ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  cosbnd GIF version

Theorem cosbnd 11763
Description: The cosine of a real number lies between -1 and 1. Equation 18 of [Gleason] p. 311. (Contributed by NM, 16-Jan-2006.)
Assertion
Ref Expression
cosbnd (𝐴 ∈ ℝ β†’ (-1 ≀ (cosβ€˜π΄) ∧ (cosβ€˜π΄) ≀ 1))

Proof of Theorem cosbnd
StepHypRef Expression
1 resincl 11730 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (sinβ€˜π΄) ∈ ℝ)
21sqge0d 10683 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ β†’ 0 ≀ ((sinβ€˜π΄)↑2))
3 recoscl 11731 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (cosβ€˜π΄) ∈ ℝ)
43resqcld 10682 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ β†’ ((cosβ€˜π΄)↑2) ∈ ℝ)
51resqcld 10682 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ β†’ ((sinβ€˜π΄)↑2) ∈ ℝ)
64, 5addge02d 8493 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (0 ≀ ((sinβ€˜π΄)↑2) ↔ ((cosβ€˜π΄)↑2) ≀ (((sinβ€˜π΄)↑2) + ((cosβ€˜π΄)↑2))))
72, 6mpbid 147 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ β†’ ((cosβ€˜π΄)↑2) ≀ (((sinβ€˜π΄)↑2) + ((cosβ€˜π΄)↑2)))
8 recn 7946 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
9 sincossq 11758 . . . . . 6 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (((sinβ€˜π΄)↑2) + ((cosβ€˜π΄)↑2)) = 1)
108, 9syl 14 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (((sinβ€˜π΄)↑2) + ((cosβ€˜π΄)↑2)) = 1)
11 sq1 10616 . . . . 5 (1↑2) = 1
1210, 11eqtr4di 2228 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (((sinβ€˜π΄)↑2) + ((cosβ€˜π΄)↑2)) = (1↑2))
137, 12breqtrd 4031 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ β†’ ((cosβ€˜π΄)↑2) ≀ (1↑2))
14 1re 7958 . . . . . 6 1 ∈ ℝ
15 0le1 8440 . . . . . 6 0 ≀ 1
16 lenegsq 11106 . . . . . 6 (((cosβ€˜π΄) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 1) β†’ (((cosβ€˜π΄) ≀ 1 ∧ -(cosβ€˜π΄) ≀ 1) ↔ ((cosβ€˜π΄)↑2) ≀ (1↑2)))
1714, 15, 16mp3an23 1329 . . . . 5 ((cosβ€˜π΄) ∈ ℝ β†’ (((cosβ€˜π΄) ≀ 1 ∧ -(cosβ€˜π΄) ≀ 1) ↔ ((cosβ€˜π΄)↑2) ≀ (1↑2)))
18 lenegcon1 8425 . . . . . . 7 (((cosβ€˜π΄) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) β†’ (-(cosβ€˜π΄) ≀ 1 ↔ -1 ≀ (cosβ€˜π΄)))
1914, 18mpan2 425 . . . . . 6 ((cosβ€˜π΄) ∈ ℝ β†’ (-(cosβ€˜π΄) ≀ 1 ↔ -1 ≀ (cosβ€˜π΄)))
2019anbi2d 464 . . . . 5 ((cosβ€˜π΄) ∈ ℝ β†’ (((cosβ€˜π΄) ≀ 1 ∧ -(cosβ€˜π΄) ≀ 1) ↔ ((cosβ€˜π΄) ≀ 1 ∧ -1 ≀ (cosβ€˜π΄))))
2117, 20bitr3d 190 . . . 4 ((cosβ€˜π΄) ∈ ℝ β†’ (((cosβ€˜π΄)↑2) ≀ (1↑2) ↔ ((cosβ€˜π΄) ≀ 1 ∧ -1 ≀ (cosβ€˜π΄))))
223, 21syl 14 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (((cosβ€˜π΄)↑2) ≀ (1↑2) ↔ ((cosβ€˜π΄) ≀ 1 ∧ -1 ≀ (cosβ€˜π΄))))
2313, 22mpbid 147 . 2 (𝐴 ∈ ℝ β†’ ((cosβ€˜π΄) ≀ 1 ∧ -1 ≀ (cosβ€˜π΄)))
2423ancomd 267 1 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (-1 ≀ (cosβ€˜π΄) ∧ (cosβ€˜π΄) ≀ 1))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1353   ∈ wcel 2148   class class class wbr 4005  β€˜cfv 5218  (class class class)co 5877  β„‚cc 7811  β„cr 7812  0cc0 7813  1c1 7814   + caddc 7816   ≀ cle 7995  -cneg 8131  2c2 8972  β†‘cexp 10521  sincsin 11654  cosccos 11655
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-mulrcl 7912  ax-addcom 7913  ax-mulcom 7914  ax-addass 7915  ax-mulass 7916  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-1rid 7920  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-precex 7923  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-apti 7928  ax-pre-ltadd 7929  ax-pre-mulgt0 7930  ax-pre-mulext 7931  ax-arch 7932  ax-caucvg 7933
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-disj 3983  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-isom 5227  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-recs 6308  df-irdg 6373  df-frec 6394  df-1o 6419  df-oadd 6423  df-er 6537  df-en 6743  df-dom 6744  df-fin 6745  df-sup 6985  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-reap 8534  df-ap 8541  df-div 8632  df-inn 8922  df-2 8980  df-3 8981  df-4 8982  df-n0 9179  df-z 9256  df-uz 9531  df-q 9622  df-rp 9656  df-ico 9896  df-fz 10011  df-fzo 10145  df-seqfrec 10448  df-exp 10522  df-fac 10708  df-bc 10730  df-ihash 10758  df-cj 10853  df-re 10854  df-im 10855  df-rsqrt 11009  df-abs 11010  df-clim 11289  df-sumdc 11364  df-ef 11658  df-sin 11660  df-cos 11661
This theorem is referenced by:  cosbnd2  11765
  Copyright terms: Public domain W3C validator