Theorem dvds2subd 12521

Description: Deduction form of dvds2sub 12520. (Contributed by Stanislas Polu, 9-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvds2subd.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
dvds2subd.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
dvds2subd.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
dvds2subd.1	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∥ 𝑀)
dvds2subd.2	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∥ 𝑁)

Assertion

Ref	Expression
dvds2subd	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∥ (𝑀 − 𝑁))

Proof of Theorem dvds2subd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvds2subd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∥ 𝑀)
2		dvds2subd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∥ 𝑁)
3		dvds2subd.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
4		dvds2subd.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
5		dvds2subd.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
6		dvds2sub 12520	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 ∥ 𝑀 ∧ 𝐾 ∥ 𝑁) → 𝐾 ∥ (𝑀 − 𝑁)))
7	3, 4, 5, 6	syl3anc 1274	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 ∥ 𝑀 ∧ 𝐾 ∥ 𝑁) → 𝐾 ∥ (𝑀 − 𝑁)))
8	1, 2, 7	mp2and 433	1 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∥ (𝑀 − 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2205   class class class wbr 4111  (class class class)co 6052   − cmin 8449  ℤcz 9582   ∥ cdvds 12481

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4230  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-cnex 8223  ax-resscn 8224  ax-1cn 8225  ax-1re 8226  ax-icn 8227  ax-addcl 8228  ax-addrcl 8229  ax-mulcl 8230  ax-addcom 8232  ax-mulcom 8233  ax-addass 8234  ax-distr 8236  ax-i2m1 8237  ax-0lt1 8238  ax-0id 8240  ax-rnegex 8241  ax-cnre 8243  ax-pre-ltirr 8244  ax-pre-ltwlin 8245  ax-pre-lttrn 8246  ax-pre-ltadd 8248

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-br 4112  df-opab 4174  df-id 4416  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fv 5362  df-riota 6005  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-pnf 8315  df-mnf 8316  df-xr 8317  df-ltxr 8318  df-le 8319  df-sub 8451  df-neg 8452  df-inn 9243  df-n0 9502  df-z 9583  df-dvds 12482

This theorem is referenced by:  prmdiv  12940  prmdiveq  12941  4sqlem10  13093  4sqlem14  13110