ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  prmdiveq GIF version

Theorem prmdiveq 12115
Description: The modular inverse of 𝐴 mod 𝑃 is unique. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jan-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
prmdiv.1 𝑅 = ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)
Assertion
Ref Expression
prmdiveq ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) → ((𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1)) ↔ 𝑆 = 𝑅))

Proof of Theorem prmdiveq
StepHypRef Expression
1 simpl1 985 . . . . . . . . 9 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) ∧ (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1))) → 𝑃 ∈ ℙ)
2 prmz 11992 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
31, 2syl 14 . . . . . . . 8 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) ∧ (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1))) → 𝑃 ∈ ℤ)
4 simpl2 986 . . . . . . . . . 10 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) ∧ (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1))) → 𝐴 ∈ ℤ)
5 elfzelz 9929 . . . . . . . . . . 11 (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) → 𝑆 ∈ ℤ)
65ad2antrl 482 . . . . . . . . . 10 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) ∧ (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1))) → 𝑆 ∈ ℤ)
74, 6zmulcld 9293 . . . . . . . . 9 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) ∧ (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1))) → (𝐴 · 𝑆) ∈ ℤ)
8 1z 9194 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℤ
9 zsubcl 9209 . . . . . . . . 9 (((𝐴 · 𝑆) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((𝐴 · 𝑆) − 1) ∈ ℤ)
107, 8, 9sylancl 410 . . . . . . . 8 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) ∧ (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1))) → ((𝐴 · 𝑆) − 1) ∈ ℤ)
11 prmdiv.1 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑅 = ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)
1211prmdiv 12114 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) → (𝑅 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑅) − 1)))
1312adantr 274 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) ∧ (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1))) → (𝑅 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑅) − 1)))
1413simpld 111 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) ∧ (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1))) → 𝑅 ∈ (1...(𝑃 − 1)))
15 elfzelz 9929 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ (1...(𝑃 − 1)) → 𝑅 ∈ ℤ)
1614, 15syl 14 . . . . . . . . . 10 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) ∧ (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1))) → 𝑅 ∈ ℤ)
174, 16zmulcld 9293 . . . . . . . . 9 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) ∧ (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1))) → (𝐴 · 𝑅) ∈ ℤ)
18 zsubcl 9209 . . . . . . . . 9 (((𝐴 · 𝑅) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((𝐴 · 𝑅) − 1) ∈ ℤ)
1917, 8, 18sylancl 410 . . . . . . . 8 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) ∧ (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1))) → ((𝐴 · 𝑅) − 1) ∈ ℤ)
20 simprr 522 . . . . . . . 8 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) ∧ (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1))) → 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1))
2113simprd 113 . . . . . . . 8 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) ∧ (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1))) → 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑅) − 1))
223, 10, 19, 20, 21dvds2subd 11727 . . . . . . 7 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) ∧ (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1))) → 𝑃 ∥ (((𝐴 · 𝑆) − 1) − ((𝐴 · 𝑅) − 1)))
237zcnd 9288 . . . . . . . . 9 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) ∧ (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1))) → (𝐴 · 𝑆) ∈ ℂ)
2417zcnd 9288 . . . . . . . . 9 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) ∧ (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1))) → (𝐴 · 𝑅) ∈ ℂ)
25 1cnd 7895 . . . . . . . . 9 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) ∧ (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1))) → 1 ∈ ℂ)
2623, 24, 25nnncan2d 8222 . . . . . . . 8 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) ∧ (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1))) → (((𝐴 · 𝑆) − 1) − ((𝐴 · 𝑅) − 1)) = ((𝐴 · 𝑆) − (𝐴 · 𝑅)))
274zcnd 9288 . . . . . . . . 9 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) ∧ (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1))) → 𝐴 ∈ ℂ)
28 elfznn0 10017 . . . . . . . . . . 11 (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) → 𝑆 ∈ ℕ0)
2928ad2antrl 482 . . . . . . . . . 10 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) ∧ (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1))) → 𝑆 ∈ ℕ0)
3029nn0cnd 9146 . . . . . . . . 9 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) ∧ (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1))) → 𝑆 ∈ ℂ)
3116zcnd 9288 . . . . . . . . 9 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) ∧ (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1))) → 𝑅 ∈ ℂ)
3227, 30, 31subdid 8290 . . . . . . . 8 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) ∧ (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1))) → (𝐴 · (𝑆𝑅)) = ((𝐴 · 𝑆) − (𝐴 · 𝑅)))
3326, 32eqtr4d 2193 . . . . . . 7 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) ∧ (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1))) → (((𝐴 · 𝑆) − 1) − ((𝐴 · 𝑅) − 1)) = (𝐴 · (𝑆𝑅)))
3422, 33breqtrd 3991 . . . . . 6 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) ∧ (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1))) → 𝑃 ∥ (𝐴 · (𝑆𝑅)))
35 simpl3 987 . . . . . . 7 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) ∧ (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1))) → ¬ 𝑃𝐴)
36 coprm 12023 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (¬ 𝑃𝐴 ↔ (𝑃 gcd 𝐴) = 1))
371, 4, 36syl2anc 409 . . . . . . 7 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) ∧ (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1))) → (¬ 𝑃𝐴 ↔ (𝑃 gcd 𝐴) = 1))
3835, 37mpbid 146 . . . . . 6 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) ∧ (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1))) → (𝑃 gcd 𝐴) = 1)
396, 16zsubcld 9292 . . . . . . 7 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) ∧ (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1))) → (𝑆𝑅) ∈ ℤ)
40 coprmdvds 11973 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝑆𝑅) ∈ ℤ) → ((𝑃 ∥ (𝐴 · (𝑆𝑅)) ∧ (𝑃 gcd 𝐴) = 1) → 𝑃 ∥ (𝑆𝑅)))
413, 4, 39, 40syl3anc 1220 . . . . . 6 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) ∧ (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1))) → ((𝑃 ∥ (𝐴 · (𝑆𝑅)) ∧ (𝑃 gcd 𝐴) = 1) → 𝑃 ∥ (𝑆𝑅)))
4234, 38, 41mp2and 430 . . . . 5 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) ∧ (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1))) → 𝑃 ∥ (𝑆𝑅))
43 prmnn 11991 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
441, 43syl 14 . . . . . 6 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) ∧ (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1))) → 𝑃 ∈ ℕ)
45 moddvds 11699 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑆 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℤ) → ((𝑆 mod 𝑃) = (𝑅 mod 𝑃) ↔ 𝑃 ∥ (𝑆𝑅)))
4644, 6, 16, 45syl3anc 1220 . . . . 5 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) ∧ (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1))) → ((𝑆 mod 𝑃) = (𝑅 mod 𝑃) ↔ 𝑃 ∥ (𝑆𝑅)))
4742, 46mpbird 166 . . . 4 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) ∧ (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1))) → (𝑆 mod 𝑃) = (𝑅 mod 𝑃))
48 zq 9536 . . . . . 6 (𝑆 ∈ ℤ → 𝑆 ∈ ℚ)
496, 48syl 14 . . . . 5 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) ∧ (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1))) → 𝑆 ∈ ℚ)
50 nnq 9543 . . . . . 6 (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℚ)
5144, 50syl 14 . . . . 5 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) ∧ (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1))) → 𝑃 ∈ ℚ)
52 elfzle1 9930 . . . . . 6 (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) → 0 ≤ 𝑆)
5352ad2antrl 482 . . . . 5 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) ∧ (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1))) → 0 ≤ 𝑆)
54 elfzle2 9931 . . . . . . 7 (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) → 𝑆 ≤ (𝑃 − 1))
5554ad2antrl 482 . . . . . 6 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) ∧ (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1))) → 𝑆 ≤ (𝑃 − 1))
56 zltlem1 9225 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → (𝑆 < 𝑃𝑆 ≤ (𝑃 − 1)))
576, 3, 56syl2anc 409 . . . . . 6 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) ∧ (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1))) → (𝑆 < 𝑃𝑆 ≤ (𝑃 − 1)))
5855, 57mpbird 166 . . . . 5 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) ∧ (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1))) → 𝑆 < 𝑃)
59 modqid 10252 . . . . 5 (((𝑆 ∈ ℚ ∧ 𝑃 ∈ ℚ) ∧ (0 ≤ 𝑆𝑆 < 𝑃)) → (𝑆 mod 𝑃) = 𝑆)
6049, 51, 53, 58, 59syl22anc 1221 . . . 4 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) ∧ (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1))) → (𝑆 mod 𝑃) = 𝑆)
61 prmuz2 12012 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ (ℤ‘2))
62 uznn0sub 9471 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → (𝑃 − 2) ∈ ℕ0)
631, 61, 623syl 17 . . . . . . . 8 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) ∧ (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1))) → (𝑃 − 2) ∈ ℕ0)
64 zexpcl 10438 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝑃 − 2) ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑃 − 2)) ∈ ℤ)
654, 63, 64syl2anc 409 . . . . . . 7 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) ∧ (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1))) → (𝐴↑(𝑃 − 2)) ∈ ℤ)
66 zq 9536 . . . . . . 7 ((𝐴↑(𝑃 − 2)) ∈ ℤ → (𝐴↑(𝑃 − 2)) ∈ ℚ)
6765, 66syl 14 . . . . . 6 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) ∧ (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1))) → (𝐴↑(𝑃 − 2)) ∈ ℚ)
6844nngt0d 8878 . . . . . 6 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) ∧ (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1))) → 0 < 𝑃)
69 modqabs2 10261 . . . . . 6 (((𝐴↑(𝑃 − 2)) ∈ ℚ ∧ 𝑃 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑃) → (((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) mod 𝑃) = ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃))
7067, 51, 68, 69syl3anc 1220 . . . . 5 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) ∧ (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1))) → (((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) mod 𝑃) = ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃))
7111oveq1i 5835 . . . . 5 (𝑅 mod 𝑃) = (((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) mod 𝑃)
7270, 71, 113eqtr4g 2215 . . . 4 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) ∧ (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1))) → (𝑅 mod 𝑃) = 𝑅)
7347, 60, 723eqtr3d 2198 . . 3 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) ∧ (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1))) → 𝑆 = 𝑅)
7473ex 114 . 2 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) → ((𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1)) → 𝑆 = 𝑅))
75 fz1ssfz0 10020 . . . . . 6 (1...(𝑃 − 1)) ⊆ (0...(𝑃 − 1))
7675sseli 3124 . . . . 5 (𝑅 ∈ (1...(𝑃 − 1)) → 𝑅 ∈ (0...(𝑃 − 1)))
77 eleq1 2220 . . . . 5 (𝑆 = 𝑅 → (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ↔ 𝑅 ∈ (0...(𝑃 − 1))))
7876, 77syl5ibr 155 . . . 4 (𝑆 = 𝑅 → (𝑅 ∈ (1...(𝑃 − 1)) → 𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1))))
79 oveq2 5833 . . . . . . 7 (𝑆 = 𝑅 → (𝐴 · 𝑆) = (𝐴 · 𝑅))
8079oveq1d 5840 . . . . . 6 (𝑆 = 𝑅 → ((𝐴 · 𝑆) − 1) = ((𝐴 · 𝑅) − 1))
8180breq2d 3978 . . . . 5 (𝑆 = 𝑅 → (𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1) ↔ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑅) − 1)))
8281biimprd 157 . . . 4 (𝑆 = 𝑅 → (𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑅) − 1) → 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1)))
8378, 82anim12d 333 . . 3 (𝑆 = 𝑅 → ((𝑅 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑅) − 1)) → (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1))))
8412, 83syl5com 29 . 2 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) → (𝑆 = 𝑅 → (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1))))
8574, 84impbid 128 1 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) → ((𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1)) ↔ 𝑆 = 𝑅))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 103  wb 104  w3a 963   = wceq 1335  wcel 2128   class class class wbr 3966  cfv 5171  (class class class)co 5825  0cc0 7733  1c1 7734   · cmul 7738   < clt 7913  cle 7914  cmin 8047  cn 8834  2c2 8885  0cn0 9091  cz 9168  cuz 9440  cq 9529  ...cfz 9913   mod cmo 10225  cexp 10422  cdvds 11687   gcd cgcd 11833  cprime 11988
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4080  ax-sep 4083  ax-nul 4091  ax-pow 4136  ax-pr 4170  ax-un 4394  ax-setind 4497  ax-iinf 4548  ax-cnex 7824  ax-resscn 7825  ax-1cn 7826  ax-1re 7827  ax-icn 7828  ax-addcl 7829  ax-addrcl 7830  ax-mulcl 7831  ax-mulrcl 7832  ax-addcom 7833  ax-mulcom 7834  ax-addass 7835  ax-mulass 7836  ax-distr 7837  ax-i2m1 7838  ax-0lt1 7839  ax-1rid 7840  ax-0id 7841  ax-rnegex 7842  ax-precex 7843  ax-cnre 7844  ax-pre-ltirr 7845  ax-pre-ltwlin 7846  ax-pre-lttrn 7847  ax-pre-apti 7848  ax-pre-ltadd 7849  ax-pre-mulgt0 7850  ax-pre-mulext 7851  ax-arch 7852  ax-caucvg 7853
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 817  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rmo 2443  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-if 3506  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3774  df-int 3809  df-iun 3852  df-br 3967  df-opab 4027  df-mpt 4028  df-tr 4064  df-id 4254  df-po 4257  df-iso 4258  df-iord 4327  df-on 4329  df-ilim 4330  df-suc 4332  df-iom 4551  df-xp 4593  df-rel 4594  df-cnv 4595  df-co 4596  df-dm 4597  df-rn 4598  df-res 4599  df-ima 4600  df-iota 5136  df-fun 5173  df-fn 5174  df-f 5175  df-f1 5176  df-fo 5177  df-f1o 5178  df-fv 5179  df-isom 5180  df-riota 5781  df-ov 5828  df-oprab 5829  df-mpo 5830  df-1st 6089  df-2nd 6090  df-recs 6253  df-irdg 6318  df-frec 6339  df-1o 6364  df-2o 6365  df-oadd 6368  df-er 6481  df-en 6687  df-dom 6688  df-fin 6689  df-sup 6929  df-pnf 7915  df-mnf 7916  df-xr 7917  df-ltxr 7918  df-le 7919  df-sub 8049  df-neg 8050  df-reap 8451  df-ap 8458  df-div 8547  df-inn 8835  df-2 8893  df-3 8894  df-4 8895  df-n0 9092  df-z 9169  df-uz 9441  df-q 9530  df-rp 9562  df-fz 9914  df-fzo 10046  df-fl 10173  df-mod 10226  df-seqfrec 10349  df-exp 10423  df-ihash 10654  df-cj 10746  df-re 10747  df-im 10748  df-rsqrt 10902  df-abs 10903  df-clim 11180  df-proddc 11452  df-dvds 11688  df-gcd 11834  df-prm 11989  df-phi 12090
This theorem is referenced by:  prmdivdiv  12116  modprminveq  12129
  Copyright terms: Public domain W3C validator