prmdiveq - Intuitionistic Logic Explorer

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Theorem prmdiveq 12404

Description: The modular inverse of 𝐴 mod 𝑃 is unique. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jan-2015.)

**Hypothesis**
Ref	Expression
prmdiv.1	⊢ 𝑅 = ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)

**Assertion**
Ref	Expression
prmdiveq	⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → ((𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1)) ↔ 𝑆 = 𝑅))

**Proof of Theorem prmdiveq**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1002	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1))) → 𝑃 ∈ ℙ)
2		prmz 12279	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
3	1, 2	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1))) → 𝑃 ∈ ℤ)
4		simpl2 1003	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1))) → 𝐴 ∈ ℤ)
5		elfzelz 10100	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) → 𝑆 ∈ ℤ)
6	5	ad2antrl 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1))) → 𝑆 ∈ ℤ)
7	4, 6	zmulcld 9454	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1))) → (𝐴 · 𝑆) ∈ ℤ)
8		1z 9352	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℤ
9		zsubcl 9367	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 · 𝑆) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((𝐴 · 𝑆) − 1) ∈ ℤ)
10	7, 8, 9	sylancl 413	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1))) → ((𝐴 · 𝑆) − 1) ∈ ℤ)
11		prmdiv.1	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑅 = ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)
12	11	prmdiv 12403	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → (𝑅 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑅) − 1)))
13	12	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1))) → (𝑅 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑅) − 1)))
14	13	simpld 112	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1))) → 𝑅 ∈ (1...(𝑃 − 1)))
15		elfzelz 10100	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ (1...(𝑃 − 1)) → 𝑅 ∈ ℤ)
16	14, 15	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1))) → 𝑅 ∈ ℤ)
17	4, 16	zmulcld 9454	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1))) → (𝐴 · 𝑅) ∈ ℤ)
18		zsubcl 9367	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 · 𝑅) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((𝐴 · 𝑅) − 1) ∈ ℤ)
19	17, 8, 18	sylancl 413	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1))) → ((𝐴 · 𝑅) − 1) ∈ ℤ)
20		simprr 531	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1))) → 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1))
21	13	simprd 114	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1))) → 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑅) − 1))
22	3, 10, 19, 20, 21	dvds2subd 11992	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1))) → 𝑃 ∥ (((𝐴 · 𝑆) − 1) − ((𝐴 · 𝑅) − 1)))
23	7	zcnd 9449	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1))) → (𝐴 · 𝑆) ∈ ℂ)
24	17	zcnd 9449	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1))) → (𝐴 · 𝑅) ∈ ℂ)
25		1cnd 8042	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1))) → 1 ∈ ℂ)
26	23, 24, 25	nnncan2d 8372	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1))) → (((𝐴 · 𝑆) − 1) − ((𝐴 · 𝑅) − 1)) = ((𝐴 · 𝑆) − (𝐴 · 𝑅)))
27	4	zcnd 9449	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1))) → 𝐴 ∈ ℂ)
28		elfznn0 10189	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) → 𝑆 ∈ ℕ₀)
29	28	ad2antrl 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1))) → 𝑆 ∈ ℕ₀)
30	29	nn0cnd 9304	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1))) → 𝑆 ∈ ℂ)
31	16	zcnd 9449	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1))) → 𝑅 ∈ ℂ)
32	27, 30, 31	subdid 8440	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1))) → (𝐴 · (𝑆 − 𝑅)) = ((𝐴 · 𝑆) − (𝐴 · 𝑅)))
33	26, 32	eqtr4d 2232	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1))) → (((𝐴 · 𝑆) − 1) − ((𝐴 · 𝑅) − 1)) = (𝐴 · (𝑆 − 𝑅)))
34	22, 33	breqtrd 4059	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1))) → 𝑃 ∥ (𝐴 · (𝑆 − 𝑅)))
35		simpl3 1004	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1))) → ¬ 𝑃 ∥ 𝐴)
36		coprm 12312	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (¬ 𝑃 ∥ 𝐴 ↔ (𝑃 gcd 𝐴) = 1))
37	1, 4, 36	syl2anc 411	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1))) → (¬ 𝑃 ∥ 𝐴 ↔ (𝑃 gcd 𝐴) = 1))
38	35, 37	mpbid 147	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1))) → (𝑃 gcd 𝐴) = 1)
39	6, 16	zsubcld 9453	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1))) → (𝑆 − 𝑅) ∈ ℤ)
40		coprmdvds 12260	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝑆 − 𝑅) ∈ ℤ) → ((𝑃 ∥ (𝐴 · (𝑆 − 𝑅)) ∧ (𝑃 gcd 𝐴) = 1) → 𝑃 ∥ (𝑆 − 𝑅)))
41	3, 4, 39, 40	syl3anc 1249	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1))) → ((𝑃 ∥ (𝐴 · (𝑆 − 𝑅)) ∧ (𝑃 gcd 𝐴) = 1) → 𝑃 ∥ (𝑆 − 𝑅)))
42	34, 38, 41	mp2and 433	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1))) → 𝑃 ∥ (𝑆 − 𝑅))
43		prmnn 12278	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
44	1, 43	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1))) → 𝑃 ∈ ℕ)
45		moddvds 11964	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑆 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℤ) → ((𝑆 mod 𝑃) = (𝑅 mod 𝑃) ↔ 𝑃 ∥ (𝑆 − 𝑅)))
46	44, 6, 16, 45	syl3anc 1249	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1))) → ((𝑆 mod 𝑃) = (𝑅 mod 𝑃) ↔ 𝑃 ∥ (𝑆 − 𝑅)))
47	42, 46	mpbird 167	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1))) → (𝑆 mod 𝑃) = (𝑅 mod 𝑃))
48		zq 9700	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ ℤ → 𝑆 ∈ ℚ)
49	6, 48	syl 14	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1))) → 𝑆 ∈ ℚ)
50		nnq 9707	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℚ)
51	44, 50	syl 14	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1))) → 𝑃 ∈ ℚ)
52		elfzle1 10102	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) → 0 ≤ 𝑆)
53	52	ad2antrl 490	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1))) → 0 ≤ 𝑆)
54		elfzle2 10103	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) → 𝑆 ≤ (𝑃 − 1))
55	54	ad2antrl 490	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1))) → 𝑆 ≤ (𝑃 − 1))
56		zltlem1 9383	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → (𝑆 < 𝑃 ↔ 𝑆 ≤ (𝑃 − 1)))
57	6, 3, 56	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1))) → (𝑆 < 𝑃 ↔ 𝑆 ≤ (𝑃 − 1)))
58	55, 57	mpbird 167	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1))) → 𝑆 < 𝑃)
59		modqid 10441	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ ℚ ∧ 𝑃 ∈ ℚ) ∧ (0 ≤ 𝑆 ∧ 𝑆 < 𝑃)) → (𝑆 mod 𝑃) = 𝑆)
60	49, 51, 53, 58, 59	syl22anc 1250	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1))) → (𝑆 mod 𝑃) = 𝑆)
61		prmuz2 12299	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ (ℤ_≥‘2))
62		uznn0sub 9633	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ_≥‘2) → (𝑃 − 2) ∈ ℕ₀)
63	1, 61, 62	3syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1))) → (𝑃 − 2) ∈ ℕ₀)
64		zexpcl 10646	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝑃 − 2) ∈ ℕ₀) → (𝐴↑(𝑃 − 2)) ∈ ℤ)
65	4, 63, 64	syl2anc 411	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1))) → (𝐴↑(𝑃 − 2)) ∈ ℤ)
66		zq 9700	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴↑(𝑃 − 2)) ∈ ℤ → (𝐴↑(𝑃 − 2)) ∈ ℚ)
67	65, 66	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1))) → (𝐴↑(𝑃 − 2)) ∈ ℚ)
68	44	nngt0d 9034	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1))) → 0 < 𝑃)
69		modqabs2 10450	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴↑(𝑃 − 2)) ∈ ℚ ∧ 𝑃 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑃) → (((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) mod 𝑃) = ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃))
70	67, 51, 68, 69	syl3anc 1249	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1))) → (((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) mod 𝑃) = ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃))
71	11	oveq1i 5932	. . . . 5 ⊢ (𝑅 mod 𝑃) = (((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) mod 𝑃)
72	70, 71, 11	3eqtr4g 2254	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1))) → (𝑅 mod 𝑃) = 𝑅)
73	47, 60, 72	3eqtr3d 2237	. . 3 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1))) → 𝑆 = 𝑅)
74	73	ex 115	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → ((𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1)) → 𝑆 = 𝑅))
75		fz1ssfz0 10192	. . . . . 6 ⊢ (1...(𝑃 − 1)) ⊆ (0...(𝑃 − 1))
76	75	sseli 3179	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ (1...(𝑃 − 1)) → 𝑅 ∈ (0...(𝑃 − 1)))
77		eleq1 2259	. . . . 5 ⊢ (𝑆 = 𝑅 → (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ↔ 𝑅 ∈ (0...(𝑃 − 1))))
78	76, 77	imbitrrid 156	. . . 4 ⊢ (𝑆 = 𝑅 → (𝑅 ∈ (1...(𝑃 − 1)) → 𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1))))
79		oveq2 5930	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 = 𝑅 → (𝐴 · 𝑆) = (𝐴 · 𝑅))
80	79	oveq1d 5937	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 = 𝑅 → ((𝐴 · 𝑆) − 1) = ((𝐴 · 𝑅) − 1))
81	80	breq2d 4045	. . . . 5 ⊢ (𝑆 = 𝑅 → (𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1) ↔ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑅) − 1)))
82	81	biimprd 158	. . . 4 ⊢ (𝑆 = 𝑅 → (𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑅) − 1) → 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1)))
83	78, 82	anim12d 335	. . 3 ⊢ (𝑆 = 𝑅 → ((𝑅 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑅) − 1)) → (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1))))
84	12, 83	syl5com 29	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → (𝑆 = 𝑅 → (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1))))
85	74, 84	impbid 129	1 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → ((𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1)) ↔ 𝑆 = 𝑅))

Colors of variables: wff set class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ∧ wa 104 ↔ wb 105 ∧ w3a 980 = wceq 1364 ∈ wcel 2167 class class class wbr 4033 ‘cfv 5258 (class class class)co 5922 0cc0 7879 1c1 7880 · cmul 7884 < clt 8061 ≤ cle 8062 − cmin 8197 ℕcn 8990 2c2 9041 ℕ₀cn0 9249 ℤcz 9326 ℤ_≥cuz 9601 ℚcq 9693 ...cfz 10083 mod cmo 10414 ↑cexp 10630 ∥ cdvds 11952 gcd cgcd 12120 ℙcprime 12275

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 615 ax-in2 616 ax-io 710 ax-5 1461 ax-7 1462 ax-gen 1463 ax-ie1 1507 ax-ie2 1508 ax-8 1518 ax-10 1519 ax-11 1520 ax-i12 1521 ax-bndl 1523 ax-4 1524 ax-17 1540 ax-i9 1544 ax-ial 1548 ax-i5r 1549 ax-13 2169 ax-14 2170 ax-ext 2178 ax-coll 4148 ax-sep 4151 ax-nul 4159 ax-pow 4207 ax-pr 4242 ax-un 4468 ax-setind 4573 ax-iinf 4624 ax-cnex 7970 ax-resscn 7971 ax-1cn 7972 ax-1re 7973 ax-icn 7974 ax-addcl 7975 ax-addrcl 7976 ax-mulcl 7977 ax-mulrcl 7978 ax-addcom 7979 ax-mulcom 7980 ax-addass 7981 ax-mulass 7982 ax-distr 7983 ax-i2m1 7984 ax-0lt1 7985 ax-1rid 7986 ax-0id 7987 ax-rnegex 7988 ax-precex 7989 ax-cnre 7990 ax-pre-ltirr 7991 ax-pre-ltwlin 7992 ax-pre-lttrn 7993 ax-pre-apti 7994 ax-pre-ltadd 7995 ax-pre-mulgt0 7996 ax-pre-mulext 7997 ax-arch 7998 ax-caucvg 7999

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-stab 832 df-dc 836 df-3or 981 df-3an 982 df-tru 1367 df-fal 1370 df-nf 1475 df-sb 1777 df-eu 2048 df-mo 2049 df-clab 2183 df-cleq 2189 df-clel 2192 df-nfc 2328 df-ne 2368 df-nel 2463 df-ral 2480 df-rex 2481 df-reu 2482 df-rmo 2483 df-rab 2484 df-v 2765 df-sbc 2990 df-csb 3085 df-dif 3159 df-un 3161 df-in 3163 df-ss 3170 df-nul 3451 df-if 3562 df-pw 3607 df-sn 3628 df-pr 3629 df-op 3631 df-uni 3840 df-int 3875 df-iun 3918 df-br 4034 df-opab 4095 df-mpt 4096 df-tr 4132 df-id 4328 df-po 4331 df-iso 4332 df-iord 4401 df-on 4403 df-ilim 4404 df-suc 4406 df-iom 4627 df-xp 4669 df-rel 4670 df-cnv 4671 df-co 4672 df-dm 4673 df-rn 4674 df-res 4675 df-ima 4676 df-iota 5219 df-fun 5260 df-fn 5261 df-f 5262 df-f1 5263 df-fo 5264 df-f1o 5265 df-fv 5266 df-isom 5267 df-riota 5877 df-ov 5925 df-oprab 5926 df-mpo 5927 df-1st 6198 df-2nd 6199 df-recs 6363 df-irdg 6428 df-frec 6449 df-1o 6474 df-2o 6475 df-oadd 6478 df-er 6592 df-en 6800 df-dom 6801 df-fin 6802 df-sup 7050 df-pnf 8063 df-mnf 8064 df-xr 8065 df-ltxr 8066 df-le 8067 df-sub 8199 df-neg 8200 df-reap 8602 df-ap 8609 df-div 8700 df-inn 8991 df-2 9049 df-3 9050 df-4 9051 df-n0 9250 df-z 9327 df-uz 9602 df-q 9694 df-rp 9729 df-fz 10084 df-fzo 10218 df-fl 10360 df-mod 10415 df-seqfrec 10540 df-exp 10631 df-ihash 10868 df-cj 11007 df-re 11008 df-im 11009 df-rsqrt 11163 df-abs 11164 df-clim 11444 df-proddc 11716 df-dvds 11953 df-gcd 12121 df-prm 12276 df-phi 12379

This theorem is referenced by: prmdivdiv 12405 modprminveq 12419 wilthlem1 15216

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