Theorem 2o01f 17024

Description: Mapping zero and one between ω and ℕ₀ style integers. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Jun-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
012of.g	⊢ 𝐺 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)

Assertion

Ref	Expression
2o01f	⊢ (𝐺 ↾ 2o):2o⟶{0, 1}

Proof of Theorem 2o01f

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		012of.g	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)
2	1	frechashgf1o 10865	. . . . 5 ⊢ 𝐺:ω–1-1-onto→ℕ0
3		f1of 5639	. . . . 5 ⊢ (𝐺:ω–1-1-onto→ℕ0 → 𝐺:ω⟶ℕ0)
4	2, 3	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 𝐺:ω⟶ℕ0
5		2onn 6794	. . . . 5 ⊢ 2o ∈ ω
6		omelon 4756	. . . . . 6 ⊢ ω ∈ On
7	6	onelssi 4574	. . . . 5 ⊢ (2o ∈ ω → 2o ⊆ ω)
8	5, 7	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 2o ⊆ ω
9		fssres 5565	. . . 4 ⊢ ((𝐺:ω⟶ℕ0 ∧ 2o ⊆ ω) → (𝐺 ↾ 2o):2o⟶ℕ0)
10	4, 8, 9	mp2an 430	. . 3 ⊢ (𝐺 ↾ 2o):2o⟶ℕ0
11		ffn 5533	. . 3 ⊢ ((𝐺 ↾ 2o):2o⟶ℕ0 → (𝐺 ↾ 2o) Fn 2o)
12	10, 11	ax-mp 5	. 2 ⊢ (𝐺 ↾ 2o) Fn 2o
13		fvres 5719	. . . 4 ⊢ (𝑗 ∈ 2o → ((𝐺 ↾ 2o)‘𝑗) = (𝐺‘𝑗))
14		elpri 3732	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 ∈ {∅, 1o} → (𝑗 = ∅ ∨ 𝑗 = 1o))
15		df2o3 6702	. . . . . 6 ⊢ 2o = {∅, 1o}
16	14, 15	eleq2s 2333	. . . . 5 ⊢ (𝑗 ∈ 2o → (𝑗 = ∅ ∨ 𝑗 = 1o))
17		fveq2 5695	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = ∅ → (𝐺‘𝑗) = (𝐺‘∅))
18		0zd 9656	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → 0 ∈ ℤ)
19	18, 1	frec2uz0d 10836	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → (𝐺‘∅) = 0)
20	19	mptru 1411	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺‘∅) = 0
21		c0ex 8320	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ V
22	21	prid1 3817	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ {0, 1}
23	20, 22	eqeltri 2311	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺‘∅) ∈ {0, 1}
24	17, 23	eqeltrdi 2329	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = ∅ → (𝐺‘𝑗) ∈ {0, 1})
25		fveq2 5695	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 1o → (𝐺‘𝑗) = (𝐺‘1o))
26		df-1o 6687	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1o = suc ∅
27	26	fveq2i 5698	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺‘1o) = (𝐺‘suc ∅)
28		peano1 4741	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ∅ ∈ ω
29	28	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⊤ → ∅ ∈ ω)
30	18, 1, 29	frec2uzsucd 10838	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → (𝐺‘suc ∅) = ((𝐺‘∅) + 1))
31	30	mptru 1411	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺‘suc ∅) = ((𝐺‘∅) + 1)
32	20	oveq1i 6095	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺‘∅) + 1) = (0 + 1)
33		0p1e1 9418	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 + 1) = 1
34	32, 33	eqtri 2259	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺‘∅) + 1) = 1
35	27, 31, 34	3eqtri 2263	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺‘1o) = 1
36		1ex 8321	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ V
37	36	prid2 3818	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ {0, 1}
38	35, 37	eqeltri 2311	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺‘1o) ∈ {0, 1}
39	25, 38	eqeltrdi 2329	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 1o → (𝐺‘𝑗) ∈ {0, 1})
40	24, 39	jaoi 728	. . . . 5 ⊢ ((𝑗 = ∅ ∨ 𝑗 = 1o) → (𝐺‘𝑗) ∈ {0, 1})
41	16, 40	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝑗 ∈ 2o → (𝐺‘𝑗) ∈ {0, 1})
42	13, 41	eqeltrd 2315	. . 3 ⊢ (𝑗 ∈ 2o → ((𝐺 ↾ 2o)‘𝑗) ∈ {0, 1})
43	42	rgen 2603	. 2 ⊢ ∀𝑗 ∈ 2o ((𝐺 ↾ 2o)‘𝑗) ∈ {0, 1}
44		ffnfv 5866	. 2 ⊢ ((𝐺 ↾ 2o):2o⟶{0, 1} ↔ ((𝐺 ↾ 2o) Fn 2o ∧ ∀𝑗 ∈ 2o ((𝐺 ↾ 2o)‘𝑗) ∈ {0, 1}))
45	12, 43, 44	mpbir2an 955	1 ⊢ (𝐺 ↾ 2o):2o⟶{0, 1}

This proof depends on syntax axioms:   ∨ wo 720   = wceq 1402  ⊤wtru 1403   ∈ wcel 2209  ∀wral 2528   ⊆ wss 3220  ∅c0 3520  {cpr 3710   ↦ cmpt 4192  suc csuc 4510  ωcom 4737   ↾ cres 4776   Fn wfn 5372  ⟶wf 5373  –1-1-onto→wf1o 5376  ‘cfv 5377  (class class class)co 6085  freccfrec 6661  1_oc1o 6680  2_oc2o 6681  0cc0 8179  1c1 8180   + caddc 8182  ℕ₀cn0 9563  ℤcz 9644

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-addcom 8279  ax-addass 8281  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-ltadd 8295

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-recs 6576  df-frec 6662  df-1o 6687  df-2o 6688  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-inn 9305  df-n0 9564  df-z 9645  df-uz 9922

This theorem is used by:  isomninnlem  17079  iswomninnlem  17099  ismkvnnlem  17102