Theorem 2o01f 15725

Description: Mapping zero and one between ω and ℕ₀ style integers. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Jun-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
012of.g	⊢ 𝐺 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)

Assertion

Ref	Expression
2o01f	⊢ (𝐺 ↾ 2o):2o⟶{0, 1}

Proof of Theorem 2o01f

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		012of.g	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)
2	1	frechashgf1o 10537	. . . . 5 ⊢ 𝐺:ω–1-1-onto→ℕ0
3		f1of 5507	. . . . 5 ⊢ (𝐺:ω–1-1-onto→ℕ0 → 𝐺:ω⟶ℕ0)
4	2, 3	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 𝐺:ω⟶ℕ0
5		2onn 6588	. . . . 5 ⊢ 2o ∈ ω
6		omelon 4646	. . . . . 6 ⊢ ω ∈ On
7	6	onelssi 4465	. . . . 5 ⊢ (2o ∈ ω → 2o ⊆ ω)
8	5, 7	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 2o ⊆ ω
9		fssres 5436	. . . 4 ⊢ ((𝐺:ω⟶ℕ0 ∧ 2o ⊆ ω) → (𝐺 ↾ 2o):2o⟶ℕ0)
10	4, 8, 9	mp2an 426	. . 3 ⊢ (𝐺 ↾ 2o):2o⟶ℕ0
11		ffn 5410	. . 3 ⊢ ((𝐺 ↾ 2o):2o⟶ℕ0 → (𝐺 ↾ 2o) Fn 2o)
12	10, 11	ax-mp 5	. 2 ⊢ (𝐺 ↾ 2o) Fn 2o
13		fvres 5585	. . . 4 ⊢ (𝑗 ∈ 2o → ((𝐺 ↾ 2o)‘𝑗) = (𝐺‘𝑗))
14		elpri 3646	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 ∈ {∅, 1o} → (𝑗 = ∅ ∨ 𝑗 = 1o))
15		df2o3 6497	. . . . . 6 ⊢ 2o = {∅, 1o}
16	14, 15	eleq2s 2291	. . . . 5 ⊢ (𝑗 ∈ 2o → (𝑗 = ∅ ∨ 𝑗 = 1o))
17		fveq2 5561	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = ∅ → (𝐺‘𝑗) = (𝐺‘∅))
18		0zd 9355	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → 0 ∈ ℤ)
19	18, 1	frec2uz0d 10508	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → (𝐺‘∅) = 0)
20	19	mptru 1373	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺‘∅) = 0
21		c0ex 8037	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ V
22	21	prid1 3729	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ {0, 1}
23	20, 22	eqeltri 2269	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺‘∅) ∈ {0, 1}
24	17, 23	eqeltrdi 2287	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = ∅ → (𝐺‘𝑗) ∈ {0, 1})
25		fveq2 5561	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 1o → (𝐺‘𝑗) = (𝐺‘1o))
26		df-1o 6483	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1o = suc ∅
27	26	fveq2i 5564	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺‘1o) = (𝐺‘suc ∅)
28		peano1 4631	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ∅ ∈ ω
29	28	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⊤ → ∅ ∈ ω)
30	18, 1, 29	frec2uzsucd 10510	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → (𝐺‘suc ∅) = ((𝐺‘∅) + 1))
31	30	mptru 1373	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺‘suc ∅) = ((𝐺‘∅) + 1)
32	20	oveq1i 5935	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺‘∅) + 1) = (0 + 1)
33		0p1e1 9121	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 + 1) = 1
34	32, 33	eqtri 2217	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺‘∅) + 1) = 1
35	27, 31, 34	3eqtri 2221	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺‘1o) = 1
36		1ex 8038	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ V
37	36	prid2 3730	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ {0, 1}
38	35, 37	eqeltri 2269	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺‘1o) ∈ {0, 1}
39	25, 38	eqeltrdi 2287	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 1o → (𝐺‘𝑗) ∈ {0, 1})
40	24, 39	jaoi 717	. . . . 5 ⊢ ((𝑗 = ∅ ∨ 𝑗 = 1o) → (𝐺‘𝑗) ∈ {0, 1})
41	16, 40	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝑗 ∈ 2o → (𝐺‘𝑗) ∈ {0, 1})
42	13, 41	eqeltrd 2273	. . 3 ⊢ (𝑗 ∈ 2o → ((𝐺 ↾ 2o)‘𝑗) ∈ {0, 1})
43	42	rgen 2550	. 2 ⊢ ∀𝑗 ∈ 2o ((𝐺 ↾ 2o)‘𝑗) ∈ {0, 1}
44		ffnfv 5723	. 2 ⊢ ((𝐺 ↾ 2o):2o⟶{0, 1} ↔ ((𝐺 ↾ 2o) Fn 2o ∧ ∀𝑗 ∈ 2o ((𝐺 ↾ 2o)‘𝑗) ∈ {0, 1}))
45	12, 43, 44	mpbir2an 944	1 ⊢ (𝐺 ↾ 2o):2o⟶{0, 1}

Syntax hints:   ∨ wo 709   = wceq 1364  ⊤wtru 1365   ∈ wcel 2167  ∀wral 2475   ⊆ wss 3157  ∅c0 3451  {cpr 3624   ↦ cmpt 4095  suc csuc 4401  ωcom 4627   ↾ cres 4666   Fn wfn 5254  ⟶wf 5255  –1-1-onto→wf1o 5258  ‘cfv 5259  (class class class)co 5925  freccfrec 6457  1_oc1o 6476  2_oc2o 6477  0cc0 7896  1c1 7897   + caddc 7899  ℕ₀cn0 9266  ℤcz 9343

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-addcom 7996  ax-addass 7998  ax-distr 8000  ax-i2m1 8001  ax-0lt1 8002  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-cnre 8007  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-ltwlin 8009  ax-pre-lttrn 8010  ax-pre-ltadd 8012

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-iord 4402  df-on 4404  df-ilim 4405  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-recs 6372  df-frec 6458  df-1o 6483  df-2o 6484  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-xr 8082  df-ltxr 8083  df-le 8084  df-sub 8216  df-neg 8217  df-inn 9008  df-n0 9267  df-z 9344  df-uz 9619

This theorem is referenced by:  isomninnlem  15761  iswomninnlem  15780  ismkvnnlem  15783