Users' Mathboxes Mathbox for Jim Kingdon < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  2o01f GIF version

Theorem 2o01f 14368
Description: Mapping zero and one between ω and 0 style integers. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Jun-2024.)
Hypothesis
Ref Expression
012of.g 𝐺 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)
Assertion
Ref Expression
2o01f (𝐺 ↾ 2o):2o⟶{0, 1}

Proof of Theorem 2o01f
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 012of.g . . . . . 6 𝐺 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)
21frechashgf1o 10401 . . . . 5 𝐺:ω–1-1-onto→ℕ0
3 f1of 5456 . . . . 5 (𝐺:ω–1-1-onto→ℕ0𝐺:ω⟶ℕ0)
42, 3ax-mp 5 . . . 4 𝐺:ω⟶ℕ0
5 2onn 6515 . . . . 5 2o ∈ ω
6 omelon 4604 . . . . . 6 ω ∈ On
76onelssi 4425 . . . . 5 (2o ∈ ω → 2o ⊆ ω)
85, 7ax-mp 5 . . . 4 2o ⊆ ω
9 fssres 5386 . . . 4 ((𝐺:ω⟶ℕ0 ∧ 2o ⊆ ω) → (𝐺 ↾ 2o):2o⟶ℕ0)
104, 8, 9mp2an 426 . . 3 (𝐺 ↾ 2o):2o⟶ℕ0
11 ffn 5360 . . 3 ((𝐺 ↾ 2o):2o⟶ℕ0 → (𝐺 ↾ 2o) Fn 2o)
1210, 11ax-mp 5 . 2 (𝐺 ↾ 2o) Fn 2o
13 fvres 5534 . . . 4 (𝑗 ∈ 2o → ((𝐺 ↾ 2o)‘𝑗) = (𝐺𝑗))
14 elpri 3614 . . . . . 6 (𝑗 ∈ {∅, 1o} → (𝑗 = ∅ ∨ 𝑗 = 1o))
15 df2o3 6424 . . . . . 6 2o = {∅, 1o}
1614, 15eleq2s 2272 . . . . 5 (𝑗 ∈ 2o → (𝑗 = ∅ ∨ 𝑗 = 1o))
17 fveq2 5510 . . . . . . 7 (𝑗 = ∅ → (𝐺𝑗) = (𝐺‘∅))
18 0zd 9241 . . . . . . . . . 10 (⊤ → 0 ∈ ℤ)
1918, 1frec2uz0d 10372 . . . . . . . . 9 (⊤ → (𝐺‘∅) = 0)
2019mptru 1362 . . . . . . . 8 (𝐺‘∅) = 0
21 c0ex 7929 . . . . . . . . 9 0 ∈ V
2221prid1 3697 . . . . . . . 8 0 ∈ {0, 1}
2320, 22eqeltri 2250 . . . . . . 7 (𝐺‘∅) ∈ {0, 1}
2417, 23eqeltrdi 2268 . . . . . 6 (𝑗 = ∅ → (𝐺𝑗) ∈ {0, 1})
25 fveq2 5510 . . . . . . 7 (𝑗 = 1o → (𝐺𝑗) = (𝐺‘1o))
26 df-1o 6410 . . . . . . . . . 10 1o = suc ∅
2726fveq2i 5513 . . . . . . . . 9 (𝐺‘1o) = (𝐺‘suc ∅)
28 peano1 4589 . . . . . . . . . . . 12 ∅ ∈ ω
2928a1i 9 . . . . . . . . . . 11 (⊤ → ∅ ∈ ω)
3018, 1, 29frec2uzsucd 10374 . . . . . . . . . 10 (⊤ → (𝐺‘suc ∅) = ((𝐺‘∅) + 1))
3130mptru 1362 . . . . . . . . 9 (𝐺‘suc ∅) = ((𝐺‘∅) + 1)
3220oveq1i 5878 . . . . . . . . . 10 ((𝐺‘∅) + 1) = (0 + 1)
33 0p1e1 9009 . . . . . . . . . 10 (0 + 1) = 1
3432, 33eqtri 2198 . . . . . . . . 9 ((𝐺‘∅) + 1) = 1
3527, 31, 343eqtri 2202 . . . . . . . 8 (𝐺‘1o) = 1
36 1ex 7930 . . . . . . . . 9 1 ∈ V
3736prid2 3698 . . . . . . . 8 1 ∈ {0, 1}
3835, 37eqeltri 2250 . . . . . . 7 (𝐺‘1o) ∈ {0, 1}
3925, 38eqeltrdi 2268 . . . . . 6 (𝑗 = 1o → (𝐺𝑗) ∈ {0, 1})
4024, 39jaoi 716 . . . . 5 ((𝑗 = ∅ ∨ 𝑗 = 1o) → (𝐺𝑗) ∈ {0, 1})
4116, 40syl 14 . . . 4 (𝑗 ∈ 2o → (𝐺𝑗) ∈ {0, 1})
4213, 41eqeltrd 2254 . . 3 (𝑗 ∈ 2o → ((𝐺 ↾ 2o)‘𝑗) ∈ {0, 1})
4342rgen 2530 . 2 𝑗 ∈ 2o ((𝐺 ↾ 2o)‘𝑗) ∈ {0, 1}
44 ffnfv 5669 . 2 ((𝐺 ↾ 2o):2o⟶{0, 1} ↔ ((𝐺 ↾ 2o) Fn 2o ∧ ∀𝑗 ∈ 2o ((𝐺 ↾ 2o)‘𝑗) ∈ {0, 1}))
4512, 43, 44mpbir2an 942 1 (𝐺 ↾ 2o):2o⟶{0, 1}
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wo 708   = wceq 1353  wtru 1354  wcel 2148  wral 2455  wss 3129  c0 3422  {cpr 3592  cmpt 4061  suc csuc 4361  ωcom 4585  cres 4624   Fn wfn 5206  wf 5207  1-1-ontowf1o 5210  cfv 5211  (class class class)co 5868  freccfrec 6384  1oc1o 6403  2oc2o 6404  0cc0 7789  1c1 7790   + caddc 7792  0cn0 9152  cz 9229
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4205  ax-un 4429  ax-setind 4532  ax-iinf 4583  ax-cnex 7880  ax-resscn 7881  ax-1cn 7882  ax-1re 7883  ax-icn 7884  ax-addcl 7885  ax-addrcl 7886  ax-mulcl 7887  ax-addcom 7889  ax-addass 7891  ax-distr 7893  ax-i2m1 7894  ax-0lt1 7895  ax-0id 7897  ax-rnegex 7898  ax-cnre 7900  ax-pre-ltirr 7901  ax-pre-ltwlin 7902  ax-pre-lttrn 7903  ax-pre-ltadd 7905
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4289  df-iord 4362  df-on 4364  df-ilim 4365  df-suc 4367  df-iom 4586  df-xp 4628  df-rel 4629  df-cnv 4630  df-co 4631  df-dm 4632  df-rn 4633  df-res 4634  df-ima 4635  df-iota 5173  df-fun 5213  df-fn 5214  df-f 5215  df-f1 5216  df-fo 5217  df-f1o 5218  df-fv 5219  df-riota 5824  df-ov 5871  df-oprab 5872  df-mpo 5873  df-recs 6299  df-frec 6385  df-1o 6410  df-2o 6411  df-pnf 7971  df-mnf 7972  df-xr 7973  df-ltxr 7974  df-le 7975  df-sub 8107  df-neg 8108  df-inn 8896  df-n0 9153  df-z 9230  df-uz 9505
This theorem is referenced by:  isomninnlem  14401  iswomninnlem  14420  ismkvnnlem  14423
  Copyright terms: Public domain W3C validator