Theorem mulgdir 13227

Description: Sum of group multiples, generalized to ℤ. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulgnndir.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulgnndir.t	⊢ · = (.g‘𝐺)
mulgnndir.p	⊢ + = (+g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
mulgdir	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋) = ((𝑀 · 𝑋) + (𝑁 · 𝑋)))

Proof of Theorem mulgdir

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulgnndir.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		mulgnndir.t	. . . 4 ⊢ · = (.g‘𝐺)
3		mulgnndir.p	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝐺)
4	1, 2, 3	mulgdirlem 13226	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋) = ((𝑀 · 𝑋) + (𝑁 · 𝑋)))
5	4	3expa 1205	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋) = ((𝑀 · 𝑋) + (𝑁 · 𝑋)))
6		simpll 527	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → 𝐺 ∈ Grp)
7		simpr2 1006	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → 𝑁 ∈ ℤ)
8	7	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℤ)
9	8	znegcld 9444	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → -𝑁 ∈ ℤ)
10		simpr1 1005	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → 𝑀 ∈ ℤ)
11	10	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℤ)
12	11	znegcld 9444	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → -𝑀 ∈ ℤ)
13		simplr3 1043	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → 𝑋 ∈ 𝐵)
14	11	zcnd 9443	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℂ)
15	14	negcld 8319	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → -𝑀 ∈ ℂ)
16	8	zcnd 9443	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℂ)
17	16	negcld 8319	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → -𝑁 ∈ ℂ)
18	14, 16	negdid 8345	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → -(𝑀 + 𝑁) = (-𝑀 + -𝑁))
19	15, 17, 18	comraddd 8178	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → -(𝑀 + 𝑁) = (-𝑁 + -𝑀))
20		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0)
21	19, 20	eqeltrrd 2271	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → (-𝑁 + -𝑀) ∈ ℕ0)
22	1, 2, 3	mulgdirlem 13226	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (-𝑁 ∈ ℤ ∧ -𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (-𝑁 + -𝑀) ∈ ℕ0) → ((-𝑁 + -𝑀) · 𝑋) = ((-𝑁 · 𝑋) + (-𝑀 · 𝑋)))
23	6, 9, 12, 13, 21, 22	syl131anc 1262	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → ((-𝑁 + -𝑀) · 𝑋) = ((-𝑁 · 𝑋) + (-𝑀 · 𝑋)))
24	19	oveq1d 5934	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → (-(𝑀 + 𝑁) · 𝑋) = ((-𝑁 + -𝑀) · 𝑋))
25	10, 7	zaddcld 9446	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ)
26	25	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ)
27		eqid 2193	. . . . . . . 8 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
28	1, 2, 27	mulgneg 13213	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (-(𝑀 + 𝑁) · 𝑋) = ((invg‘𝐺)‘((𝑀 + 𝑁) · 𝑋)))
29	6, 26, 13, 28	syl3anc 1249	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → (-(𝑀 + 𝑁) · 𝑋) = ((invg‘𝐺)‘((𝑀 + 𝑁) · 𝑋)))
30	24, 29	eqtr3d 2228	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → ((-𝑁 + -𝑀) · 𝑋) = ((invg‘𝐺)‘((𝑀 + 𝑁) · 𝑋)))
31	1, 2, 27	mulgneg 13213	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (-𝑁 · 𝑋) = ((invg‘𝐺)‘(𝑁 · 𝑋)))
32	6, 8, 13, 31	syl3anc 1249	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → (-𝑁 · 𝑋) = ((invg‘𝐺)‘(𝑁 · 𝑋)))
33	1, 2, 27	mulgneg 13213	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (-𝑀 · 𝑋) = ((invg‘𝐺)‘(𝑀 · 𝑋)))
34	6, 11, 13, 33	syl3anc 1249	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → (-𝑀 · 𝑋) = ((invg‘𝐺)‘(𝑀 · 𝑋)))
35	32, 34	oveq12d 5937	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → ((-𝑁 · 𝑋) + (-𝑀 · 𝑋)) = (((invg‘𝐺)‘(𝑁 · 𝑋)) + ((invg‘𝐺)‘(𝑀 · 𝑋))))
36	1, 2	mulgcl 13212	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑀 · 𝑋) ∈ 𝐵)
37	6, 11, 13, 36	syl3anc 1249	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → (𝑀 · 𝑋) ∈ 𝐵)
38	1, 2	mulgcl 13212	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵)
39	6, 8, 13, 38	syl3anc 1249	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵)
40	1, 3, 27	grpinvadd 13153	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 · 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵) → ((invg‘𝐺)‘((𝑀 · 𝑋) + (𝑁 · 𝑋))) = (((invg‘𝐺)‘(𝑁 · 𝑋)) + ((invg‘𝐺)‘(𝑀 · 𝑋))))
41	6, 37, 39, 40	syl3anc 1249	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → ((invg‘𝐺)‘((𝑀 · 𝑋) + (𝑁 · 𝑋))) = (((invg‘𝐺)‘(𝑁 · 𝑋)) + ((invg‘𝐺)‘(𝑀 · 𝑋))))
42	35, 41	eqtr4d 2229	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → ((-𝑁 · 𝑋) + (-𝑀 · 𝑋)) = ((invg‘𝐺)‘((𝑀 · 𝑋) + (𝑁 · 𝑋))))
43	23, 30, 42	3eqtr3d 2234	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → ((invg‘𝐺)‘((𝑀 + 𝑁) · 𝑋)) = ((invg‘𝐺)‘((𝑀 · 𝑋) + (𝑁 · 𝑋))))
44	43	fveq2d 5559	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → ((invg‘𝐺)‘((invg‘𝐺)‘((𝑀 + 𝑁) · 𝑋))) = ((invg‘𝐺)‘((invg‘𝐺)‘((𝑀 · 𝑋) + (𝑁 · 𝑋)))))
45	1, 2	mulgcl 13212	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋) ∈ 𝐵)
46	6, 26, 13, 45	syl3anc 1249	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋) ∈ 𝐵)
47	1, 27	grpinvinv 13142	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋) ∈ 𝐵) → ((invg‘𝐺)‘((invg‘𝐺)‘((𝑀 + 𝑁) · 𝑋))) = ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋))
48	6, 46, 47	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → ((invg‘𝐺)‘((invg‘𝐺)‘((𝑀 + 𝑁) · 𝑋))) = ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋))
49	1, 3	grpcl 13083	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 · 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵) → ((𝑀 · 𝑋) + (𝑁 · 𝑋)) ∈ 𝐵)
50	6, 37, 39, 49	syl3anc 1249	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → ((𝑀 · 𝑋) + (𝑁 · 𝑋)) ∈ 𝐵)
51	1, 27	grpinvinv 13142	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ ((𝑀 · 𝑋) + (𝑁 · 𝑋)) ∈ 𝐵) → ((invg‘𝐺)‘((invg‘𝐺)‘((𝑀 · 𝑋) + (𝑁 · 𝑋)))) = ((𝑀 · 𝑋) + (𝑁 · 𝑋)))
52	6, 50, 51	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → ((invg‘𝐺)‘((invg‘𝐺)‘((𝑀 · 𝑋) + (𝑁 · 𝑋)))) = ((𝑀 · 𝑋) + (𝑁 · 𝑋)))
53	44, 48, 52	3eqtr3d 2234	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋) = ((𝑀 · 𝑋) + (𝑁 · 𝑋)))
54		elznn0 9335	. . . 4 ⊢ ((𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ ↔ ((𝑀 + 𝑁) ∈ ℝ ∧ ((𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0 ∨ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0)))
55	54	simprbi 275	. . 3 ⊢ ((𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ → ((𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0 ∨ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0))
56	25, 55	syl 14	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → ((𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0 ∨ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0))
57	5, 53, 56	mpjaodan 799	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋) = ((𝑀 · 𝑋) + (𝑁 · 𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 709   ∧ w3a 980   = wceq 1364   ∈ wcel 2164  ‘cfv 5255  (class class class)co 5919  ℝcr 7873   + caddc 7877  -cneg 8193  ℕ₀cn0 9243  ℤcz 9320  Basecbs 12621  +_gcplusg 12698  Grpcgrp 13075  inv_gcminusg 13076  ._gcmg 13192

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4145  ax-sep 4148  ax-nul 4156  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-iinf 4621  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-1re 7968  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-addcom 7974  ax-addass 7976  ax-distr 7978  ax-i2m1 7979  ax-0lt1 7980  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-cnre 7985  ax-pre-ltirr 7986  ax-pre-ltwlin 7987  ax-pre-lttrn 7988  ax-pre-ltadd 7990

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-if 3559  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-tr 4129  df-id 4325  df-iord 4398  df-on 4400  df-ilim 4401  df-suc 4403  df-iom 4624  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-riota 5874  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-1st 6195  df-2nd 6196  df-recs 6360  df-frec 6446  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-xr 8060  df-ltxr 8061  df-le 8062  df-sub 8194  df-neg 8195  df-inn 8985  df-2 9043  df-n0 9244  df-z 9321  df-uz 9596  df-fz 10078  df-seqfrec 10522  df-ndx 12624  df-slot 12625  df-base 12627  df-plusg 12711  df-0g 12872  df-mgm 12942  df-sgrp 12988  df-mnd 13001  df-grp 13078  df-minusg 13079  df-mulg 13193

This theorem is referenced by:  mulgp1  13228  mulgneg2  13229  mulgmodid  13234  mulgsubdir  13235  mulgghm2  14107