prmdiveq - Intuitionistic Logic Explorer

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Theorem prmdiveq 12164

Description: The modular inverse of 𝐴 mod 𝑃 is unique. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jan-2015.)

**Hypothesis**
Ref	Expression
prmdiv.1	⊢ 𝑅 = ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)

**Assertion**
Ref	Expression
prmdiveq	⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → ((𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1)) ↔ 𝑆 = 𝑅))

**Proof of Theorem prmdiveq**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 990	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1))) → 𝑃 ∈ ℙ)
2		prmz 12039	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
3	1, 2	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1))) → 𝑃 ∈ ℤ)
4		simpl2 991	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1))) → 𝐴 ∈ ℤ)
5		elfzelz 9956	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) → 𝑆 ∈ ℤ)
6	5	ad2antrl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1))) → 𝑆 ∈ ℤ)
7	4, 6	zmulcld 9315	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1))) → (𝐴 · 𝑆) ∈ ℤ)
8		1z 9213	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℤ
9		zsubcl 9228	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 · 𝑆) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((𝐴 · 𝑆) − 1) ∈ ℤ)
10	7, 8, 9	sylancl 410	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1))) → ((𝐴 · 𝑆) − 1) ∈ ℤ)
11		prmdiv.1	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑅 = ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)
12	11	prmdiv 12163	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → (𝑅 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑅) − 1)))
13	12	adantr 274	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1))) → (𝑅 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑅) − 1)))
14	13	simpld 111	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1))) → 𝑅 ∈ (1...(𝑃 − 1)))
15		elfzelz 9956	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ (1...(𝑃 − 1)) → 𝑅 ∈ ℤ)
16	14, 15	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1))) → 𝑅 ∈ ℤ)
17	4, 16	zmulcld 9315	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1))) → (𝐴 · 𝑅) ∈ ℤ)
18		zsubcl 9228	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 · 𝑅) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((𝐴 · 𝑅) − 1) ∈ ℤ)
19	17, 8, 18	sylancl 410	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1))) → ((𝐴 · 𝑅) − 1) ∈ ℤ)
20		simprr 522	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1))) → 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1))
21	13	simprd 113	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1))) → 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑅) − 1))
22	3, 10, 19, 20, 21	dvds2subd 11763	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1))) → 𝑃 ∥ (((𝐴 · 𝑆) − 1) − ((𝐴 · 𝑅) − 1)))
23	7	zcnd 9310	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1))) → (𝐴 · 𝑆) ∈ ℂ)
24	17	zcnd 9310	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1))) → (𝐴 · 𝑅) ∈ ℂ)
25		1cnd 7911	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1))) → 1 ∈ ℂ)
26	23, 24, 25	nnncan2d 8240	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1))) → (((𝐴 · 𝑆) − 1) − ((𝐴 · 𝑅) − 1)) = ((𝐴 · 𝑆) − (𝐴 · 𝑅)))
27	4	zcnd 9310	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1))) → 𝐴 ∈ ℂ)
28		elfznn0 10045	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) → 𝑆 ∈ ℕ₀)
29	28	ad2antrl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1))) → 𝑆 ∈ ℕ₀)
30	29	nn0cnd 9165	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1))) → 𝑆 ∈ ℂ)
31	16	zcnd 9310	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1))) → 𝑅 ∈ ℂ)
32	27, 30, 31	subdid 8308	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1))) → (𝐴 · (𝑆 − 𝑅)) = ((𝐴 · 𝑆) − (𝐴 · 𝑅)))
33	26, 32	eqtr4d 2201	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1))) → (((𝐴 · 𝑆) − 1) − ((𝐴 · 𝑅) − 1)) = (𝐴 · (𝑆 − 𝑅)))
34	22, 33	breqtrd 4007	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1))) → 𝑃 ∥ (𝐴 · (𝑆 − 𝑅)))
35		simpl3 992	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1))) → ¬ 𝑃 ∥ 𝐴)
36		coprm 12072	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (¬ 𝑃 ∥ 𝐴 ↔ (𝑃 gcd 𝐴) = 1))
37	1, 4, 36	syl2anc 409	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1))) → (¬ 𝑃 ∥ 𝐴 ↔ (𝑃 gcd 𝐴) = 1))
38	35, 37	mpbid 146	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1))) → (𝑃 gcd 𝐴) = 1)
39	6, 16	zsubcld 9314	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1))) → (𝑆 − 𝑅) ∈ ℤ)
40		coprmdvds 12020	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝑆 − 𝑅) ∈ ℤ) → ((𝑃 ∥ (𝐴 · (𝑆 − 𝑅)) ∧ (𝑃 gcd 𝐴) = 1) → 𝑃 ∥ (𝑆 − 𝑅)))
41	3, 4, 39, 40	syl3anc 1228	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1))) → ((𝑃 ∥ (𝐴 · (𝑆 − 𝑅)) ∧ (𝑃 gcd 𝐴) = 1) → 𝑃 ∥ (𝑆 − 𝑅)))
42	34, 38, 41	mp2and 430	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1))) → 𝑃 ∥ (𝑆 − 𝑅))
43		prmnn 12038	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
44	1, 43	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1))) → 𝑃 ∈ ℕ)
45		moddvds 11735	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑆 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℤ) → ((𝑆 mod 𝑃) = (𝑅 mod 𝑃) ↔ 𝑃 ∥ (𝑆 − 𝑅)))
46	44, 6, 16, 45	syl3anc 1228	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1))) → ((𝑆 mod 𝑃) = (𝑅 mod 𝑃) ↔ 𝑃 ∥ (𝑆 − 𝑅)))
47	42, 46	mpbird 166	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1))) → (𝑆 mod 𝑃) = (𝑅 mod 𝑃))
48		zq 9560	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ ℤ → 𝑆 ∈ ℚ)
49	6, 48	syl 14	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1))) → 𝑆 ∈ ℚ)
50		nnq 9567	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℚ)
51	44, 50	syl 14	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1))) → 𝑃 ∈ ℚ)
52		elfzle1 9958	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) → 0 ≤ 𝑆)
53	52	ad2antrl 482	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1))) → 0 ≤ 𝑆)
54		elfzle2 9959	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) → 𝑆 ≤ (𝑃 − 1))
55	54	ad2antrl 482	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1))) → 𝑆 ≤ (𝑃 − 1))
56		zltlem1 9244	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → (𝑆 < 𝑃 ↔ 𝑆 ≤ (𝑃 − 1)))
57	6, 3, 56	syl2anc 409	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1))) → (𝑆 < 𝑃 ↔ 𝑆 ≤ (𝑃 − 1)))
58	55, 57	mpbird 166	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1))) → 𝑆 < 𝑃)
59		modqid 10280	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ ℚ ∧ 𝑃 ∈ ℚ) ∧ (0 ≤ 𝑆 ∧ 𝑆 < 𝑃)) → (𝑆 mod 𝑃) = 𝑆)
60	49, 51, 53, 58, 59	syl22anc 1229	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1))) → (𝑆 mod 𝑃) = 𝑆)
61		prmuz2 12059	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ (ℤ_≥‘2))
62		uznn0sub 9493	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ_≥‘2) → (𝑃 − 2) ∈ ℕ₀)
63	1, 61, 62	3syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1))) → (𝑃 − 2) ∈ ℕ₀)
64		zexpcl 10466	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝑃 − 2) ∈ ℕ₀) → (𝐴↑(𝑃 − 2)) ∈ ℤ)
65	4, 63, 64	syl2anc 409	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1))) → (𝐴↑(𝑃 − 2)) ∈ ℤ)
66		zq 9560	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴↑(𝑃 − 2)) ∈ ℤ → (𝐴↑(𝑃 − 2)) ∈ ℚ)
67	65, 66	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1))) → (𝐴↑(𝑃 − 2)) ∈ ℚ)
68	44	nngt0d 8897	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1))) → 0 < 𝑃)
69		modqabs2 10289	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴↑(𝑃 − 2)) ∈ ℚ ∧ 𝑃 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑃) → (((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) mod 𝑃) = ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃))
70	67, 51, 68, 69	syl3anc 1228	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1))) → (((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) mod 𝑃) = ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃))
71	11	oveq1i 5851	. . . . 5 ⊢ (𝑅 mod 𝑃) = (((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) mod 𝑃)
72	70, 71, 11	3eqtr4g 2223	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1))) → (𝑅 mod 𝑃) = 𝑅)
73	47, 60, 72	3eqtr3d 2206	. . 3 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1))) → 𝑆 = 𝑅)
74	73	ex 114	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → ((𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1)) → 𝑆 = 𝑅))
75		fz1ssfz0 10048	. . . . . 6 ⊢ (1...(𝑃 − 1)) ⊆ (0...(𝑃 − 1))
76	75	sseli 3137	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ (1...(𝑃 − 1)) → 𝑅 ∈ (0...(𝑃 − 1)))
77		eleq1 2228	. . . . 5 ⊢ (𝑆 = 𝑅 → (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ↔ 𝑅 ∈ (0...(𝑃 − 1))))
78	76, 77	syl5ibr 155	. . . 4 ⊢ (𝑆 = 𝑅 → (𝑅 ∈ (1...(𝑃 − 1)) → 𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1))))
79		oveq2 5849	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 = 𝑅 → (𝐴 · 𝑆) = (𝐴 · 𝑅))
80	79	oveq1d 5856	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 = 𝑅 → ((𝐴 · 𝑆) − 1) = ((𝐴 · 𝑅) − 1))
81	80	breq2d 3993	. . . . 5 ⊢ (𝑆 = 𝑅 → (𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1) ↔ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑅) − 1)))
82	81	biimprd 157	. . . 4 ⊢ (𝑆 = 𝑅 → (𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑅) − 1) → 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1)))
83	78, 82	anim12d 333	. . 3 ⊢ (𝑆 = 𝑅 → ((𝑅 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑅) − 1)) → (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1))))
84	12, 83	syl5com 29	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → (𝑆 = 𝑅 → (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1))))
85	74, 84	impbid 128	1 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → ((𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1)) ↔ 𝑆 = 𝑅))

Colors of variables: wff set class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ∧ wa 103 ↔ wb 104 ∧ w3a 968 = wceq 1343 ∈ wcel 2136 class class class wbr 3981 ‘cfv 5187 (class class class)co 5841 0cc0 7749 1c1 7750 · cmul 7754 < clt 7929 ≤ cle 7930 − cmin 8065 ℕcn 8853 2c2 8904 ℕ₀cn0 9110 ℤcz 9187 ℤ_≥cuz 9462 ℚcq 9553 ...cfz 9940 mod cmo 10253 ↑cexp 10450 ∥ cdvds 11723 gcd cgcd 11871 ℙcprime 12035

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 105 ax-ia2 106 ax-ia3 107 ax-in1 604 ax-in2 605 ax-io 699 ax-5 1435 ax-7 1436 ax-gen 1437 ax-ie1 1481 ax-ie2 1482 ax-8 1492 ax-10 1493 ax-11 1494 ax-i12 1495 ax-bndl 1497 ax-4 1498 ax-17 1514 ax-i9 1518 ax-ial 1522 ax-i5r 1523 ax-13 2138 ax-14 2139 ax-ext 2147 ax-coll 4096 ax-sep 4099 ax-nul 4107 ax-pow 4152 ax-pr 4186 ax-un 4410 ax-setind 4513 ax-iinf 4564 ax-cnex 7840 ax-resscn 7841 ax-1cn 7842 ax-1re 7843 ax-icn 7844 ax-addcl 7845 ax-addrcl 7846 ax-mulcl 7847 ax-mulrcl 7848 ax-addcom 7849 ax-mulcom 7850 ax-addass 7851 ax-mulass 7852 ax-distr 7853 ax-i2m1 7854 ax-0lt1 7855 ax-1rid 7856 ax-0id 7857 ax-rnegex 7858 ax-precex 7859 ax-cnre 7860 ax-pre-ltirr 7861 ax-pre-ltwlin 7862 ax-pre-lttrn 7863 ax-pre-apti 7864 ax-pre-ltadd 7865 ax-pre-mulgt0 7866 ax-pre-mulext 7867 ax-arch 7868 ax-caucvg 7869

This theorem depends on definitions: df-bi 116 df-stab 821 df-dc 825 df-3or 969 df-3an 970 df-tru 1346 df-fal 1349 df-nf 1449 df-sb 1751 df-eu 2017 df-mo 2018 df-clab 2152 df-cleq 2158 df-clel 2161 df-nfc 2296 df-ne 2336 df-nel 2431 df-ral 2448 df-rex 2449 df-reu 2450 df-rmo 2451 df-rab 2452 df-v 2727 df-sbc 2951 df-csb 3045 df-dif 3117 df-un 3119 df-in 3121 df-ss 3128 df-nul 3409 df-if 3520 df-pw 3560 df-sn 3581 df-pr 3582 df-op 3584 df-uni 3789 df-int 3824 df-iun 3867 df-br 3982 df-opab 4043 df-mpt 4044 df-tr 4080 df-id 4270 df-po 4273 df-iso 4274 df-iord 4343 df-on 4345 df-ilim 4346 df-suc 4348 df-iom 4567 df-xp 4609 df-rel 4610 df-cnv 4611 df-co 4612 df-dm 4613 df-rn 4614 df-res 4615 df-ima 4616 df-iota 5152 df-fun 5189 df-fn 5190 df-f 5191 df-f1 5192 df-fo 5193 df-f1o 5194 df-fv 5195 df-isom 5196 df-riota 5797 df-ov 5844 df-oprab 5845 df-mpo 5846 df-1st 6105 df-2nd 6106 df-recs 6269 df-irdg 6334 df-frec 6355 df-1o 6380 df-2o 6381 df-oadd 6384 df-er 6497 df-en 6703 df-dom 6704 df-fin 6705 df-sup 6945 df-pnf 7931 df-mnf 7932 df-xr 7933 df-ltxr 7934 df-le 7935 df-sub 8067 df-neg 8068 df-reap 8469 df-ap 8476 df-div 8565 df-inn 8854 df-2 8912 df-3 8913 df-4 8914 df-n0 9111 df-z 9188 df-uz 9463 df-q 9554 df-rp 9586 df-fz 9941 df-fzo 10074 df-fl 10201 df-mod 10254 df-seqfrec 10377 df-exp 10451 df-ihash 10685 df-cj 10780 df-re 10781 df-im 10782 df-rsqrt 10936 df-abs 10937 df-clim 11216 df-proddc 11488 df-dvds 11724 df-gcd 11872 df-prm 12036 df-phi 12139

This theorem is referenced by: prmdivdiv 12165 modprminveq 12178

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