Theorem dvid 14847

Description: Derivative of the identity function. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Aug-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 2-Aug-2023.)

Assertion

Ref	Expression
dvid	⊢ (ℂ D ( I ↾ ℂ)) = (ℂ × {1})

Proof of Theorem dvid

Dummy variables 𝑥 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1oi 5538	. . . 4 ⊢ ( I ↾ ℂ):ℂ–1-1-onto→ℂ
2		f1of 5500	. . . 4 ⊢ (( I ↾ ℂ):ℂ–1-1-onto→ℂ → ( I ↾ ℂ):ℂ⟶ℂ)
3	1, 2	mp1i 10	. . 3 ⊢ (⊤ → ( I ↾ ℂ):ℂ⟶ℂ)
4		simp2 1000	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑧 # 𝑥) → 𝑧 ∈ ℂ)
5		simp1 999	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑧 # 𝑥) → 𝑥 ∈ ℂ)
6	4, 5	subcld 8330	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑧 # 𝑥) → (𝑧 − 𝑥) ∈ ℂ)
7		simp3 1001	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑧 # 𝑥) → 𝑧 # 𝑥)
8	4, 5, 7	subap0d 8663	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑧 # 𝑥) → (𝑧 − 𝑥) # 0)
9		fvresi 5751	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ ℂ → (( I ↾ ℂ)‘𝑧) = 𝑧)
10		fvresi 5751	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (( I ↾ ℂ)‘𝑥) = 𝑥)
11	9, 10	oveqan12rd 5938	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((( I ↾ ℂ)‘𝑧) − (( I ↾ ℂ)‘𝑥)) = (𝑧 − 𝑥))
12	11	3adant3 1019	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑧 # 𝑥) → ((( I ↾ ℂ)‘𝑧) − (( I ↾ ℂ)‘𝑥)) = (𝑧 − 𝑥))
13	6, 8, 12	diveqap1bd 8855	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑧 # 𝑥) → (((( I ↾ ℂ)‘𝑧) − (( I ↾ ℂ)‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥)) = 1)
14	13	adantl 277	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑧 # 𝑥)) → (((( I ↾ ℂ)‘𝑧) − (( I ↾ ℂ)‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥)) = 1)
15		ax-1cn 7965	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℂ
16	3, 14, 15	dvidlemap 14845	. 2 ⊢ (⊤ → (ℂ D ( I ↾ ℂ)) = (ℂ × {1}))
17	16	mptru 1373	1 ⊢ (ℂ D ( I ↾ ℂ)) = (ℂ × {1})

Syntax hints:   ∧ w3a 980   = wceq 1364  ⊤wtru 1365   ∈ wcel 2164  {csn 3618   class class class wbr 4029   I cid 4319   × cxp 4657   ↾ cres 4661  ⟶wf 5250  –1-1-onto→wf1o 5253  ‘cfv 5254  (class class class)co 5918  ℂcc 7870  1c1 7873   − cmin 8190   # cap 8600   / cdiv 8691   D cdv 14809

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-iinf 4620  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-mulrcl 7971  ax-addcom 7972  ax-mulcom 7973  ax-addass 7974  ax-mulass 7975  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-1rid 7979  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-precex 7982  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-apti 7987  ax-pre-ltadd 7988  ax-pre-mulgt0 7989  ax-pre-mulext 7990  ax-arch 7991  ax-caucvg 7992

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-if 3558  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-id 4324  df-po 4327  df-iso 4328  df-iord 4397  df-on 4399  df-ilim 4400  df-suc 4402  df-iom 4623  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-isom 5263  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-recs 6358  df-frec 6444  df-map 6704  df-pm 6705  df-sup 7043  df-inf 7044  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-reap 8594  df-ap 8601  df-div 8692  df-inn 8983  df-2 9041  df-3 9042  df-4 9043  df-n0 9241  df-z 9318  df-uz 9593  df-q 9685  df-rp 9720  df-xneg 9838  df-xadd 9839  df-seqfrec 10519  df-exp 10610  df-cj 10986  df-re 10987  df-im 10988  df-rsqrt 11142  df-abs 11143  df-rest 12852  df-topgen 12871  df-psmet 14039  df-xmet 14040  df-met 14041  df-bl 14042  df-mopn 14043  df-top 14166  df-topon 14179  df-bases 14211  df-ntr 14264  df-cn 14356  df-cnp 14357  df-cncf 14726  df-limced 14810  df-dvap 14811

This theorem is referenced by:  dvexp  14860  dvmptidcn  14863