-1-onto→wf1o 5374  ‘cfv 5375  (class class class)co 6078  ℂcc 8170  1c1 8173   − cmin 8490   # cap 8902   / cdiv 8995   D cdv 15682

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4244  ax-sep 4247  ax-nul 4257  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-iinf 4733  ax-cnex 8263  ax-resscn 8264  ax-1cn 8265  ax-1re 8266  ax-icn 8267  ax-addcl 8268  ax-addrcl 8269  ax-mulcl 8270  ax-mulrcl 8271  ax-addcom 8272  ax-mulcom 8273  ax-addass 8274  ax-mulass 8275  ax-distr 8276  ax-i2m1 8277  ax-0lt1 8278  ax-1rid 8279  ax-0id 8280  ax-rnegex 8281  ax-precex 8282  ax-cnre 8283  ax-pre-ltirr 8284  ax-pre-ltwlin 8285  ax-pre-lttrn 8286  ax-pre-apti 8287  ax-pre-ltadd 8288  ax-pre-mulgt0 8289  ax-pre-mulext 8290  ax-arch 8291  ax-caucvg 8292

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 843  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-iun 4012  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-tr 4228  df-id 4436  df-po 4439  df-iso 4440  df-iord 4509  df-on 4511  df-ilim 4512  df-suc 4514  df-iom 4736  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-fv 5383  df-isom 5384  df-riota 6031  df-ov 6081  df-oprab 6082  df-mpo 6083  df-1st 6367  df-2nd 6368  df-recs 6569  df-frec 6655  df-map 6917  df-pm 6918  df-sup 7317  df-inf 7318  df-pnf 8355  df-mnf 8356  df-xr 8357  df-ltxr 8358  df-le 8359  df-sub 8492  df-neg 8493  df-reap 8896  df-ap 8903  df-div 8996  df-inn 9287  df-2 9345  df-3 9346  df-4 9347  df-n0 9546  df-z 9627  df-uz 9904  df-q 10002  df-rp 10037  df-xneg 10156  df-xadd 10157  df-seqfrec 10866  df-exp 10957  df-cj 11588  df-re 11589  df-im 11590  df-rsqrt 11745  df-abs 11746  df-rest 13575  df-topgen 13594  df-psmet 14855  df-xmet 14856  df-met 14857  df-bl 14858  df-mopn 14859  df-top 15025  df-topon 15038  df-bases 15070  df-ntr 15123  df-cn 15215  df-cnp 15216  df-cncf 15598  df-limced 15683  df-dvap 15684

This theorem is referenced by:  dvexp  15738  dvmptidcn  15741  dvmptid  15743