Theorem lmodvaddsub4 13440

Description: Vector addition/subtraction law. (Contributed by NM, 31-Mar-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmod4.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lmod4.p	⊢ + = (+g‘𝑊)
lmodvaddsub4.m	⊢ − = (-g‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lmodvaddsub4	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉)) → ((𝐴 + 𝐵) = (𝐶 + 𝐷) ↔ (𝐴 − 𝐶) = (𝐷 − 𝐵)))

Proof of Theorem lmodvaddsub4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmodabl 13435	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Abel)
2		lmod4.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
3		lmod4.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝑊)
4		lmodvaddsub4.m	. . 3 ⊢ − = (-g‘𝑊)
5	2, 3, 4	abladdsub4 13128	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Abel ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉)) → ((𝐴 + 𝐵) = (𝐶 + 𝐷) ↔ (𝐴 − 𝐶) = (𝐷 − 𝐵)))
6	1, 5	syl3an1 1271	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉)) → ((𝐴 + 𝐵) = (𝐶 + 𝐷) ↔ (𝐴 − 𝐶) = (𝐷 − 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 978   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  ‘cfv 5218  (class class class)co 5878  Basecbs 12465  +_gcplusg 12539  -_gcsg 12886  Abelcabl 13100  LModclmod 13388

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7905  ax-resscn 7906  ax-1cn 7907  ax-1re 7908  ax-icn 7909  ax-addcl 7910  ax-addrcl 7911  ax-mulcl 7912  ax-addcom 7914  ax-addass 7916  ax-i2m1 7919  ax-0lt1 7920  ax-0id 7922  ax-rnegex 7923  ax-pre-ltirr 7926  ax-pre-ltadd 7930

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-riota 5834  df-ov 5881  df-oprab 5882  df-mpo 5883  df-1st 6144  df-2nd 6145  df-pnf 7997  df-mnf 7998  df-ltxr 8000  df-inn 8923  df-2 8981  df-3 8982  df-4 8983  df-5 8984  df-6 8985  df-ndx 12468  df-slot 12469  df-base 12471  df-sets 12472  df-plusg 12552  df-mulr 12553  df-sca 12555  df-vsca 12556  df-0g 12713  df-mgm 12782  df-sgrp 12815  df-mnd 12825  df-grp 12887  df-minusg 12888  df-sbg 12889  df-cmn 13101  df-abl 13102  df-mgp 13142  df-ur 13154  df-ring 13192  df-lmod 13390

This theorem is referenced by: (None)