Theorem 2o01f 16529

Description: Mapping zero and one between ω and ℕ₀ style integers. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Jun-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
012of.g	⊢ 𝐺 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)

Assertion

Ref	Expression
2o01f	⊢ (𝐺 ↾ 2o):2o⟶{0, 1}

Proof of Theorem 2o01f

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		012of.g	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)
2	1	frechashgf1o 10680	. . . . 5 ⊢ 𝐺:ω–1-1-onto→ℕ0
3		f1of 5580	. . . . 5 ⊢ (𝐺:ω–1-1-onto→ℕ0 → 𝐺:ω⟶ℕ0)
4	2, 3	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 𝐺:ω⟶ℕ0
5		2onn 6684	. . . . 5 ⊢ 2o ∈ ω
6		omelon 4705	. . . . . 6 ⊢ ω ∈ On
7	6	onelssi 4524	. . . . 5 ⊢ (2o ∈ ω → 2o ⊆ ω)
8	5, 7	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 2o ⊆ ω
9		fssres 5509	. . . 4 ⊢ ((𝐺:ω⟶ℕ0 ∧ 2o ⊆ ω) → (𝐺 ↾ 2o):2o⟶ℕ0)
10	4, 8, 9	mp2an 426	. . 3 ⊢ (𝐺 ↾ 2o):2o⟶ℕ0
11		ffn 5479	. . 3 ⊢ ((𝐺 ↾ 2o):2o⟶ℕ0 → (𝐺 ↾ 2o) Fn 2o)
12	10, 11	ax-mp 5	. 2 ⊢ (𝐺 ↾ 2o) Fn 2o
13		fvres 5659	. . . 4 ⊢ (𝑗 ∈ 2o → ((𝐺 ↾ 2o)‘𝑗) = (𝐺‘𝑗))
14		elpri 3690	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 ∈ {∅, 1o} → (𝑗 = ∅ ∨ 𝑗 = 1o))
15		df2o3 6592	. . . . . 6 ⊢ 2o = {∅, 1o}
16	14, 15	eleq2s 2324	. . . . 5 ⊢ (𝑗 ∈ 2o → (𝑗 = ∅ ∨ 𝑗 = 1o))
17		fveq2 5635	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = ∅ → (𝐺‘𝑗) = (𝐺‘∅))
18		0zd 9481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → 0 ∈ ℤ)
19	18, 1	frec2uz0d 10651	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → (𝐺‘∅) = 0)
20	19	mptru 1404	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺‘∅) = 0
21		c0ex 8163	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ V
22	21	prid1 3775	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ {0, 1}
23	20, 22	eqeltri 2302	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺‘∅) ∈ {0, 1}
24	17, 23	eqeltrdi 2320	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = ∅ → (𝐺‘𝑗) ∈ {0, 1})
25		fveq2 5635	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 1o → (𝐺‘𝑗) = (𝐺‘1o))
26		df-1o 6577	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1o = suc ∅
27	26	fveq2i 5638	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺‘1o) = (𝐺‘suc ∅)
28		peano1 4690	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ∅ ∈ ω
29	28	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⊤ → ∅ ∈ ω)
30	18, 1, 29	frec2uzsucd 10653	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → (𝐺‘suc ∅) = ((𝐺‘∅) + 1))
31	30	mptru 1404	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺‘suc ∅) = ((𝐺‘∅) + 1)
32	20	oveq1i 6023	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺‘∅) + 1) = (0 + 1)
33		0p1e1 9247	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 + 1) = 1
34	32, 33	eqtri 2250	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺‘∅) + 1) = 1
35	27, 31, 34	3eqtri 2254	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺‘1o) = 1
36		1ex 8164	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ V
37	36	prid2 3776	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ {0, 1}
38	35, 37	eqeltri 2302	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺‘1o) ∈ {0, 1}
39	25, 38	eqeltrdi 2320	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 1o → (𝐺‘𝑗) ∈ {0, 1})
40	24, 39	jaoi 721	. . . . 5 ⊢ ((𝑗 = ∅ ∨ 𝑗 = 1o) → (𝐺‘𝑗) ∈ {0, 1})
41	16, 40	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝑗 ∈ 2o → (𝐺‘𝑗) ∈ {0, 1})
42	13, 41	eqeltrd 2306	. . 3 ⊢ (𝑗 ∈ 2o → ((𝐺 ↾ 2o)‘𝑗) ∈ {0, 1})
43	42	rgen 2583	. 2 ⊢ ∀𝑗 ∈ 2o ((𝐺 ↾ 2o)‘𝑗) ∈ {0, 1}
44		ffnfv 5801	. 2 ⊢ ((𝐺 ↾ 2o):2o⟶{0, 1} ↔ ((𝐺 ↾ 2o) Fn 2o ∧ ∀𝑗 ∈ 2o ((𝐺 ↾ 2o)‘𝑗) ∈ {0, 1}))
45	12, 43, 44	mpbir2an 948	1 ⊢ (𝐺 ↾ 2o):2o⟶{0, 1}

Syntax hints:   ∨ wo 713   = wceq 1395  ⊤wtru 1396   ∈ wcel 2200  ∀wral 2508   ⊆ wss 3198  ∅c0 3492  {cpr 3668   ↦ cmpt 4148  suc csuc 4460  ωcom 4686   ↾ cres 4725   Fn wfn 5319  ⟶wf 5320  –1-1-onto→wf1o 5323  ‘cfv 5324  (class class class)co 6013  freccfrec 6551  1_oc1o 6570  2_oc2o 6571  0cc0 8022  1c1 8023   + caddc 8025  ℕ₀cn0 9392  ℤcz 9469

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4202  ax-sep 4205  ax-nul 4213  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-iinf 4684  ax-cnex 8113  ax-resscn 8114  ax-1cn 8115  ax-1re 8116  ax-icn 8117  ax-addcl 8118  ax-addrcl 8119  ax-mulcl 8120  ax-addcom 8122  ax-addass 8124  ax-distr 8126  ax-i2m1 8127  ax-0lt1 8128  ax-0id 8130  ax-rnegex 8131  ax-cnre 8133  ax-pre-ltirr 8134  ax-pre-ltwlin 8135  ax-pre-lttrn 8136  ax-pre-ltadd 8138

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-tr 4186  df-id 4388  df-iord 4461  df-on 4463  df-ilim 4464  df-suc 4466  df-iom 4687  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-recs 6466  df-frec 6552  df-1o 6577  df-2o 6578  df-pnf 8206  df-mnf 8207  df-xr 8208  df-ltxr 8209  df-le 8210  df-sub 8342  df-neg 8343  df-inn 9134  df-n0 9393  df-z 9470  df-uz 9746

This theorem is referenced by:  isomninnlem  16570  iswomninnlem  16589  ismkvnnlem  16592