Theorem frec2uz0d 10470

Description: The mapping 𝐺 is a one-to-one mapping from ω onto upper integers that will be used to construct a recursive definition generator. Ordinal natural number 0 maps to complex number 𝐶 (normally 0 for the upper integers ℕ₀ or 1 for the upper integers ℕ), 1 maps to 𝐶 + 1, etc. This theorem shows the value of 𝐺 at ordinal natural number zero. (Contributed by Jim Kingdon, 16-May-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
frec2uz.1	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℤ)
frec2uz.2	⊢ 𝐺 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
frec2uz0d	⊢ (𝜑 → (𝐺‘∅) = 𝐶)

Distinct variable group:   𝑥,𝐶

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem frec2uz0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frec2uz.2	. . 3 ⊢ 𝐺 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶)
2	1	fveq1i 5555	. 2 ⊢ (𝐺‘∅) = (frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶)‘∅)
3		frec2uz.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℤ)
4		frec0g 6450	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ ℤ → (frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶)‘∅) = 𝐶)
5	3, 4	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → (frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶)‘∅) = 𝐶)
6	2, 5	eqtrid 2238	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘∅) = 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1364   ∈ wcel 2164  ∅c0 3446   ↦ cmpt 4090  ‘cfv 5254  (class class class)co 5918  freccfrec 6443  1c1 7873   + caddc 7875  ℤcz 9317

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-id 4324  df-iord 4397  df-on 4399  df-suc 4402  df-iom 4623  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-res 4671  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-fv 5262  df-recs 6358  df-frec 6444

This theorem is referenced by:  frec2uzuzd  10473  frec2uzrand  10476  frec2uzrdg  10480  frecuzrdgg  10487  frecfzennn  10497  0tonninf  10511  1tonninf  10512  omgadd  10873  ennnfonelem1  12564  ennnfonelemhf1o  12570  012of  15486  2o01f  15487  isomninnlem  15520  iswomninnlem  15539  ismkvnnlem  15542