prmdiveq - Intuitionistic Logic Explorer

	Intuitionistic Logic Explorer		< Previous Next > Nearby theorems
Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > prmdiveq		GIF version

Theorem prmdiveq 12929

Description: The modular inverse of 𝐴 mod 𝑃 is unique. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jan-2015.)

**Hypothesis**
Ref	Expression
prmdiv.1	⊢ 𝑅 = ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)

**Assertion**
Ref	Expression
prmdiveq	⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → ((𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1)) ↔ 𝑆 = 𝑅))

**Proof of Theorem prmdiveq**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1027	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1))) → 𝑃 ∈ ℙ)
2		prmz 12804	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
3	1, 2	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1))) → 𝑃 ∈ ℤ)
4		simpl2 1028	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1))) → 𝐴 ∈ ℤ)
5		elfzelz 10358	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) → 𝑆 ∈ ℤ)
6	5	ad2antrl 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1))) → 𝑆 ∈ ℤ)
7	4, 6	zmulcld 9705	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1))) → (𝐴 · 𝑆) ∈ ℤ)
8		1z 9602	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℤ
9		zsubcl 9617	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 · 𝑆) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((𝐴 · 𝑆) − 1) ∈ ℤ)
10	7, 8, 9	sylancl 413	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1))) → ((𝐴 · 𝑆) − 1) ∈ ℤ)
11		prmdiv.1	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑅 = ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)
12	11	prmdiv 12928	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → (𝑅 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑅) − 1)))
13	12	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1))) → (𝑅 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑅) − 1)))
14	13	simpld 112	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1))) → 𝑅 ∈ (1...(𝑃 − 1)))
15		elfzelz 10358	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ (1...(𝑃 − 1)) → 𝑅 ∈ ℤ)
16	14, 15	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1))) → 𝑅 ∈ ℤ)
17	4, 16	zmulcld 9705	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1))) → (𝐴 · 𝑅) ∈ ℤ)
18		zsubcl 9617	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 · 𝑅) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((𝐴 · 𝑅) − 1) ∈ ℤ)
19	17, 8, 18	sylancl 413	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1))) → ((𝐴 · 𝑅) − 1) ∈ ℤ)
20		simprr 533	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1))) → 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1))
21	13	simprd 114	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1))) → 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑅) − 1))
22	3, 10, 19, 20, 21	dvds2subd 12509	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1))) → 𝑃 ∥ (((𝐴 · 𝑆) − 1) − ((𝐴 · 𝑅) − 1)))
23	7	zcnd 9700	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1))) → (𝐴 · 𝑆) ∈ ℂ)
24	17	zcnd 9700	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1))) → (𝐴 · 𝑅) ∈ ℂ)
25		1cnd 8289	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1))) → 1 ∈ ℂ)
26	23, 24, 25	nnncan2d 8618	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1))) → (((𝐴 · 𝑆) − 1) − ((𝐴 · 𝑅) − 1)) = ((𝐴 · 𝑆) − (𝐴 · 𝑅)))
27	4	zcnd 9700	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1))) → 𝐴 ∈ ℂ)
28		elfznn0 10447	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) → 𝑆 ∈ ℕ₀)
29	28	ad2antrl 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1))) → 𝑆 ∈ ℕ₀)
30	29	nn0cnd 9554	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1))) → 𝑆 ∈ ℂ)
31	16	zcnd 9700	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1))) → 𝑅 ∈ ℂ)
32	27, 30, 31	subdid 8686	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1))) → (𝐴 · (𝑆 − 𝑅)) = ((𝐴 · 𝑆) − (𝐴 · 𝑅)))
33	26, 32	eqtr4d 2268	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1))) → (((𝐴 · 𝑆) − 1) − ((𝐴 · 𝑅) − 1)) = (𝐴 · (𝑆 − 𝑅)))
34	22, 33	breqtrd 4134	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1))) → 𝑃 ∥ (𝐴 · (𝑆 − 𝑅)))
35		simpl3 1029	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1))) → ¬ 𝑃 ∥ 𝐴)
36		coprm 12837	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (¬ 𝑃 ∥ 𝐴 ↔ (𝑃 gcd 𝐴) = 1))
37	1, 4, 36	syl2anc 411	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1))) → (¬ 𝑃 ∥ 𝐴 ↔ (𝑃 gcd 𝐴) = 1))
38	35, 37	mpbid 147	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1))) → (𝑃 gcd 𝐴) = 1)
39	6, 16	zsubcld 9704	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1))) → (𝑆 − 𝑅) ∈ ℤ)
40		coprmdvds 12785	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝑆 − 𝑅) ∈ ℤ) → ((𝑃 ∥ (𝐴 · (𝑆 − 𝑅)) ∧ (𝑃 gcd 𝐴) = 1) → 𝑃 ∥ (𝑆 − 𝑅)))
41	3, 4, 39, 40	syl3anc 1274	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1))) → ((𝑃 ∥ (𝐴 · (𝑆 − 𝑅)) ∧ (𝑃 gcd 𝐴) = 1) → 𝑃 ∥ (𝑆 − 𝑅)))
42	34, 38, 41	mp2and 433	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1))) → 𝑃 ∥ (𝑆 − 𝑅))
43		prmnn 12803	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
44	1, 43	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1))) → 𝑃 ∈ ℕ)
45		moddvds 12481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑆 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℤ) → ((𝑆 mod 𝑃) = (𝑅 mod 𝑃) ↔ 𝑃 ∥ (𝑆 − 𝑅)))
46	44, 6, 16, 45	syl3anc 1274	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1))) → ((𝑆 mod 𝑃) = (𝑅 mod 𝑃) ↔ 𝑃 ∥ (𝑆 − 𝑅)))
47	42, 46	mpbird 167	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1))) → (𝑆 mod 𝑃) = (𝑅 mod 𝑃))
48		zq 9957	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ ℤ → 𝑆 ∈ ℚ)
49	6, 48	syl 14	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1))) → 𝑆 ∈ ℚ)
50		nnq 9964	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℚ)
51	44, 50	syl 14	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1))) → 𝑃 ∈ ℚ)
52		elfzle1 10360	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) → 0 ≤ 𝑆)
53	52	ad2antrl 490	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1))) → 0 ≤ 𝑆)
54		elfzle2 10361	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) → 𝑆 ≤ (𝑃 − 1))
55	54	ad2antrl 490	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1))) → 𝑆 ≤ (𝑃 − 1))
56		zltlem1 9634	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → (𝑆 < 𝑃 ↔ 𝑆 ≤ (𝑃 − 1)))
57	6, 3, 56	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1))) → (𝑆 < 𝑃 ↔ 𝑆 ≤ (𝑃 − 1)))
58	55, 57	mpbird 167	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1))) → 𝑆 < 𝑃)
59		modqid 10710	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ ℚ ∧ 𝑃 ∈ ℚ) ∧ (0 ≤ 𝑆 ∧ 𝑆 < 𝑃)) → (𝑆 mod 𝑃) = 𝑆)
60	49, 51, 53, 58, 59	syl22anc 1275	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1))) → (𝑆 mod 𝑃) = 𝑆)
61		prmuz2 12824	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ (ℤ_≥‘2))
62		uznn0sub 9885	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ_≥‘2) → (𝑃 − 2) ∈ ℕ₀)
63	1, 61, 62	3syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1))) → (𝑃 − 2) ∈ ℕ₀)
64		zexpcl 10915	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝑃 − 2) ∈ ℕ₀) → (𝐴↑(𝑃 − 2)) ∈ ℤ)
65	4, 63, 64	syl2anc 411	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1))) → (𝐴↑(𝑃 − 2)) ∈ ℤ)
66		zq 9957	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴↑(𝑃 − 2)) ∈ ℤ → (𝐴↑(𝑃 − 2)) ∈ ℚ)
67	65, 66	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1))) → (𝐴↑(𝑃 − 2)) ∈ ℚ)
68	44	nngt0d 9280	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1))) → 0 < 𝑃)
69		modqabs2 10719	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴↑(𝑃 − 2)) ∈ ℚ ∧ 𝑃 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑃) → (((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) mod 𝑃) = ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃))
70	67, 51, 68, 69	syl3anc 1274	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1))) → (((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) mod 𝑃) = ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃))
71	11	oveq1i 6059	. . . . 5 ⊢ (𝑅 mod 𝑃) = (((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) mod 𝑃)
72	70, 71, 11	3eqtr4g 2290	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1))) → (𝑅 mod 𝑃) = 𝑅)
73	47, 60, 72	3eqtr3d 2273	. . 3 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1))) → 𝑆 = 𝑅)
74	73	ex 115	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → ((𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1)) → 𝑆 = 𝑅))
75		fz1ssfz0 10450	. . . . . 6 ⊢ (1...(𝑃 − 1)) ⊆ (0...(𝑃 − 1))
76	75	sseli 3233	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ (1...(𝑃 − 1)) → 𝑅 ∈ (0...(𝑃 − 1)))
77		eleq1 2295	. . . . 5 ⊢ (𝑆 = 𝑅 → (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ↔ 𝑅 ∈ (0...(𝑃 − 1))))
78	76, 77	imbitrrid 156	. . . 4 ⊢ (𝑆 = 𝑅 → (𝑅 ∈ (1...(𝑃 − 1)) → 𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1))))
79		oveq2 6057	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 = 𝑅 → (𝐴 · 𝑆) = (𝐴 · 𝑅))
80	79	oveq1d 6064	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 = 𝑅 → ((𝐴 · 𝑆) − 1) = ((𝐴 · 𝑅) − 1))
81	80	breq2d 4120	. . . . 5 ⊢ (𝑆 = 𝑅 → (𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1) ↔ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑅) − 1)))
82	81	biimprd 158	. . . 4 ⊢ (𝑆 = 𝑅 → (𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑅) − 1) → 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1)))
83	78, 82	anim12d 335	. . 3 ⊢ (𝑆 = 𝑅 → ((𝑅 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑅) − 1)) → (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1))))
84	12, 83	syl5com 29	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → (𝑆 = 𝑅 → (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1))))
85	74, 84	impbid 129	1 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → ((𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1)) ↔ 𝑆 = 𝑅))

Colors of variables: wff set class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ∧ wa 104 ↔ wb 105 ∧ w3a 1005 = wceq 1398 ∈ wcel 2203 class class class wbr 4108 ‘cfv 5351 (class class class)co 6049 0cc0 8126 1c1 8127 · cmul 8131 < clt 8307 ≤ cle 8308 − cmin 8443 ℕcn 9236 2c2 9287 ℕ₀cn0 9495 ℤcz 9576 ℤ_≥cuz 9852 ℚcq 9950 ...cfz 10341 mod cmo 10683 ↑cexp 10899 ∥ cdvds 12469 gcd cgcd 12645 ℙcprime 12800

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 619 ax-in2 620 ax-io 717 ax-5 1496 ax-7 1497 ax-gen 1498 ax-ie1 1542 ax-ie2 1543 ax-8 1553 ax-10 1554 ax-11 1555 ax-i12 1556 ax-bndl 1558 ax-4 1559 ax-17 1575 ax-i9 1579 ax-ial 1583 ax-i5r 1584 ax-13 2205 ax-14 2206 ax-ext 2214 ax-coll 4224 ax-sep 4227 ax-nul 4235 ax-pow 4286 ax-pr 4321 ax-un 4553 ax-setind 4658 ax-iinf 4709 ax-cnex 8217 ax-resscn 8218 ax-1cn 8219 ax-1re 8220 ax-icn 8221 ax-addcl 8222 ax-addrcl 8223 ax-mulcl 8224 ax-mulrcl 8225 ax-addcom 8226 ax-mulcom 8227 ax-addass 8228 ax-mulass 8229 ax-distr 8230 ax-i2m1 8231 ax-0lt1 8232 ax-1rid 8233 ax-0id 8234 ax-rnegex 8235 ax-precex 8236 ax-cnre 8237 ax-pre-ltirr 8238 ax-pre-ltwlin 8239 ax-pre-lttrn 8240 ax-pre-apti 8241 ax-pre-ltadd 8242 ax-pre-mulgt0 8243 ax-pre-mulext 8244 ax-arch 8245 ax-caucvg 8246

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-stab 839 df-dc 843 df-3or 1006 df-3an 1007 df-tru 1401 df-fal 1404 df-nf 1510 df-sb 1812 df-eu 2083 df-mo 2084 df-clab 2219 df-cleq 2225 df-clel 2228 df-nfc 2373 df-ne 2413 df-nel 2508 df-ral 2525 df-rex 2526 df-reu 2527 df-rmo 2528 df-rab 2529 df-v 2814 df-sbc 3042 df-csb 3138 df-dif 3212 df-un 3214 df-in 3216 df-ss 3223 df-nul 3508 df-if 3620 df-pw 3670 df-sn 3694 df-pr 3695 df-op 3697 df-uni 3914 df-int 3949 df-iun 3992 df-br 4109 df-opab 4171 df-mpt 4172 df-tr 4208 df-id 4413 df-po 4416 df-iso 4417 df-iord 4486 df-on 4488 df-ilim 4489 df-suc 4491 df-iom 4712 df-xp 4754 df-rel 4755 df-cnv 4756 df-co 4757 df-dm 4758 df-rn 4759 df-res 4760 df-ima 4761 df-iota 5311 df-fun 5353 df-fn 5354 df-f 5355 df-f1 5356 df-fo 5357 df-f1o 5358 df-fv 5359 df-isom 5360 df-riota 6002 df-ov 6052 df-oprab 6053 df-mpo 6054 df-1st 6333 df-2nd 6334 df-recs 6535 df-irdg 6600 df-frec 6621 df-1o 6646 df-2o 6647 df-oadd 6650 df-er 6766 df-en 6975 df-dom 6976 df-fin 6977 df-sup 7274 df-pnf 8309 df-mnf 8310 df-xr 8311 df-ltxr 8312 df-le 8313 df-sub 8445 df-neg 8446 df-reap 8848 df-ap 8855 df-div 8946 df-inn 9237 df-2 9295 df-3 9296 df-4 9297 df-n0 9496 df-z 9577 df-uz 9853 df-q 9951 df-rp 9986 df-fz 10342 df-fzo 10476 df-fl 10629 df-mod 10684 df-seqfrec 10809 df-exp 10900 df-ihash 11137 df-cj 11523 df-re 11524 df-im 11525 df-rsqrt 11679 df-abs 11680 df-clim 11960 df-proddc 12233 df-dvds 12470 df-gcd 12646 df-prm 12801 df-phi 12904

This theorem is referenced by: prmdivdiv 12930 modprminveq 12944 wilthlem1 15840

W3C validator