Users' Mathboxes Mathbox for Jim Kingdon < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  2o01f GIF version
Theorem 2o01f 14831
Description: Mapping zero and one between Ο‰ and β„•0 style integers. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Jun-2024.)
Hypothesis
Ref Expression
012of.g 𝐺 = frec((π‘₯ ∈ β„€ ↦ (π‘₯ + 1)), 0)
Assertion
Ref Expression
2o01f (𝐺 β†Ύ 2o):2o⟢{0, 1}
Proof of Theorem 2o01f
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 012of.g . . . . . 6 𝐺 = frec((π‘₯ ∈ β„€ ↦ (π‘₯ + 1)), 0)
21frechashgf1o 10430 . . . . 5 𝐺:ω–1-1-ontoβ†’β„•0
3 f1of 5463 . . . . 5 (𝐺:ω–1-1-ontoβ†’β„•0 β†’ 𝐺:Ο‰βŸΆβ„•0)
42, 3ax-mp 5 . . . 4 𝐺:Ο‰βŸΆβ„•0
5 2onn 6524 . . . . 5 2o ∈ Ο‰
6 omelon 4610 . . . . . 6 Ο‰ ∈ On
76onelssi 4431 . . . . 5 (2o ∈ Ο‰ β†’ 2o βŠ† Ο‰)
85, 7ax-mp 5 . . . 4 2o βŠ† Ο‰
9 fssres 5393 . . . 4 ((𝐺:Ο‰βŸΆβ„•0 ∧ 2o βŠ† Ο‰) β†’ (𝐺 β†Ύ 2o):2oβŸΆβ„•0)
104, 8, 9mp2an 426 . . 3 (𝐺 β†Ύ 2o):2oβŸΆβ„•0
11 ffn 5367 . . 3 ((𝐺 β†Ύ 2o):2oβŸΆβ„•0 β†’ (𝐺 β†Ύ 2o) Fn 2o)
1210, 11ax-mp 5 . 2 (𝐺 β†Ύ 2o) Fn 2o
13 fvres 5541 . . . 4 (𝑗 ∈ 2o β†’ ((𝐺 β†Ύ 2o)β€˜π‘—) = (πΊβ€˜π‘—))
14 elpri 3617 . . . . . 6 (𝑗 ∈ {βˆ…, 1o} β†’ (𝑗 = βˆ… ∨ 𝑗 = 1o))
15 df2o3 6433 . . . . . 6 2o = {βˆ…, 1o}
1614, 15eleq2s 2272 . . . . 5 (𝑗 ∈ 2o β†’ (𝑗 = βˆ… ∨ 𝑗 = 1o))
17 fveq2 5517 . . . . . . 7 (𝑗 = βˆ… β†’ (πΊβ€˜π‘—) = (πΊβ€˜βˆ…))
18 0zd 9267 . . . . . . . . . 10 (⊀ β†’ 0 ∈ β„€)
1918, 1frec2uz0d 10401 . . . . . . . . 9 (⊀ β†’ (πΊβ€˜βˆ…) = 0)
2019mptru 1362 . . . . . . . 8 (πΊβ€˜βˆ…) = 0
21 c0ex 7953 . . . . . . . . 9 0 ∈ V
2221prid1 3700 . . . . . . . 8 0 ∈ {0, 1}
2320, 22eqeltri 2250 . . . . . . 7 (πΊβ€˜βˆ…) ∈ {0, 1}
2417, 23eqeltrdi 2268 . . . . . 6 (𝑗 = βˆ… β†’ (πΊβ€˜π‘—) ∈ {0, 1})
25 fveq2 5517 . . . . . . 7 (𝑗 = 1o β†’ (πΊβ€˜π‘—) = (πΊβ€˜1o))
26 df-1o 6419 . . . . . . . . . 10 1o = suc βˆ…
2726fveq2i 5520 . . . . . . . . 9 (πΊβ€˜1o) = (πΊβ€˜suc βˆ…)
28 peano1 4595 . . . . . . . . . . . 12 βˆ… ∈ Ο‰
2928a1i 9 . . . . . . . . . . 11 (⊀ β†’ βˆ… ∈ Ο‰)
3018, 1, 29frec2uzsucd 10403 . . . . . . . . . 10 (⊀ β†’ (πΊβ€˜suc βˆ…) = ((πΊβ€˜βˆ…) + 1))
3130mptru 1362 . . . . . . . . 9 (πΊβ€˜suc βˆ…) = ((πΊβ€˜βˆ…) + 1)
3220oveq1i 5887 . . . . . . . . . 10 ((πΊβ€˜βˆ…) + 1) = (0 + 1)
33 0p1e1 9035 . . . . . . . . . 10 (0 + 1) = 1
3432, 33eqtri 2198 . . . . . . . . 9 ((πΊβ€˜βˆ…) + 1) = 1
3527, 31, 343eqtri 2202 . . . . . . . 8 (πΊβ€˜1o) = 1
36 1ex 7954 . . . . . . . . 9 1 ∈ V
3736prid2 3701 . . . . . . . 8 1 ∈ {0, 1}
3835, 37eqeltri 2250 . . . . . . 7 (πΊβ€˜1o) ∈ {0, 1}
3925, 38eqeltrdi 2268 . . . . . 6 (𝑗 = 1o β†’ (πΊβ€˜π‘—) ∈ {0, 1})
4024, 39jaoi 716 . . . . 5 ((𝑗 = βˆ… ∨ 𝑗 = 1o) β†’ (πΊβ€˜π‘—) ∈ {0, 1})
4116, 40syl 14 . . . 4 (𝑗 ∈ 2o β†’ (πΊβ€˜π‘—) ∈ {0, 1})
4213, 41eqeltrd 2254 . . 3 (𝑗 ∈ 2o β†’ ((𝐺 β†Ύ 2o)β€˜π‘—) ∈ {0, 1})
4342rgen 2530 . 2 βˆ€π‘— ∈ 2o ((𝐺 β†Ύ 2o)β€˜π‘—) ∈ {0, 1}
44 ffnfv 5676 . 2 ((𝐺 β†Ύ 2o):2o⟢{0, 1} ↔ ((𝐺 β†Ύ 2o) Fn 2o ∧ βˆ€π‘— ∈ 2o ((𝐺 β†Ύ 2o)β€˜π‘—) ∈ {0, 1}))
4512, 43, 44mpbir2an 942 1 (𝐺 β†Ύ 2o):2o⟢{0, 1}
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   ∨ wo 708   = wceq 1353  βŠ€wtru 1354   ∈ wcel 2148  βˆ€wral 2455   βŠ† wss 3131  βˆ…c0 3424  {cpr 3595   ↦ cmpt 4066  suc csuc 4367  Ο‰com 4591   β†Ύ cres 4630   Fn wfn 5213  βŸΆwf 5214  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 5217  β€˜cfv 5218  (class class class)co 5877  freccfrec 6393  1oc1o 6412  2oc2o 6413  0cc0 7813  1c1 7814   + caddc 7816  β„•0cn0 9178  β„€cz 9255
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-addcom 7913  ax-addass 7915  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-ltadd 7929
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-recs 6308  df-frec 6394  df-1o 6419  df-2o 6420  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-inn 8922  df-n0 9179  df-z 9256  df-uz 9531
This theorem is referenced by:  isomninnlem  14863  iswomninnlem  14882  ismkvnnlem  14885
  Copyright terms: Public domain W3C validator