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Theorem mulgdir 12890
Description: Sum of group multiples, generalized to . (Contributed by Mario Carneiro, 13-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mulgnndir.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulgnndir.t · = (.g𝐺)
mulgnndir.p + = (+g𝐺)
Assertion
Ref Expression
mulgdir ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵)) → ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋) = ((𝑀 · 𝑋) + (𝑁 · 𝑋)))

Proof of Theorem mulgdir
StepHypRef Expression
1 mulgnndir.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐺)
2 mulgnndir.t . . . 4 · = (.g𝐺)
3 mulgnndir.p . . . 4 + = (+g𝐺)
41, 2, 3mulgdirlem 12889 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋) = ((𝑀 · 𝑋) + (𝑁 · 𝑋)))
543expa 1203 . 2 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵)) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋) = ((𝑀 · 𝑋) + (𝑁 · 𝑋)))
6 simpll 527 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵)) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → 𝐺 ∈ Grp)
7 simpr2 1004 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵)) → 𝑁 ∈ ℤ)
87adantr 276 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵)) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℤ)
98znegcld 9353 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵)) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → -𝑁 ∈ ℤ)
10 simpr1 1003 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵)) → 𝑀 ∈ ℤ)
1110adantr 276 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵)) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℤ)
1211znegcld 9353 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵)) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → -𝑀 ∈ ℤ)
13 simplr3 1041 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵)) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → 𝑋𝐵)
1411zcnd 9352 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵)) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℂ)
1514negcld 8232 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵)) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → -𝑀 ∈ ℂ)
168zcnd 9352 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵)) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℂ)
1716negcld 8232 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵)) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → -𝑁 ∈ ℂ)
1814, 16negdid 8258 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵)) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → -(𝑀 + 𝑁) = (-𝑀 + -𝑁))
1915, 17, 18comraddd 8091 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵)) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → -(𝑀 + 𝑁) = (-𝑁 + -𝑀))
20 simpr 110 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵)) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0)
2119, 20eqeltrrd 2255 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵)) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → (-𝑁 + -𝑀) ∈ ℕ0)
221, 2, 3mulgdirlem 12889 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (-𝑁 ∈ ℤ ∧ -𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ (-𝑁 + -𝑀) ∈ ℕ0) → ((-𝑁 + -𝑀) · 𝑋) = ((-𝑁 · 𝑋) + (-𝑀 · 𝑋)))
236, 9, 12, 13, 21, 22syl131anc 1251 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵)) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → ((-𝑁 + -𝑀) · 𝑋) = ((-𝑁 · 𝑋) + (-𝑀 · 𝑋)))
2419oveq1d 5883 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵)) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → (-(𝑀 + 𝑁) · 𝑋) = ((-𝑁 + -𝑀) · 𝑋))
2510, 7zaddcld 9355 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵)) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ)
2625adantr 276 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵)) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ)
27 eqid 2177 . . . . . . . 8 (invg𝐺) = (invg𝐺)
281, 2, 27mulgneg 12877 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) → (-(𝑀 + 𝑁) · 𝑋) = ((invg𝐺)‘((𝑀 + 𝑁) · 𝑋)))
296, 26, 13, 28syl3anc 1238 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵)) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → (-(𝑀 + 𝑁) · 𝑋) = ((invg𝐺)‘((𝑀 + 𝑁) · 𝑋)))
3024, 29eqtr3d 2212 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵)) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → ((-𝑁 + -𝑀) · 𝑋) = ((invg𝐺)‘((𝑀 + 𝑁) · 𝑋)))
311, 2, 27mulgneg 12877 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) → (-𝑁 · 𝑋) = ((invg𝐺)‘(𝑁 · 𝑋)))
326, 8, 13, 31syl3anc 1238 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵)) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → (-𝑁 · 𝑋) = ((invg𝐺)‘(𝑁 · 𝑋)))
331, 2, 27mulgneg 12877 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) → (-𝑀 · 𝑋) = ((invg𝐺)‘(𝑀 · 𝑋)))
346, 11, 13, 33syl3anc 1238 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵)) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → (-𝑀 · 𝑋) = ((invg𝐺)‘(𝑀 · 𝑋)))
3532, 34oveq12d 5886 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵)) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → ((-𝑁 · 𝑋) + (-𝑀 · 𝑋)) = (((invg𝐺)‘(𝑁 · 𝑋)) + ((invg𝐺)‘(𝑀 · 𝑋))))
361, 2mulgcl 12876 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) → (𝑀 · 𝑋) ∈ 𝐵)
376, 11, 13, 36syl3anc 1238 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵)) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → (𝑀 · 𝑋) ∈ 𝐵)
381, 2mulgcl 12876 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵)
396, 8, 13, 38syl3anc 1238 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵)) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵)
401, 3, 27grpinvadd 12824 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 · 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵) → ((invg𝐺)‘((𝑀 · 𝑋) + (𝑁 · 𝑋))) = (((invg𝐺)‘(𝑁 · 𝑋)) + ((invg𝐺)‘(𝑀 · 𝑋))))
416, 37, 39, 40syl3anc 1238 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵)) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → ((invg𝐺)‘((𝑀 · 𝑋) + (𝑁 · 𝑋))) = (((invg𝐺)‘(𝑁 · 𝑋)) + ((invg𝐺)‘(𝑀 · 𝑋))))
4235, 41eqtr4d 2213 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵)) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → ((-𝑁 · 𝑋) + (-𝑀 · 𝑋)) = ((invg𝐺)‘((𝑀 · 𝑋) + (𝑁 · 𝑋))))
4323, 30, 423eqtr3d 2218 . . . 4 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵)) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → ((invg𝐺)‘((𝑀 + 𝑁) · 𝑋)) = ((invg𝐺)‘((𝑀 · 𝑋) + (𝑁 · 𝑋))))
4443fveq2d 5514 . . 3 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵)) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → ((invg𝐺)‘((invg𝐺)‘((𝑀 + 𝑁) · 𝑋))) = ((invg𝐺)‘((invg𝐺)‘((𝑀 · 𝑋) + (𝑁 · 𝑋)))))
451, 2mulgcl 12876 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) → ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋) ∈ 𝐵)
466, 26, 13, 45syl3anc 1238 . . . 4 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵)) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋) ∈ 𝐵)
471, 27grpinvinv 12813 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋) ∈ 𝐵) → ((invg𝐺)‘((invg𝐺)‘((𝑀 + 𝑁) · 𝑋))) = ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋))
486, 46, 47syl2anc 411 . . 3 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵)) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → ((invg𝐺)‘((invg𝐺)‘((𝑀 + 𝑁) · 𝑋))) = ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋))
491, 3grpcl 12762 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 · 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵) → ((𝑀 · 𝑋) + (𝑁 · 𝑋)) ∈ 𝐵)
506, 37, 39, 49syl3anc 1238 . . . 4 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵)) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → ((𝑀 · 𝑋) + (𝑁 · 𝑋)) ∈ 𝐵)
511, 27grpinvinv 12813 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ ((𝑀 · 𝑋) + (𝑁 · 𝑋)) ∈ 𝐵) → ((invg𝐺)‘((invg𝐺)‘((𝑀 · 𝑋) + (𝑁 · 𝑋)))) = ((𝑀 · 𝑋) + (𝑁 · 𝑋)))
526, 50, 51syl2anc 411 . . 3 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵)) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → ((invg𝐺)‘((invg𝐺)‘((𝑀 · 𝑋) + (𝑁 · 𝑋)))) = ((𝑀 · 𝑋) + (𝑁 · 𝑋)))
5344, 48, 523eqtr3d 2218 . 2 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵)) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋) = ((𝑀 · 𝑋) + (𝑁 · 𝑋)))
54 elznn0 9244 . . . 4 ((𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ ↔ ((𝑀 + 𝑁) ∈ ℝ ∧ ((𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0 ∨ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0)))
5554simprbi 275 . . 3 ((𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ → ((𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0 ∨ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0))
5625, 55syl 14 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵)) → ((𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0 ∨ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0))
575, 53, 56mpjaodan 798 1 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵)) → ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋) = ((𝑀 · 𝑋) + (𝑁 · 𝑋)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wo 708  w3a 978   = wceq 1353  wcel 2148  cfv 5211  (class class class)co 5868  cr 7788   + caddc 7792  -cneg 8106  0cn0 9152  cz 9229  Basecbs 12432  +gcplusg 12505  Grpcgrp 12754  invgcminusg 12755  .gcmg 12859
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4205  ax-un 4429  ax-setind 4532  ax-iinf 4583  ax-cnex 7880  ax-resscn 7881  ax-1cn 7882  ax-1re 7883  ax-icn 7884  ax-addcl 7885  ax-addrcl 7886  ax-mulcl 7887  ax-addcom 7889  ax-addass 7891  ax-distr 7893  ax-i2m1 7894  ax-0lt1 7895  ax-0id 7897  ax-rnegex 7898  ax-cnre 7900  ax-pre-ltirr 7901  ax-pre-ltwlin 7902  ax-pre-lttrn 7903  ax-pre-ltadd 7905
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4289  df-iord 4362  df-on 4364  df-ilim 4365  df-suc 4367  df-iom 4586  df-xp 4628  df-rel 4629  df-cnv 4630  df-co 4631  df-dm 4632  df-rn 4633  df-res 4634  df-ima 4635  df-iota 5173  df-fun 5213  df-fn 5214  df-f 5215  df-f1 5216  df-fo 5217  df-f1o 5218  df-fv 5219  df-riota 5824  df-ov 5871  df-oprab 5872  df-mpo 5873  df-1st 6134  df-2nd 6135  df-recs 6299  df-frec 6385  df-pnf 7971  df-mnf 7972  df-xr 7973  df-ltxr 7974  df-le 7975  df-sub 8107  df-neg 8108  df-inn 8896  df-2 8954  df-n0 9153  df-z 9230  df-uz 9505  df-fz 9983  df-seqfrec 10419  df-ndx 12435  df-slot 12436  df-base 12438  df-plusg 12518  df-0g 12642  df-mgm 12654  df-sgrp 12687  df-mnd 12697  df-grp 12757  df-minusg 12758  df-mulg 12860
This theorem is referenced by:  mulgp1  12891  mulgneg2  12892  mulgmodid  12897  mulgsubdir  12898
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