Mathbox for Jim Kingdon < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  2o01f GIF version

Theorem 2o01f 13407
 Description: Mapping zero and one between ω and ℕ0 style integers. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Jun-2024.)
Hypothesis
Ref Expression
012of.g 𝐺 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)
Assertion
Ref Expression
2o01f (𝐺 ↾ 2o):2o⟶{0, 1}

Proof of Theorem 2o01f
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 012of.g . . . . . 6 𝐺 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)
21frechashgf1o 10259 . . . . 5 𝐺:ω–1-1-onto→ℕ0
3 f1of 5378 . . . . 5 (𝐺:ω–1-1-onto→ℕ0𝐺:ω⟶ℕ0)
42, 3ax-mp 5 . . . 4 𝐺:ω⟶ℕ0
5 2onn 6428 . . . . 5 2o ∈ ω
6 omelon 4533 . . . . . 6 ω ∈ On
76onelssi 4361 . . . . 5 (2o ∈ ω → 2o ⊆ ω)
85, 7ax-mp 5 . . . 4 2o ⊆ ω
9 fssres 5309 . . . 4 ((𝐺:ω⟶ℕ0 ∧ 2o ⊆ ω) → (𝐺 ↾ 2o):2o⟶ℕ0)
104, 8, 9mp2an 423 . . 3 (𝐺 ↾ 2o):2o⟶ℕ0
11 ffn 5283 . . 3 ((𝐺 ↾ 2o):2o⟶ℕ0 → (𝐺 ↾ 2o) Fn 2o)
1210, 11ax-mp 5 . 2 (𝐺 ↾ 2o) Fn 2o
13 fvres 5456 . . . 4 (𝑗 ∈ 2o → ((𝐺 ↾ 2o)‘𝑗) = (𝐺𝑗))
14 elpri 3556 . . . . . 6 (𝑗 ∈ {∅, 1o} → (𝑗 = ∅ ∨ 𝑗 = 1o))
15 df2o3 6338 . . . . . 6 2o = {∅, 1o}
1614, 15eleq2s 2235 . . . . 5 (𝑗 ∈ 2o → (𝑗 = ∅ ∨ 𝑗 = 1o))
17 fveq2 5432 . . . . . . 7 (𝑗 = ∅ → (𝐺𝑗) = (𝐺‘∅))
18 0zd 9117 . . . . . . . . . 10 (⊤ → 0 ∈ ℤ)
1918, 1frec2uz0d 10230 . . . . . . . . 9 (⊤ → (𝐺‘∅) = 0)
2019mptru 1341 . . . . . . . 8 (𝐺‘∅) = 0
21 c0ex 7811 . . . . . . . . 9 0 ∈ V
2221prid1 3638 . . . . . . . 8 0 ∈ {0, 1}
2320, 22eqeltri 2213 . . . . . . 7 (𝐺‘∅) ∈ {0, 1}
2417, 23eqeltrdi 2231 . . . . . 6 (𝑗 = ∅ → (𝐺𝑗) ∈ {0, 1})
25 fveq2 5432 . . . . . . 7 (𝑗 = 1o → (𝐺𝑗) = (𝐺‘1o))
26 df-1o 6324 . . . . . . . . . 10 1o = suc ∅
2726fveq2i 5435 . . . . . . . . 9 (𝐺‘1o) = (𝐺‘suc ∅)
28 peano1 4518 . . . . . . . . . . . 12 ∅ ∈ ω
2928a1i 9 . . . . . . . . . . 11 (⊤ → ∅ ∈ ω)
3018, 1, 29frec2uzsucd 10232 . . . . . . . . . 10 (⊤ → (𝐺‘suc ∅) = ((𝐺‘∅) + 1))
3130mptru 1341 . . . . . . . . 9 (𝐺‘suc ∅) = ((𝐺‘∅) + 1)
3220oveq1i 5795 . . . . . . . . . 10 ((𝐺‘∅) + 1) = (0 + 1)
33 0p1e1 8885 . . . . . . . . . 10 (0 + 1) = 1
3432, 33eqtri 2161 . . . . . . . . 9 ((𝐺‘∅) + 1) = 1
3527, 31, 343eqtri 2165 . . . . . . . 8 (𝐺‘1o) = 1
36 1ex 7812 . . . . . . . . 9 1 ∈ V
3736prid2 3639 . . . . . . . 8 1 ∈ {0, 1}
3835, 37eqeltri 2213 . . . . . . 7 (𝐺‘1o) ∈ {0, 1}
3925, 38eqeltrdi 2231 . . . . . 6 (𝑗 = 1o → (𝐺𝑗) ∈ {0, 1})
4024, 39jaoi 706 . . . . 5 ((𝑗 = ∅ ∨ 𝑗 = 1o) → (𝐺𝑗) ∈ {0, 1})
4116, 40syl 14 . . . 4 (𝑗 ∈ 2o → (𝐺𝑗) ∈ {0, 1})
4213, 41eqeltrd 2217 . . 3 (𝑗 ∈ 2o → ((𝐺 ↾ 2o)‘𝑗) ∈ {0, 1})
4342rgen 2489 . 2 𝑗 ∈ 2o ((𝐺 ↾ 2o)‘𝑗) ∈ {0, 1}
44 ffnfv 5589 . 2 ((𝐺 ↾ 2o):2o⟶{0, 1} ↔ ((𝐺 ↾ 2o) Fn 2o ∧ ∀𝑗 ∈ 2o ((𝐺 ↾ 2o)‘𝑗) ∈ {0, 1}))
4512, 43, 44mpbir2an 927 1 (𝐺 ↾ 2o):2o⟶{0, 1}
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   ∨ wo 698   = wceq 1332  ⊤wtru 1333   ∈ wcel 1481  ∀wral 2417   ⊆ wss 3077  ∅c0 3369  {cpr 3534   ↦ cmpt 3998  suc csuc 4297  ωcom 4514   ↾ cres 4552   Fn wfn 5129  ⟶wf 5130  –1-1-onto→wf1o 5133  ‘cfv 5134  (class class class)co 5785  freccfrec 6298  1oc1o 6317  2oc2o 6318  0cc0 7671  1c1 7672   + caddc 7674  ℕ0cn0 9028  ℤcz 9105 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4052  ax-sep 4055  ax-nul 4063  ax-pow 4107  ax-pr 4141  ax-un 4365  ax-setind 4462  ax-iinf 4512  ax-cnex 7762  ax-resscn 7763  ax-1cn 7764  ax-1re 7765  ax-icn 7766  ax-addcl 7767  ax-addrcl 7768  ax-mulcl 7769  ax-addcom 7771  ax-addass 7773  ax-distr 7775  ax-i2m1 7776  ax-0lt1 7777  ax-0id 7779  ax-rnegex 7780  ax-cnre 7782  ax-pre-ltirr 7783  ax-pre-ltwlin 7784  ax-pre-lttrn 7785  ax-pre-ltadd 7787 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2692  df-sbc 2915  df-csb 3009  df-dif 3079  df-un 3081  df-in 3083  df-ss 3090  df-nul 3370  df-pw 3518  df-sn 3539  df-pr 3540  df-op 3542  df-uni 3746  df-int 3781  df-iun 3824  df-br 3939  df-opab 3999  df-mpt 4000  df-tr 4036  df-id 4225  df-iord 4298  df-on 4300  df-ilim 4301  df-suc 4303  df-iom 4515  df-xp 4556  df-rel 4557  df-cnv 4558  df-co 4559  df-dm 4560  df-rn 4561  df-res 4562  df-ima 4563  df-iota 5099  df-fun 5136  df-fn 5137  df-f 5138  df-f1 5139  df-fo 5140  df-f1o 5141  df-fv 5142  df-riota 5741  df-ov 5788  df-oprab 5789  df-mpo 5790  df-recs 6213  df-frec 6299  df-1o 6324  df-2o 6325  df-pnf 7853  df-mnf 7854  df-xr 7855  df-ltxr 7856  df-le 7857  df-sub 7986  df-neg 7987  df-inn 8772  df-n0 9029  df-z 9106  df-uz 9378 This theorem is referenced by:  isomninnlem  13443  iswomninnlem  13462  ismkvnnlem  13465
 Copyright terms: Public domain W3C validator