ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mulgdir GIF version

Theorem mulgdir 13060
Description: Sum of group multiples, generalized to โ„ค. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mulgnndir.b ๐ต = (Baseโ€˜๐บ)
mulgnndir.t ยท = (.gโ€˜๐บ)
mulgnndir.p + = (+gโ€˜๐บ)
Assertion
Ref Expression
mulgdir ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((๐‘€ + ๐‘) ยท ๐‘‹) = ((๐‘€ ยท ๐‘‹) + (๐‘ ยท ๐‘‹)))

Proof of Theorem mulgdir
StepHypRef Expression
1 mulgnndir.b . . . 4 ๐ต = (Baseโ€˜๐บ)
2 mulgnndir.t . . . 4 ยท = (.gโ€˜๐บ)
3 mulgnndir.p . . . 4 + = (+gโ€˜๐บ)
41, 2, 3mulgdirlem 13059 . . 3 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘€ + ๐‘) ยท ๐‘‹) = ((๐‘€ ยท ๐‘‹) + (๐‘ ยท ๐‘‹)))
543expa 1205 . 2 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘€ + ๐‘) ยท ๐‘‹) = ((๐‘€ ยท ๐‘‹) + (๐‘ ยท ๐‘‹)))
6 simpll 527 . . . . . 6 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โˆง -(๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐บ โˆˆ Grp)
7 simpr2 1006 . . . . . . . 8 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
87adantr 276 . . . . . . 7 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โˆง -(๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
98znegcld 9395 . . . . . 6 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โˆง -(๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โ†’ -๐‘ โˆˆ โ„ค)
10 simpr1 1005 . . . . . . . 8 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
1110adantr 276 . . . . . . 7 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โˆง -(๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
1211znegcld 9395 . . . . . 6 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โˆง -(๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โ†’ -๐‘€ โˆˆ โ„ค)
13 simplr3 1043 . . . . . 6 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โˆง -(๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
1411zcnd 9394 . . . . . . . . 9 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โˆง -(๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„‚)
1514negcld 8273 . . . . . . . 8 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โˆง -(๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โ†’ -๐‘€ โˆˆ โ„‚)
168zcnd 9394 . . . . . . . . 9 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โˆง -(๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
1716negcld 8273 . . . . . . . 8 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โˆง -(๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โ†’ -๐‘ โˆˆ โ„‚)
1814, 16negdid 8299 . . . . . . . 8 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โˆง -(๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โ†’ -(๐‘€ + ๐‘) = (-๐‘€ + -๐‘))
1915, 17, 18comraddd 8132 . . . . . . 7 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โˆง -(๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โ†’ -(๐‘€ + ๐‘) = (-๐‘ + -๐‘€))
20 simpr 110 . . . . . . 7 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โˆง -(๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โ†’ -(๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0)
2119, 20eqeltrrd 2267 . . . . . 6 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โˆง -(๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โ†’ (-๐‘ + -๐‘€) โˆˆ โ„•0)
221, 2, 3mulgdirlem 13059 . . . . . 6 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (-๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (-๐‘ + -๐‘€) โˆˆ โ„•0) โ†’ ((-๐‘ + -๐‘€) ยท ๐‘‹) = ((-๐‘ ยท ๐‘‹) + (-๐‘€ ยท ๐‘‹)))
236, 9, 12, 13, 21, 22syl131anc 1262 . . . . 5 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โˆง -(๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โ†’ ((-๐‘ + -๐‘€) ยท ๐‘‹) = ((-๐‘ ยท ๐‘‹) + (-๐‘€ ยท ๐‘‹)))
2419oveq1d 5906 . . . . . 6 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โˆง -(๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โ†’ (-(๐‘€ + ๐‘) ยท ๐‘‹) = ((-๐‘ + -๐‘€) ยท ๐‘‹))
2510, 7zaddcld 9397 . . . . . . . 8 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„ค)
2625adantr 276 . . . . . . 7 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โˆง -(๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„ค)
27 eqid 2189 . . . . . . . 8 (invgโ€˜๐บ) = (invgโ€˜๐บ)
281, 2, 27mulgneg 13046 . . . . . . 7 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (-(๐‘€ + ๐‘) ยท ๐‘‹) = ((invgโ€˜๐บ)โ€˜((๐‘€ + ๐‘) ยท ๐‘‹)))
296, 26, 13, 28syl3anc 1249 . . . . . 6 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โˆง -(๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โ†’ (-(๐‘€ + ๐‘) ยท ๐‘‹) = ((invgโ€˜๐บ)โ€˜((๐‘€ + ๐‘) ยท ๐‘‹)))
3024, 29eqtr3d 2224 . . . . 5 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โˆง -(๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โ†’ ((-๐‘ + -๐‘€) ยท ๐‘‹) = ((invgโ€˜๐บ)โ€˜((๐‘€ + ๐‘) ยท ๐‘‹)))
311, 2, 27mulgneg 13046 . . . . . . . 8 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (-๐‘ ยท ๐‘‹) = ((invgโ€˜๐บ)โ€˜(๐‘ ยท ๐‘‹)))
326, 8, 13, 31syl3anc 1249 . . . . . . 7 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โˆง -(๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โ†’ (-๐‘ ยท ๐‘‹) = ((invgโ€˜๐บ)โ€˜(๐‘ ยท ๐‘‹)))
331, 2, 27mulgneg 13046 . . . . . . . 8 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (-๐‘€ ยท ๐‘‹) = ((invgโ€˜๐บ)โ€˜(๐‘€ ยท ๐‘‹)))
346, 11, 13, 33syl3anc 1249 . . . . . . 7 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โˆง -(๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โ†’ (-๐‘€ ยท ๐‘‹) = ((invgโ€˜๐บ)โ€˜(๐‘€ ยท ๐‘‹)))
3532, 34oveq12d 5909 . . . . . 6 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โˆง -(๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โ†’ ((-๐‘ ยท ๐‘‹) + (-๐‘€ ยท ๐‘‹)) = (((invgโ€˜๐บ)โ€˜(๐‘ ยท ๐‘‹)) + ((invgโ€˜๐บ)โ€˜(๐‘€ ยท ๐‘‹))))
361, 2mulgcl 13045 . . . . . . . 8 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘€ ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต)
376, 11, 13, 36syl3anc 1249 . . . . . . 7 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โˆง -(๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘€ ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต)
381, 2mulgcl 13045 . . . . . . . 8 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต)
396, 8, 13, 38syl3anc 1249 . . . . . . 7 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โˆง -(๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘ ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต)
401, 3, 27grpinvadd 12988 . . . . . . 7 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต โˆง (๐‘ ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต) โ†’ ((invgโ€˜๐บ)โ€˜((๐‘€ ยท ๐‘‹) + (๐‘ ยท ๐‘‹))) = (((invgโ€˜๐บ)โ€˜(๐‘ ยท ๐‘‹)) + ((invgโ€˜๐บ)โ€˜(๐‘€ ยท ๐‘‹))))
416, 37, 39, 40syl3anc 1249 . . . . . 6 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โˆง -(๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โ†’ ((invgโ€˜๐บ)โ€˜((๐‘€ ยท ๐‘‹) + (๐‘ ยท ๐‘‹))) = (((invgโ€˜๐บ)โ€˜(๐‘ ยท ๐‘‹)) + ((invgโ€˜๐บ)โ€˜(๐‘€ ยท ๐‘‹))))
4235, 41eqtr4d 2225 . . . . 5 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โˆง -(๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โ†’ ((-๐‘ ยท ๐‘‹) + (-๐‘€ ยท ๐‘‹)) = ((invgโ€˜๐บ)โ€˜((๐‘€ ยท ๐‘‹) + (๐‘ ยท ๐‘‹))))
4323, 30, 423eqtr3d 2230 . . . 4 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โˆง -(๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โ†’ ((invgโ€˜๐บ)โ€˜((๐‘€ + ๐‘) ยท ๐‘‹)) = ((invgโ€˜๐บ)โ€˜((๐‘€ ยท ๐‘‹) + (๐‘ ยท ๐‘‹))))
4443fveq2d 5534 . . 3 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โˆง -(๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โ†’ ((invgโ€˜๐บ)โ€˜((invgโ€˜๐บ)โ€˜((๐‘€ + ๐‘) ยท ๐‘‹))) = ((invgโ€˜๐บ)โ€˜((invgโ€˜๐บ)โ€˜((๐‘€ ยท ๐‘‹) + (๐‘ ยท ๐‘‹)))))
451, 2mulgcl 13045 . . . . 5 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ ((๐‘€ + ๐‘) ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต)
466, 26, 13, 45syl3anc 1249 . . . 4 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โˆง -(๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘€ + ๐‘) ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต)
471, 27grpinvinv 12977 . . . 4 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ((๐‘€ + ๐‘) ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต) โ†’ ((invgโ€˜๐บ)โ€˜((invgโ€˜๐บ)โ€˜((๐‘€ + ๐‘) ยท ๐‘‹))) = ((๐‘€ + ๐‘) ยท ๐‘‹))
486, 46, 47syl2anc 411 . . 3 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โˆง -(๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โ†’ ((invgโ€˜๐บ)โ€˜((invgโ€˜๐บ)โ€˜((๐‘€ + ๐‘) ยท ๐‘‹))) = ((๐‘€ + ๐‘) ยท ๐‘‹))
491, 3grpcl 12919 . . . . 5 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต โˆง (๐‘ ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต) โ†’ ((๐‘€ ยท ๐‘‹) + (๐‘ ยท ๐‘‹)) โˆˆ ๐ต)
506, 37, 39, 49syl3anc 1249 . . . 4 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โˆง -(๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘€ ยท ๐‘‹) + (๐‘ ยท ๐‘‹)) โˆˆ ๐ต)
511, 27grpinvinv 12977 . . . 4 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ((๐‘€ ยท ๐‘‹) + (๐‘ ยท ๐‘‹)) โˆˆ ๐ต) โ†’ ((invgโ€˜๐บ)โ€˜((invgโ€˜๐บ)โ€˜((๐‘€ ยท ๐‘‹) + (๐‘ ยท ๐‘‹)))) = ((๐‘€ ยท ๐‘‹) + (๐‘ ยท ๐‘‹)))
526, 50, 51syl2anc 411 . . 3 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โˆง -(๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โ†’ ((invgโ€˜๐บ)โ€˜((invgโ€˜๐บ)โ€˜((๐‘€ ยท ๐‘‹) + (๐‘ ยท ๐‘‹)))) = ((๐‘€ ยท ๐‘‹) + (๐‘ ยท ๐‘‹)))
5344, 48, 523eqtr3d 2230 . 2 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โˆง -(๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘€ + ๐‘) ยท ๐‘‹) = ((๐‘€ ยท ๐‘‹) + (๐‘ ยท ๐‘‹)))
54 elznn0 9286 . . . 4 ((๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„ค โ†” ((๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„ โˆง ((๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0 โˆจ -(๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0)))
5554simprbi 275 . . 3 ((๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„ค โ†’ ((๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0 โˆจ -(๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0))
5625, 55syl 14 . 2 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0 โˆจ -(๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0))
575, 53, 56mpjaodan 799 1 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((๐‘€ + ๐‘) ยท ๐‘‹) = ((๐‘€ ยท ๐‘‹) + (๐‘ ยท ๐‘‹)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   โˆจ wo 709   โˆง w3a 980   = wceq 1364   โˆˆ wcel 2160  โ€˜cfv 5231  (class class class)co 5891  โ„cr 7828   + caddc 7832  -cneg 8147  โ„•0cn0 9194  โ„คcz 9271  Basecbs 12480  +gcplusg 12555  Grpcgrp 12911  invgcminusg 12912  .gcmg 13027
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-iinf 4602  ax-cnex 7920  ax-resscn 7921  ax-1cn 7922  ax-1re 7923  ax-icn 7924  ax-addcl 7925  ax-addrcl 7926  ax-mulcl 7927  ax-addcom 7929  ax-addass 7931  ax-distr 7933  ax-i2m1 7934  ax-0lt1 7935  ax-0id 7937  ax-rnegex 7938  ax-cnre 7940  ax-pre-ltirr 7941  ax-pre-ltwlin 7942  ax-pre-lttrn 7943  ax-pre-ltadd 7945
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4308  df-iord 4381  df-on 4383  df-ilim 4384  df-suc 4386  df-iom 4605  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5233  df-fn 5234  df-f 5235  df-f1 5236  df-fo 5237  df-f1o 5238  df-fv 5239  df-riota 5847  df-ov 5894  df-oprab 5895  df-mpo 5896  df-1st 6159  df-2nd 6160  df-recs 6324  df-frec 6410  df-pnf 8012  df-mnf 8013  df-xr 8014  df-ltxr 8015  df-le 8016  df-sub 8148  df-neg 8149  df-inn 8938  df-2 8996  df-n0 9195  df-z 9272  df-uz 9547  df-fz 10027  df-seqfrec 10464  df-ndx 12483  df-slot 12484  df-base 12486  df-plusg 12568  df-0g 12729  df-mgm 12798  df-sgrp 12831  df-mnd 12844  df-grp 12914  df-minusg 12915  df-mulg 13028
This theorem is referenced by:  mulgp1  13061  mulgneg2  13062  mulgmodid  13067  mulgsubdir  13068  mulgghm2  13867
  Copyright terms: Public domain W3C validator