Theorem 2o01f 16593

Description: Mapping zero and one between ω and ℕ₀ style integers. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Jun-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
012of.g	⊢ 𝐺 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)

Assertion

Ref	Expression
2o01f	⊢ (𝐺 ↾ 2o):2o⟶{0, 1}

Proof of Theorem 2o01f

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		012of.g	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)
2	1	frechashgf1o 10689	. . . . 5 ⊢ 𝐺:ω–1-1-onto→ℕ0
3		f1of 5583	. . . . 5 ⊢ (𝐺:ω–1-1-onto→ℕ0 → 𝐺:ω⟶ℕ0)
4	2, 3	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 𝐺:ω⟶ℕ0
5		2onn 6688	. . . . 5 ⊢ 2o ∈ ω
6		omelon 4707	. . . . . 6 ⊢ ω ∈ On
7	6	onelssi 4526	. . . . 5 ⊢ (2o ∈ ω → 2o ⊆ ω)
8	5, 7	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 2o ⊆ ω
9		fssres 5512	. . . 4 ⊢ ((𝐺:ω⟶ℕ0 ∧ 2o ⊆ ω) → (𝐺 ↾ 2o):2o⟶ℕ0)
10	4, 8, 9	mp2an 426	. . 3 ⊢ (𝐺 ↾ 2o):2o⟶ℕ0
11		ffn 5482	. . 3 ⊢ ((𝐺 ↾ 2o):2o⟶ℕ0 → (𝐺 ↾ 2o) Fn 2o)
12	10, 11	ax-mp 5	. 2 ⊢ (𝐺 ↾ 2o) Fn 2o
13		fvres 5663	. . . 4 ⊢ (𝑗 ∈ 2o → ((𝐺 ↾ 2o)‘𝑗) = (𝐺‘𝑗))
14		elpri 3692	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 ∈ {∅, 1o} → (𝑗 = ∅ ∨ 𝑗 = 1o))
15		df2o3 6596	. . . . . 6 ⊢ 2o = {∅, 1o}
16	14, 15	eleq2s 2326	. . . . 5 ⊢ (𝑗 ∈ 2o → (𝑗 = ∅ ∨ 𝑗 = 1o))
17		fveq2 5639	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = ∅ → (𝐺‘𝑗) = (𝐺‘∅))
18		0zd 9490	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → 0 ∈ ℤ)
19	18, 1	frec2uz0d 10660	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → (𝐺‘∅) = 0)
20	19	mptru 1406	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺‘∅) = 0
21		c0ex 8172	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ V
22	21	prid1 3777	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ {0, 1}
23	20, 22	eqeltri 2304	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺‘∅) ∈ {0, 1}
24	17, 23	eqeltrdi 2322	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = ∅ → (𝐺‘𝑗) ∈ {0, 1})
25		fveq2 5639	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 1o → (𝐺‘𝑗) = (𝐺‘1o))
26		df-1o 6581	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1o = suc ∅
27	26	fveq2i 5642	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺‘1o) = (𝐺‘suc ∅)
28		peano1 4692	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ∅ ∈ ω
29	28	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⊤ → ∅ ∈ ω)
30	18, 1, 29	frec2uzsucd 10662	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → (𝐺‘suc ∅) = ((𝐺‘∅) + 1))
31	30	mptru 1406	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺‘suc ∅) = ((𝐺‘∅) + 1)
32	20	oveq1i 6027	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺‘∅) + 1) = (0 + 1)
33		0p1e1 9256	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 + 1) = 1
34	32, 33	eqtri 2252	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺‘∅) + 1) = 1
35	27, 31, 34	3eqtri 2256	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺‘1o) = 1
36		1ex 8173	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ V
37	36	prid2 3778	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ {0, 1}
38	35, 37	eqeltri 2304	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺‘1o) ∈ {0, 1}
39	25, 38	eqeltrdi 2322	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 1o → (𝐺‘𝑗) ∈ {0, 1})
40	24, 39	jaoi 723	. . . . 5 ⊢ ((𝑗 = ∅ ∨ 𝑗 = 1o) → (𝐺‘𝑗) ∈ {0, 1})
41	16, 40	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝑗 ∈ 2o → (𝐺‘𝑗) ∈ {0, 1})
42	13, 41	eqeltrd 2308	. . 3 ⊢ (𝑗 ∈ 2o → ((𝐺 ↾ 2o)‘𝑗) ∈ {0, 1})
43	42	rgen 2585	. 2 ⊢ ∀𝑗 ∈ 2o ((𝐺 ↾ 2o)‘𝑗) ∈ {0, 1}
44		ffnfv 5805	. 2 ⊢ ((𝐺 ↾ 2o):2o⟶{0, 1} ↔ ((𝐺 ↾ 2o) Fn 2o ∧ ∀𝑗 ∈ 2o ((𝐺 ↾ 2o)‘𝑗) ∈ {0, 1}))
45	12, 43, 44	mpbir2an 950	1 ⊢ (𝐺 ↾ 2o):2o⟶{0, 1}

Syntax hints:   ∨ wo 715   = wceq 1397  ⊤wtru 1398   ∈ wcel 2202  ∀wral 2510   ⊆ wss 3200  ∅c0 3494  {cpr 3670   ↦ cmpt 4150  suc csuc 4462  ωcom 4688   ↾ cres 4727   Fn wfn 5321  ⟶wf 5322  –1-1-onto→wf1o 5325  ‘cfv 5326  (class class class)co 6017  freccfrec 6555  1_oc1o 6574  2_oc2o 6575  0cc0 8031  1c1 8032   + caddc 8034  ℕ₀cn0 9401  ℤcz 9478

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-addcom 8131  ax-addass 8133  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-cnre 8142  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-ltwlin 8144  ax-pre-lttrn 8145  ax-pre-ltadd 8147

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-recs 6470  df-frec 6556  df-1o 6581  df-2o 6582  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-xr 8217  df-ltxr 8218  df-le 8219  df-sub 8351  df-neg 8352  df-inn 9143  df-n0 9402  df-z 9479  df-uz 9755

This theorem is referenced by:  isomninnlem  16634  iswomninnlem  16653  ismkvnnlem  16656