Theorem mulgdir 13020

Description: Sum of group multiples, generalized to ℤ. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulgnndir.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulgnndir.t	⊢ · = (.g‘𝐺)
mulgnndir.p	⊢ + = (+g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
mulgdir	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋) = ((𝑀 · 𝑋) + (𝑁 · 𝑋)))

Proof of Theorem mulgdir

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulgnndir.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		mulgnndir.t	. . . 4 ⊢ · = (.g‘𝐺)
3		mulgnndir.p	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝐺)
4	1, 2, 3	mulgdirlem 13019	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋) = ((𝑀 · 𝑋) + (𝑁 · 𝑋)))
5	4	3expa 1203	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋) = ((𝑀 · 𝑋) + (𝑁 · 𝑋)))
6		simpll 527	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → 𝐺 ∈ Grp)
7		simpr2 1004	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → 𝑁 ∈ ℤ)
8	7	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℤ)
9	8	znegcld 9379	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → -𝑁 ∈ ℤ)
10		simpr1 1003	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → 𝑀 ∈ ℤ)
11	10	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℤ)
12	11	znegcld 9379	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → -𝑀 ∈ ℤ)
13		simplr3 1041	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → 𝑋 ∈ 𝐵)
14	11	zcnd 9378	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℂ)
15	14	negcld 8257	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → -𝑀 ∈ ℂ)
16	8	zcnd 9378	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℂ)
17	16	negcld 8257	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → -𝑁 ∈ ℂ)
18	14, 16	negdid 8283	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → -(𝑀 + 𝑁) = (-𝑀 + -𝑁))
19	15, 17, 18	comraddd 8116	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → -(𝑀 + 𝑁) = (-𝑁 + -𝑀))
20		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0)
21	19, 20	eqeltrrd 2255	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → (-𝑁 + -𝑀) ∈ ℕ0)
22	1, 2, 3	mulgdirlem 13019	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (-𝑁 ∈ ℤ ∧ -𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (-𝑁 + -𝑀) ∈ ℕ0) → ((-𝑁 + -𝑀) · 𝑋) = ((-𝑁 · 𝑋) + (-𝑀 · 𝑋)))
23	6, 9, 12, 13, 21, 22	syl131anc 1251	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → ((-𝑁 + -𝑀) · 𝑋) = ((-𝑁 · 𝑋) + (-𝑀 · 𝑋)))
24	19	oveq1d 5892	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → (-(𝑀 + 𝑁) · 𝑋) = ((-𝑁 + -𝑀) · 𝑋))
25	10, 7	zaddcld 9381	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ)
26	25	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ)
27		eqid 2177	. . . . . . . 8 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
28	1, 2, 27	mulgneg 13006	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (-(𝑀 + 𝑁) · 𝑋) = ((invg‘𝐺)‘((𝑀 + 𝑁) · 𝑋)))
29	6, 26, 13, 28	syl3anc 1238	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → (-(𝑀 + 𝑁) · 𝑋) = ((invg‘𝐺)‘((𝑀 + 𝑁) · 𝑋)))
30	24, 29	eqtr3d 2212	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → ((-𝑁 + -𝑀) · 𝑋) = ((invg‘𝐺)‘((𝑀 + 𝑁) · 𝑋)))
31	1, 2, 27	mulgneg 13006	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (-𝑁 · 𝑋) = ((invg‘𝐺)‘(𝑁 · 𝑋)))
32	6, 8, 13, 31	syl3anc 1238	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → (-𝑁 · 𝑋) = ((invg‘𝐺)‘(𝑁 · 𝑋)))
33	1, 2, 27	mulgneg 13006	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (-𝑀 · 𝑋) = ((invg‘𝐺)‘(𝑀 · 𝑋)))
34	6, 11, 13, 33	syl3anc 1238	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → (-𝑀 · 𝑋) = ((invg‘𝐺)‘(𝑀 · 𝑋)))
35	32, 34	oveq12d 5895	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → ((-𝑁 · 𝑋) + (-𝑀 · 𝑋)) = (((invg‘𝐺)‘(𝑁 · 𝑋)) + ((invg‘𝐺)‘(𝑀 · 𝑋))))
36	1, 2	mulgcl 13005	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑀 · 𝑋) ∈ 𝐵)
37	6, 11, 13, 36	syl3anc 1238	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → (𝑀 · 𝑋) ∈ 𝐵)
38	1, 2	mulgcl 13005	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵)
39	6, 8, 13, 38	syl3anc 1238	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵)
40	1, 3, 27	grpinvadd 12953	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 · 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵) → ((invg‘𝐺)‘((𝑀 · 𝑋) + (𝑁 · 𝑋))) = (((invg‘𝐺)‘(𝑁 · 𝑋)) + ((invg‘𝐺)‘(𝑀 · 𝑋))))
41	6, 37, 39, 40	syl3anc 1238	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → ((invg‘𝐺)‘((𝑀 · 𝑋) + (𝑁 · 𝑋))) = (((invg‘𝐺)‘(𝑁 · 𝑋)) + ((invg‘𝐺)‘(𝑀 · 𝑋))))
42	35, 41	eqtr4d 2213	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → ((-𝑁 · 𝑋) + (-𝑀 · 𝑋)) = ((invg‘𝐺)‘((𝑀 · 𝑋) + (𝑁 · 𝑋))))
43	23, 30, 42	3eqtr3d 2218	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → ((invg‘𝐺)‘((𝑀 + 𝑁) · 𝑋)) = ((invg‘𝐺)‘((𝑀 · 𝑋) + (𝑁 · 𝑋))))
44	43	fveq2d 5521	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → ((invg‘𝐺)‘((invg‘𝐺)‘((𝑀 + 𝑁) · 𝑋))) = ((invg‘𝐺)‘((invg‘𝐺)‘((𝑀 · 𝑋) + (𝑁 · 𝑋)))))
45	1, 2	mulgcl 13005	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋) ∈ 𝐵)
46	6, 26, 13, 45	syl3anc 1238	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋) ∈ 𝐵)
47	1, 27	grpinvinv 12942	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋) ∈ 𝐵) → ((invg‘𝐺)‘((invg‘𝐺)‘((𝑀 + 𝑁) · 𝑋))) = ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋))
48	6, 46, 47	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → ((invg‘𝐺)‘((invg‘𝐺)‘((𝑀 + 𝑁) · 𝑋))) = ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋))
49	1, 3	grpcl 12890	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 · 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵) → ((𝑀 · 𝑋) + (𝑁 · 𝑋)) ∈ 𝐵)
50	6, 37, 39, 49	syl3anc 1238	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → ((𝑀 · 𝑋) + (𝑁 · 𝑋)) ∈ 𝐵)
51	1, 27	grpinvinv 12942	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ ((𝑀 · 𝑋) + (𝑁 · 𝑋)) ∈ 𝐵) → ((invg‘𝐺)‘((invg‘𝐺)‘((𝑀 · 𝑋) + (𝑁 · 𝑋)))) = ((𝑀 · 𝑋) + (𝑁 · 𝑋)))
52	6, 50, 51	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → ((invg‘𝐺)‘((invg‘𝐺)‘((𝑀 · 𝑋) + (𝑁 · 𝑋)))) = ((𝑀 · 𝑋) + (𝑁 · 𝑋)))
53	44, 48, 52	3eqtr3d 2218	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋) = ((𝑀 · 𝑋) + (𝑁 · 𝑋)))
54		elznn0 9270	. . . 4 ⊢ ((𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ ↔ ((𝑀 + 𝑁) ∈ ℝ ∧ ((𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0 ∨ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0)))
55	54	simprbi 275	. . 3 ⊢ ((𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ → ((𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0 ∨ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0))
56	25, 55	syl 14	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → ((𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0 ∨ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0))
57	5, 53, 56	mpjaodan 798	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋) = ((𝑀 · 𝑋) + (𝑁 · 𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 708   ∧ w3a 978   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  ‘cfv 5218  (class class class)co 5877  ℝcr 7812   + caddc 7816  -cneg 8131  ℕ₀cn0 9178  ℤcz 9255  Basecbs 12464  +_gcplusg 12538  Grpcgrp 12882  inv_gcminusg 12883  ._gcmg 12988

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-addcom 7913  ax-addass 7915  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-ltadd 7929

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-recs 6308  df-frec 6394  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-inn 8922  df-2 8980  df-n0 9179  df-z 9256  df-uz 9531  df-fz 10011  df-seqfrec 10448  df-ndx 12467  df-slot 12468  df-base 12470  df-plusg 12551  df-0g 12712  df-mgm 12780  df-sgrp 12813  df-mnd 12823  df-grp 12885  df-minusg 12886  df-mulg 12989

This theorem is referenced by:  mulgp1  13021  mulgneg2  13022  mulgmodid  13027  mulgsubdir  13028