Theorem 2o01f 15487

Description: Mapping zero and one between ω and ℕ₀ style integers. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Jun-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
012of.g	⊢ 𝐺 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)

Assertion

Ref	Expression
2o01f	⊢ (𝐺 ↾ 2o):2o⟶{0, 1}

Proof of Theorem 2o01f

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		012of.g	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)
2	1	frechashgf1o 10499	. . . . 5 ⊢ 𝐺:ω–1-1-onto→ℕ0
3		f1of 5500	. . . . 5 ⊢ (𝐺:ω–1-1-onto→ℕ0 → 𝐺:ω⟶ℕ0)
4	2, 3	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 𝐺:ω⟶ℕ0
5		2onn 6574	. . . . 5 ⊢ 2o ∈ ω
6		omelon 4641	. . . . . 6 ⊢ ω ∈ On
7	6	onelssi 4460	. . . . 5 ⊢ (2o ∈ ω → 2o ⊆ ω)
8	5, 7	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 2o ⊆ ω
9		fssres 5429	. . . 4 ⊢ ((𝐺:ω⟶ℕ0 ∧ 2o ⊆ ω) → (𝐺 ↾ 2o):2o⟶ℕ0)
10	4, 8, 9	mp2an 426	. . 3 ⊢ (𝐺 ↾ 2o):2o⟶ℕ0
11		ffn 5403	. . 3 ⊢ ((𝐺 ↾ 2o):2o⟶ℕ0 → (𝐺 ↾ 2o) Fn 2o)
12	10, 11	ax-mp 5	. 2 ⊢ (𝐺 ↾ 2o) Fn 2o
13		fvres 5578	. . . 4 ⊢ (𝑗 ∈ 2o → ((𝐺 ↾ 2o)‘𝑗) = (𝐺‘𝑗))
14		elpri 3641	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 ∈ {∅, 1o} → (𝑗 = ∅ ∨ 𝑗 = 1o))
15		df2o3 6483	. . . . . 6 ⊢ 2o = {∅, 1o}
16	14, 15	eleq2s 2288	. . . . 5 ⊢ (𝑗 ∈ 2o → (𝑗 = ∅ ∨ 𝑗 = 1o))
17		fveq2 5554	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = ∅ → (𝐺‘𝑗) = (𝐺‘∅))
18		0zd 9329	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → 0 ∈ ℤ)
19	18, 1	frec2uz0d 10470	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → (𝐺‘∅) = 0)
20	19	mptru 1373	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺‘∅) = 0
21		c0ex 8013	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ V
22	21	prid1 3724	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ {0, 1}
23	20, 22	eqeltri 2266	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺‘∅) ∈ {0, 1}
24	17, 23	eqeltrdi 2284	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = ∅ → (𝐺‘𝑗) ∈ {0, 1})
25		fveq2 5554	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 1o → (𝐺‘𝑗) = (𝐺‘1o))
26		df-1o 6469	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1o = suc ∅
27	26	fveq2i 5557	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺‘1o) = (𝐺‘suc ∅)
28		peano1 4626	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ∅ ∈ ω
29	28	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⊤ → ∅ ∈ ω)
30	18, 1, 29	frec2uzsucd 10472	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → (𝐺‘suc ∅) = ((𝐺‘∅) + 1))
31	30	mptru 1373	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺‘suc ∅) = ((𝐺‘∅) + 1)
32	20	oveq1i 5928	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺‘∅) + 1) = (0 + 1)
33		0p1e1 9096	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 + 1) = 1
34	32, 33	eqtri 2214	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺‘∅) + 1) = 1
35	27, 31, 34	3eqtri 2218	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺‘1o) = 1
36		1ex 8014	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ V
37	36	prid2 3725	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ {0, 1}
38	35, 37	eqeltri 2266	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺‘1o) ∈ {0, 1}
39	25, 38	eqeltrdi 2284	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 1o → (𝐺‘𝑗) ∈ {0, 1})
40	24, 39	jaoi 717	. . . . 5 ⊢ ((𝑗 = ∅ ∨ 𝑗 = 1o) → (𝐺‘𝑗) ∈ {0, 1})
41	16, 40	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝑗 ∈ 2o → (𝐺‘𝑗) ∈ {0, 1})
42	13, 41	eqeltrd 2270	. . 3 ⊢ (𝑗 ∈ 2o → ((𝐺 ↾ 2o)‘𝑗) ∈ {0, 1})
43	42	rgen 2547	. 2 ⊢ ∀𝑗 ∈ 2o ((𝐺 ↾ 2o)‘𝑗) ∈ {0, 1}
44		ffnfv 5716	. 2 ⊢ ((𝐺 ↾ 2o):2o⟶{0, 1} ↔ ((𝐺 ↾ 2o) Fn 2o ∧ ∀𝑗 ∈ 2o ((𝐺 ↾ 2o)‘𝑗) ∈ {0, 1}))
45	12, 43, 44	mpbir2an 944	1 ⊢ (𝐺 ↾ 2o):2o⟶{0, 1}

Syntax hints:   ∨ wo 709   = wceq 1364  ⊤wtru 1365   ∈ wcel 2164  ∀wral 2472   ⊆ wss 3153  ∅c0 3446  {cpr 3619   ↦ cmpt 4090  suc csuc 4396  ωcom 4622   ↾ cres 4661   Fn wfn 5249  ⟶wf 5250  –1-1-onto→wf1o 5253  ‘cfv 5254  (class class class)co 5918  freccfrec 6443  1_oc1o 6462  2_oc2o 6463  0cc0 7872  1c1 7873   + caddc 7875  ℕ₀cn0 9240  ℤcz 9317

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-iinf 4620  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-addcom 7972  ax-addass 7974  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-ltadd 7988

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-id 4324  df-iord 4397  df-on 4399  df-ilim 4400  df-suc 4402  df-iom 4623  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-recs 6358  df-frec 6444  df-1o 6469  df-2o 6470  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-inn 8983  df-n0 9241  df-z 9318  df-uz 9593

This theorem is referenced by:  isomninnlem  15520  iswomninnlem  15539  ismkvnnlem  15542